数学建模之预测模型总结

杨利霞

数学建模之预测模型总结
2 G; o; D, ^1 v
基于数学建模的预测方法种类繁多，从经典的单耗法、弹性系数法、统计分析法，到目前的灰色预测法。当在使用相应的预测方法建立预测模型时，我们需要知道主要的一些预测方法的研究特点，优缺点和适用范围。下面就当下一些主要的预测方法进行总结：
# C+ n& J9 S# p8 b预测模型名称
适用范围
* s* q0 |* y, n# z优点
% b3 z5 S! H) n: Q缺点
6 P' |+ E# {3 Y. s% Y/ `灰色预测模型
4 K) X) w0 P- V- @2 @8 B- P9 Q该模型使用的不是原始数据的序列，而是生成的数据序列。核心体系是Grey Model.即对原始数据作累加生成（或其他处理生成）得到近似的指数规律再进行建模的方法。
在处理较少的特征值数据，不需要数据的样本空间足够大，就能解决历史数据少、序列的完整性以及可靠性低的问题，能将无规律的原始数据进行生成得到规律较强的生成序列。
3 @9 d& w1 i: p  ]% P- N4 }, c9 m只适用于中短期的预测，只适合近似于指数增长的预测。
5 h$ f3 `! e2 y9 o% l6 j+ q插值与拟合
. X. G$ K* N/ |" [适用于有物体运动轨迹图像的模型。如导弹的运动轨迹测量的建模分析。
分为曲面拟合和曲线拟合，拟合就是要找出一种方法（函数）使得得到的仿真曲线（曲面）最大程度的接近原来的曲线（曲线），甚至重合。这个拟合的好坏程度可以用一个指标来判断。
! Q. N  L  G* h, |9 }  |时间序列预测法
根据客观事物发展的这种连续规律性，运用过去的历史数据，通过统计分析，进一步推测市场未来的发展趋势。时间序列在时间序列分析预测法处于核心位置。
$ Z) w4 _  B3 B& R; m2 H一般用ARMA模型拟合时间序列，预测该时间序列未来值。
& P6 s4 _! n4 g0 ]Daniel检验平稳性。
2 ]$ N6 d3 d" t6 `) _, u自动回归AR(Auto regressive)和移动平均MA(Moving Average)预测模型。
1 _; [1 l+ w+ K/ u  _0 h当遇到外界发生较大变化，往往会有较大偏差，时间序列预测法对于中短期预测的效果要比长期预测的效果好。
马尔科夫预测
; s; R2 z6 X% M# [适用于随机现象的数学模型（即在已知现情况的条件下，系统未来时刻的情况只与现在有关，而与过去的历史无直接关系）
研究一个商店的未来某一时刻的销售额，当现在时刻的累计销售额已知。
不适宜用于系统中长期预测
差分方程
; L3 L  p# f' o4 H0 s利用差分方程建模研究实际问题，常常需要根据统计数据用最小二乘法来拟合出差分方程的系数。
适用于商品销售量的预测、投资保险收益率的预测。
! ^' }% m$ f+ R+ a8 }数据系统的稳定性还要进一步讨论代数方程的求根。
# w) g8 E% }2 Y& Q& [! }微分方程模型
适用于基于相关原理的因果预测模型，大多是物理或几何方面的典型问题，假设条件，用数学符号表示规律，列出方程，求解的结果就是问题的答案。
# X! w5 f) u# g/ [; C/ ^: U优点是短、中、长期的预测都适合。如传染病的预测模型、经济增长（或人口）的预测模型、Lanchester战争预测模型。
) k. _7 N, t8 ^; o; w反应事物内部规律及其内在关系，但由于方程的建立是以局部规律的独立性假定为基础，当作为长期预测时，误差较大，且微分方程的解比较难以得到。
神经元网络
数学建模中常用的是BP神经网络和径向基函数神经网络的原理，及其在预测中的应用。
BP神经网络拓扑结构及其训练模式。
/ q4 M% h+ B9 }% \. sRBF神经网络结构及其学习算法。
  j- {4 v' S  B4 o模型案例：预测某水库的年径流量和因子特征值
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