数学建模中的传染病模型及其编程求解

浅夏110

问题的提出
医生们发现，在一个民族或地区，当某种传染病流传时，波及到的总人数大体上保持为一个常数。即既非所有人都会得病也非毫无规律，两次流行（同种疾病）的波及人数不会相差太大。如何解释这一现象呢？试用建模方法来加以证明。
0 g* ?  M9 t+ G, i4 y
4 j0 P8 e8 u3 b- S+ s' i) o指数模型
5 s( }% ~* u1 @( p# J+ J定义已感染人数为i(t) i(t)i(t)，假设每个病人单位时间有效接触（足以使人致病）的人数为λ \lambdaλ，那么，在时间段Δt \Delta tΔt内，病人的增量可以用如下的公式进行计算
3 x) L. }3 v+ b0 d( D. a1 \i(t+Δt)−i(t)=λi(t)Δt i(t+\Delta t) - i(t) = \lambda i(t)\Delta t
$ c5 B+ q+ y' J! U* \) Mi(t+Δt)−i(t)=λi(t)Δt
1 M" T) h+ F# O% _$ `6 L5 j
: W' |- @% n7 Q! v将i(t) i(t)i(t)移到等式的右边，我们得到如下的递推公式
$ i% l# D+ s2 d: ai(t+Δt)=i(t)+λi(t)Δt i(t+\Delta t) = i(t) + \lambda i(t)\Delta t
& v) y4 w: H/ V3 {5 li(t+Δt)=i(t)+λi(t)Δt

以上递推公式意味着，我们可以通过当前时刻的病人人数和致病参数λ \lambdaλ，计算得到Δt \Delta tΔt时间后的病人人数，将以上思想在Python中进行实现，代码如下。

2 s% j- F# M( T3 U1 G0 Qimport matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
deltaT = 0.01
, V. \  x6 V( i6 i% ulamb = 2
+ T1 w* f! ^; g1 Ii_list = []
i0 = 0.08; # 初始有8%的人患病
  C  R7 b4 D$ A) S  Z, ^- Ri_list.append(i0)
Tot_Time = 10
# D( i0 f: B) b7 GTotStep = int(Tot_Time/deltaT)
##
. |6 z0 q' Z, A1 s! L: Xfor i in range(TotStep):
5 a7 J' n, r7 M8 w" H6 r    i_new = i_list[-1] + lamb * i_list[-1] * deltaT
    i_list.append(i_new)
3 ~" s. y( w1 P1 k9 lplt.plot(i_list)

2 L1 Y0 F' g& e7 V将以上代码在Jupyter Notebook中运行，得到病人人数的变化趋势见下图，从中我们可以看到病人的增长是指数级的，在短短十天后，已经有3000万人患病！这显然不符合实际情况的，那么问题出在哪里了呢？


1 T, }/ T! R3 \/ h1 l% @. J& _  k' N实际上，若病人解除的是病人，并不能够使病人再次患病，实际上以上的算法导致了重复计数现象的发生。解决办法：必须区分已感染者和未感染者。

SI模型
# f1 }+ F! s. K7 D& w现在我们将人群分成两个群体：已感染者（病人，Infected）和未感染者（健康者，Suspect），该模型称为SI模型，模型假设：
! y4 J3 \9 T9 q5 y3 V0 {0 E
在研究时间内，不考虑死亡率和出生率，即总人数N NN不变，病人和健康人的比例分别为i(t) i(t)i(t)和s(t) s(t)s(t)
每个病人在单位时间内有效接触并致病的人数为λ \lambdaλ，且只有接触健康人才会致病，称λ \lambdaλ为日接触率
仿照指数模型里面的建模方法，在时间段Δt \Delta tΔt内，病人的增量可以用如下的公式进行计算
1 u0 A: T% f% T5 w# f/ e9 X8 j$ {, E: L
. m: j- E- C0 H1 {( d& P8 O1 s/ ~N[i(t+Δt)−i(t)]=[λs(t)]Ni(t)Δt N[i(t+\Delta t)-i(t)]=[\lambda s(t)] N i(t) \Delta t
6 [( a6 P. E  uN[i(t+Δt)−i(t)]=[λs(t)]Ni(t)Δt
, [" h. f3 E- |, Y' \
消去N NN，再将i(t) i(t)i(t)移到等式的右边，我们得到如下的递推公式
i(t+Δt)=i(t)+λi(t)s(t)Δt i(t+\Delta t) = i(t) + \lambda i(t)s(t)\Delta t
5 `+ E: D9 V' ]2 Y/ t! ^; Gi(t+Δt)=i(t)+λi(t)s(t)Δt
% J3 A- r% G$ }8 M
同样地，我们可以通过当前时刻的病人人数和致病参数λ \lambdaλ，计算得到Δt \Delta tΔt时间后的病人人数，将以上思想在Python中进行实现，代码如下：

$ l) w% K  R) Mimport matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
deltaT = 0.01
lamb = 2
( b3 M4 @. r1 Q' f5 ni_list = []
/ r! b: C4 P1 v8 p+ Q7 @# hs_list = []
5 h* Y+ W& ?0 I3 V" I- s! }i0 = 0.08; # 初始有8%的人患病
i_list.append(i0)
s_list.append(1 - i0)
2 P- w- |. h* m4 B2 l# g! y: cTot_Time =5
( D0 z# J8 g+ t1 YTotStep = int(Tot_Time/deltaT)
##
, \! M3 k# C7 ^- v/ p  U) L% C4 Mfor i in range(TotStep):
    i_new = i_list[-1] + lamb * i_list[-1] * deltaT * s_list[-1]
    i_list.append(i_new)
    s_list.append(1- i_new)
Time = [i * deltaT for i in range(TotStep + 1)]
plt.plot(Time,i_list)
! Q: S# s+ `: F% r1 N' I" ?plt.plot(Time,s_list)
plt.title("SI",fontsize = 20)
; p9 Z6 q3 _" b1 N) F; @plt.xlabel("Time")
plt.ylabel('i(t)')
" Z7 q- E: [; }8 I# o7 d
. h  e: e/ G- a/ Y8 n5 u( j从SI模型我们可以看到，病人比例不再会出现"指数爆炸"的情况，在t→∞ t \rightarrow \inftyt→∞时最大患病比例为1。在SI模型中，病人数量的增长曲线是一个典型的S型曲线，又称为Logistic曲线，该曲线在生物学上经常被用来描述物种的增长模。
8 m9 {# f# W5 [) w; R
然后，SI模型的结论告诉我们，无论λ \lambdaλ多么小，最终人群都会患病，这显然也是不符合实际情况的。
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