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Mathematica-用 ContourPlot3D 绘制多面体

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    [LV.4]偶尔看看III

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    数和光的世界

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    发表于 2020-3-24 15:49 |只看该作者 |倒序浏览
    |招呼Ta 关注Ta |邮箱已经成功绑定
    曲面除了可以用参数方程的形式表示之外,还可以用隐函数的形式表达,即表示为 F(x, y, z) = 0 的解。这种曲面又称之为等值曲面,因为曲面上的每个点都满足 F(x, y, z) = 0 这一条件。Mathematica 提供了绘制等值曲面的函数 ContourPlot3D。不过在这篇文章里,我们并不用它来绘制各种婀娜多姿的曲面,而是尝试用它探索、绘制一些"多面体"。' C# W  t  O- `. Y
    从最简单的开始4 d* k* v1 [+ X% g
    让我们从最简单的,大家耳熟能详的球面方程开始:
    , R9 S! C, [# I4 Z 11.jpg
    + [% I# y" c, Z% b方程 x^2+y^2+z^2==1 的意义非常简单:每个点到原点的距离都是 1,这就形成了一个球面。相比较之下,球面的参数方程就不是这么简单了:
    : e8 R' o  i$ k( L' Q' G; N3 A2 m多面体" i( h$ W' O& P/ ]* N: Y+ w6 Y
    从球面方程出发,我们可以看一下更一般的形式,比如 x^n+y^n+z^n==1 的图形是什么样子的:
    & R" y( ^8 H/ o% s" T1 K 13.jpg
    & D" B  ~: M% J# C可以看到随着 n 的值不断增大,方程表示的曲面越来越接近一个立方体。这是为什么呢?我并不能完全解释,只能提出这么一个猜测。考虑如下表达式:1 v5 L  W5 `: L5 p$ t# d. Q. ?
    02.png
    - [! [# q4 b. L, F这是 Lp 范数的定义,当 p 趋向于正无穷时,上述表达式的极限是:
    1 K% C+ }+ l& F9 @ 03.png
    ; T# K8 E* f' g" V! o. g, E
    也就是 n 个绝对值中的最大值。把这个结论放到我们的方程 x^n+y^n+z^n==1 上,当 n 不断变大时,在不同方向上就不断接近 | x | == 1、| y | == 1、| z | == 1 三个方程,而这三个方程恰恰是立方体的六个面:x = ±1、y= ±1、z= ±1。根据这个猜测,我们只要能知道多面体各个面的平面方程,就能类比的求得类似上述立方体的“多面体渐近方程”。更进一步的,多面体各个面的平面方程,只要知道面法向量就可以确定平面方程了,如果面法向量是 (a, b, c),则成对的平面方程就是 a x+b y+ c z = ±1。
    利用 PolyhedronData 可定义求各种多面体法向量的函数如下:
    - S; |$ U& E2 g% F/ ]( C
    14.jpg
    ( G3 z8 i) K3 E$ ^' T8 F接下来就让我们用实际计算来验证一下这个猜测吧:- q- ~; }: ~. P+ i  k
    正八面体

    - o" T8 R2 t# w- G4 {# G
    求正八面体的法向量:
    04.png 1 G+ B& [' Z/ Z% z: c
    化简并去除方向刚好相反的法向量,因为之前方程的常数项 ±1 可以由一个法向量得到两个相对的面的方程:
    3 E3 H4 ?2 p  ?, _5 I9 i5 b 05.png - y! h; Z: R) t% v$ ]' h0 j
    然后就可以根据这个求八面体渐近方程了:" ^& _- Q$ i4 v# d) a& ~1 \
    06.png
    : P5 i/ S$ Y4 S  s 15.jpg ' Q2 F9 t& W8 G0 L1 q
    正十二面体

    - p6 c- `9 q; y; y- ?  {
    正十二面体的法向量:
    07.png & \0 K$ Y' W$ f" ~
    ) z+ u$ ?4 _6 u$ F
    化简并去除方向刚好相反的:+ I9 K! U* O2 h' q1 W, n
    16.jpg   ?! j! G* s# v" {) g
    隐函数表达式:
    3 l2 x; {3 J: O+ W; y
    08.png
    6 s! q2 H0 b- O. i. j: O7 @6 Z/ @0 d2 f: r
    为了计算方便,我们用数值近似取代根号形式: 09.png 绘制图形,可以看到,随着次数 n 的不断升高,图形越来越接近正十二面体:) o; ]' p7 Q; P8 \2 E* r( Q
    17.jpg
    : {& h$ ~6 r( t$ L- Z" i* Z: E# @
    十二面体
    4 i2 `5 _/ {+ r7 i# L1 _" k. f
    计算各个面的法向量:8 P7 t% B% J! X6 N
    10.png ; Q% R* K% ]# S9 n1 q+ Y
    化简并去除方向相反的:
    18.jpg + ?% x; J8 G3 Q9 H8 W- _
    1 e4 ]- a9 T, R# v8 K5 e
    得到方程左侧表达式: 19.jpg 9 w; C) p. q2 w' w! U7 B
    为了计算方便,取近似值:  p/ H) J# p" x9 n
    20.jpg + C2 w8 G% O& j2 ?4 A
    绘制正二十面体的曲面方程:
    21.jpg ! K3 ~  Y8 {6 O% K4 y
    绘制正二十面体的曲面方程:
    22.jpg
    6 X* t8 k1 p0 r2 \
    复合多面体
    从上面的计算可以看到,根据猜测做的推论基本上是对的:确实据此得到了各种正多面体的渐近方程并成功绘制了出来。但同时也可以看到,这种方法有很多局限性。首先,所生成的多面体必须有平行的相对的面,这样采用的法向量才能一个顶俩,发挥应有的作用得到对应的多面体。五种正多面体里,只有四种满足这个条件,还剩下一个正四面体不能用这种方法表示。其次,用这种方法只能表示凸多面体,所谓凸多面体,就是内部任意两点的连线仍然落在内部的多面体。这两个问题都是可以解决的,解决方法是引入指数函数。7 w. `! s6 m7 t/ W
    正四面体
      g* V9 h& k  v' i9 A
    计算正四面体的法向量:  I# s+ n9 ?& x% S6 U" _( p# K4 e5 I
    11.png
    化简:
    12.png 如果用之前的高次方程的方法,那么只能得到一个朝向比较特别的正八面体,因为每个法向量都生成了两个平面: 13.png
    5 _$ T; q) a, K 23.jpg ( u- P2 f* v/ }0 c$ P- d) r' N
    而改用指数,则可得到如下表达式:5 j0 Q4 W( H$ p7 O+ @
    14.png   U. w# m0 l: r. T0 J- F2 l  y  k
    以此作为隐函数果然可以画出正四面体:' v! G, i5 O1 @- I% z/ _4 ?
    24.jpg
    $ c8 u' S" ]( m' U, p1 G# h0 _9 }$ ?
    为什么这样可行?我也只能给个近似的猜测:对 E^(a x + by + c z)==C 这样的方程,两边取对数就是 a x+ b y+ c z==log C 这就是一个平面的方程,把几个这样的平面方程加起来,就"围成"了一个多面体。而指数的增长保证了每个方向上不会受其它项的影响,保持大体是个平面。

    ; z* G  r% ^4 M- e* I
    另外还值得指出的是,可以在指数上再加次数,让这样生成的多面体的边缘更加"锐利":
    ! f& z) P7 [+ ~' g  l/ w, {* ~
    25.jpg
    4 O9 \3 R# p5 r; @
    星形八面体
    在各种各样的多面体中,有一类多面体可以看作是若干基本的多面体彼此叠合组成,我们称之为复合多面体。比如下图所示的星形八面体,就可以看作两个正四面体彼此叠合而成。( Y8 i$ T) ?/ S+ V3 ~
    26.jpg
    4 O0 e: X' J7 d4 v观察这个复合多面体的面的组成指标可以发现,前四组只包含顶点 2、4、5、8,后四组只包含顶点 1、3、6、7。这恰好是各自组成两个正四面体。我们可以照样算出这八个面的法向量,然后分组各自生成两个正四面体曲面:
    5 p( w$ H, G. O$ _9 h2 w3 k3 L 15.png
      @1 X" h. W- z# G; F2 F求法向量,化简并分组:2 D- l* D" n; |" ^1 H
    16.png
    8 E* J) h' T4 V9 G+ Y9 C得到两个指数和的表达式:! X: E5 C) Z& j1 E
    17.png & a8 a) s& m7 [! W7 l6 n0 [3 n. x
    分别绘制可以看到两个正四面体:
    1 _7 M7 T5 [( X, m8 I5 F 27.jpg
    9 K* K% h: z# D如何从这两个四面体得到想要的星形八面体呢?直接相加肯定是不行的,那样得到的就是正八面体了。这里我们采用 The Nature of Mathematics and the Mathematics of Nature 一书中提到的一个小技巧:把两个方程表达式再次放到指数上。这个技巧称为 Exponential Scale:1 f8 ^% j: x  f
    18.png ( p8 G1 p( O0 M+ }" [. y
    可以看到,这个方程确实可以绘制出星形八面体:9 ^( I" c7 S0 @" l- z( i$ h8 E- {  W
    28.jpg - X# W* i/ S8 ?& m" r
    可以把旋转观察这个星形八面体曲面的过程输出为动画:2 T( `4 L9 A7 p
    19.png " G% m: N2 I. Y3 Z2 s- t: Z1 `
    20.png
    - Y4 n% l) w  p* u, S3 V 微信图片_20200324153944.gif ) ]5 p) {( Q! X" a& C" [  Z
    五复合正四面体

    $ G  e, t8 p! W9 O+ }3 J6 F
    我们可以再举一个例子,五复合正四面体,这是由五个正四面体内接于一个正十二面体形成的复合多面体:
    29.jpg 9 \- l- e, @- d2 Z
    照例求面法向量,化简并分组:
    30.jpg
    # @9 T8 C) Q; `2 O/ V. k1 q4 R, U, e, h9 u: {; h
    得到方程:
    ! M8 v1 F  K4 _% ^0 w! |! X 31.jpg
    . d/ B% G& O9 B5 c* c7 ^% T9 t) l$ V
    绘制可以得到五复合正四面体的近似曲面(警告:由于项数太多,运行绘制速度很慢,运行时请耐心等待):
    32.jpg
    ) [) c0 F/ j4 W8 n; @7 I( E3 D
    ' @4 F* A$ K4 Z. E+ r
    我们也用它生成一个旋转观察的动图:
    33.jpg 8 `+ V) w! a; `$ |2 C& }
    - r0 H5 Y$ A9 D% Y2 x1 p
    微信图片_20200324154410.gif
    % s7 j2 b; L4 @( _# g
    更多的复合多面体

    4 h4 T) w% E& |' C只要是由凸多面体组成的复合多面体,理论上都可以用上面的方法,先求得各个多面体的方程,然后“抬升”到指数位置,得到复合多面体的方程。Mathematica 提供的PolyhedronData 函数里有许多复合多面体,我全部列在下面,感兴趣的读者可以自己实验生成想要的复合多面体曲面。) e3 T- L2 N  G$ w
    21.png
    - V" n; L+ i8 H' a0 N3 H- s 34.jpg ! v$ j7 o9 S* l
    对此有兴趣的,欢迎联系我们共同探讨。
    0 ?3 D( s  y" Dmarket@asdoptics.com 8 W& M  Q+ M* z. u+ t" _& b% e
    www.asdoptics.com
    $ @. f/ r  V+ p7 z' n% K8 V" [- }1 p3 M# J

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    12.jpg

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