数学建模中的传染病模型及其编程求解

浅夏110

问题的提出
  q: s7 R1 ]& ^. x* \! s医生们发现，在一个民族或地区，当某种传染病流传时，波及到的总人数大体上保持为一个常数。即既非所有人都会得病也非毫无规律，两次流行（同种疾病）的波及人数不会相差太大。如何解释这一现象呢？试用建模方法来加以证明。
6 A3 @: n% y$ n: B
指数模型
定义已感染人数为i(t) i(t)i(t)，假设每个病人单位时间有效接触（足以使人致病）的人数为λ \lambdaλ，那么，在时间段Δt \Delta tΔt内，病人的增量可以用如下的公式进行计算
  ~% o6 c; @" s  ]i(t+Δt)−i(t)=λi(t)Δt i(t+\Delta t) - i(t) = \lambda i(t)\Delta t
i(t+Δt)−i(t)=λi(t)Δt
8 X* V4 _! @' j' O, Q- \$ r
将i(t) i(t)i(t)移到等式的右边，我们得到如下的递推公式
i(t+Δt)=i(t)+λi(t)Δt i(t+\Delta t) = i(t) + \lambda i(t)\Delta t
+ `( q1 u. G4 Z( O: x9 ^8 u! mi(t+Δt)=i(t)+λi(t)Δt

以上递推公式意味着，我们可以通过当前时刻的病人人数和致病参数λ \lambdaλ，计算得到Δt \Delta tΔt时间后的病人人数，将以上思想在Python中进行实现，代码如下。
4 {, I- A3 \- R2 c% }
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
) B; ~9 z7 P8 }( A6 z+ S! g% j  {) }deltaT = 0.01
+ _2 N# I* I" }2 A0 j. {lamb = 2
i_list = []
, C: b; [+ A" i* {2 O4 `4 j7 B0 E3 Si0 = 0.08; # 初始有8%的人患病
; q$ _" O# G& {3 ?9 {& h( y/ x  Si_list.append(i0)
Tot_Time = 10
TotStep = int(Tot_Time/deltaT)
4 c" U" y4 N/ `. ]) @( V##
for i in range(TotStep):
4 y) [/ s; X$ R3 C: o- B/ f8 r5 l    i_new = i_list[-1] + lamb * i_list[-1] * deltaT
    i_list.append(i_new)
& j& Q6 t9 ^. t9 d+ m4 F. o7 mplt.plot(i_list)

7 b. j8 I! {3 ~& s5 H5 O6 n3 O将以上代码在Jupyter Notebook中运行，得到病人人数的变化趋势见下图，从中我们可以看到病人的增长是指数级的，在短短十天后，已经有3000万人患病！这显然不符合实际情况的，那么问题出在哪里了呢？
- p2 a0 W2 x2 }/ b6 J$ n
5 s: L( S8 A1 c+ b
* m( {1 ~9 Q7 [* F8 [& L% r9 |. D8 F: V" O实际上，若病人解除的是病人，并不能够使病人再次患病，实际上以上的算法导致了重复计数现象的发生。解决办法：必须区分已感染者和未感染者。
( y$ g; g, J3 X
SI模型
现在我们将人群分成两个群体：已感染者（病人，Infected）和未感染者（健康者，Suspect），该模型称为SI模型，模型假设：
" _* A! ~# c3 w& c% D1 _
在研究时间内，不考虑死亡率和出生率，即总人数N NN不变，病人和健康人的比例分别为i(t) i(t)i(t)和s(t) s(t)s(t)
每个病人在单位时间内有效接触并致病的人数为λ \lambdaλ，且只有接触健康人才会致病，称λ \lambdaλ为日接触率
8 o% x" M( z/ d. |  T; O' @- f仿照指数模型里面的建模方法，在时间段Δt \Delta tΔt内，病人的增量可以用如下的公式进行计算
5 B: b- S5 D; N8 d* e
: v6 R2 [9 H$ e) E+ a, t6 c: K4 LN[i(t+Δt)−i(t)]=[λs(t)]Ni(t)Δt N[i(t+\Delta t)-i(t)]=[\lambda s(t)] N i(t) \Delta t
N[i(t+Δt)−i(t)]=[λs(t)]Ni(t)Δt
" B* k4 F, w! c( B. ~7 l$ z5 g) o% A
消去N NN，再将i(t) i(t)i(t)移到等式的右边，我们得到如下的递推公式
( M. A$ M/ `+ ?; |i(t+Δt)=i(t)+λi(t)s(t)Δt i(t+\Delta t) = i(t) + \lambda i(t)s(t)\Delta t
i(t+Δt)=i(t)+λi(t)s(t)Δt

7 ]% Q. Z& B3 B6 _4 O同样地，我们可以通过当前时刻的病人人数和致病参数λ \lambdaλ，计算得到Δt \Delta tΔt时间后的病人人数，将以上思想在Python中进行实现，代码如下：

, P$ `0 @% a3 d1 I% ~2 w6 H: J' kimport matplotlib.pyplot as plt
; K# E# r# d! A! `1 Z%matplotlib inline
deltaT = 0.01
lamb = 2
- N, C, K; j: Qi_list = []
s_list = []
/ b3 i( w4 _$ j' A- Pi0 = 0.08; # 初始有8%的人患病
i_list.append(i0)
: S  Y! b' F4 Q2 rs_list.append(1 - i0)
Tot_Time =5
TotStep = int(Tot_Time/deltaT)
##
for i in range(TotStep):
/ x2 ]" I2 x' R" c    i_new = i_list[-1] + lamb * i_list[-1] * deltaT * s_list[-1]
    i_list.append(i_new)
    s_list.append(1- i_new)
- F6 [. s& W( r- j$ yTime = [i * deltaT for i in range(TotStep + 1)]
plt.plot(Time,i_list)
plt.plot(Time,s_list)
plt.title("SI",fontsize = 20)
/ e1 ?; v0 P: f  Iplt.xlabel("Time")
" a- X/ H6 ^: jplt.ylabel('i(t)')

  `$ f+ g; m. @8 ?7 Q从SI模型我们可以看到，病人比例不再会出现"指数爆炸"的情况，在t→∞ t \rightarrow \inftyt→∞时最大患病比例为1。在SI模型中，病人数量的增长曲线是一个典型的S型曲线，又称为Logistic曲线，该曲线在生物学上经常被用来描述物种的增长模。
5 ?" p$ R" X2 g, b6 N% w# }8 C1 o
. ~* v$ W3 R5 S! G0 c5 i然后，SI模型的结论告诉我们，无论λ \lambdaλ多么小，最终人群都会患病，这显然也是不符合实际情况的。
% q( C. f$ D# g2 y————————————————
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" L( N/ E0 N" H9 Z* n