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最小费用流及其求法

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    发表于 2020-5-20 17:36 |只看该作者 |倒序浏览
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    1 最小费用流
    9 ], U& A* K9 |0 B5 F* E0 }上面我们介绍了一个网络上最短路以及最大流的算法,但是还没有考虑到网络上流 的费用问题,在许多实际问题中,费用的因素很重要。例如,在运输问题中,人们总是 希望在完成运输任务的同时,寻求一个使总的运输费用最小的运输方案。这就是下面要 介绍的最小费用流问题。
    3 h: m3 W" G. d4 ^1 S
    3 m7 v# c. r, H2 [4 ~; K* h. v最小费用流问题的线性规划表示( d% y; l4 Z8 M  E
    在运输网络 N = (s,t,V, A,U) 中,设  是定义在 A 上的非负函数,它表示通过弧 (i, j) 单位流的费用。所谓最小费用流问题就是从发点到收点怎样以最小费用输送一已 知量为v( f ) 的总流量。 最小费用流问题可以用如下的线性规划问题描述:; A% e# i+ g2 |, R
    % q0 C# C( b, `' v, J
    ) o/ I$ q+ v- q1 b  s0 m* M

    2 l& [: W! Y* m, W1 \3 T6 `4 i9 A
          例 19(最小费用最大流问题), r" T* y  P7 j* \. x$ W7 i
    (续例 18)由于输油管道的长短不一或地质等原因, 使每条管道上运输费用也不相同,因此,除考虑输油管道的最大流外,还需要考虑输油 管道输送最大流的最小费用。图 8 所示是带有运费的网络,其中第 1 个数字是网络的容 量,第 2 个数字是网络的单位运费。7 X. K1 R8 @  V9 \, G# A
    + c3 j- F% w  J2 |3 U% d
    0 B" _% R! F* [3 M2 x, n& ~' G1 R

    3 w! O+ `8 Z( W7 R6 H8 i5 d$ ]2 x# Y# `
    解 按照最小费用流的数学规划写出相应的 LINGO 程序如下:( B" [& D' p( V" ~' j- E& d) y! |: e
    model:: y2 B- h  M' V% Q" S$ T+ y' m% `
    sets:2 g: O: l* `" x
    nodes/s,1,2,3,4,t/:d;
    0 ^4 ~3 ?  o+ C+ E/ harcs(nodes,nodes)/s 1,s 3,1 2,1 3,2 3,2 t,3 4,4 2,4 t/:c,u,f;
    6 ]2 y2 W( _$ U1 t  ~$ C& r" Jendsets
    - P% q' M0 |1 @1 z) cdata:
    " \" R8 j" C+ r4 Zd=14 0 0 0 0 -14; !最大流为14;
      \) y* Y4 p  ?9 y- X7 X- Gc=2 8 2 5 1 6 3 4 7;
    3 `( U& _2 E1 G  Z8 g" e6 ?u=8 7 9 5 2 5 9 6 10;* e+ l7 q3 p& J5 L4 _6 u
    enddata: Y9 A) f6 b9 N
    min=@sum(arcs:c*f); , n" j' Z; A2 i6 R; v1 c2 C4 Y  n- `
    @for(nodes(i)sum(arcs(i,j):f(i,j))-@sum(arcs(j,i):f(j,i))=d(i));, t5 h8 M. o5 A0 y+ M) S; m3 K7 A+ R
    @for(arcsbnd(0,f,u));
    0 ?( H& M; R1 _3 Z; b/ `3 ?end1 X% \6 X3 V. O6 t+ K

    1 f# E9 c+ T, F- P* K7 H7 e. S4 q( K求得最大流的最小费用是 205,而原最大流的费用为 210 单位,原方案并不是最优 的。 类似地,可以利用赋权邻接矩阵编程求得最小费用最大流。LINGO 程序如下:1 E3 g# s% Y% |% I  R

    $ k" u. V3 v5 O$ j0 [/ T3 xmodel:
    * B. l+ [/ j" H# ysets:4 ]+ D: C. s# |0 }
    nodes/s,1,2,3,4,t/:d;
    2 H- q: b: V% M9 Tarcs(nodes,nodes):c,u,f;
    4 l0 [' i* Q) T: Sendsets
    ( [/ ~* t: Q4 S5 Q! w. qdata:; B! _9 \5 k& y# e. ]
    d=14 0 0 0 0 -14;
    4 l  S, q+ |- [) d0 l5 ^& Ec=0; u=0;& L- r$ V( B% x3 z2 L1 V
    enddata0 ]8 S# y5 C% Y4 R$ p3 G- ~; J% {
    calc:
    # E1 b) B+ `4 U+ }c(1,2)=2;c(1,4)=8;9 {2 Q2 P2 W' |6 ]  Y" s6 d
    c(2,3)=2;c(2,4)=5;
    . f" z1 q% u0 r+ S7 k% ]4 {c(3,4)=1;c(3,6)=6;
    5 Y. [. N3 [4 g$ i. lc(4,5)=3;c(5,3)=4;c(5,6)=7;
    ' t6 z: `0 [0 f4 nu(1,2)=8;u(1,4)=7;/ H, y* R" K# t! m7 Z
    u(2,3)=9;u(2,4)=5;
    7 K/ G$ n; ^4 P$ \" V6 T% m- bu(3,4)=2;u(3,6)=5;3 X( `( v: ?+ {9 _
    u(4,5)=9;u(5,3)=6;u(5,6)=10;
    & a8 j' Z- e) H  L1 z& qendcalc
    / C8 k$ p+ n$ c0 Hmin=@sum(arcs:c*f);
    3 H0 A6 p; z8 p* _4 G+ i@for(nodes(i)sum(nodes(j):f(i,j))-@sum(nodes(j):f(j,i))=d(i));+ o' G  w1 R- o% }# N8 I) J
    @for(arcsbnd(0,f,u));) y. m* v. T6 ?1 _: L* V; L
    end
    ! N; d# z% ?" y) I/ }" I, u( w, [: ?( y) }$ C: ?9 w
    2 求最小费用流的一种方法—迭代法# ?) y, m" V5 |) x4 b
    这里所介绍的求最小费用流的方法叫做迭代法。这个方法是由 Busacker 和 Gowan 在 1961 年提出的。其主要步骤如下:& |- [6 X9 c; o% }

    - V) @7 Q5 ~3 J% d$ u0 @. T# V% m/ C0 U3 K) W
    ) j, N2 P3 B, F4 h) X
    下面我们编写了最小费用最大流函数 mincostmaxflow,其中调用了利用 Floyd 算法 求最短路的函数 floydpath。
    ) J; J( c4 h' h. q9 K" R0 A. X! u7 Q, g; A. E
    求解例 19 具体程序如下(下面的全部程序放在一个文件中):
    3 w8 R  A/ u) R3 N; ^7 g, b" @8 X$ b0 s
    function mainexample19
    2 t* E5 {! Z- o( X% rclear;clc;
    9 ^* w. D7 `4 ^6 X) F8 vglobal M num
    9 t) K3 p1 L% M8 i# N) |c=zeros(6);u=zeros(6);, k2 q+ _! n( i- K
    c(1,2)=2;c(1,4)=8;c(2,3)=2;c(2,4)=5;3 X7 t- S! H2 k* S% s! P
    c(3,4)=1;c(3,6)=6;c(4,5)=3;c(5,3)=4;c(5,6)=7;
    & V  L0 e! B1 }u(1,2)=8;u(1,4)=7;u(2,3)=9;u(2,4)=5;
    : ]. D# r3 Y+ x3 L" O, yu(3,4)=2;u(3,6)=5;u(4,5)=9;u(5,3)=6;u(5,6)=10;$ P: A/ q, @' `3 t
    num=size(u,1);M=sum(sum(u))*num^2;
    ( O  F& q+ w" T$ h: Z0 u[f,val]=mincostmaxflow(u,c)' i: z" E) x: e" Q4 ]
    %求最短路径函数
    , ?# c3 G2 ]6 R6 }function path=floydpath(w);
    / F/ @% t( |# _+ ]  d2 xglobal M num; _( I& J% O( w( |! Q7 F
    w=w+((w==0)-eye(num))*M;0 a; M" f2 i! k, x5 R
    p=zeros(num);7 E" }( l# G9 g  [( q- K9 V/ V' r: I
    for k=1:num8 V0 a$ ?# Z- Y4 X
        for i=1:num) V% e8 j% V( [' H1 l2 g
            for j=1:num
    % d& y$ y) }. J8 H; ]            if w(i,j)>w(i,k)+w(k,j)2 _4 F# p& p' O& Z$ q+ X: }4 p
                    w(i,j)=w(i,k)+w(k,j);
    ) K& F, j/ J$ v2 [6 S$ y3 F                p(i,j)=k;
    , F: J& J. r$ t4 A8 s7 {  d! n  ~            end
    8 M: i( u3 W" d: A/ [! v        end8 k* ]' I3 _7 k9 t' h
        end1 g+ @6 f; ~  R/ |, Y7 q1 @  x
    end
    ( G/ @4 T. v# V2 u. i/ Uif w(1,num) ==M( U/ l. A0 Z' j: }' J5 t7 \' u; @
        path=[];$ i% |# R9 m  E+ B
        else) h- o% x5 L. p! h0 E
        path=zeros(num);5 W) g! K# ]$ s$ y- }; x
        s=1;t=num;m=p(s,t);
    . |; z" Y6 h, A% I; W. A$ R    while ~isempty(m)
    - J7 K4 g" n6 e1 o6 ~% |+ N  k        if m(1). J4 A5 V3 t1 A: \" z( S
                s=[s,m(1)];t=[t,t(1)];t(1)=m(1);& [+ |) W# F$ ]) D3 q7 f, J9 G* ^
                m(1)=[];m=[p(s(1),t(1)),m,p(s(end),t(end))];
    & ~- o; Z# W" D# G: {- u9 B        else
    " q) z* Q1 }1 O            path(s(1),t(1))=1;s(1)=[];m(1)=[];t(1)=[];
    4 S6 i+ d! i2 W9 o2 R2 g, D        end
    9 X' K8 r1 N- `: ?$ b% k' f5 L    end" F2 @/ Z6 ^. v. p
    end
    3 j6 g) G; Y0 h8 o7 p, @8 O%最小费用最大流函数
    . S- C* p( P+ w7 z& c  n6 mfunction [flow,val]=mincostmaxflow(rongliang,cost,flowvalue);
    % Q8 Y! y' f* L/ ]* u%第一个参数:容量矩阵;第二个参数:费用矩阵;
    4 t- g& |. v; [8 ~, O" d. ^0 U%前两个参数必须在不通路处置零/ v) c; ]% I/ u4 F
    %第三个参数:指定容量值(可以不写,表示求最小费用最大流): \2 v# x& M" D/ x, L
    %返回值 flow 为可行流矩阵,val 为最小费用值& I2 V5 m6 l6 b# x- M8 a( U! b) o
    global M; {3 c! v0 k" x' e2 l  w
    flow=zeros(size(rongliang));allflow=sum(flow(1,);" Z# o" K+ o0 b
    if nargin<3
    ; S( l1 w: i- f" g    flowvalue=M;% f* j* t2 X+ ?9 s/ R, ?
    end ) X/ F; ~8 G  A! T" a8 X
    while allflow<flowvalue
    * b' }. c- d- s8 m+ @4 H8 {    w=(flow<rongliang).*cost-((flow>0).*cost)';
    ! _8 V9 Y0 r3 f+ J3 H5 y$ ^& \    path=floydpath(w);%调用 floydpath 函数
    - X% b( K' |' \# p, k6 H% L    if isempty(path)
    7 }8 V) a* ~: N+ v, K        val=sum(sum(flow.*cost));
    4 i" C. c1 [$ O1 q        return;
    % I* D/ U! Q) {# g+ c% E1 S* h  @$ M    end: q% G* {7 s3 S. A" c( s6 q
        theta=min(min(path.*(rongliang-flow)+(path.*(rongliang-flow)==0).*M));
    , ?3 k7 ^$ Q) g) i4 [    theta=min([min(path'.*flow+(path'.*flow==0).*M),theta]);! ], U. {5 W/ z  G( \: b# B
        flow=flow+(rongliang>0).*(path-path').*theta;  d( E; {) Z7 |9 C0 s
        allflow=sum(flow(1,);
    * C8 o' F  D6 U1 N) K8 c; C0 i. s; `end9 f$ t, s4 T; x# {. m# B
    val=sum(sum(flow.*cost)); ( l2 N2 y' z  L2 \
    - d+ X- R* L7 V- s, h6 @* f
    0 _) \6 O" d& q# I" `1 Z/ |

    , f% N& Q7 h8 r' y# \1 |3 Z# h% D
    ————————————————  Z8 o' J+ @# @2 ]$ B
    版权声明:本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。
    % f4 D) m0 D! m# o. V原文链接:https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89787628" A& J  X& e2 G& _; E, g' i$ }

    / J) f. L! y' J* ?: }
    * x9 J' W; O- z/ M" O; \3 c  \4 _
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