QQ登录

只需要一步,快速开始

 注册地址  找回密码
查看: 3228|回复: 3
打印 上一主题 下一主题

常用模型&算法总结—图&网络模型应用—最短路径问题

[复制链接]
字体大小: 正常 放大
浅夏110 实名认证       

542

主题

15

听众

1万

积分

  • TA的每日心情
    开心
    2020-11-14 17:15
  • 签到天数: 74 天

    [LV.6]常住居民II

    邮箱绑定达人

    群组2019美赛冲刺课程

    群组站长地区赛培训

    群组2019考研数学 桃子老师

    群组2018教师培训(呼伦贝

    群组2019考研数学 站长系列

    跳转到指定楼层
    1#
    发表于 2020-5-19 14:55 |只看该作者 |倒序浏览
    |招呼Ta 关注Ta |邮箱已经成功绑定
    1 两个指定顶点之间的最短路径
    ' @/ b$ H9 Y& J9 v' Y问题如下:给出了一个连接若干个城镇的铁路网络,在这个网络的两个指定城镇间, 找一条最短铁路线。4 P& D* b, b! j

    ' s* [! g. ^3 e1 \2 f4 {7 C8 d* ^0 F" ]

    / _: @) W3 ~) @) k8 h  G1 ^Dijkstra算法
    0 r5 r6 l$ P/ ^: E( i5 l- o" }
    - C$ s# ?$ m* X( b  t; H1 x; o- O
    例1  某公司在六个城市 中有分公司,从  到  的直接航程票价记在如下矩阵的  位置上。 (∞表示无直接航路),请帮助该公司设计一张城市 到其它城市间的票价便宜的路线图。               3 b/ r: u: h$ X+ w5 J$ N  a# e  @

    ( `$ b& R# J) s  x3 z5 e3 O3 ^8 i: m% d$ \
    9 M. f& o$ z5 m
    解  用矩阵  (n为顶点个数)存放各边权的邻接矩阵,行向量 分别用来存放P 标号信息、标号顶点顺序、标号顶点索引、短通路的值。其中分量5 ?+ p: W2 C$ z* R
    # Y9 w0 s1 h* O. X
    % y3 g4 Q# M0 v" R9 v6 Y7 Q

    7 w$ r2 P7 S! W$ `求第一个城市到其它城市的短路径的 Matlab 程序如下:
    , ~+ D: ?- l1 m$ L
    . e5 g& h/ ]0 c& w5 \9 Yclc,clear) o  l6 B6 |7 ?, z& p0 w
    a=zeros(6);
    ) E/ U% D3 v3 La(1,2)=50;a(1,4)=40;a(1,5)=25;a(1,6)=10;
    # ]  r" L3 y; |3 h$ F& qa(2,3)=15;a(2,4)=20;a(2,6)=25;3 `9 p; I5 s# |" e. r( h1 T
    a(3,4)=10;a(3,5)=20;$ O/ C' H0 K! G2 U
    a(4,5)=10;a(4,6)=25;9 i- k; Z4 ^# O1 {7 m
    a(5,6)=55;1 H- ^4 Q/ Y: }" _
    a=a+a';# D0 G4 ~  s8 t' ~) W6 {6 l
    a(find(a==0))=inf;
    + u! p$ [' S- Q4 B# o9 l3 K" n* gpb(1:length(a))=0;pb(1)=1;index1=1;index2=ones(1,length(a));
    $ {" Z1 D" `$ h* f% rd(1:length(a))=inf;d(1)=0;temp=1;
    % r3 {; C' K" t1 Twhile sum(pb)<length(a)
    ; K/ ?; d: B3 F9 S& K. V    tb=find(pb==0);
    3 s( v& K0 b- U9 Y% C$ u2 t$ T    d(tb)=min(d(tb),d(temp)+a(temp,tb));
    * d# m+ O3 t2 g8 B    tmpb=find(d(tb)==min(d(tb)));6 x$ @3 B$ K0 ]7 q
        temp=tb(tmpb(1));
    ( u% K% p" `" Y0 J$ s9 [! D7 a- O# m    pb(temp)=1;
    2 N! y; r$ q( y6 w' W. z    index1=[index1,temp];
    0 f! }6 [  E# N    temp2=find(d(index1)==d(temp)-a(temp,index1));7 _( j* J6 Q7 S: Q9 o$ J% M- K
        index2(temp)=index1(temp2(1));
      [9 L7 d6 i- N; jend% I. |& N0 l. H9 Y3 C
    d, index1, index2+ v. H  r! s1 j% _$ }0 n

    5 j2 @, g( t7 G5 Q9 W2 两个指定顶点之间最短路问题的数学表达式7 U' l9 P& C/ V# d
    7 Q3 D: S, \& g+ \8 M

    5 C+ _& ?1 e8 L. t( y6 }5 F! \例 2  最小价格管道铺设方案! c) @5 T1 J. N/ C9 @8 P: _
    在图 3 中,用点表示城市,现有 A, B1, B2 ,C1,C2 ,C3 , D 共 7 个城市。点与 点之间的连线表示城市间有道路相连。连线旁的数字表示道路的长度。现计划从城市 A 到城市 D 铺设一条天然气管道,请设计出最小价格管道铺设方案。6 v4 L8 k* b* {. c/ n5 G# P
    3 ]6 y% T" ]& G( E$ Y) Y, j

    , V- q7 K3 Z! L* g0 t8 L, x
    & L( z' _9 B' M, l* k: R编写 LINGO 程序如下:
    4 ]. Q+ {4 `8 {: e- \' ]
    2 r* m! o" R2 rmodel:
    : s+ F: ~* M2 {7 l+ H8 ssets:
    % {; \% E( V' H" Hcities/A,B1,B2,C1,C2,C3,D/;
    5 R5 B, ]& A, C& lroads(cities,cities)/A B1,A B2,B1 C1,B1 C2,B1 C3,B2 C1,
      \- Y4 N: g* Z1 AB2 C2,B2 C3,C1 D,C2 D,C3 D/:w,x;/ [  G1 {' o& b/ y& h/ N) e; _1 c% ^
    endsets4 w. B. i2 m0 q& j( U
    data:
    ! Y3 w: I6 t# hw=2 4 3 3 1 2 3 1 1 3 4;
    ( d. `4 G4 ]+ z( y6 f9 r& Zenddata
    7 ~4 N. t3 w! t& M! ~3 _8 Qn=@size(cities); !城市的个数;
    4 R3 T7 E( W  {& _min=@sum(roads:w*x);
    $ Y! \% m+ \+ s. _, t6 b@for(cities(i)|i #ne#1 #and# i #ne#n:
    : X) a' R7 l9 {& `- D, x# H% C2 w    @sum(roads(i,j):x(i,j))=@sum(roads(j,i):x(j,i)));
    2 C, e# L. y5 Q- u    @sum(roads(i,j)|i #eq#1:x(i,j))=1;
    ( g/ j1 w& A3 m5 Y8 C6 J# F    @sum(roads(i,j)|j #eq#n:x(i,j))=1;
    2 R+ B1 t: R  p9 W6 gend 1 T9 F/ F) k  s+ @8 Y
    " V/ M) j( A0 ]0 R7 Q) V; e% b
    例3 (无向图的最短路问题)

    求图 4 中 v1 到 v11的最短路。 分析 例 2 处理的问题属于有向图的最短路问题,本例是处理无向图的最短路问 题,在处理方式上与有向图的最短路问题有一些差别,这里选择赋权邻接矩阵的方法编 写 LINGO 程序。


    $ d3 m3 U; j3 F* \/ {& z
    7 [0 B% N, }, U' E$ T. J. D4 K/ ?! ?( c$ N  z8 i
    编写 LINGO 程序如下:: K1 f2 {+ U0 D9 o  q% A  {
    # x! J  V  E' R; J4 g' c& i# f
    model:
    $ W8 R3 w: U' M  X! H  R8 ?" k: Ssets:8 f& N0 q+ }4 @2 f( I
    cities/1..11/;
    ; V. U, h! S4 b% L6 p0 |roads(cities,cities):w,x;
    2 N2 G/ F8 ?4 O! E( ?8 i. c( bendsets
    : r/ d  `( o# ^; Gdata:5 ^& I4 w: ^( }
    w=0;# ^' }- r4 S5 {- S
    enddata. t6 j; s" N3 u) Y6 J7 ^6 A% z0 b
    calc:
    & t: }; |. i# k1 Q8 bw(1,2)=2;w(1,3)=8;w(1,4)=1;
    * Q) ~3 w/ |3 E6 d; l5 G7 q, w4 Sw(2,3)=6;w(2,5)=1;
    ! G" x2 l. X9 \* l3 t+ ?w(3,4)=7;w(3,5)=5;w(3,6)=1;w(3,7)=2;8 d+ K: _6 A2 p2 X8 N
    w(4,7)=9;
    " j2 V6 ^# W" c' V' O. c. Nw(5,6)=3;w(5,8)=2;w(5,9)=9;
    1 y" W3 L$ K1 d6 k3 w2 l+ Yw(6,7)=4;w(6,9)=6;8 F! a, j$ I* R( w/ b/ Q6 w) N
    w(7,9)=3;w(7,10)=1;
    6 b3 f0 l( c/ [w(8,9)=7;w(8,11)=9;
    & h( D' ]6 u& t' [, Nw(9,10)=1;w(9,11)=2;w(10,11)=4;
    # g# t& X5 @& {* w@for(roads(i,j):w(i,j)=w(i,j)+w(j,i));
    : o: X+ V5 l9 }& B( P@for(roads(i,j):w(i,j)=@if(w(i,j) #eq# 0, 1000,w(i,j)));
    ) w8 s: B: T' }0 L, n/ N; nendcalc" R  x/ |. s6 T$ u9 i& A! J
    n=@size(cities); !城市的个数;, V# j' ?# X# V, V3 @+ J# {9 K
    min=@sum(roads:w*x);
    # `9 v. s# X; o8 B) @2 ^+ g@for(cities(i)|i #ne#1 #and# i #ne#; x, A' K' c- L( @
    n:@sum(cities(j):x(i,j))=@sum(cities(j):x(j,i)));( r9 V8 c! x. o) Q
    @sum(cities(j):x(1,j))=1;! [4 ?" F$ n) \  ^, d& p
    @sum(cities(j):x(j,1))=0; !不能回到顶点1;
    6 L# l1 s8 q( O. X@sum(cities(j):x(j,n))=1;
    3 b& Y3 U  Z3 J9 z@for(roads:@bin(x));
    & I, J7 y  [( s6 }1 j5 xend- D+ W' n- w/ E( V# N1 a4 e5 [
    ' h) ^' N9 W1 o1 g" O* Z+ \
    有向图相比较,在程序中只增加了一个语句@sum(cities(j):x(j,1))=0,即 从顶点 1 离开后,再不能回到该顶点。1 C& e- Q! h/ W" H' k% F- z
    . {4 @+ y+ k, q( f9 u/ I& q
    求得的最短路径为 1→2→5→6→3→7→10→9→11,最短路径长度为 13。' ~% D. P, ?( s4 b8 ]8 [1 \
    , y! ]1 d7 ]/ N9 h' @# c/ M, P
    3 每对顶点之间的最短路径  S3 B% \2 @9 i6 |, I8 G! t
    计算赋权图中各对顶点之间最短路径,显然可以调用 Dijkstra 算法。具体方法是: 每次以不同的顶点作为起点,用 Dijkstra 算法求出从该起点到其余顶点的最短路径,反 复执行 n −1次这样的操作,就可得到从每一个顶点到其它顶点的最短路径。这种算法 的时间复杂度为  。第二种解决这一问题的方法是由 Floyd R W 提出的算法,称 之为 Floyd 算法。
    - j  h$ m% g2 ~5 N/ K9 Q: X
    & R" Y1 v& [' Q/ R9 {1 k* PFloyd算法' R  x8 G) W. R, I) N
    9 Q+ x  u6 e8 L; ^

    8 s, w! z  Q- Y% ~" |" s0 ^; a" [& g
    + @/ @( h8 V5 K; p7 Z
    ! }; ?" q! y0 w3 I7 f2 }. d
    ————————————————) ^% D$ t" m# H4 f
    版权声明:本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。
    # c! C; S( @' z# X" {, L9 b原文链接:https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89785373
    8 k3 ^3 a7 b4 p9 R9 |5 T# k3 L% ?/ n5 }1 t. c4 g
    9 v8 I7 r6 r9 }; s  B

    ' M+ I0 x# B- `6 T+ I
    9 L! [0 m4 m7 ~. Y
    zan
    转播转播0 分享淘帖0 分享分享0 收藏收藏1 支持支持0 反对反对0 微信微信
    德古拉        

    2

    主题

    4

    听众

    165

    积分

    升级  32.5%

  • TA的每日心情
    奋斗
    2025-12-3 23:13
  • 签到天数: 127 天

    [LV.7]常住居民III

    国际赛参赛者

    自我介绍
    嘶嘶。。。
    回复

    使用道具 举报

    浅夏110 实名认证       

    542

    主题

    15

    听众

    1万

    积分

  • TA的每日心情
    开心
    2020-11-14 17:15
  • 签到天数: 74 天

    [LV.6]常住居民II

    邮箱绑定达人

    群组2019美赛冲刺课程

    群组站长地区赛培训

    群组2019考研数学 桃子老师

    群组2018教师培训(呼伦贝

    群组2019考研数学 站长系列

    德古拉 发表于 2020-5-20 08:06
    5 l/ H  o% a0 X! v1 W+ a- k/ {2 e; tgood try~~
    ' p7 \% A8 k9 X

      B8 L/ {% e' I( J  p7 {$ n- r
    回复

    使用道具 举报

    浅夏110 实名认证       

    542

    主题

    15

    听众

    1万

    积分

  • TA的每日心情
    开心
    2020-11-14 17:15
  • 签到天数: 74 天

    [LV.6]常住居民II

    邮箱绑定达人

    群组2019美赛冲刺课程

    群组站长地区赛培训

    群组2019考研数学 桃子老师

    群组2018教师培训(呼伦贝

    群组2019考研数学 站长系列

    回复

    使用道具 举报

    您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册地址

    qq
    收缩
    • 电话咨询

    • 04714969085
    fastpost

    关于我们| 联系我们| 诚征英才| 对外合作| 产品服务| QQ

    手机版|Archiver| |繁體中文 手机客户端  

    蒙公网安备 15010502000194号

    Powered by Discuz! X2.5   © 2001-2013 数学建模网-数学中国 ( 蒙ICP备14002410号-3 蒙BBS备-0002号 )     论坛法律顾问:王兆丰

    GMT+8, 2026-4-21 13:27 , Processed in 0.417594 second(s), 67 queries .

    回顶部