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常用模型&算法总结—图&网络模型应用—最短路径问题

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    发表于 2020-5-19 14:55 |只看该作者 |倒序浏览
    |招呼Ta 关注Ta |邮箱已经成功绑定
    1 两个指定顶点之间的最短路径# _0 o) u. r1 x
    问题如下:给出了一个连接若干个城镇的铁路网络,在这个网络的两个指定城镇间, 找一条最短铁路线。
    ; d& K$ ~# j, s9 ~* Z  G
    6 M- ?$ E7 p. e( ]
    ) v3 q% e6 U+ U7 G+ J# z
    2 O3 B" {" E1 L' xDijkstra算法 ' X/ ]. q4 O8 t! c  C3 ]
      z" {! A1 `4 \8 m* v% ]% \& v* R

    ; e' \/ j: S8 `4 c6 P$ F( h% v例1  某公司在六个城市 中有分公司,从  到  的直接航程票价记在如下矩阵的  位置上。 (∞表示无直接航路),请帮助该公司设计一张城市 到其它城市间的票价便宜的路线图。               ' U' P2 K2 i" Y' ]. V4 t6 ~% ^3 v

    - l  h2 b( @4 K) {/ t) w
    7 [- P& }5 G9 k2 N( \$ t! I2 `6 r  w7 V5 l% \* ^
    解  用矩阵  (n为顶点个数)存放各边权的邻接矩阵,行向量 分别用来存放P 标号信息、标号顶点顺序、标号顶点索引、短通路的值。其中分量$ r' I6 h6 [6 P

    3 i5 e" m) d3 V+ q6 O4 u& b$ s* [+ P. z$ X" V$ _# `

    7 X3 [" H! N6 S求第一个城市到其它城市的短路径的 Matlab 程序如下: % s5 h. K4 Z) C3 J0 m) `3 T# t

    3 F. U$ w0 k! v2 tclc,clear
    . d( l! y, L; ^/ v! c" Ma=zeros(6);
    % q+ T* ~& _' C( Q. C; q3 |  V( Q/ qa(1,2)=50;a(1,4)=40;a(1,5)=25;a(1,6)=10;' P7 |8 ?) T: e8 R
    a(2,3)=15;a(2,4)=20;a(2,6)=25;- j9 [+ f! }/ g* {4 I7 M
    a(3,4)=10;a(3,5)=20;6 b1 n) A3 m. E' `
    a(4,5)=10;a(4,6)=25;
    7 V6 d3 O0 j* Q  I# @; ^' xa(5,6)=55;
    ' ^7 u) ?) z- ?) u5 n/ ca=a+a';
      T0 X1 C: @" ^( d5 h8 m7 Ta(find(a==0))=inf;" I, j0 @5 y' Y  ?
    pb(1:length(a))=0;pb(1)=1;index1=1;index2=ones(1,length(a));
    : |3 G) b% o2 N( P( [d(1:length(a))=inf;d(1)=0;temp=1;4 t* {/ {, J; V% l
    while sum(pb)<length(a)0 G7 L7 \* j* j) l
        tb=find(pb==0);
    ) k$ z* h' S7 C5 P% D) z    d(tb)=min(d(tb),d(temp)+a(temp,tb));
    8 K% ]  _' D* r- c5 j    tmpb=find(d(tb)==min(d(tb)));, \+ {! }+ X0 f0 B" Y9 s3 O" c9 q% z
        temp=tb(tmpb(1));
    + O) p! g! R, }( J5 c    pb(temp)=1;
    & E% ^& N( o: O- g6 l9 u    index1=[index1,temp];
    # g* M* Y' a$ p& v    temp2=find(d(index1)==d(temp)-a(temp,index1));
    4 K  u' H5 ^0 i3 T: h    index2(temp)=index1(temp2(1));/ Q- g! T! X1 }- M1 D8 d
    end% w" c% b8 l( Y
    d, index1, index2
    7 p2 [: }* ~7 |) _1 z0 p  h- V7 H( a" r" [
    2 两个指定顶点之间最短路问题的数学表达式" j' G2 \, [; e* ^% l( H8 b
    3 r3 X0 @; D3 N
    ! w6 k! ^: i) D+ ?! g/ l; O
    例 2  最小价格管道铺设方案- F1 n9 U$ F* Y  c
    在图 3 中,用点表示城市,现有 A, B1, B2 ,C1,C2 ,C3 , D 共 7 个城市。点与 点之间的连线表示城市间有道路相连。连线旁的数字表示道路的长度。现计划从城市 A 到城市 D 铺设一条天然气管道,请设计出最小价格管道铺设方案。
    6 n% `- D1 Q. A4 ]2 Q. J2 B3 V6 Z6 @& y( @
    8 h3 @1 ?. a# |- U2 ]+ t

    & p: p" v) G. V) }. M' i% T8 k编写 LINGO 程序如下:/ H. S( ^2 b, n

    * o$ }1 u6 V, J9 D. c5 Ymodel:
    % T8 P4 z( g# ~  Asets:
    ) r* \+ u9 U0 ^1 Z/ Mcities/A,B1,B2,C1,C2,C3,D/;
    ; V9 x# L% V8 qroads(cities,cities)/A B1,A B2,B1 C1,B1 C2,B1 C3,B2 C1,
    - O( U# Q8 |) W# H2 r4 C* f; HB2 C2,B2 C3,C1 D,C2 D,C3 D/:w,x;* N- j) ~# G) X1 r: D$ J
    endsets
    - F0 p" g( Y7 c" A$ V5 @# sdata:
    * E9 f' m5 \7 G9 z9 }/ Gw=2 4 3 3 1 2 3 1 1 3 4;
    : h  X. t$ E" }2 ~3 v) z$ Senddata1 a/ O0 V9 P) _: M3 G
    n=@size(cities); !城市的个数;$ _& X: d) O9 R: C& ]! A9 [/ q
    min=@sum(roads:w*x);
    : O# S) }4 w9 N# z8 V& P6 }@for(cities(i)|i #ne#1 #and# i #ne#n:5 }+ J' d( M6 c
        @sum(roads(i,j):x(i,j))=@sum(roads(j,i):x(j,i)));' J6 Z* b8 L: Z9 c8 S# d8 [( D
        @sum(roads(i,j)|i #eq#1:x(i,j))=1;
    ' d- f$ a0 p& P    @sum(roads(i,j)|j #eq#n:x(i,j))=1;/ o- k2 Y; k0 E9 X8 a1 Y. |! W, i
    end & t  G3 b! J1 e. I% Z- B  b" ]

    ; ]2 A1 o* ]5 [$ J6 z3 A5 a例3 (无向图的最短路问题)

    求图 4 中 v1 到 v11的最短路。 分析 例 2 处理的问题属于有向图的最短路问题,本例是处理无向图的最短路问 题,在处理方式上与有向图的最短路问题有一些差别,这里选择赋权邻接矩阵的方法编 写 LINGO 程序。


    0 d  W0 j1 x$ s- Y7 r( A6 Z- `& K4 y: S. R. Z+ b4 I' _, B: j

    ( v- [% d5 u, T: V, \8 f  y编写 LINGO 程序如下:
    ! K9 w# O' X& q+ S
    6 c4 B8 c  _: {) Qmodel:
    ( Y& V* G3 A0 T3 Osets:! R2 Y) I+ I0 \( d; e1 u$ a
    cities/1..11/;( a# V. L& @# S3 y8 B9 F) i% J7 u) Z
    roads(cities,cities):w,x;# H, k/ ^4 e' F# C# C
    endsets
    0 d  U/ ?$ C" E. n+ idata:
    7 }/ ?) K4 @! K+ w% _8 fw=0;
    ! v- z4 D. p3 V5 Z' ?enddata7 h! U# |- k' `3 x2 l6 u) t- D
    calc:
    ; J0 [: u7 E4 i/ t5 N, F# Gw(1,2)=2;w(1,3)=8;w(1,4)=1;
    6 h) e0 B0 p+ h1 n! q6 g3 @! [- R, Iw(2,3)=6;w(2,5)=1;1 b. L! s" ^$ h  S
    w(3,4)=7;w(3,5)=5;w(3,6)=1;w(3,7)=2;
    # p' S4 t' |: V5 }; r$ V, Dw(4,7)=9;; |# l/ |4 ~9 {/ m8 P- n7 E
    w(5,6)=3;w(5,8)=2;w(5,9)=9;
    4 {. ^2 k4 Z. `0 w( ^6 Uw(6,7)=4;w(6,9)=6;
    . W2 S# S- k, g9 K# d* r4 Lw(7,9)=3;w(7,10)=1;8 R. C% K$ S3 b# ]+ F) y
    w(8,9)=7;w(8,11)=9;! @7 l' L9 |- q$ b9 J& J+ m
    w(9,10)=1;w(9,11)=2;w(10,11)=4;( B% i2 b+ z  @# G2 a8 @
    @for(roads(i,j):w(i,j)=w(i,j)+w(j,i));9 u2 |3 B( Y. `  C+ W: _/ p
    @for(roads(i,j):w(i,j)=@if(w(i,j) #eq# 0, 1000,w(i,j)));% q- _- Y2 ^$ l- R( _; \: n! m
    endcalc0 G9 l" k+ B' d" K8 }
    n=@size(cities); !城市的个数;
    ( h9 ]" }. f3 j8 pmin=@sum(roads:w*x);
    6 y; i" h& T1 Z& b! |@for(cities(i)|i #ne#1 #and# i #ne#% Z( O0 h' K7 l9 S
    n:@sum(cities(j):x(i,j))=@sum(cities(j):x(j,i)));
    6 _) M5 v& d- a3 ^% p@sum(cities(j):x(1,j))=1;8 W4 d3 V* F& \! H5 Q
    @sum(cities(j):x(j,1))=0; !不能回到顶点1;
    7 P4 L8 C; n  x; Z! w@sum(cities(j):x(j,n))=1;
    $ [3 a; `5 y+ B5 ~  v1 v9 P@for(roads:@bin(x));
    8 _* j' D( z1 ~4 ^2 Q9 Q/ _end
    0 v+ {2 M5 D- b$ C+ ]3 h0 l- V3 y9 K
    有向图相比较,在程序中只增加了一个语句@sum(cities(j):x(j,1))=0,即 从顶点 1 离开后,再不能回到该顶点。
    : o" v5 F2 P3 W8 J7 i% y" |0 X8 G" l% ^
    求得的最短路径为 1→2→5→6→3→7→10→9→11,最短路径长度为 13。) V( W% z/ _) \1 T% J0 L1 G
    1 N  p$ Z8 @  T7 K, G+ ]6 N5 F
    3 每对顶点之间的最短路径# c' k- H- ^. H7 X( Y' }: t
    计算赋权图中各对顶点之间最短路径,显然可以调用 Dijkstra 算法。具体方法是: 每次以不同的顶点作为起点,用 Dijkstra 算法求出从该起点到其余顶点的最短路径,反 复执行 n −1次这样的操作,就可得到从每一个顶点到其它顶点的最短路径。这种算法 的时间复杂度为  。第二种解决这一问题的方法是由 Floyd R W 提出的算法,称 之为 Floyd 算法。% V" Q# \6 |5 J# H( q1 [* \( E1 K

    7 f& i6 y* C9 b5 qFloyd算法$ x6 {1 |# n! \" x" w/ R2 j5 Q6 X
    ( }0 }* c8 ~" S# `& w( p9 y

    * {3 ^  F2 C4 }. Z5 F' c1 B2 e, i; v6 g, g. N5 J

    : |  g. |8 M6 F: S# `4 ~
    ; n( n% h' i; [4 @) g————————————————% k+ V5 `. y  f% W' \
    版权声明:本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。
    8 W/ G8 Z9 y9 c; m& \原文链接:https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89785373! r5 @4 Y2 \, `. G

    ' D6 P; b1 J6 V9 @7 `, C" t% d0 G! A
    3 Y& G+ K, N1 F% [( R0 e
    7 _) L- g- G: p8 x+ \6 {* L
    : m2 u$ u! d  q
    zan
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    * ?% S  f9 K/ k# Ngood try~~

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    & l7 m5 b7 {$ J2 k; O6 qgood try~~

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