组合优化算法-现代优化算法 （一）：模拟退火算法 及应用举例

浅夏110

一些用于模型求解的启发式算法，主要针对很难求解的NP问题。
现代优化算法是 80 年代初兴起的启发式算法。这些算法包括禁忌搜索（tabu search），模拟退火（simulated annealing），遗传算法（genetic algorithms），人工神经网 络（neural networks）。它们主要用于解决大量的实际应用问题。目前，这些算法在理论 和实际应用方面得到了较大的发展。无论这些算法是怎样产生的，它们有一个共同的目 标－求 NP-hard 组合优化问题的全局优解。虽然有这些目标，但 NP-hard 理论限制它 们只能以启发式的算法去求解实际问题。

0 b! T- G  w- ~1 b2 g9 K  [启发式算法包含的算法很多，例如解决复杂优化问题的蚁群算法（Ant Colony Algorithms）。有些启发式算法是根据实际问题而产生的，如解空间分解、解空间的限 制等；另一类算法是集成算法，这些算法是诸多启发式算法的合成。
, L7 |) x1 b9 Y4 T) w' g
" C: T! n, y8 n6 _现代优化算法解决组合优化问题，如 TSP（Traveling Salesman Problem）问题，QAP （Quadratic Assignment Problem）问题，JSP（Job-shop Scheduling Problem）问题等效 果很好。
! w; |( H8 g  L
. {# ^; [: `( d$ r9 L( R2 ^模拟退火算法简介
模拟退火算法得益于材料的统计力学的研究成果。统计力学表明材料中粒子的不 同结构对应于粒子的不同能量水平。在高温条件下，粒子的能量较高，可以自由运动和 重新排列。在低温条件下，粒子能量较低。如果从高温开始，非常缓慢地降温（这个过 程被称为退火），粒子就可以在每个温度下达到热平衡。当系统完全被冷却时，终形 成处于低能状态的晶体。




5 o8 {7 ^( W6 O) b* V1 u+ @! H8 e


1 L( l2 u6 O0 f7 }$ E
8 ~' u3 i  m8 \* ^9 A
在模拟退火算法中应注意以下问题：
. M  g3 J1 g, f8 _  m" Q) s- r
（1）理论上，降温过程要足够缓慢，要使得在每一温度下达到热平衡。但在计算 机实现中，如果降温速度过缓，所得到的解的性能会较为令人满意，但是算法会太慢， 相对于简单的搜索算法不具有明显优势。如果降温速度过快，很可能终得不到全局 优解。因此使用时要综合考虑解的性能和算法速度，在两者之间采取一种折衷。
+ Z3 E0 X1 ~+ h8 W0 @
! Y  g0 f6 [) ~# K4 j1 I8 H（2）要确定在每一温度下状态转换的结束准则。实际操作可以考虑当连续m 次的 转换过程没有使状态发生变化时结束该温度下的状态转换。终温度的确定可以提前定 为一个较小的值  ，或连续几个温度下转换过程没有使状态发生变化算法就结束。
4 C. v% H( r5 L3 S" y
（3）选择初始温度和确定某个可行解的邻域的方法也要恰当。
! _$ ~4 [3 E6 F& z" D& x. A
1.2  应用举例
- |; l5 T, K& j例  已知敌方 100 个目标的经度、纬度如表 1 所示。
/ ]% E& v* _& \. Z5 s+ g
# U8 G. v9 q  v" `1 o: z0 a

! h0 w. D+ R( j

) y* u; g) S+ f( w! z8 H( y



  E, `' s$ P+ ~# M; {$ ~4 j我们编写如下的 matlab 程序如下：
8 j+ x% K; k  K# d
* p9 t3 I9 j8 P$ |* x% J9 ?
: L8 e+ C: W' n5 R- R! Qclc,clear
load sj.txt    %加载敌方 100 个目标的数据，数据按照表格中的位置保存在纯文本 文件 sj.txt 中
; g. D( u" O2 Q( z* A- kx=sj(:,1:2:8);x=x(;
. E3 Y# I2 _; Q0 L/ g3 Ry=sj(:,2:2:8);y=y(;
sj=[x y];
d1=[70,40];
9 C# z& L: K6 N" M: p4 e! ^& g% U. {sj=[d1;sj;d1];
2 A7 h" Q) A4 u8 ~+ Z- `9 P6 @1 }sj=sj*pi/180; %距离矩阵
- J  {4 ]# X- Zd
6 m. A4 \7 q; F% pd=zeros(102);
. T& t& _* F2 Dfor i=1:101     
    for j=i+1:102         
        temp=cos(sj(i,1)-sj(j,1))*cos(sj(i,2))*cos(sj(j,2))+sin(sj(i,2))*sin(sj(j,2));
        d(i,j)=6370*acos(temp);     
    end
$ P$ C3 d! g1 n6 o% T; hend
" W8 ]: }3 Q  e5 u8 sd=d+d';
+ y8 [- L5 ^: @& l, b: s. [; r3 QS0=[];Sum=inf;
rand('state',sum(clock));
for j=1:1000     
    S=[1 1+randperm(100),102];     
3 K5 {6 j: U& v    temp=0;
# }% m) Q. `; K    for i=1:101         
        temp=temp+d(S(i),S(i+1));     
    end     
) p1 E3 C- v" E  e( m    if temp<Sum         
( {9 s) i3 d' z" N* R' t        S0=S;Sum=temp;     
/ Y4 t% B3 |/ Q: n1 {    end
end
e=0.1^30;L=20000;at=0.999;T=1;
%退火过程
for k=1    %产生新解
2 O; k0 W- [/ Q3 j  k3 A8 L    c=2+floor(100*rand(1,2));
    c=sort(c); c1=c(1);c2=c(2);   %计算代价函数值   
    df=d(S0(c1-1),S0(c2))+d(S0(c1),S0(c2+1))-d(S0(c1-1),S0(c1))-d(S0(c2),S0(c2+1)); %接受准则   
* r5 l! v+ n9 u9 ~; Q, i    if df<0   
        S0=[S0(1:c1-1),S0(c2:-1:c1),S0(c2+1:102)];         
        Sum=Sum+df;   
    elseif exp(-df/T)>rand(1)   
        S0=[S0(1:c1-1),S0(c2:-1:c1),S0(c2+1:102)];   
( d* C0 d: q' C5 t        Sum=Sum+df;   
) f8 R( u$ D, W" Z8 L, _    end   
    T=T*at;   
9 }( h. D" S9 ?4 c    if T<e        
. R/ z# j- }7 H' `( d4 V/ j: u" o- d        break;   
    end
end  
8 T0 ~" g9 W* {% 输出巡航路径及路径长度
9 K/ k. T5 Y# a1 _5 X- TS0,Sum
( N/ i+ H, D5 P+ i* e) D$ U8 q7 W
$ _* K4 k: Y% A' ^' t6 l
  ]3 ]0 y& \# M& o* G
计算结果为 44 小时左右。其中的一个巡航路径如图 1 所示。

5 ^+ _$ n& J: J+ Z, h+ b

: Q: J% k' s& a6 ~. P; H————————————————
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& K* B* J( {& t% U8 I9 @' ~1 g
+ f" I3 ]8 [1 @+ I