微分方程在数学建模中的应用举例

杨利霞

微分方程在数学建模中的应用举例

　　数学建模是数学方法解决各种实际问题的桥梁，随着计算机技术的快速发展，数学的应用日益广泛，数学建模的作用越来越重要，而且已经应用到各个领域。用微分方程解决实际问题的关键是建立实际问题的数学模型——微分方程。这首先要根据实际问题所提供的条件，选择确定模型的变量，再根据有关学科，如物理、化学、生物、经济等学科理论，找到这些变量遵循的规律，用微分方程的形式将其表示出来。
　　一、交通红绿灯模型
　　在十字路口的交通管理中，亮红灯之前，要亮一段时间的黄灯，这是为了让那些正行驶在十字路口的人注意，告诉他们红灯即将亮起，假如你能够停住，应当马上刹车，以免冲红灯违反交通规则。这里我们不妨想一下：黄灯应当亮多久才比较合适？
" \0 l8 ]' s: x" ^: ?　　停车线的确定，要确定停车线位置应当考虑到两点：一是驾驶员看到黄灯并决定停车需要一段反应时间 ，在这段时间里，驾驶员尚未刹车。二是驾驶员刹车后，车还需要继续行驶一段距离，我们把这段距离称为刹车距离。驾驶员的反应时间（实际为平均反应时间） 较易得到，可以根据经验或者统计数据求出，交通部门对驾驶员也有一个统一的要求（在考驾照时都必须经过测试）。例如，不失一般性，我们可以假设它为1秒，（反应时间的长短并不影响到计算方法）。停车时，驾驶员踩动刹车踏板产生一种摩擦力，该摩擦力使汽车减速并最终停下。设汽车质量为m，刹车摩擦系数为f，x（t）为刹车后在t时刻内行驶的距离，更久刹车规律，可假设刹车制动力为fmg（g为重力加速度）。由牛顿第二定律，刹车过程中车辆应满足下列运动方程：
　　md2xdt2=-fmg
　　x（0）=0， dxdtt=0=v0
, B# D3 N% g5 v# W) A　　（1）
　　在方程（1）两边同除以 并积分一次，并注意到当t=0时dxdt=V0，得到
1 [) ?1 P) Z. z9 V　　dxdt=-fgt+v0
/ q% @3 H* C" X4 l5 E( k　　（2）
$ a8 @8 ?! j. s　　刹车时间t2可这样求得，当t=t2时，dxdt=0，故
　　t2=v0fg
　　将（2）再积分一次，得
　　x（t）=-12fgt2+v0t
8 G& u1 \) y% @. K9 [$ Y4 `　　将t2=v0fg代入，即可求得停车距离为
　　x（t2）=1v202fg
　　据此可知，停车线到路口的距离应为：
　　L=v0t1+12v20fg
　　等式右边的第一项为反应时间里驶过的路程，第二项为刹车距离。
　　黄灯时间的计算，现在我们可以来确定黄灯究竟应当亮多久了。在黄灯转为红灯的这段时间里，应当能保证已经过线的车辆顺利地通过街口，记街道的宽度为D（D很容易测得），平均车身长度为 ，这些车辆应通过的路程最长可达到L+D+l，因而，为保证过线的车辆全部顺利通过，黄灯持续时间至少应当为：
( z  s# E4 `. [　　T=L+D+lv0
0 x9 [) M; n; ^2 u　　二、市场价格调整模型
6 c0 C( Q, w+ G. h4 r! G' G　　对于纯粹的市场经济来说，商品市场价格取决于市场供需之间的关系，市场价格能促使商品的供给与需求相等这样的价格称为（静态）均衡价格。也就是说，如果不考虑商品价格形成的动态过程，那么商品的市场价格应能保证市场的供需平衡，但是，实际的市场价格不会恰好等于均衡价格，而且价格也不会是静态的，应是随时间不断变化的动态过程。
7 P# f2 t4 v0 V3 p! D6 S* b　　如果设某商品在时刻t的售价为P，社会对该商品的需求量和供给量分别是P的函数D（P），S（P），则在时刻t的价格p（t）对于时间t的变化率可认为与该商品在同时刻的超额需求量D（P）-S（P）成正比，即有微分方程
" O7 X0 n) K# Y& R　　dPdt=k[D（P）-S（P）] （k>0）
　　（3）
. x1 m8 {: t4 R2 ~　　在D（P）和S（P）确定情况下，可解出本文由论文联盟http://wWw.LWlm.cOm收集整理价格与t的函数关系，这就是商品的价格调整模型。
" t- ?1 X6 t6 x$ P　　某种商品的价格变化主要服从市场供求关系。一般情况下，商品供给量 是价格 的单调递增函数，商品需求量Q是价格P的单调递减函数，为简单起见，分别设该商品的供给函数与需求函数分别为
　　S（P）=a+bP，Q（p）=α-βP
4 U. T9 s# b: C% v　　（4）
　　其中a，d，α，β均为常数，且b>0，β>0。
; a. }7 r# I5 X$ b4 ?　　当供给量与需求量相等时， 由（4）可得供求平衡时的价格
7 \. i# s5 {0 T, t0 i& X* p! Q* Y　　Pe=α-aβ+b
" J  u3 X9 D8 S5 o　　并称Pe为均衡价格。
3 W' c% w: s( v5 `$ c$ `& Z　　一般地说，当某种商品供不应求，即S<Q时，该商品价格要涨，当供大于求，即S>Q时，该商品价格要落。因此，假设t时刻的价格P（t）的变化率与超额需求量Q-S成正比，于是有方程

　　dPdt=k[Q（P）-S（P）]
- b" i) w/ T: ]　　其中k>0，用来反映价格的调整速度。
　　将（4）代入方程，可得
4 j: g; o/ m/ H* J　　dPdt=λ（pe-P）
' k6 [3 A" y, S' X! }) Z3 R　　（5）
　　其中常数λ=（b+β）k>0，方程（5）的通解为
) m$ H/ a$ _+ u, ?$ q& }. w- K　　P（t）=Pe+Ce-λt
  V; j3 Y6 j1 V　　假设初始价格P（0）=P0，代入上式，得C=P0-Pe，于是上述价格调整模型的解为
　　P（t）=Pe+（P0-Pe）eλt
( {) V' A  L' J' |+ t/ w- Q" _　　由于λ>0知，t→+∞时，P（t）→Pe。
　　说明随着时间不断推延，实际价格P（t）将逐渐趋近均衡价格Pe。这符合我们实际生活中具体事实。
5 f9 t9 ?" h6 c3 v* T7 V. ]& t+ t" `! r