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TA的每日心情 | 开心 2020-11-14 17:15 |
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Euler 图就是从一顶点出发【每条边】恰通过一次能回到出发点的那种图,【中国邮递员问题】的数学模型是:在一个赋权连通图上求一个含所有边的回路, 且使此回路的权最小。 显然,若此连通赋权图是 Euler 图,则可用 Fleury 算法求 Euler 回路,此回路即为 所求。
% m# y/ a: ]4 D+ }4 A# u- m
4 X2 U+ a5 P9 a$ O Hamilton 图就是从一顶点出发【每个顶点】恰通过一次能回到出发点的那种图。【旅行商问题描述】一名推销员准备前往若干城市推销产品,然后回到他的出发地。如何为他设计一条 最短的旅行路线(从驻地出发,经过每个城市恰好一次,最后返回驻地)?。用图论的术语说,就是在一个赋权完全图中,找出一个有最小权的 Hamilton 圈。称这种圈为最优圈。8 j+ v; Q5 @7 @4 R/ M% ~0 ?- _6 m$ K
, m7 O9 d+ K5 T
1 基本概念
5 e9 D* e: H0 K6 R' K4 ~【定义】 经过G 的每条边的迹叫做G 的 Euler 迹;闭的 Euler 迹叫做 Euler 回路或 E 回路;含 Euler 回路的图叫做 Euler 图。 直观地讲,Euler 图就是从一顶点出发每边恰通过一次能回到出发点的那种图,即 不重复地行遍所有的边再回到出发点。0 E& M4 L; }! s
![]()
1 C3 `9 m9 {+ e7 [7 s2 W" C9 Z0 c$ s4 y6 A8 T6 X$ P
, M p6 G' ]' i3 b. P- z- K【定义 】包含G 的每个顶点的轨叫做 Hamilton(哈密顿)轨;闭的 Hamilton 轨叫做 Hamilton 圈或 H 圈;含 Hamilton 圈的图叫做 Hamilton 图。 直观地讲,Hamilton 图就是从一顶点出发每顶点恰通过一次能回到出发点的那种图,即不重复地行遍所有的顶点再回到出发点。
# }0 E1 i1 j# `0 n) g4 G6 `& @+ h6 J0 _
2 Euler 回路的 Fleury 算法
+ _: c0 D6 {6 f2 ~9 E. h7 s. G- ]' a1921 年,Fleury 给出下面的求 Euler 回路的算法。
+ G, `: q0 ?) A9 `5 Y0 ~- s* y9 ~# w9 y; y0 N% h
$ X+ P0 F$ E$ R& t# G
2 P0 A& J6 h* k
0 _) R6 u* G2 f% S; o
& E0 C) K2 w! A1 `7 Q. {例 :邮递员问题9 h; Y; T7 a' f1 k/ H
中国邮递员问题 一位邮递员从邮局选好邮件去投递,然后返回邮局,当然他必须经过他负责投递的 每条街道至少一次,为他设计一条投递路线,使得他行程最短。! \# H3 C$ i s* K2 p" q: W+ q
1 K E* x0 L( j+ e8 ]; _
上述中国邮递员问题的数学模型是:在一个赋权连通图上求一个含所有边的回路, 且使此回路的权最小。 显然,若此连通赋权图是 Euler 图,则可用 Fleury 算法求 Euler 回路,此回路即为 所求。
8 X* G& f1 H- ^) U' V
( h6 U, R% G& T0 D7 h非 Euler 图的权最小的回路的求解方法9 Y5 ^8 n$ M4 S: Q0 x4 z% |
5 W. |4 q+ z, y对于非 Euler 图,1973 年,Edmonds 和 Johnson 给出下面的解法:
1 o) T8 S, r) C! V% S( J: M8 U 2 E0 F# b' p" L L2 x f* K
9 L5 s' V4 o8 |2 K7 j* [ _. J
" Y1 g* O7 r- R& J0 L$ W3 b多邮递员问题
4 Y5 O& K+ n& R5 P4 _! V 邮局有 k(k ≥ 2) 位投递员,同时投递信件,全城街道都要投递,完成任务返回邮 局,如何分配投递路线,使得完成投递任务的时间最早?我们把这一问题记成 kPP。 kPP 的数学模型如下:2 D' p `! | R8 j# w% F! ?& ?
8 i1 ^, u- P- c- u% y![]()
p3 g; d/ C$ n$ @. Q; x
4 ?1 [; C, N$ P& G3 旅行商(TSP)问题. b* T1 c9 t* n+ e* w4 O& ]. g
一名推销员准备前往若干城市推销产品,然后回到他的出发地。如何为他设计一条 最短的旅行路线(从驻地出发,经过每个城市恰好一次,最后返回驻地)?这个问题称 为旅行商问题。用图论的术语说,就是在一个赋权完全图中,找出一个有最小权的 Hamilton 圈。称这种圈为最优圈。与最短路问题及连线问题相反,目前还没有求解旅行 商问题的有效算法。所以希望有一个方法以获得相当好(但不一定最优)的解。 H% _* t1 ]3 R2 d- q8 i
( `6 C$ k: s0 D/ R
3.1 改良圈算法# `2 b* _0 Y, R6 P0 P( w7 c5 S/ U. B
! n" {2 w/ G" g; a5 \# J
0 L' e# P3 r; [0 T p4 j: h
! R! W$ N3 ?9 m; I
. L7 t, a: b: n; P1 c$ [* M) b
用改良圈算法得到的结果几乎可以肯定不是最优的。为了得到更高的精确度,可以 选择不同的初始圈,重复进行几次算法,以求得较精确的结果。 这个算法的优劣程度有时能用 Kruskal 算法加以说明。% `4 n% @& P3 T: X i9 u3 z% U
6 a0 [: X% q/ R4 l) y
假设C 是G 中的最优圈。 则对于任何顶点v ,C − v 是在G − v 中的 Hamilton 轨,因而也是G − v 的生成树。由 此推知:若 T 是 G − v 中的最优树,同时 e 和 f 是和 v 关联的两条边,并使得 w(e) + w( f ) 尽可能小,则 w(T ) + w(e) + w( f ) 将是 w(C) 的一个上界。 这里介绍的方法已被进一步发展。圈的修改过程一次替换三条边比一次仅替换两条 边更为有效;然而,有点奇怪的是,进一步推广这一想法,就不对了。
1 U% ~5 I+ f$ |. P: ]5 @- P4 p: s) J R4 L7 h- h
例 15 从北京(Pe)乘飞机到东京(T)、纽约(N)、墨西哥城(M)、伦敦(L)、巴黎(Pa) 五城市做旅游,每城市恰去一次再回北京,应如何安排旅游线,使旅程最短?各城市之 间的航线距离如表 7。3 T% v }, K C) t" B
3 |0 T% Q( Y4 w e![]()
, A& L2 A# w, Y( |+ E& a1 p5 @' P# U( v9 B; h( f
解:编写程序如下:
. U. K4 j1 k& r9 E: r9 S U/ I! N) i6 R }
function main
, A6 w2 h# C# u& K$ j5 S5 aclc,clear
) u3 }8 z$ }/ |' D0 x6 t5 hglobal a
! e4 V/ j" X C4 G5 ga=zeros(6);
) O9 X0 n- X. M$ F' g. Y5 Ja(1,2)=56;a(1,3)=35;a(1,4)=21;a(1,5)=51;a(1,6)=60;
$ i {! k2 O) n* aa(2,3)=21;a(2,4)=57;a(2,5)=78;a(2,6)=70;
% m; U1 a) K* H2 Aa(3,4)=36;a(3,5)=68;a(3,6)=68; a(4,5)=51;a(4,6)=61;
$ s5 d' x; F6 Z. ~' @5 da(5,6)=13; a=a+a'; L=size(a,1);
: S- U6 W3 k7 t1 Lc1=[5 1:4 6];
7 f; w& Z8 l# x1 }1 D+ ^/ G3 S[circle,long]=modifycircle(c1,L);* m8 ?$ v/ t* T+ x
c2=[5 6 1:4];%改变初始圈,该算法的最后一个顶点不动; X5 w( k' m* H. m4 c' _
[circle2,long2]=modifycircle(c2,L);
; O/ i8 q0 j; y" D' M% W, Sif long2<long
) o3 j; C8 G' M) B long=long2;3 s9 D$ G" i1 R. m: L+ c2 O2 [
circle=circle2;
# H. @& a# W: H* G. N$ M7 T4 B/ lend8 G' J% i: j) |; H& E+ U( a
circle,long
. M. R" O+ X1 Q3 O& p+ \%*******************************************7 j9 e: d# L& f- \- h
%修改圈的子函数7 Y) B; o( Z9 K6 c$ [8 _' p
%*******************************************( v7 r5 v0 `% B! _% I
function [circle,long]=modifycircle(c1,L);
. \ a/ w4 Y( {global a3 l5 \2 F y4 R; @$ `& y
flag=1;8 C5 G; P* [% [# M B% T: a$ e* _
while flag>0
! j8 Q2 L- G' v( U: c; h1 C4 X5 g: s flag=0;- n: {" [' O: U; T C. U1 S
for m=1 -3
6 M: |6 K/ ]9 |$ l2 d for n=m+2 -1
/ r, j; ]' a, n6 \# p6 t if a(c1(m),c1(n))+a(c1(m+1),c1(n+1))<...
! u2 f" u% e6 q# D* L) l/ g a(c1(m),c1(m+1))+a(c1(n),c1(n+1))
9 [2 C5 g2 g+ N% H flag=1;5 }1 D5 a7 w2 f0 I6 i
c1(m+1:n)=c1(n:-1:m+1);
9 Q! P; X; u4 ^/ B8 Y end
2 K* B6 x2 t- j: x. s6 o end
: @* Q- R$ Y: |" [* K2 q3 ~2 j end- u6 X0 c, u* r7 W" B$ f
end
. f6 Q. Q) K9 elong=a(c1(1),c1(L));
* T) C6 D4 n+ O& R0 _for i=1 -1
+ A6 E. B( N+ R! s3 W9 T long=long+a(c1(i),c1(i+1));, N, R" c- }6 f
end& o$ H; f# v6 ^( K! K* l
circle=c1; 2 m9 H4 U( l1 x2 R9 ~
* |& x9 [& o5 e8 E0 J7 r
4 a& i) p& p% m" b3.2 旅行商问题的数学表达式
9 B4 Z, I z t+ a5 i) D! u* _! A2 v- O. T0 _5 Q, q+ o
![]()
# ^ A( Z/ f* j4 W" t+ I! C$ d" s将旅行商问题写成数学规划的具体形式还需要一定的技巧,下面的例子我们引用 LINGO 帮助中的一个程序。
" Y: q- e0 y+ r
* f) f+ ~, m$ ]: ^; |例 16 已知 SV 地区各城镇之间距离见表 8,某公司计划在 SV 地区做广告宣传, 推销员从城市 1 出发,经过各个城镇,再回到城市 1。为节约开支,公司希望推销员走 过这 10 个城镇的总距离最少。
9 y7 Q$ ?. }4 {% T
- R& I, {# N( g k4 j* Y( C7 x 7 g# t; ?$ s6 z( I9 | B3 v T
. j$ e4 ^; g. ?+ Q0 u$ c: X. j9 d3 _2 V, S9 f' L8 ?- R" A
1 o) R/ v. o' X, g
解 编写 LINGO 程序如下:) D" S8 \4 s' k0 v3 k
; ~% O( r8 }- ^$ i& BMODEL:9 ~" O; i* e2 D
SETS:
4 q5 i- o% y. r+ Q) F CITY / 1.. 10/: U; ! U( I) = sequence no. of city;6 F+ ]) |( S. [ c! }: j
LINK( CITY, CITY):. u+ B K% h; }- L5 ~7 n
DIST, ! The distance matrix;* o5 E6 ?8 j" `
X; ! X( I, J) = 1 if we use link I, J;
. n+ j5 {5 K! R' C5 W( Q6 w4 K- S- ~ ENDSETS
7 n* t) d2 [0 u& n DATA: !Distance matrix, it need not be symmetric;
8 a: b& [' c1 [2 Y2 | DIST =0 8 5 9 12 14 12 16 17 22
% D5 b$ F1 ]( @- u! J q9 E 8 0 9 15 17 8 11 18 14 22
" j4 h, q O: j" Y' E, D 5 9 0 7 9 11 7 12 12 17
! L! S7 o7 f3 ^& ^* y6 y2 ?( [ 9 15 7 0 3 17 10 7 15 188 p, A3 t6 h, E
12 17 9 3 0 8 10 6 15 15/ {# P# e3 l! N; |2 D
14 8 11 17 8 0 9 14 8 16! u9 W) @7 @6 h0 N" f# [( Z( J
12 11 7 10 10 9 0 8 6 11, O! q0 X ~9 r( y2 m
16 18 12 7 6 14 8 0 11 11$ m. O+ k1 V& x7 Y1 @9 n* d
17 14 12 15 15 8 6 11 0 10
0 t/ u L' G# S' _ 22 22 17 18 15 16 11 11 10 0;3 P% u' p% a& @3 i( T
ENDDATA
0 n$ Q% P6 c1 a !The model:Ref. Desrochers & Laporte, OR Letters,
( g( M8 r; m5 Q* Z6 e Feb. 91;* P; U! l( ^% o
N = @SIZE( CITY);. K4 h/ W7 D5 f3 S# L5 [
MIN = @SUM( LINK: DIST * X);$ f4 o" D9 P* v- I& r
@FOR( CITY( K):6 J# Q9 u2 d9 `( i& x, c* V7 S6 n
! It must be entered;2 T. _: m6 P" D+ [1 W
@SUM( CITY( I)| I #NE# K: X( I, K)) = 1;
7 Y" E" ]- j& o! C/ x, w ! It must be departed;
1 N) Z) t+ v+ g' H @SUM( CITY( J)| J #NE# K: X( K, J)) = 1;
; U/ F9 x4 ?9 m+ i ! Weak form of the subtour breaking constraints;
4 d+ \; V. w" I# g, o U" \. V ! These are not very powerful for large problems;
) S$ E i3 l% P: a1 R" w/ b1 Q @FOR( CITY( J)| J #GT# 1 #AND# J #NE# K:3 h6 t! z. R! c7 u$ h
U( J) >= U( K) + X ( K, J) -3 \+ R' O/ [, S7 V( ?: H
( N - 2) * ( 1 - X( K, J)) +# ~9 R4 m* W8 i: F5 }
( N - 3) * X( J, K)));6 m; {) V, Z. ]4 t+ }
! Make the X's 0/1;4 J. D8 X9 j; E4 ^9 B$ S5 D
@FOR( LINK: @BIN( X));( @5 ^( K* C+ ?! r/ @) M
! For the first and last stop we know...;
7 t, h' X& b& [* H ^% I @FOR( CITY( K)| K #GT# 1:
, U4 Q0 `) I3 G1 T/ s3 u* a U( K) <= N - 1 - ( N - 2) * X( 1, K);
( V' q& a- ?) p8 P U( K) >= 1 + ( N - 2) * X( K, 1));# E4 l! F/ v/ h# f
END
6 ^' D; H1 t, _; p3 ]. N* n/ Z# l5 p) Y3 k
, v' J# A6 y# @; v8 L9 o) i. }
% e) g1 y3 Z0 n. @9 s* ^: @! S————————————————( O% o4 @) g- ^3 X7 S! ]" \
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n, B1 T/ I: a
( F) x* T! l4 ^1 p0 f3 ?: R
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