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[国赛经验] RBF神经网络简单介绍与MATLAB实现

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    发表于 2020-5-23 14:56 |只看该作者 |倒序浏览
    |招呼Ta 关注Ta
    RBF的直观介绍+ x: `) M- z3 o
    RBF具体原理,网络上很多文章一定讲得比我好,所以我也不费口舌了,这里只说一说对RBF网络的一些直观的认识
    ) F0 @, Q* j' b2 t& i+ t& m; a5 C
    1 RBF是一种两层的网络
    & A: _; {% T! J是的,RBF结构上并不复杂,只有两层:隐层和输出层。其模型可以数学表示为:. T: |, c9 o: E7 X$ u  Q3 A9 \
    yj​=
    i=1∑n​wij​ϕ(∥x−
    ui​∥2),(j=
    1,…,p)

    ) ?7 n$ L% b+ |: N4 \
    ( z3 g' O) i8 {+ `% N# F8 [& c6 k7 k" o- a& x- ~) h+ e  Q  \
    2 RBF的隐层是一种非线性的映射, e, ?/ {  F. K0 G  M% i
    RBF隐层常用激活函数是高斯函数:' J4 a5 Y1 i0 s* Q( m7 W% G

    ) ^7 X; G3 H4 t2 vϕ(∥x−u∥)=e−σ2∥x−u∥2​' M5 p/ ^* N/ _

    " l, a' H2 r) R( ^
    3 T! r8 T* d. u( p& C6 j
    : J7 u$ p- m5 B0 e( B
    3 RBF输出层是线性的
    * ]4 ?4 O: d6 @7 o4 RBF的基本思想是:将数据转化到高维空间,使其在高维空间线性可分3 ~6 y3 f* F6 B  Y5 J5 G
    RBF隐层将数据转化到高维空间(一般是高维),认为存在某个高维空间能够使得数据在这个空间是线性可分的。因此啊,输出层是线性的。这和核方法的思想是一样一样的。下面举个老师PPT上的例子:4 S  t0 Z- w8 p! P5 p

    * o- u, Q7 S$ x( }8 D
    ( J) d' Q% ?: r9 ]上面的例子,就将原来的数据,用高斯函数转换到了另一个二维空间中。在这个空间里,XOR问题得到解决。可以看到,转换的空间不一定是比原来高维的。
    2 G. `2 D' K* O2 c6 B/ ~. q0 {* G- m3 e: M# U0 Y+ b, p6 r
    RBF学习算法$ |: s0 [+ Q- a" }& e" X

    ! V2 U; B# V. V7 W8 M& y0 F, O; |( [5 u" g( R

      a' _, Q9 w* X- P* j( N1 @对于上图的RBF网络,其未知量有:中心向量ui​ ,高斯函数中常数σ,输出层权值W。* r' [. r% K& W3 v! E
    学习算法的整个流程大致如下图:$ v& L. M2 g2 _% C9 @& `, x
    <span class="MathJax" id="MathJax-Element-5-Frame" tabindex="0" data-mathml="W      W" role="presentation" style="box-sizing: border-box; outline: 0px; display: inline; line-height: normal; font-size: 19.36px; word-spacing: normal; white-space: nowrap; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; border: 0px; position: relative;">WW
    / E1 Y2 g# W1 G7 H5 v; C9 T

    , Z$ ]$ \; I2 I5 v
    - M% e8 L# e' m: I& k
    具体可以描述为:
    + a8 j4 B! L* C! Z7 x% Z; |! l- u5 K: ]! m* q+ ~
    1.利用kmeans算法寻找中心向量[color=rgba(0, 0, 0, 0.749019607843137)] ui. T# \# C3 i- Y+ `3 E6 s% o
    ; g4 B# o4 }8 b- Z$ ?& x/ s
    2.利用kNN(K nearest neighbor)rule 计算 σ[color=rgba(0, 0, 0, 0.75)]
    8 G0 S; c3 y$ Y9 J/ T
    σ, f9 _4 Z2 G# h
    i​=K1​k=1∑K​∥uk​−ui​∥2​
    : k) ~% N3 K& O
    : k1 Q, d) G/ ?2 u+ L# i: s+ _# N" _' U# g
            
    0 c- l& u* r1 `) R3.  [color=rgba(0, 0, 0, 0.75)]W [color=rgba(0, 0, 0, 0.75)]可以利用最小二乘法求得1 g, E3 m+ O7 L% [# k$ b# D

    + K3 @% b% W8 YLazy RBF, s* @# z  S0 D2 A  k. d6 e

    . a3 V5 }+ R% a' M  A  h" D可以看到原来的RBF挺麻烦的,又是kmeans又是knn。后来就有人提出了lazy RBF,就是不用kmeans找中心向量了,将训练集的每一个数据都当成是中心向量。这样的话,核矩阵Φ就是一个方阵,并且只要保证训练中的数据是不同的,核矩阵Φ就是可逆的。这种方法确实lazy,缺点就是如果训练集很大,会导致核矩阵Φ也很大,并且要保证训练集个数要大于每个训练数据的维数。" A3 C$ ?% o1 }+ e1 M/ W
    ; `. e; ]$ ]- x) |+ v7 t
    MATLAB实现RBF神经网络下面实现的RBF只有一个输出,供大家参考参考。对于多个输出,其实也很简单,就是WWW变成了多个,这里就不实现了。
    + ?6 ^+ G+ _1 k8 Z  k" s; A$ l4 H! v! R$ x" W
    demo.m 对XOR数据进行了RBF的训练和预测,展现了整个流程。最后的几行代码是利用封装形式进行训练和预测。; P" e3 x/ t, Z& X- X

    3 [' d9 |' y6 j" w" I& Gclc;
    3 k5 }7 h" ?' [2 Sclear all;/ X6 Z" ~1 x6 d' k0 Q3 e: i# G5 M
    close all;
    . \' J, I" B% G% @5 H$ I  @- T& E) h# D$ w3 V
    %% ---- Build a training set of a similar version of XOR" [! p( r5 b/ @. A* v
    c_1 = [0 0];
    $ t- f8 m! R% Kc_2 = [1 1];
    , c, }1 e8 i$ P' ^c_3 = [0 1];2 ^$ E) R3 E4 I) m
    c_4 = [1 0];
    ' T0 ]+ J; I8 e4 r6 o8 ~/ }7 i! I- m2 N; `
    n_L1 = 20; % number of label 12 N- S1 a/ b9 q( R5 M6 c
    n_L2 = 20; % number of label 2
    1 y8 e* ?8 A# z* a3 n  m; e' E+ o4 i/ g$ a

    ! e9 @5 X! M7 u+ N3 e0 v: D+ wA = zeros(n_L1*2, 3);
    1 i$ r# x2 a+ |* B6 J+ J; xA(:,3) = 1;' F, n/ [* O, {9 Z$ ]2 \& a
    B = zeros(n_L2*2, 3);! S1 W: V. w6 H& u
    B(:,3) = 0;
    " {2 {3 P0 b+ M+ ^+ \- K9 @9 w9 i6 x
    % create random points
    " I( n* J# `9 ofor i=1:n_L1
    3 g' Y' u/ ]! ], x! X0 n7 e: ^( ]7 ]   A(i, 1:2) = c_1 + rand(1,2)/2;* L8 z; E! h9 g: I
       A(i+n_L1, 1:2) = c_2 + rand(1,2)/2;
    % Q' t( n1 o3 H) u$ J+ rend+ W1 D3 B- j& d9 y6 W; I, Q1 g
    for i=1:n_L29 R. s, L0 g% q$ v# d: C
       B(i, 1:2) = c_3 + rand(1,2)/2;
    ; E# h& I# |" U+ r: x   B(i+n_L2, 1:2) = c_4 + rand(1,2)/2;
      p, H5 I0 E2 T- mend5 L, m4 j  O  c( ?
    ; B/ s. W! I" O% J$ F5 G& ]
    % show points
    * n3 F, T, D9 wscatter(A(:,1), A(:,2),[],'r');
    ! v. o2 x) P$ z4 }- X! u* Jhold on
      {% O0 A8 y2 {0 Kscatter(B(:,1), B(:,2),[],'g');; F3 P) r( S9 u' |# m) n
    X = [A;B];
    : ^% C1 }  H3 a: |data = X(:,1:2);! l* T* P- E5 p7 F( [6 k6 q& m+ y
    label = X(:,3);2 ^: u  C6 x8 i! f: ^
    # v" e, C; }4 [# x9 Y5 S
    %% Using kmeans to find cinter vector
    * W1 w0 J+ `* [n_center_vec = 10;5 y  o6 ]3 H5 C! l% N+ B2 x9 C
    rng(1);
    ) e- n$ p- m$ B# W0 D+ B* A[idx, C] = kmeans(data, n_center_vec);
    & q! t$ N& M, |  K$ [hold on4 Z6 I- {, _' S0 I* Z0 R
    scatter(C(:,1), C(:,2), 'b', 'LineWidth', 2);
    ) L, @( l+ A* L6 u9 n/ a
    $ Z- P& ]$ v  k5 w3 D, L! k& ]; |+ r%% Calulate sigma - F  R$ {* r6 q0 S. E4 {
    n_data = size(X,1);( `; \2 p! F5 e

    . D; y. J2 f3 k% x) W* |% calculate K% |2 z$ O. j6 U9 _0 g  z3 k( q
    K = zeros(n_center_vec, 1);
    ( d: v) Q6 b% l3 y0 Q9 @. Vfor i=1:n_center_vec
    * y% F3 ]! g* f  R0 k6 C   K(i) = numel(find(idx == i)); ; f, b, }/ H0 [& w7 v$ e
    end& E* ^. H; W' {
    # b$ C6 @6 o# J" |
    % Using knnsearch to find K nearest neighbor points for each center vector
    # z: P, W4 f) J! Y. b' h! `, q% then calucate sigma+ ]5 x$ b1 O! N- x5 _
    sigma = zeros(n_center_vec, 1);
    4 Y  H. H& A- b" vfor i=1:n_center_vec2 P" h7 r5 S# Z; v
        [n, d] = knnsearch(data, C(i,:), 'k', K(i));4 |) k8 T0 N4 s9 m  ^& S+ @
        L2 = (bsxfun(@minus, data(n,:), C(i,:)).^2);7 b( o: Y' w+ R2 g
        L2 = sum(L2(:));+ N9 M  h% }9 A! _0 }( ?* W
        sigma(i) = sqrt(1/K(i)*L2);
    6 o- a+ C: L6 @2 Y+ lend7 _7 u3 Q' S$ [( m6 F
    / q  N3 V+ m7 D  D) T
    %% Calutate weights* u  C8 [. V1 H
    % kernel matrix
    & r; X) J4 v$ i5 n( `# mk_mat = zeros(n_data, n_center_vec);
    ' c# L( Z' X+ o+ H$ c" Y. P: ]6 O  C9 ?0 e7 W* N" F  l4 v
    for i=1:n_center_vec1 n+ e3 x9 }; j4 O. K5 b% t+ d% E3 K
       r = bsxfun(@minus, data, C(i,:)).^2;" {( z+ V3 n6 Z# I
       r = sum(r,2);5 r! t  h8 t- ?$ X
       k_mat(:,i) = exp((-r.^2)/(2*sigma(i)^2));
    ; I0 w$ }5 }! H; zend
    0 I) O; R* y7 E) F( Y
    - l3 z. E! X, v& Y8 u. Q* dW = pinv(k_mat'*k_mat)*k_mat'*label;
    2 }8 F- N" p: Sy = k_mat*W;6 @/ f$ N. f& g
    %y(y>=0.5) = 1;* N: N: h6 g8 }. [. Z
    %y(y<0.5) = 0;7 w7 T; X# r( {0 `: R8 q+ \& o

    ! V6 T4 v) [( l%% training function and predict function
    6 [: X+ f" I) ]$ h9 E: f. t5 o[W1, sigma1, C1] = RBF_training(data, label, 10);6 _5 m+ H# C# ?2 c# s
    y1 = RBF_predict(data, W, sigma, C1);( ~& [2 F% ~' K  x+ B! K- }( z' ~
    [W2, sigma2, C2] = lazyRBF_training(data, label, 2);
    & p/ C' H$ v$ N; p$ U- \y2 = RBF_predict(data, W2, sigma2, C2);
    ' {$ S- x2 |1 q" t  I) y8 O; }9 v6 v( P! K

    4 w# g7 W" D. A! A上图是XOR训练集。其中蓝色的kmenas选取的中心向量。中心向量要取多少个呢?这也是玄学问题,总之不要太少就行,代码中取了10个,但是从结果yyy来看,其实对于XOR问题来说,4个就可以了。, Y" X) }) L5 t2 U0 t1 X4 d- p+ v

    % K% B: v) W. ~" Y2 VRBF_training.m 对demo.m中训练的过程进行封装
    ; Q+ H5 \# F- m6 Xfunction [ W, sigma, C ] = RBF_training( data, label, n_center_vec )
    ' }. w1 E0 G4 B9 L$ W1 `%RBF_TRAINING Summary of this function goes here
    8 d2 u, w  }& }3 ^, B%   Detailed explanation goes here
    , b: i3 E8 w: W, ]! Z; l: w5 |9 [  Y5 f2 t; p0 \
        % Using kmeans to find cinter vector1 Z/ N$ q; ]5 M( O7 `7 b9 A
        rng(1);
    # |% W* Q9 w+ D0 L0 z# }2 S& b( @3 x    [idx, C] = kmeans(data, n_center_vec);3 V- C3 c6 ?" F1 H
    : [1 W; d$ P+ t5 H& x2 C
        % Calulate sigma   A0 Z! D  Y  P1 g5 h, Z3 t
        n_data = size(data,1);+ Y. W1 |2 y/ r
    ) {& \6 {5 P* K/ Q2 s
        % calculate K
    / O+ y5 }6 ?2 ?, i; M/ i    K = zeros(n_center_vec, 1);
    $ p5 ?, a* B5 Q    for i=1:n_center_vec
    ) U) J: b) c% V        K(i) = numel(find(idx == i));
    $ L3 c. J, z) f+ v" G5 j" X- X2 g. D    end
    0 S$ i" Y' _3 Y! U6 d6 B- f  w. ?7 Z8 l( G& O
        % Using knnsearch to find K nearest neighbor points for each center vector# i7 Q7 {) j: q4 n. s
        % then calucate sigma4 |5 w( u4 g- ~' M
        sigma = zeros(n_center_vec, 1);
    : B# y. U4 M8 @    for i=1:n_center_vec$ S% @7 o+ r" E) T3 s$ n
            [n] = knnsearch(data, C(i,:), 'k', K(i));7 N& j6 \; z2 d7 O& z, l
            L2 = (bsxfun(@minus, data(n,:), C(i,:)).^2);3 M2 F- d' J4 L( k5 D
            L2 = sum(L2(:));
    0 y  Y1 b5 V6 v. d/ O; L4 s        sigma(i) = sqrt(1/K(i)*L2);
    6 B7 c) F1 {  r; ~    end1 I/ ?, z7 S: Q& Y$ e/ Z8 x: _
        % Calutate weights0 f8 K8 P0 G4 j4 @9 J5 A) o
        % kernel matrix4 \+ I1 Z% h, K4 F
        k_mat = zeros(n_data, n_center_vec);
    . w. h# O. m- r, J# |8 H- E) p9 |8 f6 \, h- Z$ K
        for i=1:n_center_vec
    , n" v8 ?$ O6 p* T# }( S        r = bsxfun(@minus, data, C(i,:)).^2;
    $ ^1 |/ U' A1 Q' X; ^        r = sum(r,2);) o; r. B0 L/ |' D% G. \$ k
            k_mat(:,i) = exp((-r.^2)/(2*sigma(i)^2));8 O9 U' C9 g5 i* b) t" n
        end" G! ?# F% V4 Z; }9 X4 v

    0 ~& u( O4 L) [4 I, h5 c: \/ E    W = pinv(k_mat'*k_mat)*k_mat'*label;
    $ m0 y% _: p+ b7 }) m! Wend! x" w8 W: v9 }3 Y3 S& j# L& E2 d3 F
    - v1 [( q; j1 ]5 }/ N6 W- V% K( J$ x
    RBF_lazytraning.m 对lazy RBF的实现,主要就是中心向量为训练集自己,然后再构造核矩阵。由于Φ一定可逆,所以在求逆时,可以使用快速的'/'方法
    * h0 t/ ?1 l% J* D7 [- x
    1 k" J/ C+ a# Q) l" \0 Ufunction [ W, sigma, C ] = lazyRBF_training( data, label, sigma )  i( J* g: Z( U  v4 \; e
    %LAZERBF_TRAINING Summary of this function goes here5 o3 l) k$ B2 P( `. L) Z
    %   Detailed explanation goes here
    , @4 c0 }1 N6 P, O( Y    if nargin < 30 S4 G0 v2 \1 x& B
           sigma = 1; / X) ~0 l  s  Z& u" D5 w
        end8 t1 n( d; N5 H# z3 Z  V# T0 a* O
    . \$ w5 V0 C( j6 l
        n_data = size(data,1);
    , H9 c/ x6 P0 `: p6 H    C = data;: Z7 f$ h9 `5 X% G
    . U( u; N/ F# j# U1 Q+ f+ `
        % make kernel matrix; D$ Z. i6 e2 P" {( J# m
        k_mat = zeros(n_data);: F2 T  P* r: @
        for i=1:n_data
    # \; ^2 X, o) `: T       L2 = sum((data - repmat(data(i,:), n_data, 1)).^2, 2);
    ! c, s6 |( l2 Q5 O' a- D       k_mat(i,:) = exp(L2'/(2*sigma));
    $ M3 U6 n& J" D4 a. V4 @. s# g! `    end
    " u( o' R: N1 F. e4 R
    1 k0 J" S8 z+ |; k    W = k_mat\label;
    : I" l* U9 N( w8 d/ send
    + X: k, f/ I: J# c
    ( M1 d- N  X4 l: C# ^RBF_predict.m 预测5 w, A0 V3 c( V  \

    3 Y: m5 a" ~0 o3 vfunction [ y ] = RBF_predict( data, W, sigma, C )0 `! J1 n1 k3 ~/ s0 _, E% c
    %RBF_PREDICT Summary of this function goes here" h, |6 N7 u% \# u: s
    %   Detailed explanation goes here6 P. ^  ~5 E/ r, X& W: w
        n_data = size(data, 1);* ]* H" S9 i& U) s& r: c2 @
        n_center_vec = size(C, 1);' a  j) Z; |( ]; d) @
        if numel(sigma) == 14 P# @1 e3 K# O. K# h2 b$ ~
           sigma = repmat(sigma, n_center_vec, 1);
    ; L0 A( M' S( s  u8 S1 Y7 W    end$ V* l9 e1 U8 K' B

    ; B$ j! H' V& _/ ?    % kernel matrix
    : j" l+ M3 Z5 v& S% O! |. N- u    k_mat = zeros(n_data, n_center_vec);& D. J! c4 Z! g  Z
        for i=1:n_center_vec1 n, V9 F# m. F- f, g
            r = bsxfun(@minus, data, C(i,:)).^2;
    / l3 G6 g& G2 F, F1 ^- G0 b  ]        r = sum(r,2);. |8 J2 J4 h1 c/ `
            k_mat(:,i) = exp((-r.^2)/(2*sigma(i)^2));4 g/ X/ w6 M/ a6 x; V
        end- e1 f$ ?. C: h: J! x
    * g# H3 s. a, V9 z3 l( G7 c) {
        y = k_mat*W;
    ' Q1 z! d7 I5 I# L6 U/ Vend! k* s4 C( R# R

    1 J9 ~+ j3 {& O( A3 a+ Z————————————————" F6 |( f+ F. q, B, j* G
    版权声明:本文为CSDN博主「芥末的无奈」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。
    ( k- w0 l5 P" z, M; u! M4 T2 X原文链接:https://blog.csdn.net/weiwei9363/article/details/72808496
    & N* f) I* ~9 C2 F& ?
    . n- _/ Q- b1 |% c
    * k8 m& B6 S" T
    $ c/ e' y0 H0 j; e- y8 H
    zan
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