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TA的每日心情 | 开心 2020-11-14 17:15 |
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1 最小费用流! l5 Q3 Z, {, R7 m) p
上面我们介绍了一个网络上最短路以及最大流的算法,但是还没有考虑到网络上流 的费用问题,在许多实际问题中,费用的因素很重要。例如,在运输问题中,人们总是 希望在完成运输任务的同时,寻求一个使总的运输费用最小的运输方案。这就是下面要 介绍的最小费用流问题。
7 j+ I8 i% I1 f8 R$ T% Q- a* ^7 U0 I, G( a$ J
最小费用流问题的线性规划表示
- @) V \/ a* c$ D3 y在运输网络 N = (s,t,V, A,U) 中,设 是定义在 A 上的非负函数,它表示通过弧 (i, j) 单位流的费用。所谓最小费用流问题就是从发点到收点怎样以最小费用输送一已 知量为v( f ) 的总流量。 最小费用流问题可以用如下的线性规划问题描述:
$ C5 _* x8 }8 N+ S7 c# r5 i
8 J7 w8 v5 v' I+ _ , L9 Z# x) g8 \8 o1 z
3 l- N, ~, b n9 C/ c1 ?4 K& | d( U, }1 p& o9 n( f" l) n9 e
例 19(最小费用最大流问题)- v3 c9 _; K( T* C R! i
(续例 18)由于输油管道的长短不一或地质等原因, 使每条管道上运输费用也不相同,因此,除考虑输油管道的最大流外,还需要考虑输油 管道输送最大流的最小费用。图 8 所示是带有运费的网络,其中第 1 个数字是网络的容 量,第 2 个数字是网络的单位运费。
- w, u/ B2 d( m+ G7 N% F- a3 R ( Z9 ?( ~. I: [% E
, K$ {$ x0 ]3 c* S- o
P6 B. g4 u* p! l6 r
9 k2 h$ m9 q2 ^* u* Q( ?! s$ H解 按照最小费用流的数学规划写出相应的 LINGO 程序如下:' a' Q* B% ?% V" I/ b: A& l+ |/ ]
model:5 e! n5 Z% R; p% T/ E
sets:
- u* ]1 O: r7 I/ k, r3 B1 ]# o% l5 enodes/s,1,2,3,4,t/:d;
5 p, s3 s T$ A/ I+ c. @( ^1 V0 e" Parcs(nodes,nodes)/s 1,s 3,1 2,1 3,2 3,2 t,3 4,4 2,4 t/:c,u,f;
, S" r' ?# M9 hendsets" V6 L+ x. v* @0 _2 e( j) v: _
data:
7 T/ k1 B9 [5 R% v. Ud=14 0 0 0 0 -14; !最大流为14;
- ]" L2 m B" _+ `8 E6 Hc=2 8 2 5 1 6 3 4 7;
9 e* _2 D8 L! y T, L: F( _u=8 7 9 5 2 5 9 6 10;. c, K' Q% j7 a) w
enddata
! @8 u" T8 z" B' m5 c$ V: ~min=@sum(arcs:c*f); & i; U& T' [: a/ |9 Y# @1 B, u+ U# ]. ` e
@for(nodes(i) sum(arcs(i,j):f(i,j))-@sum(arcs(j,i):f(j,i))=d(i));/ |! j) A& B' s
@for(arcs bnd(0,f,u));8 h% u7 C3 ^! X+ F2 s( L# a
end2 W# v, v4 X6 _( J/ C
0 u$ e( _5 S$ R1 A# L
求得最大流的最小费用是 205,而原最大流的费用为 210 单位,原方案并不是最优 的。 类似地,可以利用赋权邻接矩阵编程求得最小费用最大流。LINGO 程序如下:' v' t. D, E8 j9 B, |
) w6 c6 p0 Y k$ {9 V* p
model:: q* w% ]/ P& k8 k9 w
sets:
3 b }' ] H3 ]4 E5 @% Hnodes/s,1,2,3,4,t/:d;
4 X6 W% M. I) [9 z, M+ jarcs(nodes,nodes):c,u,f;0 x! F. l1 a* s* V/ k P$ p# r
endsets
% Z$ v& r2 ~7 d8 k. Mdata:
$ K8 e S2 g' m0 w9 ]/ q5 Kd=14 0 0 0 0 -14;
3 e- d- J# G9 j* A mc=0; u=0;& Y- \) V7 R0 E. \" l9 M* D; {
enddata5 U* k" D' n5 g. ?- u
calc:: p1 b {1 A) U+ W% s# L! L
c(1,2)=2;c(1,4)=8;2 f A; B( J5 l! m$ b
c(2,3)=2;c(2,4)=5;4 a! J K1 ^: \. t$ ?) M4 G
c(3,4)=1;c(3,6)=6;# X9 x4 |6 k- f, u! K
c(4,5)=3;c(5,3)=4;c(5,6)=7;
- u' }, [% {& r+ D% k! _u(1,2)=8;u(1,4)=7;
9 v4 t+ ?# S. K% e& bu(2,3)=9;u(2,4)=5;
: G- T6 C4 ?; R; M: [u(3,4)=2;u(3,6)=5;6 \5 y6 T) \: p6 M1 I
u(4,5)=9;u(5,3)=6;u(5,6)=10;
5 w! e6 z* [0 K. Mendcalc
, J1 W( W7 p4 z omin=@sum(arcs:c*f);
9 Q: e/ {" |) B$ ~@for(nodes(i) sum(nodes(j):f(i,j))-@sum(nodes(j):f(j,i))=d(i));
* ?. P' e3 u p7 t7 q* Y5 C@for(arcs bnd(0,f,u));* M' v. F! y) p: P" y7 H) F0 r* P
end & R) p8 r% S0 g: ]/ ^
% Z; N: E5 h% Z5 ?" z3 B# N" ?
2 求最小费用流的一种方法—迭代法
0 l7 b4 v2 \6 \7 p6 S这里所介绍的求最小费用流的方法叫做迭代法。这个方法是由 Busacker 和 Gowan 在 1961 年提出的。其主要步骤如下:
! l9 N" q$ s' l" c8 o4 j- W: @) ^; C" d; Z1 b
![]()
! V$ D2 g" W% U! p. z) @, f0 b' s. `9 C
下面我们编写了最小费用最大流函数 mincostmaxflow,其中调用了利用 Floyd 算法 求最短路的函数 floydpath。
6 @6 ^0 K" v8 G0 V, ?3 q" z# |" k7 @* m; @6 s7 V# F" G0 ^, J8 p
求解例 19 具体程序如下(下面的全部程序放在一个文件中):) j8 }$ E F* {( i' b7 [; S) w
+ a& n8 |2 y# Q s6 B' I1 ~0 j: jfunction mainexample19/ B) k3 X7 [4 f
clear;clc;
- t) @: P; }/ ^% P6 y7 P% K# ^0 Fglobal M num7 Z3 y6 h# t" C" A* i# w, Z
c=zeros(6);u=zeros(6);# }0 Y4 j9 x1 g9 G* y$ T, n/ D- t
c(1,2)=2;c(1,4)=8;c(2,3)=2;c(2,4)=5;) l& D; d @! V- {, n! F
c(3,4)=1;c(3,6)=6;c(4,5)=3;c(5,3)=4;c(5,6)=7;
5 o1 \$ [5 B. H6 \9 h9 Y$ k+ u* I1 Hu(1,2)=8;u(1,4)=7;u(2,3)=9;u(2,4)=5;! J, Z) Y: f. S" A* Y/ m: S
u(3,4)=2;u(3,6)=5;u(4,5)=9;u(5,3)=6;u(5,6)=10;" w( N* W* f/ h+ k. `! \0 w4 D
num=size(u,1);M=sum(sum(u))*num^2;1 {9 U2 Y; U, V" P! }
[f,val]=mincostmaxflow(u,c)
8 f/ n4 N. Y: R% X%求最短路径函数7 }; @/ Y) T2 Y% A
function path=floydpath(w);; d' F2 y" [4 v1 s1 Z6 P
global M num
! G; n# [3 A5 w) kw=w+((w==0)-eye(num))*M;
( M+ ]$ U. P& @% S* h( Xp=zeros(num);" V6 c' N7 N+ p6 ]- k g, |$ }) D
for k=1:num
' |# U( D* |4 Q/ z: o1 W* r for i=1:num
6 T' M% G( K* l8 J5 H O/ \0 S for j=1:num8 X% t. a; I$ D0 x# v
if w(i,j)>w(i,k)+w(k,j)( V4 c, g/ r& L2 o: A$ z. n' z2 ]
w(i,j)=w(i,k)+w(k,j);
% W3 m4 \3 L: S: A: y$ s p(i,j)=k;
: ` L7 ?0 G3 b; f7 y end6 G; |" Y$ M" e3 P7 u
end
) _9 b- }+ U, b" s end
* v% z& Y& n+ ?8 H6 ^ h1 \end
3 H- T& G5 g( [ M, T- P# Bif w(1,num) ==M8 ^* q9 {6 c1 f# T3 |1 i3 W
path=[];0 e" ^5 g: O( z. a
else2 J* Q' k/ ~" c4 C
path=zeros(num);$ P( B" `" l$ \9 @8 }9 h
s=1;t=num;m=p(s,t);
R1 X: g5 c3 Q- P7 I0 } while ~isempty(m)* Y2 _- x9 Q5 u8 [" j5 t `
if m(1)$ B$ @: k: M. z4 j' q" _ M
s=[s,m(1)];t=[t,t(1)];t(1)=m(1);* h* n1 s& U6 F4 @
m(1)=[];m=[p(s(1),t(1)),m,p(s(end),t(end))];0 C9 F5 R8 P- Q* D( z+ X; i
else
! ^$ C3 @' I1 ^2 u+ ? path(s(1),t(1))=1;s(1)=[];m(1)=[];t(1)=[];
5 D/ z& u) t% m Y4 n- ]; `7 t& y end8 x4 S a+ K+ R, E
end, N; j* d6 R. F3 ~# X. K" q, W
end' U# X6 {! b) W8 R- z. s% D
%最小费用最大流函数, k& Q4 H" n7 l" l" l$ U+ z
function [flow,val]=mincostmaxflow(rongliang,cost,flowvalue);
& u6 C7 s5 z% B5 ]3 y%第一个参数:容量矩阵;第二个参数:费用矩阵;/ v; f0 v, ?1 K; ]
%前两个参数必须在不通路处置零5 n" ^5 D5 M: `$ v# C9 j
%第三个参数:指定容量值(可以不写,表示求最小费用最大流)
, h& M, F% m- Y3 J8 Y1 Z, u%返回值 flow 为可行流矩阵,val 为最小费用值
- b3 I6 @ J; e' O4 @9 z+ N8 U% x' Jglobal M
. \8 {' k; m: y7 | F& Wflow=zeros(size(rongliang));allflow=sum(flow(1, );/ J$ q8 p$ g" g+ y! U
if nargin<3
% m( \$ @/ d* I0 U; P# y/ R) ` flowvalue=M;$ @- i, h |; p: l7 ~: d
end ; z) F7 J: r: a5 S$ K/ G
while allflow<flowvalue
0 ?/ r1 g6 ~& ~5 r w=(flow<rongliang).*cost-((flow>0).*cost)';
2 D" ]9 r' |: g% ?+ d# i/ O path=floydpath(w);%调用 floydpath 函数
! o% _ I5 o4 X5 _ if isempty(path)6 v) ^1 o" B7 H& D4 P. b
val=sum(sum(flow.*cost));4 \! `1 v8 i. ^! C, |1 ]( |
return;
( ]1 h4 X& L0 K& n% A, z end& T0 l2 l; f* ^5 j
theta=min(min(path.*(rongliang-flow)+(path.*(rongliang-flow)==0).*M));( p ?7 F) A/ _+ V
theta=min([min(path'.*flow+(path'.*flow==0).*M),theta]);; m0 W/ O& x) n. D1 L
flow=flow+(rongliang>0).*(path-path').*theta;
. D2 C% J7 l% i: H allflow=sum(flow(1, );
' B& |: l0 \: q: V$ Eend
' @" l" f5 P+ S+ l& N' e( i" `val=sum(sum(flow.*cost));
], U% y" m* |, e" m1 h0 z
. E) H. b2 y% h9 f$ x2 Y* b: m' J, p) h% c
# }! P; F! z+ A2 ^0 U3 l9 U8 b. u" J3 f1 k( P; f
————————————————3 I+ P. _* v/ W2 [) ^, N
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9 v5 E# I S+ W
6 y8 A1 S* X. n3 t
$ w! Z$ Q/ T" B b0 t |
zan
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