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TA的每日心情 | 开心 2020-11-14 17:15 |
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签到天数: 74 天 [LV.6]常住居民II
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1 两个指定顶点之间的最短路径4 @: T5 z' \1 h, B$ k
问题如下:给出了一个连接若干个城镇的铁路网络,在这个网络的两个指定城镇间, 找一条最短铁路线。% w( ]* ~6 s6 l% o7 s8 z6 t. G1 d
( _- O$ B W0 h* B- Z: ]9 l" J1 Y, T0 M5 ^! f' a8 W) T$ q
$ l3 o) V" [& B0 k& t
Dijkstra算法
8 f, K% l5 k$ k$ j" @* V9 G; s; u4 y' T- H0 t* u( K( n$ {
& C8 U& v% C1 A$ l7 O+ A
例1 某公司在六个城市 中有分公司,从 到 的直接航程票价记在如下矩阵的 位置上。 (∞表示无直接航路),请帮助该公司设计一张城市 到其它城市间的票价便宜的路线图。 & I9 J$ O. Q1 k/ P: e; P
+ ?7 l; A6 ?* t) h \ K4 D
" S! [% f5 X& ?5 `( |2 K/ l4 @. e* `( v1 k
解 用矩阵 (n为顶点个数)存放各边权的邻接矩阵,行向量 分别用来存放P 标号信息、标号顶点顺序、标号顶点索引、短通路的值。其中分量
. Q; |- i7 O3 Y3 |( z- p. m
6 R, C; k0 A8 l% h6 O, s. z" i" Q, D1 z% E) k
- V7 g( n" c3 f求第一个城市到其它城市的短路径的 Matlab 程序如下:
) K! |6 S+ _, o0 ?" b P' Y% V* Y- f9 ?1 p
clc,clear8 p$ N* m) x+ ?) y6 z) ]
a=zeros(6);+ D# I4 z: e& q& e2 h5 D0 Q, N
a(1,2)=50;a(1,4)=40;a(1,5)=25;a(1,6)=10;/ T+ U( ?! i: ~: G
a(2,3)=15;a(2,4)=20;a(2,6)=25;5 ?1 i$ P8 [0 `7 _: D$ j1 Y
a(3,4)=10;a(3,5)=20;7 d1 C3 g8 {* f/ j3 P, P) C& w
a(4,5)=10;a(4,6)=25;: T& a/ z, W+ F) W' i; n
a(5,6)=55;
: |) H z% P% {# @a=a+a';0 t9 F. l2 L, _0 t1 P
a(find(a==0))=inf;9 e5 {% U+ x7 I. m/ Z2 ?
pb(1:length(a))=0;pb(1)=1;index1=1;index2=ones(1,length(a));; S! D2 H1 E+ }3 P+ ]* k- U
d(1:length(a))=inf;d(1)=0;temp=1;
* v* o( I, c5 d# G% q% ~0 r, q& D7 zwhile sum(pb)<length(a)
/ ?1 `7 Z, K; K% ] tb=find(pb==0);
# t- d+ g5 x Y! e d(tb)=min(d(tb),d(temp)+a(temp,tb));" C( ]# o! S+ ?5 B9 M/ B3 u
tmpb=find(d(tb)==min(d(tb)));
) C( b- c; L, U8 x+ d1 f temp=tb(tmpb(1));
7 O' T! m% K, |+ p8 C3 I! } pb(temp)=1;; `) E. v7 p1 j3 |
index1=[index1,temp];* W ^5 p. _6 H9 T4 f
temp2=find(d(index1)==d(temp)-a(temp,index1));! q/ h- S/ D5 O4 ^' g4 s0 a
index2(temp)=index1(temp2(1));. X1 @' I9 U) k x8 P4 A
end
& y* S9 H, v9 D3 n% S: ^d, index1, index2( q6 p) [ N. Y* h( U4 I7 H, i' m1 H
* ?* ?1 j9 E8 v$ L2 d2 两个指定顶点之间最短路问题的数学表达式0 W+ W' s) ~& `; r6 c1 b$ N
7 O) l: r& [( P3 \1 t% h
6 o6 U- C0 J* M4 G/ i例 2 最小价格管道铺设方案7 N- q; @$ w9 \! P4 |/ S- A' i
在图 3 中,用点表示城市,现有 A, B1, B2 ,C1,C2 ,C3 , D 共 7 个城市。点与 点之间的连线表示城市间有道路相连。连线旁的数字表示道路的长度。现计划从城市 A 到城市 D 铺设一条天然气管道,请设计出最小价格管道铺设方案。
. j( G( Z. s$ Y- u
3 l- W; u4 s* p
# M: z% {# `( e4 P- L8 v9 K4 r: U: p5 [8 o0 P
编写 LINGO 程序如下:
) p1 D7 m$ p4 {8 @, Z
4 M# ~2 Z9 I: X1 Bmodel:7 H+ m+ m( }5 s# U
sets:$ h! i0 b' J5 l. u# d: F# h) a2 M
cities/A,B1,B2,C1,C2,C3,D/;
$ ?' K! F6 g8 C9 R( B6 ~' groads(cities,cities)/A B1,A B2,B1 C1,B1 C2,B1 C3,B2 C1,; j9 B! {& J8 c4 z# ]1 @% n, _
B2 C2,B2 C3,C1 D,C2 D,C3 D/:w,x;
% @# y0 M5 h [& iendsets
( F0 V e: y! g" {2 Ldata:
+ F6 g: [/ a b. n$ [w=2 4 3 3 1 2 3 1 1 3 4;
5 W9 O( @+ J/ U0 H- Tenddata
; G4 ?+ G7 I" l. c$ W2 Y- |n=@size(cities); !城市的个数;2 J: n" R. M) k1 ~% L) j
min=@sum(roads:w*x);
3 G9 ~5 n; U9 z7 k/ D& I@for(cities(i)|i #ne#1 #and# i #ne#n:) H( |; e' C' v
@sum(roads(i,j):x(i,j))=@sum(roads(j,i):x(j,i)));. g. [ B- I: L c( `
@sum(roads(i,j)|i #eq#1:x(i,j))=1;
% d$ V0 p g' _* \0 g @sum(roads(i,j)|j #eq#n:x(i,j))=1;2 c# I) M6 ?8 ]% b
end
8 O3 ^# m( j# b
, s+ Y5 x$ T9 `2 G3 t2 {) X* n- q& ~例3 (无向图的最短路问题)求图 4 中 v1 到 v11的最短路。 分析 例 2 处理的问题属于有向图的最短路问题,本例是处理无向图的最短路问 题,在处理方式上与有向图的最短路问题有一些差别,这里选择赋权邻接矩阵的方法编 写 LINGO 程序。
0 z( Y# S1 x: g6 z9 o* i. L5 b ]- |1 _9 u, n
, E. x8 e; J/ O) V7 R4 {) \
编写 LINGO 程序如下:
) x: B2 p' @$ M, l" ?( C( f2 q6 x
model:0 e0 d7 U# D' C! Q) i* _
sets:
( V5 c- r- O. h9 `; [cities/1..11/;4 `* S- k$ J2 n- D
roads(cities,cities):w,x;) ?# j5 g/ c+ y( H" Y
endsets
& }' _5 z+ r2 y+ U3 E0 Vdata:" f. b/ r# j, h9 J) V& ?4 f2 U$ k
w=0;, U7 w- R- y% w
enddata
5 g- d' F* c/ s; m5 icalc:
6 A, K7 s* {6 S- [1 bw(1,2)=2;w(1,3)=8;w(1,4)=1;; g8 v8 M9 d: w/ J* a$ w$ G
w(2,3)=6;w(2,5)=1;
6 \1 X: l: v9 nw(3,4)=7;w(3,5)=5;w(3,6)=1;w(3,7)=2;1 b4 I& } p8 Z/ x, X
w(4,7)=9;$ ^% X: N. v. C- o+ L
w(5,6)=3;w(5,8)=2;w(5,9)=9;- h; E0 H) Z# i; ^& V6 S: @
w(6,7)=4;w(6,9)=6;
/ ]9 e0 S6 L/ @0 Rw(7,9)=3;w(7,10)=1;
9 |' f7 E& Q* g- bw(8,9)=7;w(8,11)=9;* a* k; D- ~/ D- Q3 D6 F+ X0 a' O
w(9,10)=1;w(9,11)=2;w(10,11)=4;
0 |( P4 {# Y( D" c; ?( |@for(roads(i,j):w(i,j)=w(i,j)+w(j,i)); P$ l) Z( [5 v
@for(roads(i,j):w(i,j)=@if(w(i,j) #eq# 0, 1000,w(i,j)));$ q8 {! }( s9 L9 B; x/ }3 u
endcalc
3 w0 l, `: ~- cn=@size(cities); !城市的个数;
9 O7 m; w9 t$ s9 N, K( ?min=@sum(roads:w*x);" x7 l% T, t. @ Y
@for(cities(i)|i #ne#1 #and# i #ne# ^9 y0 D! m' s* r4 c* L, Q& V
n:@sum(cities(j):x(i,j))=@sum(cities(j):x(j,i)));
! h( E6 F% X8 k0 p$ x9 |6 C6 \: H@sum(cities(j):x(1,j))=1;: O3 `& s# r/ t: I
@sum(cities(j):x(j,1))=0; !不能回到顶点1;; d. ~* n1 T/ |! L0 v- f
@sum(cities(j):x(j,n))=1;
, Q L/ t1 E6 B0 S@for(roads:@bin(x));
8 o+ B$ e" F- c, Kend3 @8 m9 r6 a) K8 R
& q- L5 c$ G) E# U& Z有向图相比较,在程序中只增加了一个语句@sum(cities(j):x(j,1))=0,即 从顶点 1 离开后,再不能回到该顶点。0 [9 x/ E" W: E, A5 r% q
$ E; p, }) A# y% _3 Z+ p& U1 q求得的最短路径为 1→2→5→6→3→7→10→9→11,最短路径长度为 13。5 a- B9 b+ O7 Y
! L$ \0 X$ S! u x8 U) s% F; @3 每对顶点之间的最短路径3 U& i0 R( R- |# K( U: Y
计算赋权图中各对顶点之间最短路径,显然可以调用 Dijkstra 算法。具体方法是: 每次以不同的顶点作为起点,用 Dijkstra 算法求出从该起点到其余顶点的最短路径,反 复执行 n −1次这样的操作,就可得到从每一个顶点到其它顶点的最短路径。这种算法 的时间复杂度为 。第二种解决这一问题的方法是由 Floyd R W 提出的算法,称 之为 Floyd 算法。
$ O1 n, X: a0 K. ?' U/ K3 q0 A6 {/ K
; ?8 t$ P) A5 c/ b! EFloyd算法$ w" ]9 X; K0 j" T! v, f/ v$ W9 `
0 N. P/ p) |9 c4 i H- V$ ~: u, @. ]* o9 m7 ~" |! K& P
6 b, z2 _$ v% U! I4 j) |
" b: ]' F9 K+ K$ k1 P% q! f$ p$ f+ s" P+ o, ^& x* M
————————————————. r: J, h" t" X) z7 M
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2 c5 O/ Q7 t( q# j原文链接:https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89785373
3 \& y& r( \5 F j( h9 K, S! H7 [* b7 Y4 I) N5 ?( J3 A
2 c- `2 m3 a3 \( x, u9 L5 Y9 A: m/ C- o& n
0 b' T; |) | W8 z9 ^$ A
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