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TA的每日心情 | 慵懒 2020-7-12 09:52 |
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RBF的直观介绍
# l) [3 X0 W, D( `RBF具体原理,网络上很多文章一定讲得比我好,所以我也不费口舌了,这里只说一说对RBF网络的一些直观的认识
# C/ t+ c k2 g9 T4 C5 d$ [
) s+ L r% D/ \ J/ @1 RBF是一种两层的网络
1 W$ J8 i- d+ K; a/ J- A; ?( n; z4 x6 m是的,RBF结构上并不复杂,只有两层:隐层和输出层。其模型可以数学表示为:1 Z7 V) n" ]2 F: U" G
yj= i=1∑nwijϕ(∥x− ui∥2),(j= 1,…,p)
, f8 l: m- s, h& k( h; V8 w![]()
$ G8 A' N, q, X$ B$ K5 `![]()
+ ?! Y6 F' \1 c, i; C8 z1 t. d2 RBF的隐层是一种非线性的映射' I. U) a" R# \0 k2 }+ r. i; Q
RBF隐层常用激活函数是高斯函数:* c) J' @- a p" R
9 K6 B4 u9 s3 s/ r( z( l7 ?0 h
ϕ(∥x−u∥)=e−σ2∥x−u∥2
& F5 d# O) Z- w- _. w
+ m+ @3 v* n H5 S) l- v4 n0 p) n: U* m2 h3 j& ^
* `; u' |% q1 G U! H/ J3 RBF输出层是线性的2 N4 o4 N8 ~3 J! k) {6 v% u
4 RBF的基本思想是:将数据转化到高维空间,使其在高维空间线性可分# M! M" g2 I$ N6 U, P
RBF隐层将数据转化到高维空间(一般是高维),认为存在某个高维空间能够使得数据在这个空间是线性可分的。因此啊,输出层是线性的。这和核方法的思想是一样一样的。下面举个老师PPT上的例子:
. B5 b2 j5 q, v" V; C1 l" T 5 h8 e; M* c% P9 X( b8 ^ T
8 t6 t! r3 B# L3 B8 Q上面的例子,就将原来的数据,用高斯函数转换到了另一个二维空间中。在这个空间里,XOR问题得到解决。可以看到,转换的空间不一定是比原来高维的。1 L1 Z9 R' A0 c4 g
/ ]4 A/ P4 B# d8 J" W. W6 n
RBF学习算法- j) }/ `' u, \5 n/ E6 l
% _1 x2 f* _: ~- K" V7 }% r0 d
* y" b2 ^ Z* x- r
3 V. d" L d9 o& u, v# [- X) j对于上图的RBF网络,其未知量有:中心向量ui ,高斯函数中常数σ,输出层权值W。
1 p+ r* z4 K G9 w7 k7 g3 @学习算法的整个流程大致如下图:! p5 F8 I1 F. Q4 E; O% M q
<span class="MathJax" id="MathJax-Element-5-Frame" tabindex="0" data-mathml="W W" role="presentation" style="box-sizing: border-box; outline: 0px; display: inline; line-height: normal; font-size: 19.36px; word-spacing: normal; white-space: nowrap; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; border: 0px; position: relative;">WW
2 Q0 \) ~& `1 ]; x9 F + I8 t, C% V% k: x8 G$ K9 k C
& c8 q5 O# T4 Y6 S" s& A# F/ y; j9 h
具体可以描述为:
+ @: ?: ~/ F/ t8 E+ d( Z$ Z i- P
1.利用kmeans算法寻找中心向量[color=rgba(0, 0, 0, 0.749019607843137)] ui
) [' a) m, m2 |+ D+ Y
# p H' g( ~- r& z7 g E$ s2.利用kNN(K nearest neighbor)rule 计算 σ[color=rgba(0, 0, 0, 0.75)]& J" k: C3 f8 d- c
σ Z0 e1 W8 p1 t% B3 o; H: C( y4 d
i=K1k=1∑K∥uk−ui∥2
5 K" m7 o# M) u8 Y+ D6 t. ~6 l) j- z( I
4 P& {6 z- c) n! z2 t6 n5 e) V: Q 3 y( j3 ]1 _+ X' d7 A
3. [color=rgba(0, 0, 0, 0.75)]W [color=rgba(0, 0, 0, 0.75)]可以利用最小二乘法求得$ z4 V7 i4 O+ G5 |- p
% B9 a& I/ s2 N- R% t3 VLazy RBF. b/ X0 K: x5 e S) p1 W' `
9 a/ w, B; ?6 f4 V9 i' x可以看到原来的RBF挺麻烦的,又是kmeans又是knn。后来就有人提出了lazy RBF,就是不用kmeans找中心向量了,将训练集的每一个数据都当成是中心向量。这样的话,核矩阵Φ就是一个方阵,并且只要保证训练中的数据是不同的,核矩阵Φ就是可逆的。这种方法确实lazy,缺点就是如果训练集很大,会导致核矩阵Φ也很大,并且要保证训练集个数要大于每个训练数据的维数。% A3 Z5 X: r" K: d4 h* \
3 u. q) q0 ?( o1 {6 R, N' U# {
MATLAB实现RBF神经网络下面实现的RBF只有一个输出,供大家参考参考。对于多个输出,其实也很简单,就是WWW变成了多个,这里就不实现了。, `3 {5 V. F$ q% _( n% l
/ g$ z0 }& H; k$ E2 V
demo.m 对XOR数据进行了RBF的训练和预测,展现了整个流程。最后的几行代码是利用封装形式进行训练和预测。4 ~" ?* N% ?; z4 J; r, Y$ V4 T; y
! U8 h& C0 b3 M* p' z; h2 ~6 C" Rclc;
5 R4 _0 W' ]8 K- ^+ [; Z; o- lclear all;2 e4 }+ u4 M( U1 S% ]+ D: p
close all;) `+ S% F( v% l* x5 o) g
" _2 i* o3 T2 O1 q$ n" T$ w%% ---- Build a training set of a similar version of XOR% h; J; R) F- ~4 Z4 K! J7 Z5 g( B( R
c_1 = [0 0];
4 h# E* {. y" k+ N6 }; A3 D! oc_2 = [1 1];
9 \" h6 M1 x& L( o2 \c_3 = [0 1];
* L+ h8 _1 z- a7 C |c_4 = [1 0];3 G9 { n9 r, q; p. g) n
6 y$ K" r N/ B0 p
n_L1 = 20; % number of label 1( _, m, }* \0 O2 ~" }- G# W Q
n_L2 = 20; % number of label 2
5 I8 ]! [1 f0 j S! W' e6 x, [6 w& D8 Y
( ^0 l% C ^4 K5 R8 u$ O
A = zeros(n_L1*2, 3);* k) q. `' j5 M; p' I
A(:,3) = 1;
7 h1 Q) a9 l- Y8 M7 ]B = zeros(n_L2*2, 3);
- {4 k8 L6 W% F) aB(:,3) = 0;5 L6 g1 W$ I: A5 B
( ~, K: j. H# ?$ X, A
% create random points
, {' n7 Z3 u% {for i=1:n_L1. i$ s/ f H( w* W( I$ w; E5 ?
A(i, 1:2) = c_1 + rand(1,2)/2;
2 z3 M- A E9 f6 }1 p2 _ A(i+n_L1, 1:2) = c_2 + rand(1,2)/2;
# \9 S) J% \$ s# ]' g: w9 `end" ~2 W2 l+ c% {' ?, r
for i=1:n_L2
6 u% T# ~$ D: L. V B(i, 1:2) = c_3 + rand(1,2)/2;
& h. k7 f% m$ [- d/ i7 g* u# n B(i+n_L2, 1:2) = c_4 + rand(1,2)/2;2 a# i6 ^2 ` |& K5 m, l8 t0 F
end
. N0 j7 }% L, i" I6 T+ K% l% Y" n" o9 n
% show points2 {0 K$ R" n1 [$ V! Z9 l3 e
scatter(A(:,1), A(:,2),[],'r');
% i2 Z4 P; o& n3 ~/ y' Jhold on9 s' A1 l* a1 D$ _8 t8 R
scatter(B(:,1), B(:,2),[],'g');
7 V: d0 }( Q* W4 bX = [A;B];
# J) q$ ^/ S: p7 @3 A. T9 I8 ndata = X(:,1:2);- F- o6 k- r0 {: L- {; S: a" A! }
label = X(:,3);
! X% H% ?' v6 {9 f/ g& G
8 K0 B/ y% |9 r6 r8 a%% Using kmeans to find cinter vector1 [/ C: \3 ?% B/ O
n_center_vec = 10;' U2 h# M5 w% m/ k4 }8 q4 C7 B1 o
rng(1);" d2 _# D, p1 f" f
[idx, C] = kmeans(data, n_center_vec);* J+ l W6 t0 z/ Z
hold on
+ D1 s3 l/ K4 {( i9 {" Tscatter(C(:,1), C(:,2), 'b', 'LineWidth', 2);7 y: m) W) i6 n* |8 {, u
0 Y2 J. Y, f" E+ {" ]7 T%% Calulate sigma 3 f" P: `3 C; @* C0 G. ?
n_data = size(X,1);- g# x U- s) M6 r+ ^
0 }/ e* |' u$ D4 U
% calculate K9 J( s, u& U$ W+ l
K = zeros(n_center_vec, 1);
" R$ M. s4 I C' D0 vfor i=1:n_center_vec
; ^* [2 [2 e$ D' |7 Q# j( i E K(i) = numel(find(idx == i)); 4 _( O- j7 Y9 T; L/ Z d
end/ `+ b$ I t5 c5 u
5 z7 D; t N3 d9 w% Using knnsearch to find K nearest neighbor points for each center vector" X3 M( Q! ~1 M- ]
% then calucate sigma* Y7 i2 V W! g) H
sigma = zeros(n_center_vec, 1);
: U9 C1 c+ P+ Y& P6 ~for i=1:n_center_vec
) h$ S- L* h1 E: Z# N [n, d] = knnsearch(data, C(i,:), 'k', K(i));$ A) F) k D$ U: U) H" ]) |
L2 = (bsxfun(@minus, data(n,:), C(i,:)).^2);8 I: p& A- ^! u
L2 = sum(L2(:));6 G6 u$ n+ ]/ d( T( l/ n
sigma(i) = sqrt(1/K(i)*L2);* ^3 R! m- M% G3 J
end
+ n5 t# h2 G ^1 D! k2 A
! o+ _' J7 _1 e6 Q% U: _%% Calutate weights
. M! I5 x- D1 \# U. @) s% kernel matrix( t( K5 g) ~" w8 u
k_mat = zeros(n_data, n_center_vec);
5 b% N+ N4 l) ]. K4 G. y2 A6 P0 T2 E0 E w' E# ?: I8 g3 z
for i=1:n_center_vec
& w/ D3 F4 Y+ a) V+ L. E r = bsxfun(@minus, data, C(i,:)).^2;
! B9 c, {' \! F4 a* \5 } p! u% N r = sum(r,2);4 P9 a) g. W/ \/ A/ M- P2 m
k_mat(:,i) = exp((-r.^2)/(2*sigma(i)^2));% y# H3 h" Z; [
end1 E' {) i" @, J. r8 c4 S
: m* @' c7 q: P3 {8 Q
W = pinv(k_mat'*k_mat)*k_mat'*label;4 O$ F1 R8 y4 P; n6 D1 ~/ n! C. A, Z
y = k_mat*W;
- N0 N6 o2 ^ A' ^3 f" U%y(y>=0.5) = 1;
2 ^, y- F% p: }) y* \% O: w%y(y<0.5) = 0;* p' b# _& O3 r9 C0 }7 {/ p
5 g7 _- ~# K: U+ J* `1 R%% training function and predict function& K9 p! s. q3 p8 T" R
[W1, sigma1, C1] = RBF_training(data, label, 10);
$ J, S; Z O# K! }, ^y1 = RBF_predict(data, W, sigma, C1);
2 X% ^7 r8 C/ G5 w8 g- b[W2, sigma2, C2] = lazyRBF_training(data, label, 2);+ E/ t6 r* \! ]2 d. I
y2 = RBF_predict(data, W2, sigma2, C2);1 t/ L" z! Y6 ?& V3 Z
. N" i' t- k5 {
1 W8 k+ F& j4 Q9 z( G上图是XOR训练集。其中蓝色的kmenas选取的中心向量。中心向量要取多少个呢?这也是玄学问题,总之不要太少就行,代码中取了10个,但是从结果yyy来看,其实对于XOR问题来说,4个就可以了。
+ U. U, ?) D \+ P% g: _* Z T6 L. h8 V/ v( ^) g, c) d" a
RBF_training.m 对demo.m中训练的过程进行封装- D5 y/ A P$ ?' K- V& H
function [ W, sigma, C ] = RBF_training( data, label, n_center_vec )
3 z6 m# ]% _5 C%RBF_TRAINING Summary of this function goes here' J" a( G- Y9 `, z
% Detailed explanation goes here
" [2 @/ C: g- C6 V/ m
% o$ Z% D" ?3 w/ A# A% R % Using kmeans to find cinter vector/ a) r. N* g/ P7 k. t% `7 c
rng(1);; V. b6 u$ E/ D# x% N, W
[idx, C] = kmeans(data, n_center_vec);' p* h! F1 U }* U
- v% ]+ {- q: U) ]5 N6 I4 I( V* u
% Calulate sigma * j+ t! d$ }3 f
n_data = size(data,1);
( I! F# P& {+ v' L1 j! e
2 ^0 M% j0 _' a- b1 i % calculate K; W+ H' c ?0 S& H6 i/ ]$ _
K = zeros(n_center_vec, 1);) p! L, p# n: I* c% N
for i=1:n_center_vec- Y, J ~; ~* ]$ r, b! Q
K(i) = numel(find(idx == i));( H0 m# J+ H9 p" z
end
; B1 |4 U) r! _! E+ T0 |% G5 f5 m4 z" x2 p; ~; p
% Using knnsearch to find K nearest neighbor points for each center vector
+ D9 S2 z5 e% l4 M % then calucate sigma' u( ]2 S1 x8 D0 `9 L, P# q( p4 f& `7 v
sigma = zeros(n_center_vec, 1);
8 C# l9 g& |2 O: B C8 ` for i=1:n_center_vec
* q5 V4 i1 y5 S* o* Z$ D [n] = knnsearch(data, C(i,:), 'k', K(i));
% l& W, U+ V7 ~+ z7 k/ b L2 = (bsxfun(@minus, data(n,:), C(i,:)).^2);
* t' e5 A S& B$ C7 u( C7 g L2 = sum(L2(:));
3 O; U* T) p3 `7 i' c. F3 Z# @' C& \( m* R sigma(i) = sqrt(1/K(i)*L2); c, ]4 B& `- Y5 z9 e: b
end
% K/ W* j$ }# J4 U6 m % Calutate weights
5 t( J& P8 Z" B! a i0 ] d9 D( I % kernel matrix
4 b9 N/ g( n# z# @1 z0 D4 ?1 @0 N k_mat = zeros(n_data, n_center_vec);
. i# i/ Z; B2 z% }
* z [$ k2 k& o( r; r6 p0 i' }) j8 ?9 T for i=1:n_center_vec
% i J% C/ P2 w+ ?2 F8 i* M) I r = bsxfun(@minus, data, C(i,:)).^2;1 V7 m. W! D4 H6 l; ]
r = sum(r,2);
4 d6 c6 c8 f+ s- F k_mat(:,i) = exp((-r.^2)/(2*sigma(i)^2));$ `2 W' U: q$ e1 c+ E3 ~4 Y
end
. K3 {# F0 l8 Z+ z. I
/ U2 M6 t/ B, E) |' A, _9 u2 M W = pinv(k_mat'*k_mat)*k_mat'*label;5 N: C) R1 B3 e- C# n5 t5 f
end' h' M. `) u/ b0 ]1 Q% P
& K/ p1 T5 @ ~2 m* C5 E! ~
RBF_lazytraning.m 对lazy RBF的实现,主要就是中心向量为训练集自己,然后再构造核矩阵。由于Φ一定可逆,所以在求逆时,可以使用快速的'/'方法! Z0 Z7 b% E6 o
+ N: V6 w5 N7 Jfunction [ W, sigma, C ] = lazyRBF_training( data, label, sigma )
4 G- o J& ?, K: h%LAZERBF_TRAINING Summary of this function goes here- d) b3 m s/ M9 X& y
% Detailed explanation goes here7 C# v1 \' A1 Y# `
if nargin < 3
1 m2 r$ G, @. X+ c. l. g8 d' {! ? sigma = 1;
& l2 c2 L! ]; w# p1 N5 R0 M. k end1 M, c; ]+ G9 @; p
5 d, K# p/ K/ d: D$ K
n_data = size(data,1);
8 z" W e8 Y% |! M C = data;- Y4 ?$ ~; K1 Z2 R/ t3 X$ r4 d9 I9 E
! g: `; H1 s0 l( C1 T4 q
% make kernel matrix
0 Y' V4 e5 `6 n9 i1 o3 k k_mat = zeros(n_data);
: M+ d' H; m) Y, u# @- W for i=1:n_data/ E! K* V2 b6 F h% w) D/ V
L2 = sum((data - repmat(data(i,:), n_data, 1)).^2, 2);
+ P% f" p: r' j$ b k_mat(i,:) = exp(L2'/(2*sigma));
3 H v& G8 z' i% Q* {4 J9 z end
F& v6 r+ R/ I" ]0 ]+ N' g2 G* |6 ~# L
W = k_mat\label;
~1 O/ h) D, \+ f( T1 P8 ~0 vend% s4 I3 Z! [9 A! E
2 P/ N% `9 j6 u6 I4 Z3 _% YRBF_predict.m 预测7 |# j! ^7 m3 v+ ^
& V) I! c8 {6 [7 K
function [ y ] = RBF_predict( data, W, sigma, C )2 ?0 g. T1 e& u: ~: b- D6 a
%RBF_PREDICT Summary of this function goes here
+ I8 w; E. ]( d: ?# n5 C% Detailed explanation goes here
2 J* e) @# [2 L/ E n_data = size(data, 1); g; d3 J% M8 J* ]
n_center_vec = size(C, 1);9 w8 T3 u9 O7 [/ L# h) Z& I
if numel(sigma) == 1' m8 B) y0 @- X& p! o1 g, Q5 b
sigma = repmat(sigma, n_center_vec, 1);
+ t) Y! x$ Q- p, B end
7 w; S2 t% I' T0 o) b; X% x% X$ T9 v! r* s; P. C3 [
% kernel matrix
* q0 L/ m: |% T; U- K: E/ _ k_mat = zeros(n_data, n_center_vec);
# L$ s! z+ q, O6 b for i=1:n_center_vec
2 V, W) f- H5 `& y1 N5 L r = bsxfun(@minus, data, C(i,:)).^2;
* w. l8 G) p5 m5 d& u9 l r = sum(r,2);
3 c% T( B$ `/ D( ? k_mat(:,i) = exp((-r.^2)/(2*sigma(i)^2));
# b6 a7 j h$ v end) A5 F, }% t1 ~, ]. p
4 k% P& D) c1 d& o" S$ G
y = k_mat*W;! w2 E4 s1 U) W- k I+ y
end& B& _ j' P$ ]& D$ ]* a' d
F/ F$ R, J5 P* C; h) {5 ?8 K6 D
————————————————
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4 y2 _/ y7 W) {
6 r8 f# `- U- Y b: W! B
& i7 M$ O# ^( Y/ ? s1 c. L |
zan
|