机器学习笔记十：各种熵总结（一）

重光兰衣

机器学习笔记十：各种熵总结（一）
一.什么是熵
Ⅰ.信息量
' ?$ P; Y( S3 q: o/ s8 u9 c首先考虑一个离散的随机变量x,当我们观察到这个变量的一个具体值的时候,我们接收到多少信息呢?
" I. \7 [( [9 r1 \我们暂时把信息看做在学习x的值时候的”惊讶程度”(这样非常便于理解且有意义).当我们知道一件必然会发生的事情发生了,比如往下掉的苹果.我们并不惊讶,因为反正这件事情会发生,因此可以认为我们没有接收到信息.但是要是一件平时觉得不可能发生的事情发生了,那么我们接收到的信息要大得多.因此,我们对于信息内容的度量就将依赖于概率分布p(x).
因此,我们想要寻找一个函数h(x)来表示信息的多少且是关于概率分布的单调函数.我们定义:
& O- z  n5 r4 f! V# `

- ~9 s7 l( T0 [9 x, D2 [我们把这个公式叫做信息量的公式，前面的负号确保了信息一定是正数或者是0.(低概率事件带来高的信息量).
$ J! s% O! x7 q2 H0 l6 f函数如下图所示

& @& Q% V9 C7 z/ {有时候有人也叫做自信息（self-information），一个意思啦。可以推广一下下。
+ ^; ?0 G; E' P/ I+ [联合自信息量：
; c* t8 N( x/ ]  l# a1 F; R条件自信息量：
8 I4 m# P7 i; k. c通俗一点来说的话，就是概率论中很简单的推广就行了。有概率基础的话，这个很容易理解。这里因为实际上面使用二维的更多一点就以二维为例子，推广到多维的话也是可以的。

Ⅱ.熵
$ W: e% U* Q9 D) _/ {) n熵(entropy):上面的Ⅰ(x)是指在某个概率分布之下,某个概率值对应的信息量的公式.那么我们要知道这整个概率分布对应的信息量的平均值.这个平均值就叫做随机变量x的熵
- Y! r; `& F2 `2 N如下面公式：

这个公式的意思就是，随机变量x是服从p这个分布的，也就是在在p分布下面的平均自信息。也就得到了信息熵。信息熵的本质可以看做是某个分布的自信息的期望。
这里举个例子感受一下:设X服从0-1分布,即
. X$ ?' W+ T# f. ]; Y9 M% |: I! K  N则熵为：
上面的计算是对于一个离散型的随机变量（分布）来做的，无非就是把所有的概率都得到，分别求出自信息然后相加就行了。很简单，别想得太多。
代码：
) T, L# x3 m4 X8 j" b2 e' T8 l结果为：

/ c7 R6 {; R, p9 `

从图中可以知道：

1.当p=0或者p=1的时候,随机变量可以认为是没有不确定性.
% _7 ?2 f8 U3 k) [6 `* e2.当p=0.5的时候,H(p)=1,随机变量的不确定性最大.
那么“仿照”之前的信息量的公式，可以推广一下下啦。
$ t. p- T/ x1 w) U. V- b1 f8 B0 R假设一个概率分布有两个随机变量决定。其中x有n种取值，y有m种取值。那么可以得到一个nxm的联合概率分布的表。那么有：
6 l0 P( Z1 S8 L) v复合熵（联合熵）：
6 K# R+ Q# ?* T# X

同样，复合熵的公式还可以推广到连续变量和多个变量的情况。这里就不写了。

条件熵：

$ P' W2 x+ f3 j2 r5 C
# }! k$ z/ z$ `& ^上面这个公式可能有点难以理解，不知道这个公式是怎么来的。举一个例子来说明一下：
# f$ a2 k" I' F7 i) h如果以x表示学生体重，以y表示身高，以 p(x∣y)表示身高为某个特定的y时的体重为x的概率，把熵公式用到这个特殊情况得到是熵显然应当是
上面得到的计算公式是针对y为一个特殊值y时求得的熵。考虑到y会出现各种可能值，如果问已知学生身高时（不特指某一身高，而是泛指身高已经知道）的体重的熵（不确定程度），它应当是把前面的公式依各种y的出现概率做加权平均，那么就可以得到上面的条件熵的公式。

Ⅲ.变形总结
& H$ Y- [1 P# C! h; v& l" q* \进过上面的之后，应该对于信息量和信息熵的几个公式有了了解。然后那几个公式还可以变形为一些常用的公式。这里总结一下
首先要先介绍一下条件分布的乘法定理：

6 g2 x, s8 W. n. J
然后把之前条件熵式子使用上面这个公式改写一下，可以写为：

当熵和条件熵中的概率由数据估计(特别是极大似然估计)得到的时候,所对应的熵与条件熵分别称为经验熵(empirical entropy)和经验条件熵(empirical conditional entropy)

上面的式子表明，只要你能够得到联合分布和y的分布就能够求出条件熵了。事实上，还能够更加简化成为常见的形式：
2 n) A; e& ]8 [5 i这里利用上面的公式（以离散型为例子）直接推导，有


+ f. ^7 ^& ~) r0 c3 Q! ^! ?证明：
这个公式把复合熵、条件熵以及熵联系到一起了。它们也显示了熵的对称性。