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第一部分
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埃瓦里斯特·伽罗瓦和他的时代1811一1830年) ?' b& E$ @0 S
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“他被数学的鬼魅迷住了心窍…”
; ?) a* g( \$ s& c& W 伽罗瓦的教师之一' m9 u; n4 Q$ y1 m
% a& h, [* c ~0 M/ d! S
离巴黎十八公里,有一座布尔- 拉- 林(Bour-la-Reine )$ A x5 k% @, c9 k: e3 p
小城,现在还是象十九世纪初叶那样十分宁静。大街两旁至今还峙立着几幢从今6 W- l' ]" j7 }
人难忘的往昔完整地幸存下来的、门上有宽檐的尖顶房屋;城里依然是那几条用% ?- u c5 J! ]' r! q
伊尔- 德- 法兰西(l'lle-de-France )的玫瑰色岩石砌成的马路。那家旅馆仍
- s0 o. s+ J5 C7 ~9 ^2 }然挂着“穿靴猫旅社”的招牌,还有那有方院子的带列柱廓的教堂。那市政府与
' }- c; y s0 R* J& ~0 l6 |1829年相比似乎有点逊色,但实际上,自从墙上钉上了一块题着“伽罗瓦先生, t$ ^& i, K' l
本市十五年常任市长——市民敬立“等字样的纪念牌以来,它的外表几乎毫无改) S& k) y4 K. Q6 N6 }1 w% G1 u2 n
变。布尔- 拉- 林城里有一条伽罗瓦街,是纪念同一个人——数学家的父亲尼古6 W4 H0 M% a. D4 W6 n
拉- 加布里埃尔·伽罗瓦(Nicalas-Gabriel Galois)的。/ l! M$ T5 h4 \2 N! p* m3 G, F
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大街第54号房的正面另有一块纪念牌,写着“法国著名数学家埃瓦里斯特·
, \# ^" W/ [- i" ~$ _: l/ n- A伽罗瓦,生于此。卒年二十岁,1811—1832年”。这就是埃瓦里斯特·伽罗瓦出! d l! r( ~3 y, L
生的房子。纪念牌是在1909年6 月13日设置的。我们对于这个表示敬意的纪念物4 K$ R! c2 t; z5 w9 r
应当感激一位布尔- 拉- 林的居民的急公好义,他是当时巴黎大学数学系教授。
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比席纪念牌揭幕仪式的有两位数学家,朱利·汤内里(Jules Tannery )和, S; l! Y4 `7 A# @
科学院常任秘书加斯通·达尔布(Gaston Darboux)。他们两人都在埃瓦里斯特' R/ U2 W+ a. ~' ]9 K
被开除出校的师范大学里念过书。伽罗瓦的家庭成员,除伽罗瓦本人外,都埋葬
. j7 b) C5 l* B) e8 h0 {8 O在布尔- 拉- 林的墓地里。埃瓦里斯待·伽罗瓦安葬在蒙帕尔纳斯(MontparnaMe
- A5 A& g, i! L9 ~- |3 U)基园的公墓里。5 q& C2 l1 d# X ]
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尼古拉- 加布里埃尔·伽罗瓦在布尔- 拉- 林主持过供少年就学的学校。这( r4 J8 v, W2 }! w# W6 @( d
所学校早在旧制度时期就已创办,从那时候起,总是一成不变地由伽罗瓦家族中( L% M0 M; t% x1 F+ \0 a$ q
某一个成员担任该校校长。革命后,布尔- 拉- 林改称为布尔- 厄加利特(Bourg8 m) }$ ?; I9 f5 X4 b
—l'Egalite ),老伽罗瓦的学校也改为巴黎学区的中学之一;但尼古拉- 加布
0 F2 G9 e; \/ q里埃尔·伽罗瓦仍旧当校长。在“百日”王朝期间,市民选他当该市市长。老伽
$ b& M7 M$ j$ o4 b6 z; a罗瓦如此普遍地受人欢迎,甚至内务部长也不能不注意到这种情况:即使在复辟! v/ ?" g5 @- D% p
时期老伽罗瓦仍然保持市长的职务。. E% ?8 k5 `- R
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尼古拉- 加布里埃尔·伽罗瓦用于自由党人,在当时,这首先意味着他对恢' X C9 e0 _+ x# h6 ^8 D
复旧制度的不满。在旧制度下政权属于专制君主,而君主则被认为是上帝在人间
; |6 M- j. ]/ i' p' o9 Z/ f的全权代理人。在当时,拿破仑主义者都被看作是自由党人,因为他们是争取君
$ I R6 M5 C! e8 H主立宪的第一批斗士。他们的理想体现在可以从反面理解的“立宪”一词中。至
0 Y- M" A X* u' g3 t/ [- D( l于具体行动,他们则支持大资产阶级,也就是从法国大革命时期以来,常握有实6 j. I. C$ E c/ G. Q' L; A+ n( u. T" t
际权力的资产阶级。实际上,大资产阶级上层分子曾起过幕后政府的作用,同时
9 q; L0 |! ]8 T8 h' B( k% ~他们实力如此强大,甚至在外交政策方针上也可以觉察到他们的影响,譬如,他 ` W5 J0 e N* w! t7 a; L% v3 ^
们经常企图在欧洲各国首都制造有利的社会舆论。在复辟时期,从立宪的拥护者
- Y- K) H1 I$ T, z+ n4 ]的自由党人联盟中分裂出一个小派别,尽管人数不多,但它是由优秀分子组成的。
% r+ Y' ?% d/ W5 g& ]: R/ g这批少数人组成了共和党,后来,埃瓦里斯特·伽罗瓦就属于这个党。
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! S8 d* Y9 J, Y% h/ P3 a' c 离第54号房几公尺地方,大街的斜对面,有一座属于德芒特(Demante )家 _5 d3 b3 r8 S" e
的住宅。尼古拉- 加布里埃尔娶法官托马斯- 加布里埃尔·德芒特(ThomarGabriel
% H. Z, m# d! aDemaoto )的女儿玛利亚- 阿代累达(Marie Ade1aide)为妻。这个家庭出了几8 K5 K4 R: i& q! y9 A A0 G
个杰出的法律系教授;德芒持家庭的一个成员在1848年以后当过国民议会的议员,
7 \( x D% l: O5 s4 u/ {但他们之中没有任何人对伽罗瓦的遭遇表示过任何关怀。& F, D! S2 J9 Y$ x2 z8 R
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埃瓦里斯特·伽罗瓦生于1811年10月26日。据说,玛利亚- 阿代累达·伽罗9 g3 i* T, P& q0 i, {7 P3 t# s3 |; }
瓦曾积极参预儿子的教育。作为古代文化的热烈爱好者,她把从拉丁和希腊文学
; [# e: b: h* E* F中汲取来的英勇典范介绍给她的儿子。迄今保存的唯一的书面文件证实了这种报9 f3 K7 v7 l0 p. S$ K0 I
导。1848年发表在《皮托雷斯克画报》上有关伽罗瓦的传记中,特别谈到“在他
5 q. C% [; |! _ m) W! c6 k* K的生活中有伟人传记中所习见的相同情况:伽罗瓦的第一位教师是他的母亲,一
: D' y" G* G9 t# G, j) q个聪明兼有好教养的妇女,当他还在童稚时,她一直给他上课。”然而在埃瓦里
I( Z: Y. ^! }) }斯特·伽罗瓦的书信里却没有提到他的母亲。同时,腊斯拜——他和伽罗瓦的关
( Q+ ~) Z* n& ~: W8 Z- }系始末迄今还不清楚——说他和伽罗瓦是圣佩拉吉监狱中同监的难友,伽罗瓦向: v c" W* w7 S! H3 t. ]' v
他说说:“父亲是他的一切”。
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1823年10月,伽罗瓦年满十二岁时,离开了双亲,考入路易- 勒- 格兰皇家
3 { C0 T3 s. w- @* X中学(现改为路易- 勒- 格兰高等专科学校)。就在这里,他夹在新同学中间在3 o9 b* e4 D& v' O
学校里上了生活的第一课。在这所中学学习的年轻人都是出身子资产阶级上层圈! D8 |) T, d3 X
子的家庭的。他们的父亲——银行家、工业家、达官显贵——一经常左右着自由
" \+ }2 K) Y3 x0 A党人的政策。这些集团的权力伸展得非常之远。可是,他们仍然不满足于凭借自: b' ]) Q7 m0 F4 A) N, \( v& s
己的地位所获得的利润,他们千方百计地设法巩固自己的特权。这班人和出身于% c, J- E* }; N5 o$ ^( O9 P
平民的人(他们称之为“流氓”)一样,对贵族阶级感到深恶痛绝。在大学里, P9 |& m6 }6 p2 G) K4 A
在中小学里,有时干脆就在街上,学生们谈起自由党入所认为是“革命”的话题。- I9 Q9 n" J4 z+ ?
这种酝酿对资产阶级有利,因为它使资产阶级的敌人不断地感受到威胁。小
' M" ?2 k1 M& d/ x$ j. h" `学的学生都以老同学为榜样。可以想象得到,埃瓦里斯特·伽罗瓦在他们当中会
, w1 Q% M& X a! O5 j感到自己是很孤独的。! H C7 z) Q- n( m# I, O" c
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如果说,我们对伽罗瓦的童年几乎一无所知——从他的家庭成员那里只知道
) G4 n; r/ q, N+ p$ u他“有才能、认真、热心”,那么他的老师们却保存了很多有关他在中学度过头
9 s; U- h" E. K- e" j$ z几年生活的回忆录和笔记。如果这些笔记只证明他们对埃瓦里斯特·伽罗瓦的不; P G1 M! s4 J$ a& |2 Z& {
友好的态度,那就尽可不重视这些笔记。但情况并非如此。伽罗瓦的老师们发现
5 {0 v4 u0 q" z7 h+ ?, [; H他们的这位学生有“杰出的才干”,同时又认为他“举止不凡”,他“为人乖僻、 @% x1 `1 p! H
古怪、过分多嘴‘。有人把这种性格看作青年期神经过敏的标志。我们则认为
5 L2 } @. c- ]2 q, U(伽罗瓦的一生经历就是明显的证据),这个孩子有个性,而且当时早已显露出
; j/ w, V* c; f, n1 B4 I; b& V求知的精神。
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$ X1 s: s2 Z; ?4 J2 z 伽罗瓦在路易- 勒- 格兰皇家中学领奖学金,完全靠公费生活。在第四、第/ |# W' j I! E p4 `8 k
三和第二年级时,他是优等生,在希腊语作文总比赛中甚至获得好评。但是教师
2 |9 f; ?5 f* _6 K们反对他升级,按照他们的意思,伽罗瓦的体格不够强壮,此外,中学校长认为
+ @1 q7 l0 I* u他的判断力还有待“成熟”。但尽管如此,1826年10月他仍然转到修辞班学习。. K: W% }) K. t+ r2 G- G
但是第二学季一开始(伽罗瓦这时刚满十五岁),他不得不回到二年级。当时发
) B% C& Y8 H8 u/ Q5 r# a5 z$ H生一件值得纪念的事情:埃瓦里斯特·伽罗瓦在数学方面有了新发现。
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0 ~. E& i5 K& m7 @& z7 I 在升入修辞班之前,中学全体学生都要按照下述的教学大纲来学习:每个学3 M3 _ _0 u/ [# y9 O) a
生要修完中等学校必修的人文科学课程。但是学生之中有些爱好精密科学的,也
; a+ T$ ^0 y+ q2 r可以从二年级开始去听初级数学的补充课程。伽罗瓦重修二年级,自然,他在这2 ]; y7 c" N5 p* D
方面要比别人具有更多的机会。他毫无阻碍地被批准去上数学课。
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到了今天,人们毫无理由来设想,除了立志满足产生已久的迫切的求知欲外,
4 p( N) r& w, H- Y还有其他什么东西足以促使伽罗瓦坚持不懈地努力下去,尽管他在新功课上向前# I* P% [9 I- w# u
猛进的速度看来不寻常,其实这个现象不是无法说明的。只有与数学十分隔阂的
( w0 B$ J2 s B& Z s- o; L9 e1 d人,才可能认为,熟悉这一门科学是某种大彻大悟的结果。照此进行推论,那就; K8 f3 |) a! ^# p( ?: b/ d% v# V, D$ Z. ]
等于证明自己的无知。虽然在开学之时,全部数学教材的不平凡和独具一格常常3 I0 o" ?; C+ u+ i/ |- X
使一个学生惊讶不置,但是这种不平凡和独具一格只是表面现象而已。至于伤罗
9 \2 i9 H, C( |9 j瓦,那他在开步走之时就看透了这些现象后面的推理的简单性。他懂得,在数学
1 P) h* I' p, l5 Q上掌握明确而富于表达力的语言是何等重要的事,这正可证明他的思维的深刻。, u' X3 v$ _& O, [
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伽罗瓦一开头就反对那些不谈推理方法而专谈引入迷途的技巧问题的学校教
, S/ f. H! ?6 T! Q7 o3 M科书。他不读这些教科书,而在几天之内一口气读完A.M.Legendre的经过多次重4 Y% h: N8 ]6 i& u0 [
版〔最后一版即第十五版于1881年出版)的经典著作《几何原理》。Legendre在' L, M1 V8 c- J# Q6 y4 [6 g
他这本书里力求尽可能严格地、有根据地阐述当时已经被人遗忘的欧几里德的八, K+ u4 a( \- O
卷书。因此他必须回到欧几里德的推论方法上面去,而把教师在几何学的课堂上
( b$ n; d% r; H, o0 p! A- L教给他的一切都忘掉。Legendre对欧几里德的不朽著作的修改主要是在叙述方法) h6 T* l, h2 z: C/ K5 g
方面;但修改的地方很多,事实上他的工作成果变成了几何学方面的一部崭新的- m8 }7 g% N, ]7 y- J' K; O
著作。伽罗瓦所领悟的Legendre的语言,本身包含着数学思维的方法在内。如果
/ a& P5 A( S$ U% }勒让德尔的几何学对于伽罗瓦讲来好比是一种新语言的语法教科书,那末Lagrange, F6 J- k+ H" N9 h+ Y: Z
的著作(《论数值方程解法》、《解析函数论》、《函数演算讲义》)就起着语( M/ ?) W# B2 t% f& y- ]* p. b
法的严格练习的作用。Lagrange所陈述的第一个问题,就使伽罗瓦有理由去应用
- O% B: j3 @* `( V他的“群‘概念。
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这些艰深的功课当然还不足以显示伽罗瓦的独特的天才。但是这些功课使他
8 ?2 S$ w' @ x7 [的思路开阔,而且很早就在他身上发展了科学家所需要的借以推测科学的主旨,
/ g6 U- f! e |: N; [而不是停留在枝节问题上的“顿见”的那种天赋。% P+ \+ b, L. S7 Q
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因此,当1827年伽罗瓦回到修辞班时,他的全面发展甚至比他的数学的天分! U, {, l5 Z! S, J K
在同学之小更加出人头地了。他并未失去对其他科目的兴趣。但认为学校里讲授2 ?' Y. e( J- I1 S3 o! i( b& s
这些科目正如教科书里所讲述的同样地潦草马虎。伽罗瓦对教师们所采用的教学
$ ?( Y: m+ q8 J/ c+ N法感到愤强。但在教师方面并不怀疑自己的学生有深刻的精神上的需求。有关这
9 x$ a( f. [7 c一时期的一些笔记清楚地表明了由他所引起的混乱。有一个教师这样地谈到伽罗7 v$ F- S6 v/ ?
瓦:“他被数学的鬼魅迷住了心窍”;另一个教师用了七个字:“平静会谈他激
. A7 B* k2 U+ ?怒”来形容他的行为。7 T" `# L/ N3 b3 J
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这时候伽罗瓦已经熟悉欧拉、高斯和雅科比的著作。他很快就感觉到,他能
y# r% j7 h: |够做到的,不会比他们少。伽罗瓦逐惭胆壮起来了。到了学年末,他不再去听任, I3 f0 e& Y& r9 y4 h
何专业课了。他独立地准备参加取得升人综合技术学校的资格的竞赛考试。伽罗
+ ~: N6 k3 I* s瓦没有考取。不过,尽管考试失败,1828年10月,他仍然从初级数学班跳到里查
2 y4 E. g# C, }, H, V3 X(M.Richard )的数学专业班。 |
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