7个入门建模实例讲解

浅夏110

第二章：初等模型（初等数学方法建模）
+ X" g- B9 x- z. R0 ^3 p
! g* D2 ~; M. r% X5 p1.    席位分配：

a)      问题描述：三个系学生共200名（甲系100、乙系60，丙系40）。代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。

1 [! f8 Z, p" y. h" P6 Ib)     问题存在：现因学生转系，三系人数分别变为：103，63，34.问20个席位如何分配？才能使得尽量“公平”。
) D; S( ^1 s" K( K, Z: d+ B1 P6 v
3 Z3 Y  c) U7 X9 V; U) o. x; Hc)      解决方法：提出不同的假设，进行不同方法的讨论，对不同方法进行对比分析（满足哪些公平条件），得出结论。

1 o" s. ?) b; x: c( g- x; }( J
/ y: W8 c: T2 N5 w
2.    双层玻璃窗的功效：
5 M2 ]% @6 e; Y, d
* `, C& B( C& S4 m/ e( @$ @% na)      问题描述：双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失？

b)     问题假设：热量传播只有传单，没有对流；T1，T2不变，热传导过程处于稳态；材料均匀，热传导过程处于稳态。
: U+ x- x/ a! h& }1 s( [, U
c)      建模：热传导定律模型。（有公式）

; y8 |9 U$ }1 H6 {. W( t, dd)     分析：属于“测试分析“类型，建模分析，计算得结果，下结论。

e)      延伸：考虑实际情况，进一步分析下结论会更好。

  `( Y* Q- K; B5 m- |4 ^2 b
9 W4 I( p3 }$ D5 Z# [* j, F
3.    划艇比赛的成绩：

a)      问题描述：对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与桨手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。
7 R. k; F4 p/ j) R- `
! i: k6 X0 F1 j) I3 W& [. Yb)     属于统计，数学模型拟合类型；

3 c' w: `* n, |: L, k& N& Cc)      问题分析：赛艇速度与桨手数量之间的关系：前进阻力与前进动力等
+ N1 r2 O+ P+ z7 b
d)     问题建模：作出假设，运用合适物理定律建立模型；

e)      模型检验：最重要的一部分！即通过实际数据，使用最小二乘法进行模型检验！     



4.    录像机计数器的用途：机理分析
' y) S7 L0 i) j
. v0 X% E1 T2 la)      问题描述：经试验，一盘录像带从头走到尾，时间用了183分30秒，计数器读数从0000变到6152.
3 e5 w9 ?6 r. S/ D
. E  z% z  v' U) O$ Q" n问在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4580，问剩下的一段还能否录下一小时的节目？
/ X% N; }; y/ \% M) S- y1 H$ R# ~
b)     要求：不仅回答问题，而且建模计数器读数与录像带转过时间的关系；
" |* w/ u4 t8 m' B4 j
+ n$ Q. R# \" Bc)      思考：计数器读数是均匀增长的吗？

d)     问题分析：通过实际观察录像机计数器的工作原理，发现问题实质；之后进行模型假设，与已有物理知识，进行建模，确定参数，之后进行实际模型检验！

1 W  Z9 \- A" B/ a! q

5.    实物交换：
$ k+ c- L4 W( b& {  |
+ Q$ V8 ?( r1 ?' \, ^2 r: La)      问题描述：甲有物品X，乙有物品Y，双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。研究实物交换方案。
8 i& A& t: y6 U' P1 d" e' u; q# B7 l
b)     根据实际情况建立二维模型：(x,y)表示；
3 n; _7 a, V; h
' `/ j- `3 j# j, C' x6 Yc)      根据不同假设，进行不同建模处理。
; }5 j9 V3 w. X$ {
; }3 U! P$ [4 |6 y5 {

# d/ g+ G  N: y* K& F6.    传送带的效率：物理实际模型
: X) K) q2 t+ Z$ Q; X! e. m
a)      问题描述：工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩运走，若工作台数量固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多，在产品进入稳态后，给出衡量传送带效率的指标，研究提高传送带效率的途径。
$ I1 S% e9 F5 r$ O* D! D9 @
& S& m! T# q& R% @9 D# F1 ]8 _b)     问题分析：进行假设，之后因为衡量指标需要自选，所以需要根据实际情况做决定，确定指标。

c)      模型建立，提出提高效率的途径。
5 r3 B# E7 B7 u1 N& a% r

: k% Q2 U' a; p$ ^4 N5 C- g% k* k* w- z
2 w% ?& S% i( V( {7.    起帆远航：
7 F# F! b' ?4 q. Z. e
' R/ A  j5 a" }, sa)      问题描述：帆船在海面上乘风远航，确定最佳的航行方向及帆的朝向。
3 Q8 D; {8 J- r1 S+ o1 M
% h7 b' [; R% B8 m% ab)     简化问题：海面上东风劲吹，设帆船要从A点驶向正东方的B电，确定起航时的航向，以及帆的朝向。
# A1 R3 l  N9 y3 O) H0 |7 E; b
c)      问题分析：完全根据实际情况进行受理分析，进行模型建立，并求解。
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: c" @) L$ }: M+ Z" \
总结：
' i+ Y! X( ~5 Y2 G. D7 Y1 T
1.    席位分析：进行不同假设，得出不同模型，进行对比分析；
. D' J0 m" q$ i
/ \7 N# d1 T) d6 V0 r0 G2.    双层玻璃窗的功效：合理假设，根据已有物理知识，进行模型建立，分析不同情况，下结论；
7 \; r6 r8 L( t* ]1 L) V
3.    划艇比赛的成绩：合理假设，根据已有物理知识，进行模型假设，再实际数据可测量的情况下！进行模型检验！最后下结论；
# }9 P3 b& ~6 j% }) V
( \# K* F8 [8 N7 _" r$ w% r. F: A4.    录像机计数器的用途：“机理分析”实物真实物理情况！之后进行假设，模型建立，参数估计（经常使用最小二乘估计），最后进行模型检验，之后下结论。
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5.    实物交换：二维建模，不同假设，不同原则，不同处理方式。

/ j/ x; e. c7 e  O$ y  ?6.    传送带的效率：根据实际情况，与已有知识，进行合理假设，建模分析，此题重在提出“提高效率”的途径！

3 a. u' C8 ^1 X+ P- f7.    起帆远航：根据实际情况，进行受理分析，在一定合理假设的前提下，进行模型建立并求解。
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5 z7 Y) i2 m6 z3 ^0 W1 A0 g% g5 t, z
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