7个入门建模实例讲解

浅夏110

第二章：初等模型（初等数学方法建模）

5 Q8 _0 E9 F2 _9 ^5 R1.    席位分配：
9 x- Y% K9 q# Q8 e8 i3 d9 S4 `: O! y
a)      问题描述：三个系学生共200名（甲系100、乙系60，丙系40）。代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。

' M4 a7 B( c5 g# pb)     问题存在：现因学生转系，三系人数分别变为：103，63，34.问20个席位如何分配？才能使得尽量“公平”。

c)      解决方法：提出不同的假设，进行不同方法的讨论，对不同方法进行对比分析（满足哪些公平条件），得出结论。
4 }1 M6 N/ U5 D( r" C


& A7 _; S5 p1 v# o9 U: |2.    双层玻璃窗的功效：
% N% t* d" A( d5 g  a6 n4 O1 d  ]
a)      问题描述：双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失？
4 ~* u# x9 i" k# E0 G  m* Y
6 \6 X& [: @/ Db)     问题假设：热量传播只有传单，没有对流；T1，T2不变，热传导过程处于稳态；材料均匀，热传导过程处于稳态。

c)      建模：热传导定律模型。（有公式）
; Z- K6 W* U  w- z. o
0 G2 k6 i5 |, T" S: q0 g2 b3 |d)     分析：属于“测试分析“类型，建模分析，计算得结果，下结论。

( t2 L' \( d. a4 A0 V' K  j5 be)      延伸：考虑实际情况，进一步分析下结论会更好。

' D9 V. E# a. b" `1 p- A7 K

3.    划艇比赛的成绩：
8 h& Q0 n. d6 R0 C* k# n0 N: y; V
a)      问题描述：对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与桨手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。

9 \% U" ]! C+ t/ i6 ?b)     属于统计，数学模型拟合类型；
5 x) Z3 Y0 U! g* }5 s/ K
c)      问题分析：赛艇速度与桨手数量之间的关系：前进阻力与前进动力等

7 b! S  f+ z* Ld)     问题建模：作出假设，运用合适物理定律建立模型；
, h9 O, l* @3 E" L) N; A+ w- V( ^) h3 E
% a% a& y, b& h* I' Y0 ^e)      模型检验：最重要的一部分！即通过实际数据，使用最小二乘法进行模型检验！     



) o8 s# O) W5 y: A1 Y: z# C8 l# F4.    录像机计数器的用途：机理分析
% B0 N& ^) M! v7 X! J" H& y! I3 T
a)      问题描述：经试验，一盘录像带从头走到尾，时间用了183分30秒，计数器读数从0000变到6152.

问在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4580，问剩下的一段还能否录下一小时的节目？

4 ~  I2 J$ G* d5 m1 v2 `b)     要求：不仅回答问题，而且建模计数器读数与录像带转过时间的关系；

, ?' D% Y6 I/ U$ h8 ic)      思考：计数器读数是均匀增长的吗？
$ I) {1 f8 e% W7 Z" w, A5 u6 V; f) n4 g6 g
1 e3 Z& ~4 L/ W' S1 v- |# Ld)     问题分析：通过实际观察录像机计数器的工作原理，发现问题实质；之后进行模型假设，与已有物理知识，进行建模，确定参数，之后进行实际模型检验！

4 R9 \( P" h6 [$ X+ W) D

5.    实物交换：

) z7 t, l6 C7 F6 V. y  j' {0 Pa)      问题描述：甲有物品X，乙有物品Y，双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。研究实物交换方案。
* D$ v% _4 w; n# `2 ]. V
b)     根据实际情况建立二维模型：(x,y)表示；
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c)      根据不同假设，进行不同建模处理。
3 ]! J% c! K- h; E2 u& s5 j

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$ q! K  V) ~( Q+ T: w. \6.    传送带的效率：物理实际模型

& o6 _2 s- G* ]  O  L4 \/ c# m% M/ w$ Xa)      问题描述：工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩运走，若工作台数量固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多，在产品进入稳态后，给出衡量传送带效率的指标，研究提高传送带效率的途径。

b)     问题分析：进行假设，之后因为衡量指标需要自选，所以需要根据实际情况做决定，确定指标。
+ ~8 ^7 W6 @$ d/ d* X/ B
& M$ s7 b$ n7 N9 o$ s+ Uc)      模型建立，提出提高效率的途径。

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7.    起帆远航：
: F+ G, d+ j! _( @9 |% ^# K, J
2 A7 |* T5 k. o/ |: a* ?7 ka)      问题描述：帆船在海面上乘风远航，确定最佳的航行方向及帆的朝向。

b)     简化问题：海面上东风劲吹，设帆船要从A点驶向正东方的B电，确定起航时的航向，以及帆的朝向。

c)      问题分析：完全根据实际情况进行受理分析，进行模型建立，并求解。
5 m6 V6 b& H3 h3 A2 z% |+ ?

总结：

  v& q+ N4 g% Q8 h: F! D; a" l5 m  R0 n1.    席位分析：进行不同假设，得出不同模型，进行对比分析；

2.    双层玻璃窗的功效：合理假设，根据已有物理知识，进行模型建立，分析不同情况，下结论；
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& [' Z+ ]. w0 s# k3.    划艇比赛的成绩：合理假设，根据已有物理知识，进行模型假设，再实际数据可测量的情况下！进行模型检验！最后下结论；
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- `! J$ H" {& G# w. L4.    录像机计数器的用途：“机理分析”实物真实物理情况！之后进行假设，模型建立，参数估计（经常使用最小二乘估计），最后进行模型检验，之后下结论。
! j! Z6 g1 a2 N* y/ g9 J
& f9 M: e9 Q( J6 t5.    实物交换：二维建模，不同假设，不同原则，不同处理方式。

& p: z* x+ `9 F  [  H1 a6.    传送带的效率：根据实际情况，与已有知识，进行合理假设，建模分析，此题重在提出“提高效率”的途径！

6 H: a: X+ f% y1 C& x: ?7.    起帆远航：根据实际情况，进行受理分析，在一定合理假设的前提下，进行模型建立并求解。
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