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TA的每日心情 | 开心 2020-11-14 17:15 |
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第二章:初等模型(初等数学方法建模)
+ X" g- B9 x- z. R0 ^3 p
! g* D2 ~; M. r% X5 p1. 席位分配:! `5 e- F! O1 ]! ]/ j
0 R! u6 q7 I8 N/ S$ g
a) 问题描述:三个系学生共200名(甲系100、乙系60,丙系40)。代表会议共20席,按比例分配,三个系分别为10,6,4席。% ` w. _* D. w* Q# S) ~* T
1 [! f8 Z, p" y. h" P6 Ib) 问题存在:现因学生转系,三系人数分别变为:103,63,34.问20个席位如何分配?才能使得尽量“公平”。
) D; S( ^1 s" K( K, Z: d+ B1 P6 v
3 Z3 Y c) U7 X9 V; U) o. x; Hc) 解决方法:提出不同的假设,进行不同方法的讨论,对不同方法进行对比分析(满足哪些公平条件),得出结论。0 s/ m5 s7 G# O8 {5 b% K7 E8 r
1 o" s. ?) b; x: c( g- x; }( J
/ y: W8 c: T2 N5 w N; d+ t* a, ^& b& h
2. 双层玻璃窗的功效:
5 M2 ]% @6 e; Y, d
* `, C& B( C& S4 m/ e( @$ @% na) 问题描述:双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比,减少多少热量损失?6 D9 m. T1 X1 A
% V( M5 B! O" y, e/ i
b) 问题假设:热量传播只有传单,没有对流;T1,T2不变,热传导过程处于稳态;材料均匀,热传导过程处于稳态。
: U+ x- x/ a! h& }1 s( [, U! }1 e) m5 s' n+ l/ p$ B
c) 建模:热传导定律模型。(有公式)4 ~- C6 O& s3 ]3 u6 A6 U' o; B$ B( t
; y8 |9 U$ }1 H6 {. W( t, dd) 分析:属于“测试分析“类型,建模分析,计算得结果,下结论。; B1 o, V5 f- ~0 _2 ?
8 V# g! I4 U+ C
e) 延伸:考虑实际情况,进一步分析下结论会更好。; ?* p/ E+ v! f" V* X
`( Y* Q- K; B5 m- |4 ^2 b
9 W4 I( p3 }$ D5 Z# [* j, F$ m: ~2 c Y( C: Y' \% C" ^0 ?
3. 划艇比赛的成绩: S# p4 }, g+ E B8 ^
# p: {* L. \4 c
a) 问题描述:对四种赛艇(单人、双人、四人、八人)4次国际大赛冠军的成绩进行比较,发现与桨手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。
7 R. k; F4 p/ j) R- `
! i: k6 X0 F1 j) I3 W& [. Yb) 属于统计,数学模型拟合类型;- i4 Z. i; D# F1 h
3 c' w: `* n, |: L, k& N& Cc) 问题分析:赛艇速度与桨手数量之间的关系:前进阻力与前进动力等
+ N1 r2 O+ P+ z7 b h6 N" y& e3 q w
d) 问题建模:作出假设,运用合适物理定律建立模型;3 \$ Y+ H8 P0 ~9 s) |4 y
3 e8 f" I1 l' t+ V) q/ _/ {
e) 模型检验:最重要的一部分!即通过实际数据,使用最小二乘法进行模型检验! ) x; O: z9 s5 K% m
# I: d1 m9 J; m$ E
9 }4 x* g, p0 A5 J5 Z9 c* I
) t& c* M% ^- F! K c6 P
4. 录像机计数器的用途:机理分析
' y) S7 L0 i) j
. v0 X% E1 T2 la) 问题描述:经试验,一盘录像带从头走到尾,时间用了183分30秒,计数器读数从0000变到6152.
3 e5 w9 ?6 r. S/ D
. E z% z v' U) O$ Q" n问在一次使用中录像带已经转过大半,计数器读数为4580,问剩下的一段还能否录下一小时的节目?
/ X% N; }; y/ \% M) S- y1 H$ R# ~) ? d; l) V: S) q( y4 A
b) 要求:不仅回答问题,而且建模计数器读数与录像带转过时间的关系;
" |* w/ u4 t8 m' B4 j
+ n$ Q. R# \" Bc) 思考:计数器读数是均匀增长的吗?0 O, k: I }8 `& k4 v" j! N4 U
# P, \8 [$ w, c3 W f: D) j
d) 问题分析:通过实际观察录像机计数器的工作原理,发现问题实质;之后进行模型假设,与已有物理知识,进行建模,确定参数,之后进行实际模型检验!7 m0 s" n% ]0 Z$ M: I9 d G! w
1 W Z9 \- A" B/ a! q- F2 L/ s8 c. S/ {: t# m
' J0 @( s0 ?3 V/ ^/ f( v7 |, L
5. 实物交换:
$ k+ c- L4 W( b& { |
+ Q$ V8 ?( r1 ?' \, ^2 r: La) 问题描述:甲有物品X,乙有物品Y,双方为满足更高的需要,商定相互交换一部分。研究实物交换方案。
8 i& A& t: y6 U' P1 d" e' u; q# B7 l2 E6 i9 {6 B5 d1 ^. j# T0 D
b) 根据实际情况建立二维模型:(x,y)表示;
3 n; _7 a, V; h
' `/ j- `3 j# j, C' x6 Yc) 根据不同假设,进行不同建模处理。
; }5 j9 V3 w. X$ {
; }3 U! P$ [4 |6 y5 {, a. O. h( k4 }! O7 }
# d/ g+ G N: y* K& F6. 传送带的效率:物理实际模型
: X) K) q2 t+ Z$ Q; X! e. m* B: A" h v5 I' {: s3 r0 t
a) 问题描述:工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩运走,若工作台数量固定,挂钩数量越多,传送带运走的产品越多,在产品进入稳态后,给出衡量传送带效率的指标,研究提高传送带效率的途径。
$ I1 S% e9 F5 r$ O* D! D9 @
& S& m! T# q& R% @9 D# F1 ]8 _b) 问题分析:进行假设,之后因为衡量指标需要自选,所以需要根据实际情况做决定,确定指标。5 s+ a. ~ Z3 }: m6 ]8 l, r# h# _0 i) Y
7 c) K3 W! s( V0 I8 H
c) 模型建立,提出提高效率的途径。
5 r3 B# E7 B7 u1 N& a% r1 ^ Z+ {+ q4 g- U% b" `
: k% Q2 U' a; p$ ^4 N5 C- g% k* k* w- z
2 w% ?& S% i( V( {7. 起帆远航:
7 F# F! b' ?4 q. Z. e
' R/ A j5 a" }, sa) 问题描述:帆船在海面上乘风远航,确定最佳的航行方向及帆的朝向。
3 Q8 D; {8 J- r1 S+ o1 M
% h7 b' [; R% B8 m% ab) 简化问题:海面上东风劲吹,设帆船要从A点驶向正东方的B电,确定起航时的航向,以及帆的朝向。
# A1 R3 l N9 y3 O) H0 |7 E; b+ H( w& {' T& I7 c
c) 问题分析:完全根据实际情况进行受理分析,进行模型建立,并求解。
8 \$ P/ @& _9 |6 E
: c" @) L$ }: M+ Z" \. I3 ?& s |. Q8 E8 d4 h) J1 c
总结:
' i+ Y! X( ~5 Y2 G. D7 Y1 T7 A) @7 g* x9 g* J
1. 席位分析:进行不同假设,得出不同模型,进行对比分析;
. D' J0 m" q$ i
/ \7 N# d1 T) d6 V0 r0 G2. 双层玻璃窗的功效:合理假设,根据已有物理知识,进行模型建立,分析不同情况,下结论;
7 \; r6 r8 L( t* ]1 L) V' A6 H5 R1 I* c( k/ @
3. 划艇比赛的成绩:合理假设,根据已有物理知识,进行模型假设,再实际数据可测量的情况下!进行模型检验!最后下结论;
# }9 P3 b& ~6 j% }) V
( \# K* F8 [8 N7 _" r$ w% r. F: A4. 录像机计数器的用途:“机理分析”实物真实物理情况!之后进行假设,模型建立,参数估计(经常使用最小二乘估计),最后进行模型检验,之后下结论。
/ m/ _3 O/ s9 ?" K4 ^% t3 a. `7 d l( x* G- [# \, @
5. 实物交换:二维建模,不同假设,不同原则,不同处理方式。$ g k1 a& V3 E* h# X: \' q
/ j/ x; e. c7 e O$ y ?6. 传送带的效率:根据实际情况,与已有知识,进行合理假设,建模分析,此题重在提出“提高效率”的途径!! }4 G5 ~1 L! I. T* ~! k) `% P5 d
3 a. u' C8 ^1 X+ P- f7. 起帆远航:根据实际情况,进行受理分析,在一定合理假设的前提下,进行模型建立并求解。/ E& b5 U z4 R) }3 z7 w3 \: }5 l
---------------------
5 z7 Y) i2 m6 z3 ^0 W1 A0 g% g5 t, z
3 F C$ |+ n3 [ r K _6 u: j# V2 B' N& X
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