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[国赛经验] RBF神经网络简单介绍与MATLAB实现

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    1#
    发表于 2020-5-23 14:56 |只看该作者 |倒序浏览
    |招呼Ta 关注Ta
    RBF的直观介绍* @" T+ V3 [0 O9 u. s! Y
    RBF具体原理,网络上很多文章一定讲得比我好,所以我也不费口舌了,这里只说一说对RBF网络的一些直观的认识/ V8 C$ c& c; V; N  I
    4 e0 q8 Q# d  Y
    1 RBF是一种两层的网络
    $ W5 i- s/ O: g' q9 g/ b) V是的,RBF结构上并不复杂,只有两层:隐层和输出层。其模型可以数学表示为:6 |4 k( x# C- a/ P/ `' S6 w
    yj​=
    i=1∑n​wij​ϕ(∥x−
    ui​∥2),(j=
    1,…,p)
    0 t. j5 H% C, H
    4 r' F& O1 X/ _. q$ I* e

    # ?6 G/ M& i% {  b0 Y$ E& x, S! w2 RBF的隐层是一种非线性的映射
    - Q% L* l- X' I( ARBF隐层常用激活函数是高斯函数:" e- S7 ^* w, m
    ! Y( N, r# g; I$ C
    ϕ(∥x−u∥)=e−σ2∥x−u∥2​
    ) a% j9 V' G: M: z
    1 J) a  Q6 n& [( h- f2 i

    8 H* m' U9 L9 R7 h. F; c
    # S! D: l# J5 o8 g9 ]. g3 RBF输出层是线性的
    + P: y( O1 i* E& O# H- H0 [4 RBF的基本思想是:将数据转化到高维空间,使其在高维空间线性可分  V0 N2 u4 u! v7 _* D% Z
    RBF隐层将数据转化到高维空间(一般是高维),认为存在某个高维空间能够使得数据在这个空间是线性可分的。因此啊,输出层是线性的。这和核方法的思想是一样一样的。下面举个老师PPT上的例子:$ u1 A, o' Z% k; q+ T& J3 d. r
    6 l& H$ _3 L- j" G1 B, l+ S

    4 p) {# M' [9 ~8 i. r$ p7 O上面的例子,就将原来的数据,用高斯函数转换到了另一个二维空间中。在这个空间里,XOR问题得到解决。可以看到,转换的空间不一定是比原来高维的。
    8 S* i1 r; M! i' \  |; l5 b0 M7 _& e% {' n& I
    RBF学习算法$ G* y4 W, Z9 x

    9 K6 c( j- g$ ^1 N$ E! V3 R# V
    & v- c/ p8 I! m" I
    , Z  H: Q& p* o$ N# U对于上图的RBF网络,其未知量有:中心向量ui​ ,高斯函数中常数σ,输出层权值W。
    / I5 ?# p* O% V# `5 S2 C学习算法的整个流程大致如下图:
    , Z; X/ s( I7 w, n3 W! i0 U: v* W<span class="MathJax" id="MathJax-Element-5-Frame" tabindex="0" data-mathml="W      W" role="presentation" style="box-sizing: border-box; outline: 0px; display: inline; line-height: normal; font-size: 19.36px; word-spacing: normal; white-space: nowrap; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; border: 0px; position: relative;">WW
    9 [( n% q% n0 v  e2 V  _
    * D' X5 |+ ]; V3 a9 L

    8 A8 w3 ?6 Y( q. o3 |! x: K
    具体可以描述为:
    4 E0 n( x+ x2 Q$ @7 I& v, t* @: ^/ v* X* ]
    1.利用kmeans算法寻找中心向量[color=rgba(0, 0, 0, 0.749019607843137)] ui
    & ?# H" J/ N* ^4 V9 l  m) ]: L8 C; M7 w3 |
    2.利用kNN(K nearest neighbor)rule 计算 σ[color=rgba(0, 0, 0, 0.75)]$ C( B, W% x3 J7 _0 G4 G: R
    σ
    5 V. _+ i) i# _# {1 ~& _i​=K1​k=1∑K​∥uk​−ui​∥2​1 ?# E* l0 P1 \7 }- k

    % k+ W0 t( o+ z, o8 Q  s* h; f+ }( {3 `5 g
            7 S/ ?8 w- S5 U5 s$ x+ l6 C
    3.  [color=rgba(0, 0, 0, 0.75)]W [color=rgba(0, 0, 0, 0.75)]可以利用最小二乘法求得
    " ?& x+ k7 O: F: U) J7 h& g) c# d' i# Q/ U; ?$ M) v4 d
    Lazy RBF
    ( Z; M; G8 [8 X/ Q, I1 _" O+ x% V' R* I: F5 I) K5 ?6 e
    可以看到原来的RBF挺麻烦的,又是kmeans又是knn。后来就有人提出了lazy RBF,就是不用kmeans找中心向量了,将训练集的每一个数据都当成是中心向量。这样的话,核矩阵Φ就是一个方阵,并且只要保证训练中的数据是不同的,核矩阵Φ就是可逆的。这种方法确实lazy,缺点就是如果训练集很大,会导致核矩阵Φ也很大,并且要保证训练集个数要大于每个训练数据的维数。
    , |4 e4 Y6 F5 ]- @+ i; |
    , g. U! X; b# y$ C) S5 v) xMATLAB实现RBF神经网络下面实现的RBF只有一个输出,供大家参考参考。对于多个输出,其实也很简单,就是WWW变成了多个,这里就不实现了。" X( a2 {5 y3 f. t+ x4 w

    # Z! E& x& C! ~& G7 Idemo.m 对XOR数据进行了RBF的训练和预测,展现了整个流程。最后的几行代码是利用封装形式进行训练和预测。
    0 j( M. g$ g' }: s
    5 E" I2 M% B0 y7 Eclc;
    : i' l: r4 c- k+ f: pclear all;. {) c' z( Q; Y& ~3 J
    close all;7 {/ Y) ]/ r, z$ E+ ~8 R, k# M5 g9 n

    ' K0 `0 k+ a2 B1 i' D! a6 f%% ---- Build a training set of a similar version of XOR6 ^7 a  s8 E' x* W
    c_1 = [0 0];
    6 r- {: w3 y$ [7 lc_2 = [1 1];6 R2 I6 \9 E4 ~  \
    c_3 = [0 1];+ @! P' w" R; c8 S" z' n: l+ N
    c_4 = [1 0];9 {1 ~) F$ ^% b# z: f
    / N7 ]2 B* h: [
    n_L1 = 20; % number of label 1
    . m' o' ~5 k+ M% k+ q' [# Q/ ~n_L2 = 20; % number of label 2: _! s  k, `) m

    % {7 e7 r* S( [9 D4 j9 Y% W4 B* t
    A = zeros(n_L1*2, 3);. N. b" h6 Z( _7 f' I- l
    A(:,3) = 1;4 j6 |; q2 Q3 M1 U! S
    B = zeros(n_L2*2, 3);
    4 `$ M9 A% D  E  `0 M0 I  nB(:,3) = 0;
    9 H7 v* [8 j' X) M" ~9 \
    : J* F  G' }, B5 G( |; j0 X2 g% create random points
    0 M2 ]4 |7 o* B/ B) E1 yfor i=1:n_L1
    : x1 @7 {" \3 `2 a' A2 g, p   A(i, 1:2) = c_1 + rand(1,2)/2;
    0 l! |3 ?% j# X, N   A(i+n_L1, 1:2) = c_2 + rand(1,2)/2;8 l$ X0 f' X1 W1 K7 F
    end
    5 D- i% p1 |" y! y: I' F7 ofor i=1:n_L2# t% p0 ~! r! f4 W7 v3 |' n
       B(i, 1:2) = c_3 + rand(1,2)/2;4 R7 @/ I2 v, }$ }" p% V( W" {5 p
       B(i+n_L2, 1:2) = c_4 + rand(1,2)/2;
    # l& |, ~/ l3 |: ]: |& N) Hend; q7 k; T3 S  j* \& w

    ' ]  o4 S* b& q# @* H- z! }, r% show points
    ) ]! p2 v2 S9 y# X" Iscatter(A(:,1), A(:,2),[],'r');
    # c6 }, |7 G6 b! x2 Shold on
    # H. ]' Q3 N, L( @$ Jscatter(B(:,1), B(:,2),[],'g');7 Y: _: T1 _( N" p$ h  P' y
    X = [A;B];4 Y8 c5 z: f8 V/ i
    data = X(:,1:2);
    0 Z( B. a0 q4 M' X( ?; ilabel = X(:,3);, P/ ]. n( T% T4 i% r% n- O

    ) ^# T, X2 s8 I1 R0 w%% Using kmeans to find cinter vector
    ! G7 G. d3 v1 J5 N  o$ Qn_center_vec = 10;
    8 Q! ]7 S% R$ B0 o2 m) @+ vrng(1);: d6 n: S7 C  s5 f9 j" C
    [idx, C] = kmeans(data, n_center_vec);" _& z8 U( o1 ]- s* d
    hold on
    6 I7 T2 z/ z9 y/ M) P( {% G# Escatter(C(:,1), C(:,2), 'b', 'LineWidth', 2);
    , [/ ~" \3 K6 D: A; K+ Q- M& M) \3 M( W+ A8 _/ u
    %% Calulate sigma
    $ u3 P' g( u* w+ y" m+ i4 J7 In_data = size(X,1);9 l8 T& z* o7 q; r$ W, s: V, Z
    + X: K5 i3 l, C4 ?5 a
    % calculate K8 L& ]& f% \4 m" q: p) q
    K = zeros(n_center_vec, 1);
    ) Z3 K: W9 m5 l' b2 o9 m' @2 E" W1 Rfor i=1:n_center_vec
    ( V( a1 b: T+ q7 a. |1 y" w- X   K(i) = numel(find(idx == i));
    ! ^8 O4 W, J# hend
    0 w, Z1 J9 t) q) f! j1 E
    8 O2 c/ Q  }, Q+ e- o% I7 Q. k; }; _% Using knnsearch to find K nearest neighbor points for each center vector! q9 b) Q  `8 p1 H
    % then calucate sigma. H) M* t& ?8 d. S) Q( ]7 j
    sigma = zeros(n_center_vec, 1);- k& v) z+ Q# w% ^8 i$ V
    for i=1:n_center_vec
    . h4 ], A7 f; p! `/ G4 s    [n, d] = knnsearch(data, C(i,:), 'k', K(i));
    * ]1 C5 t: }; o9 M% W! V8 a' U    L2 = (bsxfun(@minus, data(n,:), C(i,:)).^2);* B  b# W) r4 {( ]) h, t) \# J' M
        L2 = sum(L2(:));1 i2 t5 o9 H6 ~: M( o7 N
        sigma(i) = sqrt(1/K(i)*L2);& A: {8 [; J2 [1 D+ Q" W& G
    end
    2 [% c+ Q1 ^" \1 J5 i. ]# P. p9 s& {3 {  h
    %% Calutate weights  ?, U  \. A" |: t( i
    % kernel matrix
    & W6 s7 O( {) Ak_mat = zeros(n_data, n_center_vec);9 A' ~# p$ o& w% g) O' n
    ! I, Q9 P) T# k
    for i=1:n_center_vec
    $ X% g# r- `2 t" q0 d   r = bsxfun(@minus, data, C(i,:)).^2;( N( N9 ^: v% z9 Y/ ?& l
       r = sum(r,2);& n1 {2 r; O3 N
       k_mat(:,i) = exp((-r.^2)/(2*sigma(i)^2));
    * Y  {; G. D- W& u2 ~. Zend  s: R, J" I' U
    2 f' I  c1 e4 u- c5 m
    W = pinv(k_mat'*k_mat)*k_mat'*label;
    / J" I1 g9 T3 iy = k_mat*W;0 N) \! C5 g( @0 k0 x
    %y(y>=0.5) = 1;
    ) M( O  n; H4 }& v7 P5 R* M%y(y<0.5) = 0;
    ) N; G! _& j2 O9 P3 r. ]" _" S! s0 s; m& u" t
    %% training function and predict function
    6 S" A# R7 T) _% i: U[W1, sigma1, C1] = RBF_training(data, label, 10);* o4 |( C# O' h, C
    y1 = RBF_predict(data, W, sigma, C1);
    2 x) ~- Y' [+ {1 D. q[W2, sigma2, C2] = lazyRBF_training(data, label, 2);# D5 b4 W! g5 h4 ^2 c) A* q
    y2 = RBF_predict(data, W2, sigma2, C2);
    " I* t2 ?- K9 c
    2 c6 P1 e6 T. @2 \+ I& _
    . c- ?! _3 g/ v$ M( V上图是XOR训练集。其中蓝色的kmenas选取的中心向量。中心向量要取多少个呢?这也是玄学问题,总之不要太少就行,代码中取了10个,但是从结果yyy来看,其实对于XOR问题来说,4个就可以了。9 x" h" \# k9 \( s

    4 Q# F/ }1 S/ R1 l9 ?2 O- O& MRBF_training.m 对demo.m中训练的过程进行封装
    7 T" I8 _% w% K# Q- w9 Wfunction [ W, sigma, C ] = RBF_training( data, label, n_center_vec )7 e  y3 T$ ~4 T
    %RBF_TRAINING Summary of this function goes here7 J2 l( {, e* S6 G/ N6 [
    %   Detailed explanation goes here
    ( y! E1 N$ G2 p$ J; ^5 _% b# d1 x4 H7 @$ O
        % Using kmeans to find cinter vector, P- h$ q" [9 z! T
        rng(1);0 \& ], L! O( u) y
        [idx, C] = kmeans(data, n_center_vec);( A/ C+ H6 @1 [* z2 N

    ' j7 e7 i. F7 e( L& m    % Calulate sigma & V7 C* K6 g6 p0 ?2 M- P' _
        n_data = size(data,1);6 n; e2 u" J  e4 O$ n' g

    2 m. i4 h& S- y& g/ b; z    % calculate K
    5 T, L# d5 }' u- k    K = zeros(n_center_vec, 1);: X- U' z7 c8 q- `: `
        for i=1:n_center_vec
    3 T7 H% X$ r6 i        K(i) = numel(find(idx == i));
    ; s8 j" c* X! L+ g1 |- f1 E    end
    ) C- s  T* F4 `- x, V2 H+ ]* {' K' N$ `$ V0 J
        % Using knnsearch to find K nearest neighbor points for each center vector
    * ]9 J8 A8 H) i( I1 i1 O' \    % then calucate sigma
    6 |/ X, i' V3 B- o: t0 V* @9 ^) ]- |    sigma = zeros(n_center_vec, 1);
    : V/ K  Y' g& ]& W3 _9 K    for i=1:n_center_vec* _0 K' p' o* Y) R/ |/ }
            [n] = knnsearch(data, C(i,:), 'k', K(i));
    4 @9 E/ K- x7 A( V        L2 = (bsxfun(@minus, data(n,:), C(i,:)).^2);
    0 b8 l7 H; k9 K% _- ^0 }        L2 = sum(L2(:));6 e% X% C8 s1 V! h. J: a
            sigma(i) = sqrt(1/K(i)*L2);) c+ ^7 R* ^6 F8 v. E
        end6 j% x9 @: f. s/ }
        % Calutate weights& G& I7 ?6 H# B! \- X2 z
        % kernel matrix
    $ [6 n" f  n6 H: W7 G    k_mat = zeros(n_data, n_center_vec);
    $ i$ X; A( H9 u! a' @( ?
    & [0 w7 C8 d  R$ Z4 R7 H. G    for i=1:n_center_vec
    4 F& E, a6 L2 g" M7 l2 r5 D; B        r = bsxfun(@minus, data, C(i,:)).^2;9 O0 a) q2 A: ?/ D5 {5 ?
            r = sum(r,2);! k3 N0 K9 B+ R6 v- w& @1 U! c  J
            k_mat(:,i) = exp((-r.^2)/(2*sigma(i)^2));
    / l! n& J" x6 |* {1 |+ W    end/ }  L, b# f  K; l1 ^8 S

    0 G, X& @% a1 ?1 G    W = pinv(k_mat'*k_mat)*k_mat'*label;
    $ c/ o9 u6 r+ i' send
    8 t! E( r/ T: p/ o# i
    $ N. F( u/ E. v9 DRBF_lazytraning.m 对lazy RBF的实现,主要就是中心向量为训练集自己,然后再构造核矩阵。由于Φ一定可逆,所以在求逆时,可以使用快速的'/'方法5 h  Q( C" p; B# ~# Y& {/ J
    % k! }" M$ n' b
    function [ W, sigma, C ] = lazyRBF_training( data, label, sigma )4 b9 k- V8 a8 |. \" O
    %LAZERBF_TRAINING Summary of this function goes here
    * F% ]8 [1 B1 j( o: B%   Detailed explanation goes here; [! @6 @# M2 ?
        if nargin < 3
    2 O4 t% s5 x& z8 O       sigma = 1;
    $ e2 s# ^# a" y& ~0 i! d) O# i( \5 C    end3 l- F1 c; D3 T

    . |' m: ]2 p  z& M# ~% X- H    n_data = size(data,1);) m* o  `/ `! O1 O, [" u  P  T# l
        C = data;
    ( c  u& h% Y; n& e1 W( R5 f
    7 b% n" c% P9 E0 I% |7 N    % make kernel matrix
    , f& Q9 \! @2 k% G# \- O" f. N- s    k_mat = zeros(n_data);
    5 ]$ N) X  G3 c3 H2 p+ b5 f    for i=1:n_data
    ' O* m; w7 T7 x5 z% Z+ f' c       L2 = sum((data - repmat(data(i,:), n_data, 1)).^2, 2);7 b3 U: m: \) g8 a# q
           k_mat(i,:) = exp(L2'/(2*sigma));8 e3 u8 U8 O. u  h) I6 ^. g- `
        end
    ; g- t) S, p' S3 H0 ^5 N* H, J  Z7 t; q9 {
        W = k_mat\label;
    % a# p; o, ^$ y0 j# i) c1 w# Xend
    % i5 B- U5 n: Q7 V$ ?% x; n% d$ P2 o1 H$ G: q" e' C
    RBF_predict.m 预测$ r0 Y9 j6 D2 b4 E. y, _3 w$ w: v
    + `% M$ l! r9 _% L) t0 l4 R
    function [ y ] = RBF_predict( data, W, sigma, C )! ~- p9 e2 s2 `' M* D7 M* g
    %RBF_PREDICT Summary of this function goes here
    * \4 N  R$ _* D/ |( X%   Detailed explanation goes here
    ; F( W; _9 r" ~! P    n_data = size(data, 1);/ @% }: n" e9 E8 x1 U# W
        n_center_vec = size(C, 1);% m& h/ L$ f6 e; F! v. A  v0 y7 `
        if numel(sigma) == 1+ W2 \0 J9 I- ^: b& _+ Q( d
           sigma = repmat(sigma, n_center_vec, 1);+ Q; @; b8 o/ W! ]# f6 a
        end. V' A. X, k9 d- z% w
    ) h' c5 _  s% P" s$ C
        % kernel matrix& t; h8 B+ M! {( o' S
        k_mat = zeros(n_data, n_center_vec);" w; e3 l) k! }
        for i=1:n_center_vec
    ! b( T$ n2 m; o, y4 `        r = bsxfun(@minus, data, C(i,:)).^2;
    9 U) ^' o, ^3 b  i; [        r = sum(r,2);
    " Z1 S$ v( I; Y, ^0 m        k_mat(:,i) = exp((-r.^2)/(2*sigma(i)^2));
    3 V5 O0 i' r( j$ t' A    end
    1 A/ I6 n' M6 c* S' O; H
    - {1 x$ R* R6 N5 A' J8 m  d    y = k_mat*W;, G' Z  V2 l! D1 u5 L! j
    end  g+ B( m5 W+ d( j6 e
    7 k7 d2 F/ Z/ E$ ]+ t' m
    ————————————————
    ! a& H; a+ [7 t: }( E版权声明:本文为CSDN博主「芥末的无奈」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。
    # n+ T7 Z- x8 p7 z4 a' t原文链接:https://blog.csdn.net/weiwei9363/article/details/72808496* Y% v* r' y* y5 b

    * d8 f! ~, k2 n5 e7 w
    $ ]7 p1 x/ J) U. N7 _: K4 c  j& S% f% U1 b( a' K. a# o* z
    zan
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