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【数学建模】数据处理问题

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杨利霞        

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    [LV.4]偶尔看看III

    网络挑战赛参赛者

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    自我介绍
    本人女,毕业于内蒙古科技大学,担任文职专业,毕业专业英语。

    群组2018美赛大象算法课程

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    群组2019年 数学中国站长建

    群组2019年数据分析师课程

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    发表于 2020-3-24 16:05 |只看该作者 |倒序浏览
    |招呼Ta 关注Ta

    - Z2 t$ J: G5 K; ]5 A【数学建模】数据处理问题
    5 v  j# A8 ~" w% z/ w: G5 j0 g7 m一、插值与拟合3 J% `2 `% V# R  k4 `" F/ y) g
    & `0 Y, v, t& P
    常用于数据的补全以及趋势分析! I" Z5 d; B* v# \9 k# w' W
    % |  k1 b% T+ b& |" Z  e: a
    1、插值' W  ?+ e# t  R" a; q4 k! O& _
    + _( ~2 l0 t# \' _) E0 d/ U
    总的思想,就是利用函数f (x)若干已知点的函数值,求出适当的特定函数g(x)。这样f(x)其他未知点上的值,就可以用g(x)在这一点的值来近似。这种通过已知求未知的方法称为-----插值。& a% X& W4 `% H4 L. S% h/ _. V8 e) \0 o

    2 x7 }6 f% N  p) m# ^: G插值方法有很多,个人感觉样条插值spline最常用吧。。。其他感觉要么复杂要么不靠谱。/ p. B$ L9 t% C3 H% y3 W# y

    & y# J! Z9 |; H1 a0 U% h* h9 [  [对了,二维散乱插值有个方法叫v4,效果不错,拿来用就是了。。。; @8 m9 {& \% H* T& f
    & k1 O; @4 u& w
    基本内容:% V  C# B* z& @
    ! j& K6 w6 p- C4 k( ?- H* N
    一维插值
    ! l* x2 ^; W1 {( B. b% Z6 D% q" Y二维有序插值
    . b3 d0 M0 u9 l- P1 t9 Y二维散乱插值3 h& q3 [- x: X7 M
    基本语法:y = interp1(x0,y0,x,'spline');                %一维插值
    ) }. X5 ~9 W; ?$ s%x0必须单调;x要落在x0区间范围内;x指的是待求的值
    4 l& i" v, C/ D( I8 v9 A# r9 I7 t2 [! W5 o4 v% U5 u1 Y1 |8 Z3 C: s
    %示例6 ]4 l9 v( O2 F& g* L2 f: Q' n! i
    hours=1:12;6 w7 Y8 @' X0 i5 q
    temps=[5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24];; D/ _4 [& f4 h& g
    h=1:0.1:12;
    0 _4 N, \7 l" D8 F$ E/ X% Dt=interp1(hours,temps,h,'spline');
    , j5 E! t# d9 A6 g! A5 O: ?: S: q0 K# s3 G

    $ V9 w1 I9 u! G3 ey = interp2(x0,y0,z0,x,y,'spline');                %二维插值--规则点
    / \# m  N+ P/ A! \. }: E% q% A%x0,y0必须单调;x,y是一个是行向量一个是列向量;x,y要落在x0,y0区间范围内;(x,y)指的是待求的坐标
    # a! q+ S/ t) Y+ U& U7 |
    ; Z: S2 @. V+ S' o1 I" E9 b% x%示例' c9 h0 v- t- ]0 e* }( O
    x=1:5;
    # J$ y7 u5 o& t) b: vy=1:3;
    - O7 o5 I5 c/ L6 g! v/ _7 ^temps=[82 81 80 82 84;79 63 61 65 81;84 84 82 85 86];7 ~- q) R2 {& m$ ~6 n
    xi=1:0.2:5;
    " a, r4 B' Q7 h6 G4 i0 R, M, Myi=1:0.2:3;
    2 N1 K6 n8 \3 Y- c2 D/ lzi=interp2(x,y,temps,xi',yi,'spline');/ U) l% x& ]5 ?* h& G  B

    & n" ~/ S- l+ B7 P4 C) E0 Y, L" o+ A- ^+ ^* l' g

    7 _6 w7 x& U' f) Py = interp2(x0,y0,z0,x,y,'v4');                %二维插值--散乱点: c( e. m  Q9 K, m5 E% E) M
    - q/ V% U1 Y/ M7 {! V/ q
    %示例
    , D: R' T/ I9 g3 u, ~4 A! l9 ux=[129.0  140.0  103.5  88.0  185.5  195.0  105.5 157.5  107.5  77.0  81.0  162.0  162.0  117.5 ];
    $ N( V, |. m1 j% l7 My=[ 7.5  141.5  23.0  147.0  22.5  137.5  85.5      -6.5  -81  3.0  56.5  -66.5  84.0  -33.5 ];
    7 G# @  T9 q8 f0 M9 E+ x4 N' tz=[ 4  8  6  8  6  8  8  9  9  8  8  9  4  9 ];
    * N' y; z6 t2 O* }x1=75:1:200;+ n' Z% c2 D# y9 h9 q* {7 F
    y1=-50:1:150;
    0 Y: n& J6 O  m) _& B4 k[x1,y1]=meshgrid(x1,y1);# V2 G4 v8 k- V# u2 |* k* h% B8 }
    z1=griddata(x,y,z,x1,y1,'v4');) f- [9 i: G* b- d. D2 \7 ?0 W
    ( I( Q# S- ^( J. }" }
    * G- ]& [# g! Q" m( s; Q* {! `$ z
    2、拟合:
    4 [, G' C. U1 h. [* l$ f+ R# H4 j, o1 Y+ f# B3 t: ~
    总的的说,已知一组已知数据,寻求一个函数y = f (x),使 f (x)在某种准则下与所有数据点最为接近,即曲线拟合得最好。, Z& e/ k) C2 M9 C. e  O
    按照函数的不同,可以将拟合问题进行分类。
    ; _& v) U# ~. @感觉多项式拟合比线性最小二乘法实用多了,就合并了吧23333: Y: Y' Z8 S& d+ K1 D$ R4 i0 q

    ) @- t* P2 ]4 H' N) U) v基本内容:
    ' ]: j  U  \; ?% N7 N% |5 o% pa=polyfit(x0,y0,m)                %多项式拟合,线性最小二乘法就是使m=1
    # o8 p0 E& S# l. j; s1 B%m是最高次项系数,a返回m+1维向量(还有一个常数项系数)
    , r, b" F; i; f& D2 o2 C
    , H( G( \$ w5 S" h8 p' D* Y%示例:
    8 U" c) ]. m& P# x0 i4 vx=[1 2 3 4 5 6 7 8 9];
    * k& O& N5 B$ w7 v2 \& Oy=[9 7 6 3 -1 2 5 7 20];
    ! }) T4 j; I1 [7 f% nP=polyfit(x,y,3)/ |. _" Q2 K; ~
    2 N3 n1 {9 f+ {3 k( I/ ]; q) @  A

    ; q$ L8 N5 q# V' q  G%指定函数拟合---看着头晕,贴一段代码要用直接调参就行' }  T* D* C5 h$ E4 x$ s
    syms t;% V- r$ G2 y* T5 r
    x=[0 0.4 1.2 2 2.8 3.6 4.4 5.2 6 7.2 8 9.2 10.4 11.6 12.4 13.6 14.4 15];% T/ e" ?6 p4 I5 E
    y=[1 0.85 0.29 -0.27 -0.53 -0.4 -0.12 0.17 0.28 0.15 -0.03 -0.15 -0.071 0.059 0.08 0.032 -0.015 -0.02];
    0 ~2 J' n9 u: b  {f=fittype('a*cos(k*t)*exp(w*t)','independent','t','coefficients',{'a','k','w'});        %输入要拟合的函数,以及参数,自变量等,自定义拟合函数) w4 g( k8 _- ^% M! M7 S% ]
    cfun=fit(x',y',f)  %显示拟合后的结果; g) J8 {0 _2 e: s9 V
    xi=0:.1:20;
    # F& M" `, S/ L; f5 _yi=cfun(xi);3 O% |) c& U/ e% q" I0 {; H+ k
    plot(x',y','r*',xi,yi,'b--');
    ! |" @1 U- {! m- L) k. S7 K: l, j' `. M5 Y
    % l2 {# Z) {& p6 k: c9 z
    区别:" a* F5 T* a6 F. b( j+ R
    插值一般经过所有数据点,拟合不一定经过所有数据点8 \4 X2 A: s! J# z$ E
    插值不一定得到近似函数的表达形式,仅找到未知点对应值。拟合要求得到一个具体的近似函数表达式。
    % O& X. I) Y! K% N9 a) h通常建议:数据比较准确,用插值;数据误差较大,用拟合
    9 A# j, s2 z7 ~3 c参考资料:- d( H- s- S3 f) I3 G" y0 b3 H( F
    % K; n' b1 i* y
    数学建模之拟合插值方法3 U: {9 t4 G; h- D
    数学建模-插值与拟合模型
    2 c4 u  k* t7 c' r# ^. Q( R数学建模常规算法:插值和拟合; t# |: O# l$ C+ K* l, C

    ) [: ~. o) P% R8 t二、K-means聚类与高斯混合聚类; h) F' S& P# u( \5 `2 M7 s

    % m! N3 F* y* c" L- Y* v  [* \$ N6 b常用于数据异常值诊断与剔除。
    & J: g. J1 }+ \5 j" G通过聚类检测离群点,进而进行删除* q: k4 s) B2 U2 t2 \, e
    - T, }, H+ i) m; z
    1、 K-means聚类
    / _/ S9 \! F/ _# L( V3 _% O
    0 `0 Z; I2 U* Y2、高斯混合聚类; y5 Q; o$ a9 i- |( v2 c$ l

    : H9 q) G9 C5 u: x8 d涉及到聚类的知识,怪复杂的,等学到聚类再写吧。。。
    9 X# }+ F! _: L三、主成分分析1 o3 T( s% G) G+ H& b2 z" v

    1 N2 R0 e; P* Q8 G# U常用于多维数据的降维,减少数据的冗余
    ) X; M/ {% S( X+ T& A
    6 o: [- B/ S0 N# V/ x' b" R​主成分分析(PCA), 用于将多个变量通过线性变换以选出较少个数重要变量。* a" c/ n' ?  f0 r+ I) }
    8 z0 d1 M0 C. T. O& B8 I
    主成分与原始变量之间的关系:
    3 x8 }# S% f6 y$ s8 R
    ' v% b' S' F' A% t- x3 y​ (1)主成分保留了原始变量绝大多数信息。
    . _) |3 \) i* T6 T: c4 `7 G8 B$ C5 O/ R( H
    ​ (2)主成分的个数大大少于原始变量的数目。& f' }, s: o3 r0 G& y) ~: @4 _
    - ?5 t, Y& K) L7 @
    ​ (3)每个主成分都是原始变量的线性组合。8 t/ e) ?% h: [% O/ v# \

    7 z. ~4 S/ B0 v( a2 l, |​ (4)每个主成分的贡献率不同。  p5 b+ f1 o4 d% b$ w

    6 t1 Z) }7 \; d% c% ]4 C4 R& H' j​ (5)各个主成分之间互不相关。
    1 f  g6 C6 k7 i& X
    , J1 ~/ N$ @% s+ g8 H3 n处理步骤:* e- k8 \8 C) n0 n# e

    3 z' s+ c/ ^' N8 r' C2 r6 z: m数据标准化
    / i+ ]6 e  _7 |% X8 u. {' H计算相关系数矩阵1 y# M. `! q) j# I
    计算特征值与特征向量
    % ]) a/ |& o9 s( g. Q. b4 W求出贡献率与累计贡献率(一般累计贡献率达到85%即可)/ s6 l0 N' @/ X5 `' y
    计算主成分载荷(即线性系数)与主成分得分) Y3 f3 q" b6 v3 l
    代码:
    - q9 K) M% P% {$ ?1 g%示例:%示例:
    5 M/ W' L' i! T4 M2 `0 m8 }da=xlsread('data.xlsx');
    / W5 f: g4 J' R: q0 T%%标准化矩阵 5 y! J  I& C, R; T7 p% K
    da=zscore(da);
    % I" h/ _* ]0 T9 c0 c$ b2 ]3 qfprintf('相关系数矩阵:\n')
    & m, e3 s, [( U3 A0 W! q1 s% Qstd=corrcoef(da)              %计算相关系数矩阵 6 v# o  d6 `" K2 ]* x5 @, l
    [vec,val]=eig(std);           %求特征值(val)及特征向量(vec)
    * v! t; D: T  r1 unewval=diag(val) ;    1 g" @* U  r2 O. z6 j- _  B
    [y,i]=sort(newval) ;           %对特征根进行排序,y 为排序结果,i 为索引
    ! ^6 @# C% |) d8 z; Ofprintf('特征根排序:\n')  A$ k8 j% P( y1 v$ y+ q# s
    for   z=1:length(y)     
    6 a% N  S- x$ Z* u    newy(z)=y(length(y)+1-z);
    1 t1 h* D+ I5 p0 c1 Hend9 S& v2 _1 |- ^0 Y! ~* U8 r
    fprintf('%g\n',newy)          %%显示特征根0 b3 w# w5 _& g" i, E' W  a
    rate=y/sum(y); - l5 V3 u$ v* W4 p3 D8 h
    fprintf('贡献率:\n') & |5 q  v7 R3 k" u5 f/ G
    newrate=newy/sum(newy)
    2 [( Y* {; d2 Z+ ^( M6 b, n- Lsumrate=0; / J4 {4 Q% g: y, i6 c6 m
    newi=[];
    ' h* K% E/ i4 N9 i* `$ D' d5 Lfor k=length(y):-1:1     # N* R  _4 l4 c
        sumrate=sumrate+rate(k);     
    " u$ E, r8 F; B    newi(length(y)+1-k)=i(k);     2 q/ F& C* K7 e! u$ h
        if sumrate>0.85                 %记下累积贡献率大于85%的特征值的序号放入 newi 中 * c& M; e' F7 g5 U) g) N2 x
            break;     
    $ a0 f2 f8 _3 o+ z    end6 r" n& Z! I; z2 e3 J* s
    end       ; G( `5 d+ F4 J
    fprintf('主成分数:%g\n\n',length(newi)); & D* W1 }" G. c
    for p=1:length(newi)     8 s2 s/ M& ?7 F9 @/ z$ W
        for q=1:length(y)      
    ! p3 W# g- ?4 u! N3 H        vector2(q,p)=sqrt(newval(newi(p)))*vec(q,newi(p));%%%主成分载荷     
    9 l. x4 B0 o: v) b& x    end
    ; _$ x  B8 n( \; s$ d. k: g  dend
    8 q! Z. |! Y/ |fprintf('显示载荷:\n'); ! B8 M5 v- x- @- C: f
    disp(vector2); %显示载荷 %%%求各主成分得分 5 B- H* }- P0 Y
    sco=da*vector2; 2 [8 L# ]3 R+ L. p/ x8 G& @
    csum=sum(sco,2); * f5 Y6 p" s+ Q4 R; C' M5 t
    [newcsum,i]=sort(-1*csum); 1 k. `4 J' q  k% G; @& h& B! \$ `
    [newi,j]=sort(i);
    5 i: R5 Q- c1 ffprintf('计算得分:\n') %得分矩阵:sco 为各主成分得分;csum 为综合得分;j 为排序结果
      c1 z+ m* O5 |% q, n" [+ x+ e& Xscore=[sco,csum,j]! |" n+ w/ s6 u+ p6 K- W; y
    : v' Y& D2 {/ q& k* a- X
    参考资料:7 h* W  s1 }+ B
    关于主成分分析matlab代码实现的总结
    + W9 _9 n, E8 t. I, Q数学建模算法笔记(2)——主成分分析% o4 m  {! J- ^8 j& y) U
    数学建模之主成分分析matlab; {# Q9 Q; ^& M' _3 K$ u# h" c
    数学建模之主成分分析法, r/ d4 b/ x* G1 ?% d# m5 v

    0 i9 x2 @- J% a! w四、方差分析与协方差分析
    / t8 _7 E$ Z1 @7 i( g# j. y3 D( m$ a( k1 w/ ?4 B* ]  K
    常用于数据截取与特征选择。通俗的来说,就是判断某个特征对结果对影响是否显著。( Z* L. f1 H- [

    2 h" p( ~9 t. Z0 j% P8 R+ l1、方差分析
    . w  `/ \, F+ M  ?+ u2 B$ ]7 ~
    : _& f9 O- |/ X' ]/ U0 R(1)单因素方差分析: c4 m) @9 p3 g3 Q0 q, s8 h
    , P! _& N& Q$ i  E* x
    维持其他因素保持不变,仅仅对一个因素进行考虑并计算方差,这称为单因素方差分析。  x9 Q4 P0 E. ^5 G+ x/ V% W, [4 ~% |

    3 C* f+ o5 D3 u3 o3 M8 M数据集分为均衡数据(各组数据个数相等)与非均衡数据(各组数据个数不等)。
    ( R( N* R/ Q" p% j- j& f%均衡数据
      X. Q. W8 U$ g5 I7 \  z  Up=anova1(x)                %p是一个概率;x每一行代表不同样本,每一列代表特征中的不同序号- R, x0 |2 h+ l+ U' Y* i6 ?9 ~6 J

    % ^7 r' R2 R) E/ X; C, C, T%示例" y- B, h) S2 |  v* l
    x=[162 158 146 150
    5 x7 d7 a3 i. @4 f1 [0 Y167 160 154 155, N3 M' Y% F: H
    170 164 162 1614 v+ G4 o1 ^: F- ?
    175 172 168 180];
    " b8 T8 d! }7 G0 ]% }" X- B% H# g6 h" [
    p=anova1(x)
    3 d) }( i, D+ k5 m) C" w  k" ?. r) a
    7 Z0 ]- v. [, F" M! B$ K$ D

    8 O2 L; S6 l+ a+ K& \& ?求得 p=0.1109>0.05,所以几种工艺制成的灯泡寿命没有显著差异
    4 n2 O: V8 X  ~$ v+ E2 N3 Z* T- b/ \! f/ J/ L5 a" N+ g
    %非均衡数据7 m/ c. `/ A5 \: |
    p=anova1(x,group)        %x为向量,从第1组到第r组数据依次排列;roup为与x同长度的向量,标志x中数据的组别(在于x第i组数据相对应的位置出输入整数i)5 U, Y* f4 a5 M- U0 L! h. R
    ( ^4 K6 ]7 S2 M7 n8 q+ s) b
    %示例
    : L- b0 j& ~8 g, Zx=[1620 1580 1460 1500
    * d1 h& M) c1 G6 t8 u5 J. r0 v! l1670 1600 1540 1550
    ( `/ j; a3 X5 o2 V1 q1700 1640 1620 1610
    . K6 _- a6 h; T3 @& u9 `1750 1720 1680 1800];
    " d! g1 [- b* B1 n3 x) ~+ Ux=[x(1:4),x(16),x(5:8),x(9:11),x(12:15)];4 j4 K5 r' U. d. S  C4 R' V
    g=[ones(1,5),2*ones(1,4),3*ones(1,3),4*ones(1,4)];
    / w' J: f" O" u: i: `6 ip=anova1(x,g)( d7 h; V; r6 p6 m5 u' ~2 s# E

    " ^- ~" X# ?. }$ y0 P. m" C* G. Q" S4 A

    求得 0.01<p=0.0331<0.05,所以几种工艺制成的灯泡寿命有显著差异

    单因素方差分析结果对应一般如下(单因素显著性水平取0.05):


    0 n6 L* Q/ P; j  h+ ^& A9 |( V# N& \  x
    p值结果
    ' q: }* B. n) w5 j5 z. ip<0.01非常显著0 P8 \1 y$ z/ X
    0.01<p<0.05显著
    ! R+ V: G2 s" ~" Cp>0.05不显著* Z7 ~  U( F$ W+ d+ V; E
    (2)双因素方差分析
    & f% W) Q/ a( g8 ^# l
    : y/ ^$ A, V* j9 Z5 I与单因素方差分析类似,这次我们探究两个因素。对两个因素的实验可能进行一次,或者很多次。+ q5 ?8 |( T# r. o; X( z/ Z

    8 ?! Y' z. L4 h2 Q单一观测值:' D% J; Y. @1 g# D' U
    p=anova2(x)                %x不同列的数据表示单一因素的变化情况,不同行中的数据表示另一因素的变化情况7 R( x7 ~! o0 D- i1 ~* y+ c2 e
    4 v9 E0 ~' k: M% u' u
    %示例2 n2 T2 e4 {( I3 U/ ]5 C
    x=[58.2 56.2 65.3
    9 z+ s( S( E6 v9 O8 I; o% s49.1 54.1 51.6& h' N' G2 P: h! N1 G' U
    60.1 70.9 39.22 }6 R( {" D- C6 Q
    75.8 58.2 48.7];
    : r( ~1 i4 o5 @; K$ t* H; t[p,t,st]=anova2(x)
    , W  ?4 r- ~  Y/ C3 B9 A& |
    . e, E& Z! o+ I% F$ s0 U: v* N4 t2 R& q; H+ u
    求得p=0.4491 0.7387,均>0.10,表明两个特征不同数据之间的差异对于结果无显著影响。
    - j6 v: ]( \0 S  f; U% W8 ~+ {  r' ]' P
    多观测值:6 X$ p8 N) X. I* p3 w
    p=anova2(x,reps)        %如果每一“单元”有不止一个观测值,则用参数reps来表明每个“单元”多个观测值的不同标号,即reps给出重复试验的次数t
    * {2 r7 G$ R% x2 b) q* y% R0 A, D, W# T7 ^
    %示例% Q! A& M2 A8 K0 F4 T, J
    x0=[58.2 52.6 56.2 41.2 65.3 60.87 G- r: h" F, H
    49.1 42.8 54.1 50.5 51.6 48.45 b' L5 P0 V: d2 X; M
    60.1 58.3 70.9 73.2 39.2 40.7
    ! [) P. u# P5 `" w) _! f4 \75.8 71.5 58.2 51.0 48.7 41.4];
    & S& [4 o4 Z& k% bx=x0';6 L! I" D# T* h1 @$ V/ {
    [p,t,st]=anova2(x,2)8 F% @/ n& H. h7 `: @

    ( a% F& q( [6 z3 W% s. Z, C" m0 r) |( ?# }1 O! K% f# l
    求得p = 0.0035 0.0260 0.0001,其中第三个参数表明两个特征联合作用下对结果的影响。结果表明,这两个特征的影响均是显著的。
    % [0 c; t9 |/ _, T5 J+ R& H
    - N$ o7 e) A9 r2 q! K5 E值得注意的是,上式使用转置,保证x的形式如下图所示(需要注意行列分别代表的含义):( n6 c/ w! I( d  \! g
    1 \; K. z+ O& |8 w. M- q* p9 w
    其中,一二维代表特征维,第三维代表样本维。
    : g5 r! U4 B9 N- \5 ~
    2 x# {2 P. x/ D. n, Z/ [9 O(3)多因素方差分析, \9 s. F. d! Z) ?) v$ h" K+ v' J' v
    # ^  y" W! z' O7 O) S. f
    这里用到了正交表的处理方法,我们直接使用anovan函数:8 P' `; y$ ?" g; h- F

    2 ], i! C* D0 V6 \8 M* H2 z$ u/ K8 S1 @5 d/ j4 J' G
    其中,特征样本不同的取值用特征水平1,2,3…来替代。0 T8 E1 C5 ?5 D6 Q+ {* ^+ Y9 d
    8 n: o: G. X! e- L/ r8 L9 W
    最后,双因素与多因素方差分析结果对应一般如下(双因素与多因素显著性水平取0.10):
    9 o. z' f9 N4 ~! B7 x2 ~6 _p值结果
    7 d: z! {4 O( _4 a8 j. Sp<0.01非常显著+ Q+ A4 _! O( L* L
    0.01<p<0.10显著
    2 f! L& a9 Y+ ]" f9 P/ @p>0.10不显著9 g5 z8 c  @5 T: |

    " D1 C7 C7 o" j. A% E& p2、协方差分析9 G' P% u6 X9 H$ D8 G3 R/ q
      W% h! @  G! B3 A6 t
    对于特定的特征,为了寻找那些样本之间差异较大,运用协方差分析。% h  C. m: P; i2 e/ b, H- v% D' y

    + d8 p" R4 k1 c3 ~0 b1 }在进行完方差分析的基础上,进行协方差分析。
    8 F" `0 a# I' C$ Y- i4 I# z  x6 v%分析列. G! c  ]  d: f& ]
    COMPARISON = multcompare(st,'alpha',0.05, 'estimate','column'); X' U9 O' ?' v
    %分析行
    : j3 [' r1 K3 i7 l8 P$ |' _COMPARISON = multcompare(st,'alpha',0.05, 'estimate','row')1 K1 t4 V) d. V8 ^& [. g7 ~
    " C2 q) o1 h: y4 a  y
    ( y! H! L" F* p% X9 l/ z
    参考资料:
    ) ~: O5 ~  n3 @8 g数学建模常用模型19 :方差分析
    4 Q3 i' c8 s/ }" |数学建模之方差分析0 p2 M# @% C) x! }% {+ T! [" F
    ————————————————+ A$ d' [6 Z) h& `
    原文链接:https://blog.csdn.net/soviet1941/article/details/104120359
    $ i" J! L# e' i0 |( p: d$ {1 h  ]) L

    , w' ^/ d6 R" p
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