机器学习笔记十：各种熵总结（一）

重光兰衣

机器学习笔记十：各种熵总结（一）
一.什么是熵
1 h! p( M5 m% Y+ q# ZⅠ.信息量
首先考虑一个离散的随机变量x,当我们观察到这个变量的一个具体值的时候,我们接收到多少信息呢?
3 P/ z. H. j$ j! ^- k! _我们暂时把信息看做在学习x的值时候的”惊讶程度”(这样非常便于理解且有意义).当我们知道一件必然会发生的事情发生了,比如往下掉的苹果.我们并不惊讶,因为反正这件事情会发生,因此可以认为我们没有接收到信息.但是要是一件平时觉得不可能发生的事情发生了,那么我们接收到的信息要大得多.因此,我们对于信息内容的度量就将依赖于概率分布p(x).
2 c, B6 L- G# s$ C3 Z! s: |因此,我们想要寻找一个函数h(x)来表示信息的多少且是关于概率分布的单调函数.我们定义:

* w% A6 T5 m# a8 j9 A7 `# [
: b% k1 |# ]/ ~9 v& {$ x9 S% V4 j我们把这个公式叫做信息量的公式，前面的负号确保了信息一定是正数或者是0.(低概率事件带来高的信息量).
; x' K% B3 y# w( p7 n6 J! a; R/ S! F函数如下图所示

有时候有人也叫做自信息（self-information），一个意思啦。可以推广一下下。
联合自信息量：
1 e& x7 [: y% B条件自信息量：
通俗一点来说的话，就是概率论中很简单的推广就行了。有概率基础的话，这个很容易理解。这里因为实际上面使用二维的更多一点就以二维为例子，推广到多维的话也是可以的。

Ⅱ.熵
熵(entropy):上面的Ⅰ(x)是指在某个概率分布之下,某个概率值对应的信息量的公式.那么我们要知道这整个概率分布对应的信息量的平均值.这个平均值就叫做随机变量x的熵
如下面公式：
/ b# c' z) t$ D) Y
% z- G9 G5 a0 F这个公式的意思就是，随机变量x是服从p这个分布的，也就是在在p分布下面的平均自信息。也就得到了信息熵。信息熵的本质可以看做是某个分布的自信息的期望。
3 _+ y8 b4 |* v& _# @; `0 y这里举个例子感受一下:设X服从0-1分布,即
+ Y; j+ c* s2 n) ]- X则熵为：
上面的计算是对于一个离散型的随机变量（分布）来做的，无非就是把所有的概率都得到，分别求出自信息然后相加就行了。很简单，别想得太多。
  k& G& g) |4 u/ z. ?( j" ~代码：
结果为：
0 i0 n3 i) s4 U; v% |& \% x  g

从图中可以知道：

1.当p=0或者p=1的时候,随机变量可以认为是没有不确定性.
, j6 c2 W# H! R" u2 e& B% z# A# m2.当p=0.5的时候,H(p)=1,随机变量的不确定性最大.
那么“仿照”之前的信息量的公式，可以推广一下下啦。
. a, z* n$ A0 D8 y假设一个概率分布有两个随机变量决定。其中x有n种取值，y有m种取值。那么可以得到一个nxm的联合概率分布的表。那么有：
7 C7 x7 v, O6 T* k复合熵（联合熵）：
( `- r5 Y6 l, V3 r5 ?! L

同样，复合熵的公式还可以推广到连续变量和多个变量的情况。这里就不写了。

条件熵：

; ~7 o$ w- z9 c/ c* N/ V
9 ^( V8 p8 X" r5 z& c9 `上面这个公式可能有点难以理解，不知道这个公式是怎么来的。举一个例子来说明一下：
) `9 N& o) L5 ]4 q如果以x表示学生体重，以y表示身高，以 p(x∣y)表示身高为某个特定的y时的体重为x的概率，把熵公式用到这个特殊情况得到是熵显然应当是
8 @* J. K( Q2 s" Z9 y; r. s8 z上面得到的计算公式是针对y为一个特殊值y时求得的熵。考虑到y会出现各种可能值，如果问已知学生身高时（不特指某一身高，而是泛指身高已经知道）的体重的熵（不确定程度），它应当是把前面的公式依各种y的出现概率做加权平均，那么就可以得到上面的条件熵的公式。
5 L" g% f5 S! u$ q
: G# k3 ?1 l( OⅢ.变形总结
' d: P% F2 H5 A& u进过上面的之后，应该对于信息量和信息熵的几个公式有了了解。然后那几个公式还可以变形为一些常用的公式。这里总结一下
* D& U# [  K  W! h0 E+ ?! E首先要先介绍一下条件分布的乘法定理：

' ?. w* P/ `( d
然后把之前条件熵式子使用上面这个公式改写一下，可以写为：
' C. t1 _2 S8 _# g! e% x$ }1 R
( S% `& j: M3 w9 s1 J当熵和条件熵中的概率由数据估计(特别是极大似然估计)得到的时候,所对应的熵与条件熵分别称为经验熵(empirical entropy)和经验条件熵(empirical conditional entropy)

* C5 P2 x2 k- x$ F# E上面的式子表明，只要你能够得到联合分布和y的分布就能够求出条件熵了。事实上，还能够更加简化成为常见的形式：
! v* w, `# ~  B7 f% i% ]这里利用上面的公式（以离散型为例子）直接推导，有
$ J4 i! n$ }) y& o: C$ G( d: G( V
, m+ z# |  d& S& O# E7 z% ~$ s
证明：
& m" m" x! A: I/ K1 i3 W4 b这个公式把复合熵、条件熵以及熵联系到一起了。它们也显示了熵的对称性。