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7个入门建模实例讲解

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    发表于 2018-11-18 09:19 |只看该作者 |倒序浏览
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    第二章:初等模型(初等数学方法建模)" f5 Y# _' f% I, ~+ u
    1 k9 k- G* N2 V; e
    1.    席位分配:
    8 ^3 b" [$ ~1 k' {+ H/ p% v+ h# |8 l  Z
    a)      问题描述:三个系学生共200名(甲系100、乙系60,丙系40)。代表会议共20席,按比例分配,三个系分别为10,6,4席。
    7 ~5 M5 f/ |  a1 R* L& ?% t- a* N1 [9 w+ |- b' Z
    b)     问题存在:现因学生转系,三系人数分别变为:103,63,34.问20个席位如何分配?才能使得尽量“公平”。! N( M- x6 W: i( W

    , G2 h& C" \! \/ S4 T4 pc)      解决方法:提出不同的假设,进行不同方法的讨论,对不同方法进行对比分析(满足哪些公平条件),得出结论。
    5 S% U3 d- q! g+ X. \
    9 G3 ~0 C8 A+ [" e; j( ~
    ) l: y8 j* Q' ~. s% f
    + L5 n; Y6 s$ d4 {4 w! g2.    双层玻璃窗的功效:  S$ p9 Q/ }3 P! X

    3 ~- [$ B) [2 U# }! pa)      问题描述:双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比,减少多少热量损失?" b/ z& {1 f! a# |4 v; X

    7 M2 I" k; X' R! [3 jb)     问题假设:热量传播只有传单,没有对流;T1,T2不变,热传导过程处于稳态;材料均匀,热传导过程处于稳态。$ a8 \9 C- z9 y* H0 B
    $ S. @+ P& ?7 q/ Y) j) g+ Q! O
    c)      建模:热传导定律模型。(有公式)
    5 J; D0 a; x  D
    . v2 {5 B2 S9 H, b( [5 w0 Sd)     分析:属于“测试分析“类型,建模分析,计算得结果,下结论。
      n6 P' f) i: m5 h4 O4 Z+ P. S6 K$ D1 `
    e)      延伸:考虑实际情况,进一步分析下结论会更好。0 v3 u, o% L) I6 q* M; x8 U5 A) {3 f

    # E& G/ O9 e- d/ y+ d! |# T. ~1 }* P$ S( d2 H1 T+ ^9 w! T  Q0 I

    " L' e- [  m4 f( E* w3.    划艇比赛的成绩:; T  v/ `% ?$ ~5 d$ x
    ( t: T( e) z! u' x& o! i/ J
    a)      问题描述:对四种赛艇(单人、双人、四人、八人)4次国际大赛冠军的成绩进行比较,发现与桨手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。
    ' [; c# g! Q5 y0 g! N) `8 \
    ! `2 J4 i% j, k1 h& [: f( zb)     属于统计,数学模型拟合类型;9 d  E5 d9 i6 y) _
    % m/ z& x* R+ q8 P0 V  Y
    c)      问题分析:赛艇速度与桨手数量之间的关系:前进阻力与前进动力等
    ; A$ X# j" W* B7 C6 T' Y4 L$ u. n. a8 Z+ f6 Z2 K0 x- B, z
    d)     问题建模:作出假设,运用合适物理定律建立模型;
    / j4 S" p, h* s( G9 B+ `( A- {7 m% ?5 o. J4 O% W- o8 x+ p4 {
    e)      模型检验:最重要的一部分!即通过实际数据,使用最小二乘法进行模型检验!     6 I8 B; b* A7 o

    * E+ _  Z8 ~( Z5 l* F9 _9 v+ k  [6 K& [

    % ]7 q2 P0 Q# |4 r- \7 a4.    录像机计数器的用途:机理分析
    1 ?2 q2 I3 d" ?, [) X# L5 ?, L3 d1 X
    a)      问题描述:经试验,一盘录像带从头走到尾,时间用了183分30秒,计数器读数从0000变到6152." ^7 P, x* G# K4 ~1 Y: S# M7 i
      D. b% k6 I0 M* B. K
    问在一次使用中录像带已经转过大半,计数器读数为4580,问剩下的一段还能否录下一小时的节目?
    3 v7 n' S$ t: f6 u5 [6 F) Q! M3 u& Q1 \( _: o
    b)     要求:不仅回答问题,而且建模计数器读数与录像带转过时间的关系;
    / ~% {2 y* \0 C. q8 Y% w4 X6 c  {$ k4 ~
    c)      思考:计数器读数是均匀增长的吗?, A* x2 x3 n: T
    & J) f6 n6 D1 G: ?7 k. ~
    d)     问题分析:通过实际观察录像机计数器的工作原理,发现问题实质;之后进行模型假设,与已有物理知识,进行建模,确定参数,之后进行实际模型检验!
    2 z% j$ T$ l# E: E2 g1 r. h9 d  \5 q$ [

    3 G, `0 }6 D/ A* l: D1 t
    5 d9 b1 [6 R9 `' ?& e, r, Z5.    实物交换:
    6 ]" D! s( Z6 @; i5 z8 U6 ^8 t- J: H! B" Z8 ~2 U* C5 p$ U$ W8 K
    a)      问题描述:甲有物品X,乙有物品Y,双方为满足更高的需要,商定相互交换一部分。研究实物交换方案。
    : y* S& w; Q4 s& ^5 p# {
    + ?" _/ x( Q$ U9 G0 k2 kb)     根据实际情况建立二维模型:(x,y)表示;8 e1 W! C2 q& H9 ]( C" B3 Z
    6 v# a1 r$ T- K5 r
    c)      根据不同假设,进行不同建模处理。: d. [8 G+ H! R$ m1 Z0 ], p) o6 h/ l/ o

    ( ]+ a7 Q+ I  j7 V; m6 s# z  \2 t: v4 M4 z! m4 `+ j7 O

    1 Y* O& r5 ^1 a8 G6 K6.    传送带的效率:物理实际模型5 ]# d  W+ o2 e0 ?7 Q

    3 J% X$ k' x! L3 T% A2 Q" W* R' d; b5 c+ Ra)      问题描述:工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩运走,若工作台数量固定,挂钩数量越多,传送带运走的产品越多,在产品进入稳态后,给出衡量传送带效率的指标,研究提高传送带效率的途径。" ?8 E! c5 M! w1 k1 g

    4 ~) c# x) B+ gb)     问题分析:进行假设,之后因为衡量指标需要自选,所以需要根据实际情况做决定,确定指标。
    % K/ M! x* f/ W( a. |% `! u9 _
    8 F6 s0 ^9 L6 g. t# ~c)      模型建立,提出提高效率的途径。( a+ d! h# d" n/ ~* C# Y5 ^
    . U! I4 \! k" }7 w$ L

    + O& H4 R8 r0 K$ o
    ! m, `; B% W6 q" y7.    起帆远航:+ \9 l' \7 d# n) L; t
    - S5 _. Z8 K. z: O" L7 C: A
    a)      问题描述:帆船在海面上乘风远航,确定最佳的航行方向及帆的朝向。  V; \, ]  ?  Z" B1 `& y: K7 c5 @
    9 G! X: N" g# v7 U& q6 }' P
    b)     简化问题:海面上东风劲吹,设帆船要从A点驶向正东方的B电,确定起航时的航向,以及帆的朝向。
    0 X9 b6 e8 X: U1 |$ @- y
    $ q2 l. t1 @0 cc)      问题分析:完全根据实际情况进行受理分析,进行模型建立,并求解。
    $ P9 s/ h% ^. r# r5 f
    , r8 x9 x+ \+ g0 E' @3 Z: y7 q, L- }" s/ C! B% N
    总结:- ~' L: S, {9 O0 _* N

    ! a; s4 n* `5 e) K3 [$ C+ I8 L- _& F" F1.    席位分析:进行不同假设,得出不同模型,进行对比分析;  l; w4 L% q! v: d' Q2 C0 e( h
    ! x" x  F% t1 h( n* H
    2.    双层玻璃窗的功效:合理假设,根据已有物理知识,进行模型建立,分析不同情况,下结论;% }3 \4 n: k$ ?5 b- K5 o+ m' |4 C) g4 J

    9 g- _6 k/ f! X' K3.    划艇比赛的成绩:合理假设,根据已有物理知识,进行模型假设,再实际数据可测量的情况下!进行模型检验!最后下结论;
    ' G" c( V+ R! A8 k7 p8 m6 }) ]8 W0 o
    0 a6 z) ^5 s' U  l2 ^/ S0 v4.    录像机计数器的用途:“机理分析”实物真实物理情况!之后进行假设,模型建立,参数估计(经常使用最小二乘估计),最后进行模型检验,之后下结论。
    2 u' l: k: J8 c0 m# G
      `, q9 Q. J6 L: p3 ^6 S# K5.    实物交换:二维建模,不同假设,不同原则,不同处理方式。
    3 S8 y8 {8 @! d5 T8 H  |
      d/ u" _4 C/ |* I$ Q6.    传送带的效率:根据实际情况,与已有知识,进行合理假设,建模分析,此题重在提出“提高效率”的途径!
      u( h$ S: h7 @4 F6 E2 I& S+ V( ^2 q
    7.    起帆远航:根据实际情况,进行受理分析,在一定合理假设的前提下,进行模型建立并求解。0 R3 J* ^  M: n1 `
    ---------------------
    4 A- D: i4 ~  m. k$ m4 k  t( c, O2 r& K6 S/ ^
    , C  d6 R: u+ h
    ( |1 q0 [5 U; p' L0 q$ l
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