7个入门建模实例讲解

浅夏110

第二章：初等模型（初等数学方法建模）

1.    席位分配：
8 ^3 b" [$ ~1 k' {+ H
a)      问题描述：三个系学生共200名（甲系100、乙系60，丙系40）。代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。
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b)     问题存在：现因学生转系，三系人数分别变为：103，63，34.问20个席位如何分配？才能使得尽量“公平”。

, G2 h& C" \! \/ S4 T4 pc)      解决方法：提出不同的假设，进行不同方法的讨论，对不同方法进行对比分析（满足哪些公平条件），得出结论。
5 S% U3 d- q! g+ X. \
9 G3 ~0 C8 A+ [" e; j( ~
) l: y8 j* Q' ~. s% f
+ L5 n; Y6 s$ d4 {4 w! g2.    双层玻璃窗的功效：

3 ~- [$ B) [2 U# }! pa)      问题描述：双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失？

7 M2 I" k; X' R! [3 jb)     问题假设：热量传播只有传单，没有对流；T1，T2不变，热传导过程处于稳态；材料均匀，热传导过程处于稳态。

c)      建模：热传导定律模型。（有公式）
5 J; D0 a; x  D
. v2 {5 B2 S9 H, b( [5 w0 Sd)     分析：属于“测试分析“类型，建模分析，计算得结果，下结论。
  n6 P' f) i: m5 h4 O4 Z
e)      延伸：考虑实际情况，进一步分析下结论会更好。

# E& G/ O9 e- d/ y+ d! |# T. ~1 }* P

" L' e- [  m4 f( E* w3.    划艇比赛的成绩：

a)      问题描述：对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与桨手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。
' [; c# g! Q5 y0 g! N) `8 \
! `2 J4 i% j, k1 h& [: f( zb)     属于统计，数学模型拟合类型；

c)      问题分析：赛艇速度与桨手数量之间的关系：前进阻力与前进动力等
; A$ X# j" W* B7 C6 T' Y
d)     问题建模：作出假设，运用合适物理定律建立模型；
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e)      模型检验：最重要的一部分！即通过实际数据，使用最小二乘法进行模型检验！     

* E+ _  Z8 ~( Z5 l

% ]7 q2 P0 Q# |4 r- \7 a4.    录像机计数器的用途：机理分析
1 ?2 q2 I3 d" ?, [
a)      问题描述：经试验，一盘录像带从头走到尾，时间用了183分30秒，计数器读数从0000变到6152.

问在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4580，问剩下的一段还能否录下一小时的节目？
3 v7 n' S$ t: f6 u5 [
b)     要求：不仅回答问题，而且建模计数器读数与录像带转过时间的关系；
/ ~% {2 y* \0 C. q8 Y
c)      思考：计数器读数是均匀增长的吗？

d)     问题分析：通过实际观察录像机计数器的工作原理，发现问题实质；之后进行模型假设，与已有物理知识，进行建模，确定参数，之后进行实际模型检验！
2 z% j$ T$ l# E

3 G, `0 }6 D/ A* l: D1 t
5 d9 b1 [6 R9 `' ?& e, r, Z5.    实物交换：
6 ]" D! s( Z6 @; i5 z8 U6 ^
a)      问题描述：甲有物品X，乙有物品Y，双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。研究实物交换方案。
: y* S& w; Q4 s& ^5 p# {
+ ?" _/ x( Q$ U9 G0 k2 kb)     根据实际情况建立二维模型：(x,y)表示；

c)      根据不同假设，进行不同建模处理。

( ]+ a7 Q+ I  j7 V; m6 s# z

1 Y* O& r5 ^1 a8 G6 K6.    传送带的效率：物理实际模型

3 J% X$ k' x! L3 T% A2 Q" W* R' d; b5 c+ Ra)      问题描述：工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩运走，若工作台数量固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多，在产品进入稳态后，给出衡量传送带效率的指标，研究提高传送带效率的途径。

4 ~) c# x) B+ gb)     问题分析：进行假设，之后因为衡量指标需要自选，所以需要根据实际情况做决定，确定指标。
% K/ M! x* f/ W( a. |% `! u9 _
8 F6 s0 ^9 L6 g. t# ~c)      模型建立，提出提高效率的途径。


+ O& H4 R8 r0 K$ o
! m, `; B% W6 q" y7.    起帆远航：

a)      问题描述：帆船在海面上乘风远航，确定最佳的航行方向及帆的朝向。

b)     简化问题：海面上东风劲吹，设帆船要从A点驶向正东方的B电，确定起航时的航向，以及帆的朝向。
0 X9 b6 e8 X: U1 |$ @- y
$ q2 l. t1 @0 cc)      问题分析：完全根据实际情况进行受理分析，进行模型建立，并求解。
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, r8 x9 x+ \+ g0 E' @3 Z: y
总结：

! a; s4 n* `5 e) K3 [$ C+ I8 L- _& F" F1.    席位分析：进行不同假设，得出不同模型，进行对比分析；

2.    双层玻璃窗的功效：合理假设，根据已有物理知识，进行模型建立，分析不同情况，下结论；

9 g- _6 k/ f! X' K3.    划艇比赛的成绩：合理假设，根据已有物理知识，进行模型假设，再实际数据可测量的情况下！进行模型检验！最后下结论；
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0 a6 z) ^5 s' U  l2 ^/ S0 v4.    录像机计数器的用途：“机理分析”实物真实物理情况！之后进行假设，模型建立，参数估计（经常使用最小二乘估计），最后进行模型检验，之后下结论。
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  `, q9 Q. J6 L: p3 ^6 S# K5.    实物交换：二维建模，不同假设，不同原则，不同处理方式。
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  d/ u" _4 C/ |* I$ Q6.    传送带的效率：根据实际情况，与已有知识，进行合理假设，建模分析，此题重在提出“提高效率”的途径！
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7.    起帆远航：根据实际情况，进行受理分析，在一定合理假设的前提下，进行模型建立并求解。
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