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【数学建模】数据处理问题

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杨利霞        

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    [LV.4]偶尔看看III

    网络挑战赛参赛者

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    自我介绍
    本人女,毕业于内蒙古科技大学,担任文职专业,毕业专业英语。

    群组2018美赛大象算法课程

    群组2018美赛护航培训课程

    群组2019年 数学中国站长建

    群组2019年数据分析师课程

    群组2018年大象老师国赛优

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    1#
    发表于 2020-3-24 16:05 |只看该作者 |倒序浏览
    |招呼Ta 关注Ta
    3 R; K+ \6 F) \/ C
    【数学建模】数据处理问题
    & M  O8 ^4 z6 R: x8 F1 H一、插值与拟合
    " B7 ]6 x! c. M# S1 |' t8 N8 C1 r
    + A6 x( V+ N2 R5 p; I2 `常用于数据的补全以及趋势分析) K* c* j8 g9 @( {% X* ]; g
    + L/ Z2 ]5 G5 ^8 z9 }; x
    1、插值2 k* T* E" X/ \
      O2 K" d7 m7 e1 T$ s/ S
    总的思想,就是利用函数f (x)若干已知点的函数值,求出适当的特定函数g(x)。这样f(x)其他未知点上的值,就可以用g(x)在这一点的值来近似。这种通过已知求未知的方法称为-----插值。
    # i* ]0 g& ]0 @+ ]. t' ^9 u* Q6 n2 W. x7 r* P- n
    插值方法有很多,个人感觉样条插值spline最常用吧。。。其他感觉要么复杂要么不靠谱。" B7 |: ^; m  [( x% a9 {
    + |0 p% Z% M8 K0 p: ~
    对了,二维散乱插值有个方法叫v4,效果不错,拿来用就是了。。。
    * ?& B) x4 F  B8 r1 l) P% ^* K3 j, z) b3 L0 H  V3 i7 [
    基本内容:( L7 l5 _6 p( B$ E; }

    8 R5 T' c' X3 \, h! r一维插值
    & P8 p6 e4 T! _; t, Y2 e7 l+ \二维有序插值
    % D' T: `4 ?6 A3 @$ c# G二维散乱插值1 t# X( i  p6 \( ]# L% _
    基本语法:y = interp1(x0,y0,x,'spline');                %一维插值
    + p$ R$ k" B& A* \7 R4 z8 d%x0必须单调;x要落在x0区间范围内;x指的是待求的值+ p! j( p1 n) f

    4 [1 T5 r; h1 k%示例
    1 {* x8 V; E  p) h7 Mhours=1:12;
    $ h& t, O# U; J) X5 Ltemps=[5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24];1 H( N, Y. v- A4 q! K
    h=1:0.1:12;9 W' y9 o' S. Q& S. [
    t=interp1(hours,temps,h,'spline');
    . I" M2 ?2 R4 E# @1 F3 {" w+ G( S2 A. j$ ^% C# [, ]

    ' z. r6 d2 s" v$ C/ [) n" _. ey = interp2(x0,y0,z0,x,y,'spline');                %二维插值--规则点
    * m2 o' ?7 b) x( Y7 a8 R%x0,y0必须单调;x,y是一个是行向量一个是列向量;x,y要落在x0,y0区间范围内;(x,y)指的是待求的坐标
    1 f  O- |& Z) h6 T9 y: w1 B- P; J2 X) }2 W, x# x! \$ w
    %示例
    9 E2 K2 b9 [6 X8 i5 yx=1:5;
    % O3 J. s! R  Y) z, By=1:3;( D1 ~" v" w# G8 n- t
    temps=[82 81 80 82 84;79 63 61 65 81;84 84 82 85 86];
    9 ^& g) x4 Z" J# Z  Y. rxi=1:0.2:5;3 w: L5 M, m6 G. K, u0 k
    yi=1:0.2:3;
    9 z" W7 [: G: m% _( G/ }zi=interp2(x,y,temps,xi',yi,'spline');  j! V3 c1 I* |' n& R
    8 O' @6 {- E* V' g

      r& }2 j; s7 {, D+ |+ f- ^; g' W% D5 N8 i
    y = interp2(x0,y0,z0,x,y,'v4');                %二维插值--散乱点) U- j/ d2 {' ?0 ~) {7 G
    8 z8 ^( Z" O) l+ H! M
    %示例
    ( t- G4 ~0 L. Y9 Ux=[129.0  140.0  103.5  88.0  185.5  195.0  105.5 157.5  107.5  77.0  81.0  162.0  162.0  117.5 ];8 o) V! k( q2 J9 h" r+ a" m
    y=[ 7.5  141.5  23.0  147.0  22.5  137.5  85.5      -6.5  -81  3.0  56.5  -66.5  84.0  -33.5 ];! N7 j" h. W8 f7 U) i" y1 \! V$ ^8 E
    z=[ 4  8  6  8  6  8  8  9  9  8  8  9  4  9 ];$ K& L$ k, O  z  l% _
    x1=75:1:200;
    " d9 f) s; }" l5 {( K5 Ey1=-50:1:150;, k9 x7 W' d! Q! {  u
    [x1,y1]=meshgrid(x1,y1);: E- |8 T6 ^. V3 [: R
    z1=griddata(x,y,z,x1,y1,'v4');
    ; V: b8 _0 g0 ~' C, j2 P! s  k( d
    . R8 v2 _  a  N
    , r8 N6 A1 f2 {" c+ \5 I' M( P2、拟合:
    5 K) R" P3 f3 h# a5 [
    * s) N' Q! V/ J$ F% Y, v4 K+ v" j总的的说,已知一组已知数据,寻求一个函数y = f (x),使 f (x)在某种准则下与所有数据点最为接近,即曲线拟合得最好。
    8 N/ H2 Z6 F& {; g* C' `* Q$ b按照函数的不同,可以将拟合问题进行分类。
    3 r" ^3 \  ]& e) Q9 Y" o感觉多项式拟合比线性最小二乘法实用多了,就合并了吧23333# ~( ~1 ^0 L+ |8 p/ b5 \) U3 R4 @
    8 [) X: i$ S; r4 s/ z* F: v
    基本内容:7 q( O- x# g, l/ ]* P4 U3 L
    a=polyfit(x0,y0,m)                %多项式拟合,线性最小二乘法就是使m=16 B" B1 }% A' Z- h( q! D7 {- F
    %m是最高次项系数,a返回m+1维向量(还有一个常数项系数)) H, ]' f! W* j

    9 |0 Q" z0 a0 T: R%示例:$ z: t0 D  Y0 m& \3 Y  U
    x=[1 2 3 4 5 6 7 8 9];
    + p8 E, C* R: q& py=[9 7 6 3 -1 2 5 7 20];, Y! E, R; l8 z) _0 Y
    P=polyfit(x,y,3)/ c7 t( M0 N/ `: K# l" O4 J0 p- t

    * l4 M% w9 M) e/ D. P* V! O
    , v+ V3 I0 u& @; ?% W%指定函数拟合---看着头晕,贴一段代码要用直接调参就行
    ) r& g  s, a2 V& l: J; @+ Bsyms t;
    . G# S; N. X" V) Fx=[0 0.4 1.2 2 2.8 3.6 4.4 5.2 6 7.2 8 9.2 10.4 11.6 12.4 13.6 14.4 15];! D7 h) k( A% r$ ]9 _1 a) M5 K. G
    y=[1 0.85 0.29 -0.27 -0.53 -0.4 -0.12 0.17 0.28 0.15 -0.03 -0.15 -0.071 0.059 0.08 0.032 -0.015 -0.02];
    / x- b* F; j  j) F& |& f4 M/ n) [f=fittype('a*cos(k*t)*exp(w*t)','independent','t','coefficients',{'a','k','w'});        %输入要拟合的函数,以及参数,自变量等,自定义拟合函数
    ; b  Q. {5 W6 P$ ~* V. W' |$ f* ]cfun=fit(x',y',f)  %显示拟合后的结果# Z- B  Y) T! _  V% G% x0 t
    xi=0:.1:20;7 I  G3 Q3 R# g
    yi=cfun(xi);
    ' J; T6 @" \4 Z! ~6 uplot(x',y','r*',xi,yi,'b--');, d' Q" b4 {, e! W- S

    # Q4 t8 R/ o6 }
    % s. [. h! F  n区别:
    ; ]$ v, n, @  ]* u) K7 X* v. W; p' K插值一般经过所有数据点,拟合不一定经过所有数据点$ J% j. X$ J: u2 D- Y
    插值不一定得到近似函数的表达形式,仅找到未知点对应值。拟合要求得到一个具体的近似函数表达式。
    5 Z' |) g1 N- V  h通常建议:数据比较准确,用插值;数据误差较大,用拟合) g& l& r+ ^4 y. m' F
    参考资料:
    * L6 u/ G# G( `+ }) H" m% C
    : r2 p+ [' u4 K& J数学建模之拟合插值方法! X' e2 S) w2 ^4 K: Q2 F! G* ~
    数学建模-插值与拟合模型
    % E& k: X& g7 _, @数学建模常规算法:插值和拟合
    $ a9 A1 d8 ?  y/ Q
    % Q! R9 |/ B( V/ X6 f( n二、K-means聚类与高斯混合聚类
    / |  _0 s# h) Y9 s0 n/ V* y' Z7 V9 @" b% N
    常用于数据异常值诊断与剔除。
    0 S1 S4 V3 j! V7 v" d) Z! u通过聚类检测离群点,进而进行删除/ w  t  u8 l& v+ ]) ]

    ' J7 R" X6 c# O/ \8 J1、 K-means聚类
    " y2 b- P" J! ^: V$ y* {/ |. W/ v8 i; I8 Z
    2、高斯混合聚类  Z$ Z/ l' I4 @: c

    9 A- s: P! b( r& i- h: A涉及到聚类的知识,怪复杂的,等学到聚类再写吧。。。
    1 ?0 F+ h( f& x8 y+ @# r9 g# \三、主成分分析% e* c, r+ i9 h- y5 W
    0 ?! T' ]2 j( R5 g) t1 ?
    常用于多维数据的降维,减少数据的冗余6 q, }, |" u) M! [/ y7 R1 e* g
    , E4 S4 r1 {# J4 {7 G, M' b7 P6 p
    ​主成分分析(PCA), 用于将多个变量通过线性变换以选出较少个数重要变量。  M& t' Q6 G! x0 U8 {

    & {0 M- w8 o) Y8 k, N# O' ?主成分与原始变量之间的关系:, E, O1 x5 p, z: x

    ( y: U$ t8 l3 a( A9 h​ (1)主成分保留了原始变量绝大多数信息。
    5 d" Q+ O; [9 Q9 \0 N6 t0 z) l- i2 m/ d& f& ~
    ​ (2)主成分的个数大大少于原始变量的数目。* s& U$ S/ K; K# p4 r+ S: }

    ) k9 g& I; S3 q& ~  i1 o/ \​ (3)每个主成分都是原始变量的线性组合。4 Z1 ?: ?3 A! Y! l5 F

    7 S9 O1 ?. s+ j& a# S​ (4)每个主成分的贡献率不同。
    : A7 R: D/ K5 e, V# j: A; t; e
    " u& Q/ b6 W& |6 Z) S# i/ t; Z​ (5)各个主成分之间互不相关。
    % H& P' R# ^, w' l- [3 f) [3 X. H( E+ L8 }$ d6 ]
    处理步骤:
    $ b. I9 i9 |+ D- D
    $ F1 \8 }7 W) Z8 @* Z5 {* `+ P* t. T数据标准化' ^0 ?4 x" m$ x$ q1 J; {/ V
    计算相关系数矩阵' ?" q9 t( c1 a4 ]3 q% ]
    计算特征值与特征向量
    1 l) i: ^; r! D$ |求出贡献率与累计贡献率(一般累计贡献率达到85%即可)! x8 {6 e4 v. g2 a$ o' n. A
    计算主成分载荷(即线性系数)与主成分得分% e7 R& g2 A; g
    代码:
    ; K& d9 x* x2 X; j. L  s8 A# f$ u%示例:%示例:
    0 E! H+ I1 g, N. O+ hda=xlsread('data.xlsx');
    # A1 e. [& v6 R+ X) M%%标准化矩阵
    , R# Y+ |% c9 \: y8 I- P% xda=zscore(da);) m( D  Y4 G" }# O
    fprintf('相关系数矩阵:\n')
    + {  \' p4 o! z( b+ P" zstd=corrcoef(da)              %计算相关系数矩阵
    ( c" U& L) Z7 I0 q1 \, d[vec,val]=eig(std);           %求特征值(val)及特征向量(vec)
    ; X. o6 m/ q/ r8 [1 a5 u1 S) g& _+ lnewval=diag(val) ;   
    2 M$ T' |; j* n9 N  C- e[y,i]=sort(newval) ;           %对特征根进行排序,y 为排序结果,i 为索引 1 w' G! C1 h, h9 B
    fprintf('特征根排序:\n')1 y+ j- S9 K. f: H) H8 r
    for   z=1:length(y)     
    - H+ `8 A, B3 C; ?9 Q: @    newy(z)=y(length(y)+1-z); 4 s5 G0 }( d# m- s) F
    end' V; J' J) f3 r  h) }' C
    fprintf('%g\n',newy)          %%显示特征根1 b' ~' m# I+ M4 ~& V
    rate=y/sum(y); 5 E# U  G3 K; u' X* I
    fprintf('贡献率:\n') ( c3 ?8 m. n0 ^+ }' g( l: c- B4 L
    newrate=newy/sum(newy) 3 D/ }1 o$ t7 w6 s% N
    sumrate=0;
    * D9 u* x, x* _/ P! z6 e& Q7 jnewi=[]; ! z5 [) S% y+ t
    for k=length(y):-1:1     
    / h% W# \! N: m    sumrate=sumrate+rate(k);     
    6 r- ?# o# Y& y: |0 b    newi(length(y)+1-k)=i(k);     
    " w0 p1 p. p3 }9 t8 r    if sumrate>0.85                 %记下累积贡献率大于85%的特征值的序号放入 newi 中
    ; u9 x) X4 U) t" ?1 f+ z* y        break;     
    9 c2 \9 p+ [) ]    end$ l1 q2 y6 j1 E2 ?' o3 `
    end      
    ' ]& U0 q- W1 Q& p8 Xfprintf('主成分数:%g\n\n',length(newi));
    # }9 L" W1 S# a; H" K1 g9 gfor p=1:length(newi)     
    ( {9 O& A2 H% L( X6 ]5 P; p% a    for q=1:length(y)      * u+ d1 V+ S5 L+ c: x
            vector2(q,p)=sqrt(newval(newi(p)))*vec(q,newi(p));%%%主成分载荷     * V3 e$ B6 o  ~6 Q, R
        end! w, n$ F3 F- r0 ^+ T3 U
    end
    ; z) }5 M/ w3 S. l! |& Pfprintf('显示载荷:\n');
    0 c, G& A1 H) B- J  T/ y- u$ Jdisp(vector2); %显示载荷 %%%求各主成分得分 ; X8 J& m  I- ]0 T
    sco=da*vector2; + M2 K. Z+ k1 e5 y; H: B
    csum=sum(sco,2);
    ( V7 U& \/ t" Y; y  d[newcsum,i]=sort(-1*csum); # ]% ^+ J6 A. D+ U% c8 E
    [newi,j]=sort(i); 3 }! r$ o: \; E8 L* }3 A
    fprintf('计算得分:\n') %得分矩阵:sco 为各主成分得分;csum 为综合得分;j 为排序结果
      y0 w9 w/ ^/ _8 I) S( s* T( b2 H+ j8 s* qscore=[sco,csum,j]4 A0 q- e" s& \, ^) e) ?0 z

    : e( i/ c5 i6 N参考资料:; D! Z# q/ ~# Y5 ?& ]
    关于主成分分析matlab代码实现的总结- D9 z4 z# A4 b. K1 ~8 E
    数学建模算法笔记(2)——主成分分析+ j0 J: G9 l1 W5 o
    数学建模之主成分分析matlab
    5 Z& ~5 E: j& @数学建模之主成分分析法
    ) ~  c* N: ?6 l) X" V0 T! `8 E9 S3 ~6 _3 A2 G' W
    四、方差分析与协方差分析
    ' \. T6 G9 |; k8 r4 V1 J' S3 e$ o' m! J. p
    常用于数据截取与特征选择。通俗的来说,就是判断某个特征对结果对影响是否显著。
    ! S: O7 R( L: ?* g7 C
    ) D' l# v2 E. Z1、方差分析
    7 S1 [  _3 u* h1 G( k# @
    ! [7 D: z- i9 _; e% i0 i. D(1)单因素方差分析
    ) F0 {5 Q/ t8 [, K6 b- l: I% F" J( F8 p, n  X- t; H
    维持其他因素保持不变,仅仅对一个因素进行考虑并计算方差,这称为单因素方差分析。8 \; S; R# _' [* i3 d

    4 Q( L% |. f( W2 f* @# S: J4 @! ^数据集分为均衡数据(各组数据个数相等)与非均衡数据(各组数据个数不等)。
    $ F' b2 u" ]8 @( j%均衡数据
    - `& z+ b* c! v; j2 Op=anova1(x)                %p是一个概率;x每一行代表不同样本,每一列代表特征中的不同序号
    ) v: k3 m: f0 f  w, d( S6 ]$ Y% a& L4 ]6 g3 j% ~5 a% g$ ~
    %示例
    7 o6 p7 x) o5 f! {' q) Ex=[162 158 146 150
    9 L, h" O) R) n8 r+ r  H. n3 a167 160 154 155
    & N: V  B4 |8 ^/ D3 R2 b170 164 162 161! x& \4 ]- p( U
    175 172 168 180];2 X" i2 V2 [4 Q9 d7 o

    + l' f/ l' f8 ^7 dp=anova1(x)
    3 X  V6 ]& L4 Q* W8 R$ v' W- w/ b
    ! x3 R$ \8 o3 ~, M6 g7 Z# k
    3 L% T) W3 S* A: V
    求得 p=0.1109>0.05,所以几种工艺制成的灯泡寿命没有显著差异* `2 I- u5 z$ q& U+ h% g
    % p* k+ `' D7 a0 v  w4 t. E
    %非均衡数据2 ~5 d$ k1 G* m8 C
    p=anova1(x,group)        %x为向量,从第1组到第r组数据依次排列;roup为与x同长度的向量,标志x中数据的组别(在于x第i组数据相对应的位置出输入整数i)4 N' s2 O/ k, @( {& d
    2 w- q! r3 l+ f$ j
    %示例% c1 c& o( n2 T
    x=[1620 1580 1460 1500
    9 `( K/ M5 {5 l- M; J8 e1670 1600 1540 1550
    ' ?* U( c9 k& _1700 1640 1620 1610
    - ?1 q/ ^( S  w, h1750 1720 1680 1800];' }" _% A8 a7 n
    x=[x(1:4),x(16),x(5:8),x(9:11),x(12:15)];
    ; J& S3 t. o, e8 ~3 ag=[ones(1,5),2*ones(1,4),3*ones(1,3),4*ones(1,4)];8 T' V7 n4 o* e% P& Z
    p=anova1(x,g)
    ( z, d- n4 X: L9 Q" k/ c% \
    . A. J6 ~" b* N
    ) \! x, w, I3 @, W

    求得 0.01<p=0.0331<0.05,所以几种工艺制成的灯泡寿命有显著差异

    单因素方差分析结果对应一般如下(单因素显著性水平取0.05):


    2 W8 \/ e8 Q0 e7 B6 g1 E
    0 e5 C0 ?% n7 K" A) d2 U% A0 Sp值结果
    " I! G7 e4 {. h5 Xp<0.01非常显著
    / O9 R" J4 q4 {) K; R0.01<p<0.05显著7 ]6 m# E' k0 h# h0 S+ S8 |1 z0 n
    p>0.05不显著6 |+ p, u" R0 k: D
    (2)双因素方差分析
    & ?. E; X$ e3 I6 C8 U/ h
    % }' r7 I4 G7 S与单因素方差分析类似,这次我们探究两个因素。对两个因素的实验可能进行一次,或者很多次。
    $ ?6 G/ W% D$ \
    $ n$ d  G' i9 a* @! z单一观测值:
    : k% n5 J) r$ c& |5 B8 z, qp=anova2(x)                %x不同列的数据表示单一因素的变化情况,不同行中的数据表示另一因素的变化情况+ J- \8 s# N& E- g( t" E# k# A! q

    8 s6 j5 G3 K0 ]4 C%示例
    . o1 `# |! l) [, F% d  zx=[58.2 56.2 65.3
    , P5 a! U0 {; Q8 I! |2 T1 d. o# T49.1 54.1 51.6
    9 c* s$ W9 r. P, P/ S) e* C60.1 70.9 39.2" f) x$ [! f8 r+ x1 ^% o* C3 R
    75.8 58.2 48.7];9 k% ?* |3 m" g1 C# u  b
    [p,t,st]=anova2(x)- z! m7 i$ ^0 d5 @7 C9 w+ r$ _; b  Y

    / V8 c9 D9 |7 }
    + Z/ C0 g9 B5 t. D! |0 k求得p=0.4491 0.7387,均>0.10,表明两个特征不同数据之间的差异对于结果无显著影响。  n: ?* x$ K! r1 |6 F
    ) E: J  c6 }1 c' Y/ k
    多观测值:
    * d5 q# C1 e% U7 f6 x' d. [+ kp=anova2(x,reps)        %如果每一“单元”有不止一个观测值,则用参数reps来表明每个“单元”多个观测值的不同标号,即reps给出重复试验的次数t) y* |2 E. t- v* R) |# _9 h" Y0 L
    ( m' `7 X3 [9 i. i# }, w) o( L
    %示例
    + P8 C+ |" C; ?6 Dx0=[58.2 52.6 56.2 41.2 65.3 60.8
    8 i+ ~4 d  u! k49.1 42.8 54.1 50.5 51.6 48.47 Y1 E0 R) s! }- Z: a
    60.1 58.3 70.9 73.2 39.2 40.72 _6 L8 `- L1 ~# d, K: ]7 H
    75.8 71.5 58.2 51.0 48.7 41.4];0 D! t8 ^- P5 H) k
    x=x0';' P8 O% _% {! r' r1 r; ~
    [p,t,st]=anova2(x,2)" Y2 Z% W( c. g: x5 @1 @# {4 |
    7 @5 r, k  p1 J' ?: {  O

    ' z; C- r( R7 B3 }4 N$ o4 G求得p = 0.0035 0.0260 0.0001,其中第三个参数表明两个特征联合作用下对结果的影响。结果表明,这两个特征的影响均是显著的。
    - `4 h0 Z% x* f1 H1 W' n& i4 o" ^9 |
    值得注意的是,上式使用转置,保证x的形式如下图所示(需要注意行列分别代表的含义):
    % Q3 c. ]- y0 R( S; A$ |4 v( Y" \# Z: ]2 a0 C" h
    其中,一二维代表特征维,第三维代表样本维。3 e5 _; v: ]$ h% V4 p3 [1 ~

    # j5 _+ ^  I) @' {- t' h& ](3)多因素方差分析
    + q* L! v8 ~8 G1 {2 ^" e
    ! R. G4 y5 P5 f2 O6 j这里用到了正交表的处理方法,我们直接使用anovan函数:
    8 D1 m$ z8 P5 V" h* t& h" Z
    : E  @0 X' O3 k" G7 f; w; y" }; Y. Y$ C7 S9 i$ G( D
    其中,特征样本不同的取值用特征水平1,2,3…来替代。- P8 f. X# m+ I" i

    % ?2 w* P2 A- o9 s3 |5 A4 v最后,双因素与多因素方差分析结果对应一般如下(双因素与多因素显著性水平取0.10):
    # q- {( C, i. Q6 D8 pp值结果
    ( `; f4 o  R, N$ e. Op<0.01非常显著& z8 q. E% K4 q/ m
    0.01<p<0.10显著' `+ \# Z/ p0 j: r0 g6 y
    p>0.10不显著
    * j1 p, A3 Y% N/ V3 T8 V/ k6 e$ O+ L, z+ H5 z4 {" [( @* X1 Y8 O& j
    2、协方差分析+ q6 C& j4 ~  E* N1 W! ^2 o% `
    8 r/ `9 ~* y1 K2 L5 x8 C- S6 u' L2 i- m
    对于特定的特征,为了寻找那些样本之间差异较大,运用协方差分析。8 r, |& V! I6 V. w$ i& v
    , q8 z$ k& F' u" _& n' W* h
    在进行完方差分析的基础上,进行协方差分析。) L, c7 K" A6 K8 [( l  p* z
    %分析列; z( r& O8 n* z$ r' ^; K$ V
    COMPARISON = multcompare(st,'alpha',0.05, 'estimate','column')
    1 G* X% N. U/ w%分析行
    . a# {% b+ u8 i6 k0 d" v. kCOMPARISON = multcompare(st,'alpha',0.05, 'estimate','row')
    5 f' [2 h2 C! C' a3 W- r
    " M( r0 L" C6 x! D* f+ Q; L& t$ b1 Y& k
    参考资料:( F3 r  Q' T6 Q1 ^3 `% G$ q7 @
    数学建模常用模型19 :方差分析
    + y% y2 ]& W3 i) j8 \数学建模之方差分析
    . H( y- I" s0 j; C9 i————————————————) S$ N( X5 ?2 V- H! I
    原文链接:https://blog.csdn.net/soviet1941/article/details/104120359
    5 \, g' ?0 e1 Z
    ( P; r0 K( _# e4 x+ x8 F
    * }7 b9 B) {8 i. k( D- M
    zan
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