数学建模学习笔记（7个建模实例讲解）

浅夏110

初等模型（初等数学方法建模）

! M4 l- e$ Y7 q$ M9 s2 ?9 A1.    席位分配：
. g6 h2 _! E3 I* R( P
: \2 C+ l& N7 p9 \% T4 q2 X% ga)      问题描述：三个系学生共200名（甲系100、乙系60，丙系40）。代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。

0 _+ {# a$ Y  z6 Vb)     问题存在：现因学生转系，三系人数分别变为：103，63，34.问20个席位如何分配？才能使得尽量“公平”。
0 I: j0 d( q8 ~/ M
! P" x* M- b6 a# D' W, D" c9 k' _c)      解决方法：提出不同的假设，进行不同方法的讨论，对不同方法进行对比分析（满足哪些公平条件），得出结论。
# c8 n, U. z' _1 w

2.    双层玻璃窗的功效：
% w' ~! ?: c3 U
, m. w4 _9 Q9 _% d* ]a)      问题描述：双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失？

b)     问题假设：热量传播只有传单，没有对流；T1，T2不变，热传导过程处于稳态；材料均匀，热传导过程处于稳态。
! Y4 K% ?8 r, D- V- \5 Y
c)      建模：热传导定律模型。（有公式）

" R1 ?% {0 ^( U8 _8 Ld)     分析：属于“测试分析“类型，建模分析，计算得结果，下结论。

2 T9 u0 \4 ?: Ue)      延伸：考虑实际情况，进一步分析下结论会更好。
5 b( @9 X7 h2 V; F1 x# t
3 a$ z  f! b( ^. R+ T  t" D
; p8 Q' X+ ^; B& S3.    划艇比赛的成绩：
6 K2 U' E1 n( Z  N0 ^$ @: v- q% M
/ k9 L4 I$ k% P0 N. Y6 pa)      问题描述：对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与桨手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。
; Y3 V& y7 C1 q& C
b)     属于统计，数学模型拟合类型；
* |5 G0 T7 r+ Q  F4 c. V/ ]
c)      问题分析：赛艇速度与桨手数量之间的关系：前进阻力与前进动力等
8 ]0 ]2 I4 z: E) d
d)     问题建模：作出假设，运用合适物理定律建立模型；
6 v( _) I+ Z! V( P7 I" F$ t
, T3 V* F& ]6 ~# m- Oe)      模型检验：最重要的一部分！即通过实际数据，使用最小二乘法进行模型检验！     
! h: h* X# i1 ]

4.    录像机计数器的用途：机理分析

a)      问题描述：经试验，一盘录像带从头走到尾，时间用了183分30秒，计数器读数从0000变到6152.

问在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4580，问剩下的一段还能否录下一小时的节目？
( S* f6 h$ J- |& e$ c" X
b)     要求：不仅回答问题，而且建模计数器读数与录像带转过时间的关系；

c)      思考：计数器读数是均匀增长的吗？

4 c& A2 W& P+ I& Td)     问题分析：通过实际观察录像机计数器的工作原理，发现问题实质；之后进行模型假设，与已有物理知识，进行建模，确定参数，之后进行实际模型检验！


5.    实物交换：

  d3 v4 U: b7 t, K3 g; Ia)      问题描述：甲有物品X，乙有物品Y，双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。研究实物交换方案。
% y  r5 f- V& ^, }
1 ]$ Y0 H9 y1 _/ F9 ~b)     根据实际情况建立二维模型：(x,y)表示；
: z4 G* i, X* G! n3 g( e
  U# g7 f* ?% L3 Vc)      根据不同假设，进行不同建模处理。


- m! E6 k( k1 q6.    传送带的效率：物理实际模型

+ x# F5 E/ F6 `4 G0 u5 G" Wa)      问题描述：工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩运走，若工作台数量固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多，在产品进入稳态后，给出衡量传送带效率的指标，研究提高传送带效率的途径。

b)     问题分析：进行假设，之后因为衡量指标需要自选，所以需要根据实际情况做决定，确定指标。
2 T; @; O/ E1 a! N' v: @
( r4 N- ?) ]& T3 Z, Z* Yc)      模型建立，提出提高效率的途径。
8 ?2 B  v" n  f- |' k( d
7 i$ f( B. c; E5 l- E& e4 [
7.    起帆远航：

1 \3 i* O% x  ma)      问题描述：帆船在海面上乘风远航，确定最佳的航行方向及帆的朝向。
( a% z) [# z( E2 x4 `0 [+ Z
b)     简化问题：海面上东风劲吹，设帆船要从A点驶向正东方的B电，确定起航时的航向，以及帆的朝向。

7 X2 y$ X, M/ D' _9 l* J% D3 Bc)      问题分析：完全根据实际情况进行受理分析，进行模型建立，并求解。


# |* Z8 G3 y# t  n4 r4 F# j: f总结：
& q. t2 Q8 I' d
1.    席位分析：进行不同假设，得出不同模型，进行对比分析；
- b& r' ?: {. p6 x
2.    双层玻璃窗的功效：合理假设，根据已有物理知识，进行模型建立，分析不同情况，下结论；
! U) V! ?) N+ G/ x6 O
3.    划艇比赛的成绩：合理假设，根据已有物理知识，进行模型假设，再实际数据可测量的情况下！进行模型检验！最后下结论；
" O0 X# j. L5 R- y
4.    录像机计数器的用途：“机理分析”实物真实物理情况！之后进行假设，模型建立，参数估计（经常使用最小二乘估计），最后进行模型检验，之后下结论。

. D# K4 P: n, i  u& P2 x+ r5.    实物交换：二维建模，不同假设，不同原则，不同处理方式。
; }5 G. N; l9 ]2 D  p$ L  ~( @
9 _  [( @- r+ u6.    传送带的效率：根据实际情况，与已有知识，进行合理假设，建模分析，此题重在提出“提高效率”的途径！
- ?1 z$ P- W1 s1 m, p
4 D7 G! Q1 j7 t0 n1 X, O$ Q0 f7.    起帆远航：根据实际情况，进行受理分析，在一定合理假设的前提下，进行模型建立并求解。
5 b/ O. i0 g, G# \
% F5 j0 Y6 _7 |1 T2 ?" X以上列举了一些基本的模型建立的方式，当然实际比赛中的题目不会如此简单，但通过其还是能稍微体会建模的实际意义与内涵。


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