7个入门建模实例讲解

浅夏110

第二章：初等模型（初等数学方法建模）

( J' @, P& ]4 Q' n/ ~$ N' _1.    席位分配：

  ^# B7 U$ p  W+ i% i! {9 m% Ka)      问题描述：三个系学生共200名（甲系100、乙系60，丙系40）。代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。
+ T! B2 b9 y9 A: f6 V; j  s
b)     问题存在：现因学生转系，三系人数分别变为：103，63，34.问20个席位如何分配？才能使得尽量“公平”。
6 M- H6 d! G1 N5 Y
c)      解决方法：提出不同的假设，进行不同方法的讨论，对不同方法进行对比分析（满足哪些公平条件），得出结论。



3 @1 X% f6 Y/ J: m0 Q) y" E& g8 q2.    双层玻璃窗的功效：

5 ]% _/ }" _3 Q* X% ]* g( Fa)      问题描述：双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失？
8 v4 |" g, ]5 y$ }
- W- R3 ]8 z  V  |  e' n4 ub)     问题假设：热量传播只有传单，没有对流；T1，T2不变，热传导过程处于稳态；材料均匀，热传导过程处于稳态。

  L9 Z- M' t8 v8 F" x* \! q) t; w/ |c)      建模：热传导定律模型。（有公式）

d)     分析：属于“测试分析“类型，建模分析，计算得结果，下结论。
% {7 X! J% m' j% k5 ^5 d! o
e)      延伸：考虑实际情况，进一步分析下结论会更好。
2 _2 m- g3 H1 n8 P* @
: e1 c  w! J3 U/ o5 e
0 N+ i* W6 K8 P8 r3 O4 U( l6 @
3.    划艇比赛的成绩：

a)      问题描述：对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与桨手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。
, V+ t8 X3 ]( ?4 I+ F$ H, ~
b)     属于统计，数学模型拟合类型；

% v/ h# h- f; W! [$ V% Fc)      问题分析：赛艇速度与桨手数量之间的关系：前进阻力与前进动力等
' }+ Z. s- [6 \  }1 ?  ]) y9 t" \1 q
d)     问题建模：作出假设，运用合适物理定律建立模型；
+ K" l$ c2 T: i7 I* K
- e# \0 \8 n0 V' }: ?; q9 `e)      模型检验：最重要的一部分！即通过实际数据，使用最小二乘法进行模型检验！     


0 r/ O; Q- B8 L9 N$ S$ m5 t
: T& k+ E0 {' y  X9 ~6 G4.    录像机计数器的用途：机理分析
2 a2 A& k0 @1 }+ n0 k# G) x9 Z* q$ j
a)      问题描述：经试验，一盘录像带从头走到尾，时间用了183分30秒，计数器读数从0000变到6152.
* Y1 k, o$ i: J. K* K" ]2 B; V0 v8 P
问在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4580，问剩下的一段还能否录下一小时的节目？
* o+ c  N" S4 \' n0 D& ^
b)     要求：不仅回答问题，而且建模计数器读数与录像带转过时间的关系；
9 R2 I) a% ~, Q. ]2 k2 c
9 U0 }: C  \3 \/ M( @( B- i+ k0 ~c)      思考：计数器读数是均匀增长的吗？
( f4 Q$ G5 D( q3 Y
" _  u6 P" P) N2 Wd)     问题分析：通过实际观察录像机计数器的工作原理，发现问题实质；之后进行模型假设，与已有物理知识，进行建模，确定参数，之后进行实际模型检验！
# Z6 Z6 `6 N& X
% `/ b2 T6 |& I% V  ^+ v$ B

5 Y4 Y2 s# _. R! c& w5.    实物交换：
* U* Z9 J3 h" S# y
a)      问题描述：甲有物品X，乙有物品Y，双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。研究实物交换方案。

b)     根据实际情况建立二维模型：(x,y)表示；

c)      根据不同假设，进行不同建模处理。
: b) C9 n) `' V( i


6.    传送带的效率：物理实际模型
$ Q+ V& [# X  h2 S+ h# y( Z/ }6 v9 B
a)      问题描述：工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩运走，若工作台数量固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多，在产品进入稳态后，给出衡量传送带效率的指标，研究提高传送带效率的途径。

b)     问题分析：进行假设，之后因为衡量指标需要自选，所以需要根据实际情况做决定，确定指标。
1 T3 ~5 j5 r& n. j6 r
2 \/ ]- ]9 G* f3 I5 n8 k9 _# {c)      模型建立，提出提高效率的途径。
: |! v* q: k) Z5 t; v/ [! \
) K" V  m( K" e. `  U
8 s. P8 h2 M" i4 V( W! A" H1 a
  t5 t% f2 `, J, e' x7.    起帆远航：

a)      问题描述：帆船在海面上乘风远航，确定最佳的航行方向及帆的朝向。

b)     简化问题：海面上东风劲吹，设帆船要从A点驶向正东方的B电，确定起航时的航向，以及帆的朝向。

3 k5 G' l/ }% w) ^8 T* x+ Y9 U( fc)      问题分析：完全根据实际情况进行受理分析，进行模型建立，并求解。
5 l2 Y" C+ Q5 C$ J6 N  P

* O- q" C' k# K, `0 ^' O; X* `总结：
5 a) h. g4 T1 b
1.    席位分析：进行不同假设，得出不同模型，进行对比分析；
4 D6 {/ g/ x) Y; Y
4 ]+ a& m4 Z# A2.    双层玻璃窗的功效：合理假设，根据已有物理知识，进行模型建立，分析不同情况，下结论；

3.    划艇比赛的成绩：合理假设，根据已有物理知识，进行模型假设，再实际数据可测量的情况下！进行模型检验！最后下结论；

4.    录像机计数器的用途：“机理分析”实物真实物理情况！之后进行假设，模型建立，参数估计（经常使用最小二乘估计），最后进行模型检验，之后下结论。
! Q: ^9 y1 e, k; j' a
5.    实物交换：二维建模，不同假设，不同原则，不同处理方式。

* W  A1 {3 j) X% a& D1 L# f5 R6.    传送带的效率：根据实际情况，与已有知识，进行合理假设，建模分析，此题重在提出“提高效率”的途径！
# e' s8 m/ T9 m' Q2 s7 Y
1 M; p, u. o, G, h7.    起帆远航：根据实际情况，进行受理分析，在一定合理假设的前提下，进行模型建立并求解。
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