数学建模学习笔记（7个建模实例讲解）

浅夏110

初等模型（初等数学方法建模）

% b5 T8 h. g+ g. O- Y* |% C1.    席位分配：
! l5 K% ]" P2 r0 O5 C
a)      问题描述：三个系学生共200名（甲系100、乙系60，丙系40）。代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。

b)     问题存在：现因学生转系，三系人数分别变为：103，63，34.问20个席位如何分配？才能使得尽量“公平”。
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c)      解决方法：提出不同的假设，进行不同方法的讨论，对不同方法进行对比分析（满足哪些公平条件），得出结论。

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2.    双层玻璃窗的功效：

* ]+ J( m5 m5 G! G5 E0 M# c/ e% P' Xa)      问题描述：双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失？

b)     问题假设：热量传播只有传单，没有对流；T1，T2不变，热传导过程处于稳态；材料均匀，热传导过程处于稳态。

# g3 c8 K1 A0 ]: Q! Zc)      建模：热传导定律模型。（有公式）

d)     分析：属于“测试分析“类型，建模分析，计算得结果，下结论。
) d5 D( A5 s8 n. f! Z( w5 e) r+ `
e)      延伸：考虑实际情况，进一步分析下结论会更好。


' a' v4 F1 w* B2 |4 |- }3.    划艇比赛的成绩：

a)      问题描述：对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与桨手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。

b)     属于统计，数学模型拟合类型；

c)      问题分析：赛艇速度与桨手数量之间的关系：前进阻力与前进动力等
6 X" \, a8 }5 K: u" I
( F+ e$ O) y; G( e5 [6 p! md)     问题建模：作出假设，运用合适物理定律建立模型；
- i, O) l- p+ X) b
# L5 _) A; o+ D" K" ]e)      模型检验：最重要的一部分！即通过实际数据，使用最小二乘法进行模型检验！     
" R( s9 Z1 B6 _' w7 K" S3 K2 }: T. v

4.    录像机计数器的用途：机理分析

3 Y% ]& ^6 R( f# qa)      问题描述：经试验，一盘录像带从头走到尾，时间用了183分30秒，计数器读数从0000变到6152.

7 s* U6 L% V. A* l问在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4580，问剩下的一段还能否录下一小时的节目？
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b)     要求：不仅回答问题，而且建模计数器读数与录像带转过时间的关系；

( @: m2 P& {* @c)      思考：计数器读数是均匀增长的吗？
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d)     问题分析：通过实际观察录像机计数器的工作原理，发现问题实质；之后进行模型假设，与已有物理知识，进行建模，确定参数，之后进行实际模型检验！
" h* @% T$ B9 e7 ?% V/ g5 g

5.    实物交换：

a)      问题描述：甲有物品X，乙有物品Y，双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。研究实物交换方案。

! s# E8 w& L; U& M& mb)     根据实际情况建立二维模型：(x,y)表示；
, t. b2 m: w  Q& B
c)      根据不同假设，进行不同建模处理。
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/ a" s4 c. f" \3 S. T! x6.    传送带的效率：物理实际模型

a)      问题描述：工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩运走，若工作台数量固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多，在产品进入稳态后，给出衡量传送带效率的指标，研究提高传送带效率的途径。

b)     问题分析：进行假设，之后因为衡量指标需要自选，所以需要根据实际情况做决定，确定指标。
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c)      模型建立，提出提高效率的途径。
( x/ n+ {+ M: U& ^, M3 K2 Z' ~

! O& h/ M( u( \6 l$ f0 ^8 ~7.    起帆远航：

$ D8 X8 L) N6 w' v" B; A( ta)      问题描述：帆船在海面上乘风远航，确定最佳的航行方向及帆的朝向。

- v. p" h7 Y+ ]5 k% Yb)     简化问题：海面上东风劲吹，设帆船要从A点驶向正东方的B电，确定起航时的航向，以及帆的朝向。

c)      问题分析：完全根据实际情况进行受理分析，进行模型建立，并求解。
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总结：

% o# R! C2 k5 t- M) ~1.    席位分析：进行不同假设，得出不同模型，进行对比分析；

6 d4 J# Q4 J. @1 G+ U2.    双层玻璃窗的功效：合理假设，根据已有物理知识，进行模型建立，分析不同情况，下结论；
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/ S& C2 f! \+ z# ?- y4 a. v3.    划艇比赛的成绩：合理假设，根据已有物理知识，进行模型假设，再实际数据可测量的情况下！进行模型检验！最后下结论；
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/ d- m5 M5 W7 B7 J- @4.    录像机计数器的用途：“机理分析”实物真实物理情况！之后进行假设，模型建立，参数估计（经常使用最小二乘估计），最后进行模型检验，之后下结论。
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5.    实物交换：二维建模，不同假设，不同原则，不同处理方式。
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& i8 ?3 ^+ }, K, _/ R7 D' j6.    传送带的效率：根据实际情况，与已有知识，进行合理假设，建模分析，此题重在提出“提高效率”的途径！

7.    起帆远航：根据实际情况，进行受理分析，在一定合理假设的前提下，进行模型建立并求解。

3 R9 ]: |5 f" X0 Q以上列举了一些基本的模型建立的方式，当然实际比赛中的题目不会如此简单，但通过其还是能稍微体会建模的实际意义与内涵。
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