数学建模学习笔记（7个建模实例讲解）

浅夏110

初等模型（初等数学方法建模）

1.    席位分配：

8 _& K! a$ [. y7 p+ f& X- |a)      问题描述：三个系学生共200名（甲系100、乙系60，丙系40）。代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。
' r3 {) J" m* j: K7 k
; J0 r; I( j' xb)     问题存在：现因学生转系，三系人数分别变为：103，63，34.问20个席位如何分配？才能使得尽量“公平”。
$ L  i) P) s& _
c)      解决方法：提出不同的假设，进行不同方法的讨论，对不同方法进行对比分析（满足哪些公平条件），得出结论。
. t6 @( x2 L0 ^) B
& Y6 R3 ~% G  d
' U1 n0 r1 l" y7 f3 U, v# z; p( z2.    双层玻璃窗的功效：
" a% g; ?1 H1 C, S4 H
a)      问题描述：双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失？

* t& G+ g1 W4 Yb)     问题假设：热量传播只有传单，没有对流；T1，T2不变，热传导过程处于稳态；材料均匀，热传导过程处于稳态。
! |2 l3 T* P  J; L: Y
/ w4 b" m( [4 U7 G* V: a5 s% wc)      建模：热传导定律模型。（有公式）
& V) Y% d& H2 d5 f! K! N
' x) ~8 [7 E" p; bd)     分析：属于“测试分析“类型，建模分析，计算得结果，下结论。

) ~! k6 d3 l( X4 Q$ Ke)      延伸：考虑实际情况，进一步分析下结论会更好。

' x% V& M6 H7 H7 x0 F8 b3 ?
7 z9 e& _1 @; T* r* a3.    划艇比赛的成绩：
8 w" a& N& O$ v5 ?" X, b3 D- C
  t8 r# x! j) A! f( n. m$ W$ na)      问题描述：对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与桨手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。
  F( H' X& K  f  d/ F
8 B/ w. K- o) {2 [/ d- e- @# Fb)     属于统计，数学模型拟合类型；

. C' M* h2 A) R- M: ?- C# Z. Kc)      问题分析：赛艇速度与桨手数量之间的关系：前进阻力与前进动力等
. G5 N) T0 t5 a9 ]: G& s+ t
d)     问题建模：作出假设，运用合适物理定律建立模型；
' Y; `7 m* J& a
/ K0 R; f; U2 V2 Se)      模型检验：最重要的一部分！即通过实际数据，使用最小二乘法进行模型检验！     
; |5 n1 B7 m" R
. y4 G; u$ D6 @- ?% p
- G3 [5 z4 U0 H) `4.    录像机计数器的用途：机理分析

a)      问题描述：经试验，一盘录像带从头走到尾，时间用了183分30秒，计数器读数从0000变到6152.

问在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4580，问剩下的一段还能否录下一小时的节目？
9 T" I/ ]& I; J" K) o+ ^( [
% j! ?+ s1 z" i( B8 b" E% N: z9 vb)     要求：不仅回答问题，而且建模计数器读数与录像带转过时间的关系；

: j8 c. ?/ Y' a. p; N6 ~% R; @c)      思考：计数器读数是均匀增长的吗？

d)     问题分析：通过实际观察录像机计数器的工作原理，发现问题实质；之后进行模型假设，与已有物理知识，进行建模，确定参数，之后进行实际模型检验！
6 }4 Z0 C# z9 C+ O; D+ Q. q

1 c2 f9 ^% D6 m, H1 h) M5.    实物交换：
& Z' m; C8 |) W( _0 a. M# ^
a)      问题描述：甲有物品X，乙有物品Y，双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。研究实物交换方案。

b)     根据实际情况建立二维模型：(x,y)表示；
* n- ?" q! a/ {. g- Y
c)      根据不同假设，进行不同建模处理。
0 f& }2 I% Z- D/ r* p- H6 e

0 y8 P; X" z. {4 f1 x  e6.    传送带的效率：物理实际模型
. }& T$ F8 O- Z1 h* G- b
0 H  n# z6 h3 Da)      问题描述：工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩运走，若工作台数量固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多，在产品进入稳态后，给出衡量传送带效率的指标，研究提高传送带效率的途径。
# i0 r$ p* ^, o, A) ?7 {* L
9 i& Y8 x* o" E6 Q  g1 Ob)     问题分析：进行假设，之后因为衡量指标需要自选，所以需要根据实际情况做决定，确定指标。

c)      模型建立，提出提高效率的途径。


7.    起帆远航：

a)      问题描述：帆船在海面上乘风远航，确定最佳的航行方向及帆的朝向。
" y  ?: t# k7 M: v% P: m6 p
b)     简化问题：海面上东风劲吹，设帆船要从A点驶向正东方的B电，确定起航时的航向，以及帆的朝向。

; j" `/ H: y0 r& J/ H) S8 dc)      问题分析：完全根据实际情况进行受理分析，进行模型建立，并求解。

2 o3 Q/ _# P7 ~# P
% w3 _1 L0 f* C0 e  h7 P5 V  ~总结：
7 J" A7 n' P' P9 r) w
' O  s6 @3 x6 e4 h5 G- j, F# T' {1.    席位分析：进行不同假设，得出不同模型，进行对比分析；
( s( R7 E3 ~5 B' a. Z! F6 R
$ i' g- R$ W6 j5 R6 \* G- q2.    双层玻璃窗的功效：合理假设，根据已有物理知识，进行模型建立，分析不同情况，下结论；

3.    划艇比赛的成绩：合理假设，根据已有物理知识，进行模型假设，再实际数据可测量的情况下！进行模型检验！最后下结论；
% V- Y  n9 Y- c6 Z
( j" R& n3 n! D4 g* @/ Z$ I4.    录像机计数器的用途：“机理分析”实物真实物理情况！之后进行假设，模型建立，参数估计（经常使用最小二乘估计），最后进行模型检验，之后下结论。

5.    实物交换：二维建模，不同假设，不同原则，不同处理方式。

0 h& L: L6 T0 D- X$ N3 T8 f9 S6.    传送带的效率：根据实际情况，与已有知识，进行合理假设，建模分析，此题重在提出“提高效率”的途径！

+ ?* L. h3 f8 D9 M+ @3 i; k7.    起帆远航：根据实际情况，进行受理分析，在一定合理假设的前提下，进行模型建立并求解。
* v9 ?3 z2 N) i
5 @4 a, Z8 d' U  |2 V( r8 @以上列举了一些基本的模型建立的方式，当然实际比赛中的题目不会如此简单，但通过其还是能稍微体会建模的实际意义与内涵。

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