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Euler 图和 Hamilton 图、求解旅行商问题的 改良圈算法 :

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    发表于 2020-5-20 09:55 |只看该作者 |倒序浏览
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                 Euler 图就是从一顶点出发【每条边】恰通过一次能回到出发点的那种图,【中国邮递员问题】的数学模型是:在一个赋权连通图上求一个含所有边的回路, 且使此回路的权最小。 显然,若此连通赋权图是 Euler 图,则可用 Fleury 算法求 Euler 回路,此回路即为 所求。
      r) Q5 J* E$ t* R
    & \+ J, c/ ~1 T             Hamilton 图就是从一顶点出发【每个顶点】恰通过一次能回到出发点的那种图。【旅行商问题描述】一名推销员准备前往若干城市推销产品,然后回到他的出发地。如何为他设计一条 最短的旅行路线(从驻地出发,经过每个城市恰好一次,最后返回驻地)?。用图论的术语说,就是在一个赋权完全图中,找出一个有最小权的 Hamilton 圈。称这种圈为最优圈。
    ! X, ?' O4 U7 A+ h+ H8 `
    ) x, E$ P5 J1 y0 N# P% n" j1 基本概念4 g& u$ H6 c! i% D; d0 e. n
    【定义】 经过G 的每条边的迹叫做G 的 Euler 迹;闭的 Euler 迹叫做 Euler 回路或 E 回路;含 Euler 回路的图叫做 Euler 图。 直观地讲,Euler 图就是从一顶点出发每边恰通过一次能回到出发点的那种图,即 不重复地行遍所有的边再回到出发点。' \' I& P) x; y1 `2 s
    # r" I! M1 W' Y& ~' x) G7 I' V
    4 ~0 N3 g$ C7 E& K$ |) {7 S) P* f
    9 j8 \' M9 A) U) ^1 j+ _
    【定义 】包含G 的每个顶点的轨叫做 Hamilton(哈密顿)轨;闭的 Hamilton 轨叫做 Hamilton 圈或 H 圈;含 Hamilton 圈的图叫做 Hamilton 图。 直观地讲,Hamilton 图就是从一顶点出发每顶点恰通过一次能回到出发点的那种图,即不重复地行遍所有的顶点再回到出发点。
    - ~7 @5 r, ^: U/ a# [* H  X* b8 q0 @: X; Z# o
    2 Euler 回路的 Fleury 算法
    0 y- {7 P! Y  z3 z1921 年,Fleury 给出下面的求 Euler 回路的算法。 ( Z5 |1 X; }. z3 V9 z# `
    4 l" S" W8 I( @
    1 C$ R! T: ~/ I( M

    . C( o0 Y$ ^3 y! {5 s
    6 D3 a, e$ N4 [& s) u- x
    / s3 D* I# D# w4 H7 {例 :邮递员问题& i" a' y  x6 B2 \! {" `
    中国邮递员问题 一位邮递员从邮局选好邮件去投递,然后返回邮局,当然他必须经过他负责投递的 每条街道至少一次,为他设计一条投递路线,使得他行程最短。1 n8 ~: p- H: ]. m$ r9 I
      m( S. G6 Z3 s* j
    上述中国邮递员问题的数学模型是:在一个赋权连通图上求一个含所有边的回路, 且使此回路的权最小。 显然,若此连通赋权图是 Euler 图,则可用 Fleury 算法求 Euler 回路,此回路即为 所求。
    4 g2 g! d( F% m+ \# s( V% x: _/ A& b0 C' D+ J5 p; D& ]
    非 Euler 图的权最小的回路的求解方法2 z8 u4 x+ u2 G
    7 C! I4 _. l- ?8 o
    对于非 Euler 图,1973 年,Edmonds 和 Johnson 给出下面的解法:
    % w: O4 R4 Y8 M+ J$ N, g( ]- m# _. p
    4 T/ z1 h1 l( q6 q/ N4 X
    9 p. A- p1 V% l( o- j* Z+ u$ w0 X" H9 `3 g; s0 X8 H- j% x
    多邮递员问题
    6 P8 D0 v* {: I) k% Y" ` 邮局有 k(k ≥ 2) 位投递员,同时投递信件,全城街道都要投递,完成任务返回邮 局,如何分配投递路线,使得完成投递任务的时间最早?我们把这一问题记成 kPP。 kPP 的数学模型如下:
    0 T7 A/ M/ k7 N( v. s2 E- p0 \; ~) I- K1 Q# B1 Z9 t8 v
    + U% A/ w; S+ }. V

    ! f8 a6 _: v) s( f2 p" x* h3 旅行商(TSP)问题; r% d/ y& v  R4 e) |. V
    一名推销员准备前往若干城市推销产品,然后回到他的出发地。如何为他设计一条 最短的旅行路线(从驻地出发,经过每个城市恰好一次,最后返回驻地)?这个问题称 为旅行商问题。用图论的术语说,就是在一个赋权完全图中,找出一个有最小权的 Hamilton 圈。称这种圈为最优圈。与最短路问题及连线问题相反,目前还没有求解旅行 商问题的有效算法。所以希望有一个方法以获得相当好(但不一定最优)的解。
    , k& P, U5 i; ^9 z. C% B# i% e6 ]  c$ L% x; M
    3.1 改良圈算法9 B" Z) e; z  ?/ }

    6 k6 T2 S# U' V. X: R7 C& T3 v( O7 F5 F- \' K6 ]4 x# f' }$ ?

    + Q# ?: }9 ^4 _( L% h2 k
    + g0 Z9 U- Q8 M用改良圈算法得到的结果几乎可以肯定不是最优的。为了得到更高的精确度,可以 选择不同的初始圈,重复进行几次算法,以求得较精确的结果。 这个算法的优劣程度有时能用 Kruskal 算法加以说明。3 O1 H% u5 |7 Z. [2 Y

    " `" O& t0 a5 v- q- l, t8 h假设C 是G 中的最优圈。 则对于任何顶点v ,C − v 是在G − v 中的 Hamilton 轨,因而也是G − v 的生成树。由 此推知:若 T 是 G − v 中的最优树,同时 e 和 f 是和 v 关联的两条边,并使得 w(e) + w( f ) 尽可能小,则 w(T ) + w(e) + w( f ) 将是 w(C) 的一个上界。 这里介绍的方法已被进一步发展。圈的修改过程一次替换三条边比一次仅替换两条 边更为有效;然而,有点奇怪的是,进一步推广这一想法,就不对了。  L' C; J1 x9 r

    6 k3 {; K$ R' h/ k- ^, t例 15 从北京(Pe)乘飞机到东京(T)、纽约(N)、墨西哥城(M)、伦敦(L)、巴黎(Pa) 五城市做旅游,每城市恰去一次再回北京,应如何安排旅游线,使旅程最短?各城市之 间的航线距离如表 7。: c% J1 B% `5 f+ N

    + r9 R, `  V9 W9 v# I
    . ]3 t$ @: K. R+ F& ^+ K- U3 ?/ k% c6 {& @# A
    解:编写程序如下:2 [! {) m, s8 t. m5 D: S9 h- {
    $ g& j0 i8 D/ _, y5 \1 I0 U9 L
    function main2 @2 S$ o' l2 u8 p) L. G
    clc,clear
    9 V0 F; W) a3 l5 K8 D# xglobal a
    2 E5 ]* f& F% r( N1 [a=zeros(6);
    ( X" s& w! [' [, Y8 A) O0 da(1,2)=56;a(1,3)=35;a(1,4)=21;a(1,5)=51;a(1,6)=60;
    - b0 O: V+ E  x+ _/ ?+ F9 ]4 [4 Ja(2,3)=21;a(2,4)=57;a(2,5)=78;a(2,6)=70;8 R+ c4 B! x6 Q5 S
    a(3,4)=36;a(3,5)=68;a(3,6)=68; a(4,5)=51;a(4,6)=61;2 H0 _: e: ~. F! R1 B/ v6 |, Z
    a(5,6)=13; a=a+a'; L=size(a,1);8 w5 B, L) [6 v7 ~# R# D
    c1=[5 1:4 6];
    * m, Z7 c  C& o1 }; p2 `( e+ j[circle,long]=modifycircle(c1,L);
    2 s& r' U) [( c( e) E+ f+ Lc2=[5 6 1:4];%改变初始圈,该算法的最后一个顶点不动, z/ i5 u" b+ e0 |! L
    [circle2,long2]=modifycircle(c2,L);  F& E! U3 W$ d0 f
    if long2<long, O$ _: a' T, s! X3 M, A% F
        long=long2;; R# X, d" j. A& ]5 X9 Y
        circle=circle2;2 \2 Q- p. L  a' g/ G  i
    end
    1 h/ r2 k) P/ _- v: N, l0 v- q; X. |: ~! [circle,long
    # M& T# B# C# t+ V%*******************************************
    / h! z5 H! t. A6 K) H%修改圈的子函数& ~/ F/ y/ J+ Y( {) k, b
    %*******************************************
    ( X  D1 L0 J& p; |* M/ {4 P9 Ffunction [circle,long]=modifycircle(c1,L); % z% V7 W. Z$ @+ Z
    global a
    " H# s! n, f) ]0 W8 A0 e4 `/ Pflag=1;0 v7 Q6 Y7 O. l% K( `. Q
    while flag>0
    $ ]9 B( @; R* P/ q3 m4 j' x    flag=0;
    ' {# G/ |+ w* p4 ^- v    for m=1-3# ]% x7 `& f: d2 k2 S' Q# U
            for n=m+2-1
    : f1 D  w9 I! ^  b& G            if a(c1(m),c1(n))+a(c1(m+1),c1(n+1))<.../ E, z5 a7 r% X9 v3 V5 S! y! a  y
                    a(c1(m),c1(m+1))+a(c1(n),c1(n+1))+ o9 q. N3 X. L0 u2 o# N
                    flag=1;: \# d0 O/ o9 q9 s
                    c1(m+1:n)=c1(n:-1:m+1);8 s* e: i: T) s: [$ G8 |# n
                end
    3 W$ Y* p5 A% p        end+ b% g, L! P8 E+ _
        end
    3 n. l, H/ |, _0 cend7 k( P6 b; E4 J" w0 c
    long=a(c1(1),c1(L));
    5 d" {/ q2 J2 z& M3 _/ Ofor i=1-1
    - c' I6 w4 R% v1 t& `    long=long+a(c1(i),c1(i+1));9 s0 `( F6 p) e7 |" Z1 v
    end5 q3 V% t2 H0 s7 f$ Y7 H  w2 j3 L
    circle=c1; & K  e9 [. c# y5 s  F$ Y" M6 E! e
    $ e$ `) p8 t* v7 q
    7 v& g; C, W& F2 a0 s8 F# l: u1 \
    3.2  旅行商问题的数学表达式
    ) z! `% ^: u% ~) O, E
    & `2 E! Q: W3 Z* E3 d: r. Q8 f2 J7 |' c* ?8 \. d& a
    将旅行商问题写成数学规划的具体形式还需要一定的技巧,下面的例子我们引用 LINGO 帮助中的一个程序。5 {/ I8 a9 N* k8 `3 k
    ! j6 a4 @  |3 D3 j6 `
    例 16  已知 SV 地区各城镇之间距离见表 8,某公司计划在 SV 地区做广告宣传, 推销员从城市 1 出发,经过各个城镇,再回到城市 1。为节约开支,公司希望推销员走 过这 10 个城镇的总距离最少。2 k( c, H9 N2 ^. F2 ?4 _& |
    " w  u6 ]6 F2 j% ?: D* }9 u

    2 a' v0 J2 E: o1 v0 a; `: W8 O# c- a9 H5 b

    . k5 ~8 q! O5 @; y- w. H! v& c2 P! |
    解 编写 LINGO 程序如下:( r0 l) i, S# T4 y
    $ v6 B" Q4 l4 B) I/ w1 `2 h
    MODEL:% u1 y4 g- L1 m' Z2 v1 c
    SETS:
    , [  p$ V- {9 x CITY / 1.. 10/: U; ! U( I) = sequence no. of city;
    - d2 ^$ K& s# C% g( X3 c LINK( CITY, CITY):' ~4 W" x* N( M5 B: K
    DIST, ! The distance matrix;
    + N$ i0 {0 s3 {* ^3 K8 g) G X; ! X( I, J) = 1 if we use link I, J;
    4 q0 A+ X5 Y. E- G- e ENDSETS
    + \/ O; f( a% m; q( m DATA: !Distance matrix, it need not be symmetric;
    ( b5 z9 g3 Q# _. ?2 w0 m DIST =0 8 5 9 12 14 12 16 17 22
    / }( q7 H  F7 |' d/ Q, q 8 0 9 15 17 8 11 18 14 22
    # |  t7 I) o$ p 5 9 0 7 9 11 7 12 12 17% T" S. \3 ~1 G8 U" |
    9 15 7 0 3 17 10 7 15 184 v2 [# `- `) n+ t2 C2 `
    12 17 9 3 0 8 10 6 15 15
    5 `- H3 A+ I" W  d- I 14 8 11 17 8 0 9 14 8 169 V/ k6 b8 i5 X. x
    12 11 7 10 10 9 0 8 6 11
    ! W- g/ G0 V; L 16 18 12 7 6 14 8 0 11 111 V- w9 @; t+ O1 ~: b
    17 14 12 15 15 8 6 11 0 10
    $ S8 c1 `0 z6 e, a- i, h& h$ d 22 22 17 18 15 16 11 11 10 0;/ i8 W( S3 i6 [. |/ _+ ~/ l
    ENDDATA
    : O) x5 A; Q' w& [7 X !The model:Ref. Desrochers & Laporte, OR Letters,
    8 O1 x2 o+ L; O0 o6 Z Feb. 91;; {, a5 R) s9 s# q* p, X3 ?$ x
    N = @SIZE( CITY);
    " P3 O4 C: P: ^5 J* _2 w8 t MIN = @SUM( LINK: DIST * X);  S3 [( |* I# E# y
    @FOR( CITY( K):# R, a3 s  @( J$ _- E
    ! It must be entered;# v4 C* x) Z* H9 J
    @SUM( CITY( I)| I #NE# K: X( I, K)) = 1;9 H: ]% E$ t; D$ u
    ! It must be departed;& J+ L" Q# n7 W6 O, c
    @SUM( CITY( J)| J #NE# K: X( K, J)) = 1;5 V( ~: V6 p/ P* X: v
    ! Weak form of the subtour breaking constraints;5 I7 t/ W6 f* `1 `2 p
    ! These are not very powerful for large problems;
    + N+ f9 n6 d9 L @FOR( CITY( J)| J #GT# 1 #AND# J #NE# K:& ]; t, ~) Z6 k
    U( J) >= U( K) + X ( K, J) -
    8 t; X- Y# B9 j0 l8 ^2 i7 Y/ x% K ( N - 2) * ( 1 - X( K, J)) +% c+ B# {. A: v" N1 i5 x. P
    ( N - 3) * X( J, K)));
    # ?$ F3 O$ p6 ^& W4 t, q9 N ! Make the X's 0/1;8 F* B( C  G% Z: q# X, F
    @FOR( LINK: @BIN( X));- D& N3 q1 U3 D' O9 g1 @
    ! For the first and last stop we know...;9 U* t$ D( w$ ~3 H7 K# a) n1 U- B" t
    @FOR( CITY( K)| K #GT# 1:: X  @- g0 C0 o. O! I+ h
    U( K) <= N - 1 - ( N - 2) * X( 1, K);
    1 Y+ J) u" `% o: N. Q U( K) >= 1 + ( N - 2) * X( K, 1));" P* j7 r2 _. ~, N4 X
    END # z8 q% M8 c, E0 V$ H
    # @5 F/ T' z, n1 K. U# Z
      R, [3 P* u$ C5 H" [0 C# h

    0 C) E# ^4 _( [% t' D————————————————$ W& a$ o3 A2 K. B. M
    版权声明:本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。
    3 Q* L3 I) X! @, J, ]0 t, d原文链接:https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89788999
    ( R* F% z3 K6 G% t$ a+ h# {0 V! Y& _7 A# D# e, x

    3 g# L+ l0 ?/ A1 S# }  w0 c+ j
    zan
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