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常用模型&算法总结—图&网络模型应用—最短路径问题

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    发表于 2020-5-19 14:55 |只看该作者 |倒序浏览
    |招呼Ta 关注Ta |邮箱已经成功绑定
    1 两个指定顶点之间的最短路径
    ( O2 k! ^; |( r5 M/ r+ u5 u4 y问题如下:给出了一个连接若干个城镇的铁路网络,在这个网络的两个指定城镇间, 找一条最短铁路线。
    " S# i8 i) T, R  Y: @
    3 b4 `2 M  M+ @9 G
    & L# _* a( K1 V. Y9 y4 U
    * e4 h( a2 K7 }Dijkstra算法 1 D) \, a+ |! [  T) _

    5 u4 g9 l2 p" A2 v! B7 b
    5 `: x4 H7 R: [4 N例1  某公司在六个城市 中有分公司,从  到  的直接航程票价记在如下矩阵的  位置上。 (∞表示无直接航路),请帮助该公司设计一张城市 到其它城市间的票价便宜的路线图。               
    . v6 [) ]- J7 w0 F8 O& x$ i: x4 z$ p0 ?' s% G
    ) |+ H# ]6 d# O6 t

    # j8 {  R1 G- S2 w7 y解  用矩阵  (n为顶点个数)存放各边权的邻接矩阵,行向量 分别用来存放P 标号信息、标号顶点顺序、标号顶点索引、短通路的值。其中分量
    & i- `2 F; w- H6 |8 C6 ^" T3 |0 A! N7 Y# @% C
    $ l1 Q( O. J0 x5 h5 O2 J2 Q2 u) b
    6 B% s; x4 e. x3 A2 l
    求第一个城市到其它城市的短路径的 Matlab 程序如下:
    ; e% Y& U+ `/ a4 a, D8 X% L( f" e* Q3 G7 U/ @1 ]# A* y. t  v  d
    clc,clear' L2 |. ~, N9 l: ^: `/ {: M
    a=zeros(6);+ q9 `2 s$ G+ C. T: R) f0 X
    a(1,2)=50;a(1,4)=40;a(1,5)=25;a(1,6)=10;& I9 V( w7 y! C
    a(2,3)=15;a(2,4)=20;a(2,6)=25;- l% O" J! r& s' w! M5 K
    a(3,4)=10;a(3,5)=20;+ h$ n  m  p* p6 R% q
    a(4,5)=10;a(4,6)=25;
    4 q" @! X# G. P* I4 f! T  da(5,6)=55;
    : D  s: ?0 ^- G4 M' p. da=a+a';6 Y5 K% q1 r, x0 B! W4 |' Y
    a(find(a==0))=inf;0 T4 d  a$ @- o* W) c
    pb(1:length(a))=0;pb(1)=1;index1=1;index2=ones(1,length(a));  O7 B. V% n, F/ M, W. Q
    d(1:length(a))=inf;d(1)=0;temp=1;
    - b7 l7 a$ f( f* Mwhile sum(pb)<length(a)
    ; D  w* D9 s+ T5 X3 i$ d% U9 k    tb=find(pb==0);
    % i7 G2 l8 n4 Z2 G& C    d(tb)=min(d(tb),d(temp)+a(temp,tb));
    , p% p8 z8 {6 i- C) v* ]: C    tmpb=find(d(tb)==min(d(tb)));
    & B% ?  u2 v* `9 N    temp=tb(tmpb(1));
    , ^6 R* u2 @' d. P7 g    pb(temp)=1;
    , [7 B  a3 t' B' C    index1=[index1,temp];
    4 _) m9 d% `# a8 o. H8 @& G/ y! j    temp2=find(d(index1)==d(temp)-a(temp,index1));
    0 {; q; ]3 Y) D    index2(temp)=index1(temp2(1));+ _5 M5 _- B; ^, C
    end
    $ U1 ~5 O5 [, z8 \d, index1, index2
    3 V2 p( a2 _6 B" T
    7 E& O* }. W4 G9 y/ R8 v3 C2 两个指定顶点之间最短路问题的数学表达式
    ! L  l3 v$ g. c) J# B8 D. Z
    , a$ C, _  E& @; T. A  d3 s4 S* a8 y( J; r& d) n- q8 f
    例 2  最小价格管道铺设方案0 U$ w! t0 i- _$ m$ b6 V4 J
    在图 3 中,用点表示城市,现有 A, B1, B2 ,C1,C2 ,C3 , D 共 7 个城市。点与 点之间的连线表示城市间有道路相连。连线旁的数字表示道路的长度。现计划从城市 A 到城市 D 铺设一条天然气管道,请设计出最小价格管道铺设方案。
    ! ^. f' g9 }' G4 D
    0 w, j2 s& [# w
    4 Q8 h$ a- |6 W: A+ n8 G% u$ F0 @' A( `9 t
    编写 LINGO 程序如下:
    ; r" _; ^9 J; D8 ]0 g
    : Y; k; T" K' A( |model:# ?1 k$ }/ Y1 P8 j2 g: u. @
    sets:
    # g  j& E* E& K8 i' A: U- xcities/A,B1,B2,C1,C2,C3,D/;! U8 u& m1 T  c) M/ T
    roads(cities,cities)/A B1,A B2,B1 C1,B1 C2,B1 C3,B2 C1,$ ?! X6 U4 N8 L' }9 q
    B2 C2,B2 C3,C1 D,C2 D,C3 D/:w,x;+ {- h+ g% c; r0 f; Z
    endsets
    ; Q, U/ O+ T+ U1 j3 r5 Vdata:
    7 q. ?& n9 i! S. P6 h) Ww=2 4 3 3 1 2 3 1 1 3 4;
    - D" L' B0 c0 V. c5 }- oenddata7 [9 t9 ?  _1 [9 G" f4 i! ]
    n=@size(cities); !城市的个数;
    & x6 n1 [9 b% T$ }" M# ?& Omin=@sum(roads:w*x);
    ' K& `. A7 @: e# n# k9 ^9 `8 _, r5 Z@for(cities(i)|i #ne#1 #and# i #ne#n:$ h4 N6 x! z% \$ z# w
        @sum(roads(i,j):x(i,j))=@sum(roads(j,i):x(j,i)));& ]" ?0 C7 }, e4 }# \
        @sum(roads(i,j)|i #eq#1:x(i,j))=1;/ M0 m5 c5 v' f
        @sum(roads(i,j)|j #eq#n:x(i,j))=1;- t; G( Q$ A- e
    end " j+ E- f8 B" X, l) k/ e7 j+ f% W
    ; B2 Y" u& ]. ?0 Z5 i2 \
    例3 (无向图的最短路问题)

    求图 4 中 v1 到 v11的最短路。 分析 例 2 处理的问题属于有向图的最短路问题,本例是处理无向图的最短路问 题,在处理方式上与有向图的最短路问题有一些差别,这里选择赋权邻接矩阵的方法编 写 LINGO 程序。


    ! e8 n) }) M1 [. u
    ' B. b2 U6 G  ]9 ]2 @3 c9 H7 c
    ; ]& F' K2 ^3 A编写 LINGO 程序如下:
    - G9 J1 Y# T* \! F: N
    ) Y. R' b4 |) H9 W, Z7 G* _model:
    # e( \/ V+ D1 \' D7 Xsets:
    ) h$ f$ D1 g* Z, Zcities/1..11/;- M4 u2 T) \- }: u3 b
    roads(cities,cities):w,x;7 U5 U  v+ U, E$ Y7 y$ M
    endsets
    # k8 j3 w1 h" b$ Hdata:# `# V; B# n- C% u0 t9 S
    w=0;
    % K9 k: w5 f. v! eenddata
    0 i- |8 c6 O$ P) D1 Lcalc:
    4 \+ a: v1 v) G& q# Y, E: O9 `w(1,2)=2;w(1,3)=8;w(1,4)=1;! N& V4 x# R  Z  A
    w(2,3)=6;w(2,5)=1;
    # [! L9 }+ I+ pw(3,4)=7;w(3,5)=5;w(3,6)=1;w(3,7)=2;. J1 C+ N! F# W9 w8 u! a$ J8 B
    w(4,7)=9;
    ' q% x$ m8 x; ]# U' j/ m, [w(5,6)=3;w(5,8)=2;w(5,9)=9;9 n8 b, n  A3 O! c, z
    w(6,7)=4;w(6,9)=6;
    # p) M0 k/ F! C: q5 q4 hw(7,9)=3;w(7,10)=1;0 N; |; v9 g4 Z2 T
    w(8,9)=7;w(8,11)=9;
    - Z5 u, W, r) \w(9,10)=1;w(9,11)=2;w(10,11)=4;
    ; e5 j/ x# \% Q% X@for(roads(i,j):w(i,j)=w(i,j)+w(j,i));
    " g& v& W% I* W7 F+ W@for(roads(i,j):w(i,j)=@if(w(i,j) #eq# 0, 1000,w(i,j)));
    $ M9 g$ a& t# t/ k7 sendcalc
    " y5 c4 I7 N1 U, a% r  Gn=@size(cities); !城市的个数;
    ; z7 M, R& v( b* w' T% |min=@sum(roads:w*x);5 j4 e; n( M; D& a
    @for(cities(i)|i #ne#1 #and# i #ne#" X# r3 }4 G$ ~' q2 ?) P
    n:@sum(cities(j):x(i,j))=@sum(cities(j):x(j,i)));
    / t, h: q1 _6 `0 d# l@sum(cities(j):x(1,j))=1;
    : C) p4 X1 J$ ~8 T% V2 R@sum(cities(j):x(j,1))=0; !不能回到顶点1;
    2 X! w: w2 A- W- w2 [) v- z@sum(cities(j):x(j,n))=1;1 P  }! u; x" X3 A  Z# }* h* e
    @for(roads:@bin(x));
    / b2 E; b/ z& j+ C' M5 G) gend
      H4 j/ q, R+ V8 O( b3 O, U5 q3 k$ ^/ {: Y) H
    有向图相比较,在程序中只增加了一个语句@sum(cities(j):x(j,1))=0,即 从顶点 1 离开后,再不能回到该顶点。
    - |: q: j  l- h1 b+ j' L9 F" b% I
    0 ?$ s# _; W2 N# O9 U9 Z2 v求得的最短路径为 1→2→5→6→3→7→10→9→11,最短路径长度为 13。+ c" U6 T* @7 \" {

    ( p! w6 I- E0 c& B3 每对顶点之间的最短路径
      Z+ A& q4 ~4 U) s* C4 A; k计算赋权图中各对顶点之间最短路径,显然可以调用 Dijkstra 算法。具体方法是: 每次以不同的顶点作为起点,用 Dijkstra 算法求出从该起点到其余顶点的最短路径,反 复执行 n −1次这样的操作,就可得到从每一个顶点到其它顶点的最短路径。这种算法 的时间复杂度为  。第二种解决这一问题的方法是由 Floyd R W 提出的算法,称 之为 Floyd 算法。
    0 [3 W" @; m# Q& e5 R9 c$ c* m: O
    ; V9 b( u  v8 a$ Z; ]; P2 wFloyd算法
    - |/ ~% I& [/ ]" t8 Z5 P. h; Y6 Z" _, H& N  ^/ U8 m9 Z
    % s7 J& J2 v/ ?- Z% `

    . H& g, y8 e, b
    7 p2 c# l4 [& o' E2 h: d2 s. z3 m  v: j& b
    ————————————————6 @6 h* w* E  ~4 I; b8 P3 i% |
    版权声明:本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。3 Q' p4 l# c! N0 z; b2 L
    原文链接:https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89785373) T7 B& g* w/ Q9 T9 |1 H- \1 O8 i
    5 H2 e% D5 q, [" o, d4 n2 i
    4 a# l1 ]4 n! L* c+ L  f. V

    * e& o, E$ M( h' j  ^( B; K2 y6 c% \# c  p. F! v
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    德古拉 发表于 2020-5-20 08:06 8 F2 ^- m1 K& J" {0 L  a$ I/ j
    good try~~
    2 V! Z: q" h# V$ o7 Z$ H) X
      j0 G8 @) m( f' v0 p0 t% @3 X
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    德古拉 发表于 2020-5-20 08:06
    ' F' i( ^$ i2 E) pgood try~~

    6 x9 M1 P9 H  |1 j. B% k; Z3 ?& r: f, L* ]0 }! K. O) _; h& Z% \. ~
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