Mathematica-用 ContourPlot3D 绘制多面体

Asdmath2020

曲面除了可以用参数方程的形式表示之外，还可以用隐函数的形式表达，即表示为 F(x, y, z) = 0 的解。这种曲面又称之为等值曲面，因为曲面上的每个点都满足 F(x, y, z) = 0 这一条件。Mathematica 提供了绘制等值曲面的函数 ContourPlot3D。不过在这篇文章里，我们并不用它来绘制各种婀娜多姿的曲面，而是尝试用它探索、绘制一些"多面体"。
从最简单的开始
让我们从最简单的，大家耳熟能详的球面方程开始：
# x$ M4 g/ v' p' Z7 B
方程 x^2+y^2+z^2==1 的意义非常简单：每个点到原点的距离都是 1，这就形成了一个球面。相比较之下，球面的参数方程就不是这么简单了：
$ N4 E2 L4 q6 h9 u' Z多面体
从球面方程出发，我们可以看一下更一般的形式，比如 x^n+y^n+z^n==1 的图形是什么样子的：

9 d) g0 Y9 V8 v+ m% K8 G可以看到随着 n 的值不断增大，方程表示的曲面越来越接近一个立方体。这是为什么呢？我并不能完全解释，只能提出这么一个猜测。考虑如下表达式：
/ G8 ]3 f' {3 V; Z# e8 _: y  K8 Q& ^4 e
* D8 i2 x. F* |% V  G0 F& \这是 Lp 范数的定义，当 p 趋向于正无穷时，上述表达式的极限是：

0 d: r8 k7 ]; p" y

也就是 n 个绝对值中的最大值。把这个结论放到我们的方程 x^n+y^n+z^n==1 上，当 n 不断变大时，在不同方向上就不断接近 | x | == 1、| y | == 1、| z | == 1 三个方程，而这三个方程恰恰是立方体的六个面：x = ±1、y= ±1、z= ±1。根据这个猜测，我们只要能知道多面体各个面的平面方程，就能类比的求得类似上述立方体的“多面体渐近方程”。更进一步的，多面体各个面的平面方程，只要知道面法向量就可以确定平面方程了，如果面法向量是 (a, b, c)，则成对的平面方程就是 a x+b y+ c z = ±1。

利用 PolyhedronData 可定义求各种多面体法向量的函数如下：

4 o! F/ n) z& @
接下来就让我们用实际计算来验证一下这个猜测吧：

正八面体

求正八面体的法向量：

. `* _8 W! r* U( ^4 C/ i: F1 c8 [化简并去除方向刚好相反的法向量，因为之前方程的常数项 ±1 可以由一个法向量得到两个相对的面的方程：
3 D- L/ T* L0 V% d/ D3 H' Q
然后就可以根据这个求八面体渐近方程了：

% ]) i4 c1 W3 y! x

正十二面体

正十二面体的法向量：

化简并去除方向刚好相反的：

! J1 c) |$ P+ p8 e8 n) @, u  B

隐函数表达式：

为了计算方便，我们用数值近似取代根号形式： 绘制图形，可以看到，随着次数 n 的不断升高，图形越来越接近正十二面体：

十二面体

8 f: ], x. D1 I! b! ^0 k计算各个面的法向量：

' b1 h  j" ^1 I4 o3 f( A( Z, G- u% S

化简并去除方向相反的：

+ x& q/ ~8 m$ u
得到方程左侧表达式：
# e7 ^7 c( D4 {6 X  ^为了计算方便，取近似值：

% u) l$ A' b- X- a4 p% X, }) N* j! R

绘制正二十面体的曲面方程：

绘制正二十面体的曲面方程：

1 w, U. p4 Q! E& r# C

复合多面体

从上面的计算可以看到，根据猜测做的推论基本上是对的：确实据此得到了各种正多面体的渐近方程并成功绘制了出来。但同时也可以看到，这种方法有很多局限性。首先，所生成的多面体必须有平行的相对的面，这样采用的法向量才能一个顶俩，发挥应有的作用得到对应的多面体。五种正多面体里，只有四种满足这个条件，还剩下一个正四面体不能用这种方法表示。其次，用这种方法只能表示凸多面体，所谓凸多面体，就是内部任意两点的连线仍然落在内部的多面体。这两个问题都是可以解决的，解决方法是引入指数函数。
3 w, b+ f8 b" ]* f$ U+ F+ _4 y

正四面体

5 Z6 ], s; m, Y6 c# e2 J计算正四面体的法向量：
5 ?6 }) o& C# @$ Y) G+ }

化简：

如果用之前的高次方程的方法，那么只能得到一个朝向比较特别的正八面体，因为每个法向量都生成了两个平面：
! _- k9 _, I9 O9 m2 V
8 _7 x" |# H, V% u& c而改用指数，则可得到如下表达式：
9 W8 c+ _7 |  m% W$ G
. O2 d0 n/ U% V" o) s5 o8 P- F! N以此作为隐函数果然可以画出正四面体：
' U; t2 x$ t0 L; n1 N, C. V  U
9 q4 {: p- Q: g+ z& S7 l

为什么这样可行？我也只能给个近似的猜测：对 E^(a x + by + c z)==C 这样的方程，两边取对数就是 a x+ b y+ c z==log C 这就是一个平面的方程，把几个这样的平面方程加起来，就"围成"了一个多面体。而指数的增长保证了每个方向上不会受其它项的影响，保持大体是个平面。

+ Z7 Q3 z# S9 t2 I$ N+ I& J5 u

另外还值得指出的是，可以在指数上再加次数，让这样生成的多面体的边缘更加"锐利"：

4 q) r8 N5 h' ?

星形八面体

在各种各样的多面体中，有一类多面体可以看作是若干基本的多面体彼此叠合组成，我们称之为复合多面体。比如下图所示的星形八面体，就可以看作两个正四面体彼此叠合而成。

6 {# u% L) I' ], z, Z( `4 s: Z2 M; u观察这个复合多面体的面的组成指标可以发现，前四组只包含顶点 2、4、5、8，后四组只包含顶点 1、3、6、7。这恰好是各自组成两个正四面体。我们可以照样算出这八个面的法向量，然后分组各自生成两个正四面体曲面：

求法向量，化简并分组：
: I7 A, Z, x' C. ]  S; Z
得到两个指数和的表达式：

1 L" C8 n! G( K0 N- ?5 I6 M9 Y分别绘制可以看到两个正四面体：
/ ?) G, I( n- s4 d6 V& _( g
如何从这两个四面体得到想要的星形八面体呢？直接相加肯定是不行的，那样得到的就是正八面体了。这里我们采用 The Nature of Mathematics and the Mathematics of Nature 一书中提到的一个小技巧：把两个方程表达式再次放到指数上。这个技巧称为 Exponential Scale：
% U' N( b! O, D" z
- e) k0 l+ Q8 N& X可以看到，这个方程确实可以绘制出星形八面体：

( b3 k3 V* ]$ f! T可以把旋转观察这个星形八面体曲面的过程输出为动画：
3 j3 h" l% h, r0 H
/ p7 p* S' n2 T, _9 I7 |0 o0 |& @
5 [$ y4 R4 ?7 @) @5 k; q! H. H, K, j

五复合正四面体

% B) W& n7 Y- z1 c7 z! a2 y

我们可以再举一个例子，五复合正四面体，这是由五个正四面体内接于一个正十二面体形成的复合多面体：

照例求面法向量，化简并分组：

. Q9 K4 \0 k- G7 }+ N' s/ [得到方程：

绘制可以得到五复合正四面体的近似曲面（警告：由于项数太多，运行绘制速度很慢，运行时请耐心等待）：

5 N. ?, R, \" Y. N4 Z

我们也用它生成一个旋转观察的动图：

$ ]9 B. ^# ~* Y$ h, l
& i' M; e; M0 w& Z/ [( ^9 M

更多的复合多面体

只要是由凸多面体组成的复合多面体，理论上都可以用上面的方法，先求得各个多面体的方程，然后“抬升”到指数位置，得到复合多面体的方程。Mathematica 提供的PolyhedronData 函数里有许多复合多面体，我全部列在下面，感兴趣的读者可以自己实验生成想要的复合多面体曲面。


" s$ g4 {6 q8 z0 Q  J- ~7 ^8 S对此有兴趣的，欢迎联系我们共同探讨。
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宏心

变幻无穷，无穷