组合优化算法-现代优化算法 （一）：模拟退火算法 及应用举例

浅夏110

一些用于模型求解的启发式算法，主要针对很难求解的NP问题。
现代优化算法是 80 年代初兴起的启发式算法。这些算法包括禁忌搜索（tabu search），模拟退火（simulated annealing），遗传算法（genetic algorithms），人工神经网 络（neural networks）。它们主要用于解决大量的实际应用问题。目前，这些算法在理论 和实际应用方面得到了较大的发展。无论这些算法是怎样产生的，它们有一个共同的目 标－求 NP-hard 组合优化问题的全局优解。虽然有这些目标，但 NP-hard 理论限制它 们只能以启发式的算法去求解实际问题。

启发式算法包含的算法很多，例如解决复杂优化问题的蚁群算法（Ant Colony Algorithms）。有些启发式算法是根据实际问题而产生的，如解空间分解、解空间的限 制等；另一类算法是集成算法，这些算法是诸多启发式算法的合成。
6 u) l  g( \; `0 i
) r8 F$ p) l' W* b0 _现代优化算法解决组合优化问题，如 TSP（Traveling Salesman Problem）问题，QAP （Quadratic Assignment Problem）问题，JSP（Job-shop Scheduling Problem）问题等效 果很好。

' R+ t. |" ?: o3 }. P模拟退火算法简介
1 x" r& S/ y- R0 A$ ^4 r% r模拟退火算法得益于材料的统计力学的研究成果。统计力学表明材料中粒子的不 同结构对应于粒子的不同能量水平。在高温条件下，粒子的能量较高，可以自由运动和 重新排列。在低温条件下，粒子能量较低。如果从高温开始，非常缓慢地降温（这个过 程被称为退火），粒子就可以在每个温度下达到热平衡。当系统完全被冷却时，终形 成处于低能状态的晶体。
2 H# E$ A( E3 }% O4 T, y
9 N3 ^+ |; A0 F! \  V


, q- I! K/ m8 a. Z


% a1 R2 S6 H( h# G8 Z0 z3 e3 t
. b8 L# e, Z# y6 b: s. H: \
在模拟退火算法中应注意以下问题：

（1）理论上，降温过程要足够缓慢，要使得在每一温度下达到热平衡。但在计算 机实现中，如果降温速度过缓，所得到的解的性能会较为令人满意，但是算法会太慢， 相对于简单的搜索算法不具有明显优势。如果降温速度过快，很可能终得不到全局 优解。因此使用时要综合考虑解的性能和算法速度，在两者之间采取一种折衷。
& [9 Y  K, x; V* u
（2）要确定在每一温度下状态转换的结束准则。实际操作可以考虑当连续m 次的 转换过程没有使状态发生变化时结束该温度下的状态转换。终温度的确定可以提前定 为一个较小的值  ，或连续几个温度下转换过程没有使状态发生变化算法就结束。
/ j) E" l3 O: f7 y# s# D, I; t# L
( D. z/ c7 J" F" o" \（3）选择初始温度和确定某个可行解的邻域的方法也要恰当。

1 d, r- J$ s# s8 i0 n" X1.2  应用举例
, k7 K% E, h+ R; ?5 V7 B( w% c例  已知敌方 100 个目标的经度、纬度如表 1 所示。
: O' ^+ k2 `+ W" `
! Z5 `4 u9 T7 b& U0 P; n3 H0 A
4 _. B2 g$ E( e, w, `8 Y

. ]* R; P$ d3 M5 }
- a$ y( c6 L6 k6 n6 [% b# V
* V5 _* j  \  B+ s/ e+ o0 A
( F) ~+ k5 E' k  y, Y
  d' x2 _8 O6 M  m2 r0 j# ~
我们编写如下的 matlab 程序如下：
" l- y& f; W( ], c" }
' {2 S  Q6 b) f% E8 L! s# f
8 @+ F- w/ C! c8 J3 ^8 Y6 {: }- p1 Wclc,clear
load sj.txt    %加载敌方 100 个目标的数据，数据按照表格中的位置保存在纯文本 文件 sj.txt 中
8 v  }% b5 r% Q1 a  L5 H  Sx=sj(:,1:2:8);x=x(;
y=sj(:,2:2:8);y=y(;
* K) i6 {( O) _- {sj=[x y];
9 X; E0 ?6 {0 U6 O7 a/ H$ I# o2 b4 Id1=[70,40];
/ @/ b9 L% |3 dsj=[d1;sj;d1];
sj=sj*pi/180; %距离矩阵
  `& k' [# ?" ~5 k2 ud
d=zeros(102);
4 o8 V$ i& j8 Y4 B  wfor i=1:101     
    for j=i+1:102         
        temp=cos(sj(i,1)-sj(j,1))*cos(sj(i,2))*cos(sj(j,2))+sin(sj(i,2))*sin(sj(j,2));
        d(i,j)=6370*acos(temp);     
4 Q. G: Y, d" q  T1 L: `! }, v    end
end
* l, l$ X! _: Id=d+d';
S0=[];Sum=inf;
- D* a. k+ |. i6 X: d/ l" _) Zrand('state',sum(clock));
& C3 }# V' D) M  D# ~  R# yfor j=1:1000     
, N. I; z7 k$ S2 f5 f    S=[1 1+randperm(100),102];     
    temp=0;
    for i=1:101         
        temp=temp+d(S(i),S(i+1));     
    end     
    if temp<Sum         
# w; g# J9 T: e        S0=S;Sum=temp;     
    end
/ O7 w+ C7 T8 h7 o$ h& b. Hend
* Y5 D6 ^" e$ Q" qe=0.1^30;L=20000;at=0.999;T=1;
%退火过程
6 H. u2 x5 j: v6 h3 s+ X- f8 i6 {for k=1    %产生新解
2 J: Y1 |# x9 t8 L3 q    c=2+floor(100*rand(1,2));
6 K9 |; s9 D; E3 a0 U9 V2 J    c=sort(c); c1=c(1);c2=c(2);   %计算代价函数值   
    df=d(S0(c1-1),S0(c2))+d(S0(c1),S0(c2+1))-d(S0(c1-1),S0(c1))-d(S0(c2),S0(c2+1)); %接受准则   
4 X9 u% z, A4 H( ^; B6 m    if df<0   
  D5 Y3 P7 C3 o% M+ |4 b) S- ]# F        S0=[S0(1:c1-1),S0(c2:-1:c1),S0(c2+1:102)];         
        Sum=Sum+df;   
    elseif exp(-df/T)>rand(1)   
' m* p+ h9 T# ?        S0=[S0(1:c1-1),S0(c2:-1:c1),S0(c2+1:102)];   
8 V8 p+ X$ @. g$ r- a; C        Sum=Sum+df;   
    end   
    T=T*at;   
$ T! g  t# m% J, D! [2 b    if T<e        
        break;   
4 w; ~  ]2 t3 T* v2 P& S    end
end  
1 v, [1 W7 R  ~2 r/ M+ R% 输出巡航路径及路径长度
8 U1 V4 G# i( @, h, I- G: C% }1 Q6 aS0,Sum
+ X- N2 L' R8 w; j

/ n7 p" _2 r7 F' X
计算结果为 44 小时左右。其中的一个巡航路径如图 1 所示。



% ^4 V5 }) h  p. q; l————————————————
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3 n! u; i) D8 }% n