数学建模中的传染病模型及其编程求解

浅夏110

问题的提出
8 W! l2 z6 D- ?1 o% P% f6 S! k9 ^医生们发现，在一个民族或地区，当某种传染病流传时，波及到的总人数大体上保持为一个常数。即既非所有人都会得病也非毫无规律，两次流行（同种疾病）的波及人数不会相差太大。如何解释这一现象呢？试用建模方法来加以证明。

指数模型
定义已感染人数为i(t) i(t)i(t)，假设每个病人单位时间有效接触（足以使人致病）的人数为λ \lambdaλ，那么，在时间段Δt \Delta tΔt内，病人的增量可以用如下的公式进行计算
' c+ B! Z' s# v, m: L3 Oi(t+Δt)−i(t)=λi(t)Δt i(t+\Delta t) - i(t) = \lambda i(t)\Delta t
- \. a9 W) ~& N+ {; K- n* Hi(t+Δt)−i(t)=λi(t)Δt
4 n4 K( R$ s) g* Y4 ?0 ^: [
; a, q- t( M0 Z& o0 z8 p) s# w将i(t) i(t)i(t)移到等式的右边，我们得到如下的递推公式
i(t+Δt)=i(t)+λi(t)Δt i(t+\Delta t) = i(t) + \lambda i(t)\Delta t
i(t+Δt)=i(t)+λi(t)Δt

以上递推公式意味着，我们可以通过当前时刻的病人人数和致病参数λ \lambdaλ，计算得到Δt \Delta tΔt时间后的病人人数，将以上思想在Python中进行实现，代码如下。
( X6 p3 Z" H2 x  j) |1 X2 L* U/ m
import matplotlib.pyplot as plt
' R7 M. Y" V' m4 w* E9 [, I%matplotlib inline
$ |8 @5 q' h! U& GdeltaT = 0.01
lamb = 2
i_list = []
3 P9 w1 y$ Q4 qi0 = 0.08; # 初始有8%的人患病
i_list.append(i0)
# T0 b% }, j0 t- ZTot_Time = 10
/ k( C+ \- ^( `# B, f& a0 R, KTotStep = int(Tot_Time/deltaT)
5 N1 _; L% y. u+ E: E1 M##
* [# z% ^! q* T" e& Y9 Bfor i in range(TotStep):
    i_new = i_list[-1] + lamb * i_list[-1] * deltaT
    i_list.append(i_new)
plt.plot(i_list)

8 s  O, O0 Y) ]- g3 Y6 b1 |将以上代码在Jupyter Notebook中运行，得到病人人数的变化趋势见下图，从中我们可以看到病人的增长是指数级的，在短短十天后，已经有3000万人患病！这显然不符合实际情况的，那么问题出在哪里了呢？
2 n+ w3 ~& X. q7 I
- j8 d% A" Q8 E6 R8 b- e
1 G0 F. d5 z  C实际上，若病人解除的是病人，并不能够使病人再次患病，实际上以上的算法导致了重复计数现象的发生。解决办法：必须区分已感染者和未感染者。

SI模型
7 A0 i5 Y* @1 s现在我们将人群分成两个群体：已感染者（病人，Infected）和未感染者（健康者，Suspect），该模型称为SI模型，模型假设：

. k  f" s6 P. ~在研究时间内，不考虑死亡率和出生率，即总人数N NN不变，病人和健康人的比例分别为i(t) i(t)i(t)和s(t) s(t)s(t)
6 e; P8 _7 g& H- P4 H每个病人在单位时间内有效接触并致病的人数为λ \lambdaλ，且只有接触健康人才会致病，称λ \lambdaλ为日接触率
仿照指数模型里面的建模方法，在时间段Δt \Delta tΔt内，病人的增量可以用如下的公式进行计算

N[i(t+Δt)−i(t)]=[λs(t)]Ni(t)Δt N[i(t+\Delta t)-i(t)]=[\lambda s(t)] N i(t) \Delta t
) |2 g. ?5 }8 e2 Z: K1 [4 [N[i(t+Δt)−i(t)]=[λs(t)]Ni(t)Δt

. l. R+ p6 T) T3 ~消去N NN，再将i(t) i(t)i(t)移到等式的右边，我们得到如下的递推公式
i(t+Δt)=i(t)+λi(t)s(t)Δt i(t+\Delta t) = i(t) + \lambda i(t)s(t)\Delta t
: y: C7 @2 {1 N9 Ni(t+Δt)=i(t)+λi(t)s(t)Δt
0 _& D; E: c. P+ `3 k1 s
: n$ W' b% d% f* J% v) m, p. x2 k# V1 y同样地，我们可以通过当前时刻的病人人数和致病参数λ \lambdaλ，计算得到Δt \Delta tΔt时间后的病人人数，将以上思想在Python中进行实现，代码如下：
, X. Y9 O) n: k: {8 R2 z% [
import matplotlib.pyplot as plt
/ n" H+ X2 Y# N- a9 t1 ?& K3 |%matplotlib inline
deltaT = 0.01
lamb = 2
i_list = []
- A/ h. e9 `1 Y3 }( L  ps_list = []
* M7 _$ l( [+ |' _2 ?: y* Bi0 = 0.08; # 初始有8%的人患病
9 u: Q5 z" S% c* bi_list.append(i0)
s_list.append(1 - i0)
0 W: h- p8 m7 A) H, uTot_Time =5
TotStep = int(Tot_Time/deltaT)
" F) {+ z( j+ A" s##
for i in range(TotStep):
. p# ^: n/ Z6 v+ Q7 `: \    i_new = i_list[-1] + lamb * i_list[-1] * deltaT * s_list[-1]
5 u! D8 z' V8 g" g3 l# x8 H* i+ Q    i_list.append(i_new)
    s_list.append(1- i_new)
- ~) @5 A  M; C& ZTime = [i * deltaT for i in range(TotStep + 1)]
/ A/ }. [) Y( v, d" `! S8 tplt.plot(Time,i_list)
plt.plot(Time,s_list)
plt.title("SI",fontsize = 20)
& c, h% O7 x4 G' q) S# xplt.xlabel("Time")
' O; X; H1 I/ q" Oplt.ylabel('i(t)')
9 }3 I+ {$ ]) y% O" P0 Z: F
从SI模型我们可以看到，病人比例不再会出现"指数爆炸"的情况，在t→∞ t \rightarrow \inftyt→∞时最大患病比例为1。在SI模型中，病人数量的增长曲线是一个典型的S型曲线，又称为Logistic曲线，该曲线在生物学上经常被用来描述物种的增长模。
8 ]1 I; v8 L# ?7 g$ w3 Y: H
/ O. @* W  E7 L1 S6 k% F然后，SI模型的结论告诉我们，无论λ \lambdaλ多么小，最终人群都会患病，这显然也是不符合实际情况的。
. A& L# _$ }4 }+ M+ P/ N; g9 d- ]1 M————————————————
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