解析概率论的一个悖论

风雪共舞

解析概率论的一个悖论

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( {  c: [# a$ s（全方见附件）

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问题来自美（南加放大学）著《概率论基础教程》——原书第6版33页例6A。


原题：
7 q, T6 D5 z6 g: w8 s8 p, V) ~假定我们有一个无限大的罐和标号分别为1，2，3，……的球的集合。考虑如下试验，在下午差1分12点到12点将1~10号球放入罐中，并将10号球抽出（假定抽球不花时间）。在下午差1/2分12点到12点将11~20号球放入罐中，并将20号球抽出。在下午差1/4分12点到12点将21~30号球放入罐中，并将30号球抽出。在下午差1/8分12点到12点将31~40号球放入罐中，并将40号球抽出，如此继续下去，我们感兴趣的问题是，12点时罐中共有多少个球？
5 D! T3 ~& }0 O  A% V问题的答案是很清楚的，在12点时罐中有无穷多个，因为标号不是10n(n=1,2,3…)的任意一个球在12点前被放入罐中没有被抽出，因此，当试验按上述方式进行时问题得到解决。
: Z( _' V+ K7 A* ]) e/ a然而我们现在改变试验方式，在下午差一分12点到12点时将1~10号球放入罐中，并将1号球抽出；在下午差1/2分12点到12点将11~20号球放入罐中，并将2号球抽出。在下午差1/4分到12点将21~30号球放入罐中，并将3号球抽出。在下午差1/8分12点到12点将31~40号球放入罐中，并将4号球抽出，如此继续下去，对这个新的试验，12点时罐中共有多少个球？
  B) V# d5 c( M) _3 E我们十分惊奇的发现，答案是12点时罐中是空的！因为考虑任意一个球比如说标号为N的球在到12点某一时间段，这个球已经被从罐中取出。因此，对每个N，标号为N的球在12点不在罐中，所以12点时罐必为空。
* W3 ?* ?$ C! i: j0 s9 w通过前面的讨论我们看到，不同的抽球方式得到不同的结论。在第一种情况下，只有标号为10n(n≥1)的球被抽出，而在第二种情况下，最终所有球都被抽出，现在我们假定从这些球中随机地选一个球，并将其抽出。即假定在差1分12点到12点之间将标号为1~10的球放入罐中，并从中随机的选一个球将其抽出来，如此继续下去，在这种情况下，问12点时罐中有多少个球？
  I+ x+ ^' \8 N: u- t) h& g2 e% Y1 u
作者证明到12点时罐子里为空的概率为1

baofuguang

作者证明到12点时罐子里为空的概率为1

kfc315

看一看，貌似很有趣。

skybirdabc

no idea......

余江平

我感觉第二种试验中抽出的球与放进的球虽然都是无穷，但两种无穷不是等价的。无穷减无穷不一定等于零！

artin

只是一个理论上的游戏，没有实际操作可能。对于第二种情况，可以证明对任何一个球，在12点前已被取出。
, b# q7 ~  X. z! G. m对于第三种情况，可以证明概率上12点时罐子里为空的概率为1。但其不能成为悖论。因为第一种情况虽然是其中一种取法，但其概率为0。
概率为1，不证明是全部，概率是0，不证明不出现。
3 x- P4 S9 F7 F; ?如在[0，1]均匀分布，随机选一个数，挑出无理数的概率就是1，但不证明【0，1】间没有有理数。
更简单的，随机选一个数，挑出数小于1的概率就是1，但不证明1不会被选出。

amanda_001

。。。路过

wolfabc

其实，大家不要生气，概率论其实很多时候都是错误的，对于真实的世界来说！我们是混沌的，跳跃变化的
; `+ K$ `8 U$ {7 u* D* C上面那种情况有可能存在的！