人口预测

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人口预测
# |* e( A9 a/ F. @: s1.问题
人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一.认识人口数量的变化规律，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提.下面介绍两个最基本的人口模型，并利用表1给出的近两百年的美国人口统计数据，对模型做出检验，最后用它预报2000年、2010年美国人口.
表1  美国人口统计数据
年（公元）
; W- m  s7 m0 x1 A8 x9 u
0 Z. `# D& |; l( d人口（百万）        1790
5 ?# y7 N  n- [  p0 n2 m- G( X- ?
3.9        1800

& G( R- j6 I! ]5.3        1810
: o. p4 F/ o( D- s0 W/ j
8 h8 P$ H$ {9 O3 P& Z7.2        1820

; K& C) S! t$ F/ a9.6        1830
, M4 o6 Z) g/ m0 z
- K1 p7 h! N7 Z& N12.9        1840
: z6 v" M) l& z3 q
! F: |7 Y+ ]  H: C17.1        1850
% K) g5 P, R0 P8 Y* D
5 p$ Y8 Y, O* s3 ^* D. c9 s# j, U" ?: t23.2
2 U% ~* K3 _( @) ?4 J4 Z年（公元）

人口（百万）        1860
) Q$ _# ^! R( K; v8 u; A
: S: {! N# @( Q. j) ^; d  z, E5 }8 b31.4        1870
# m2 e$ S( d+ J) L  H
38.6        1880

50.2        1890
* Y) r5 c8 `! x( K3 u; [
62.9        1900

! I: V6 O0 m1 R; A6 Q1 {76.0        1910

0 z: L+ h1 A) C; M1 _92.0        1920
: E/ {2 |, C! \2 b8 _0 `
: b+ B- _5 K: n+ Q# Q+ N# S106.5
3 ^5 d* X) L* O- ?6 f年（公元）

. ]6 Z7 B8 N/ q0 Q4 c3 x人口（百万）        1930
# B, A: ^1 L. }+ n/ }2 k
, O7 O- ^, C# d  [; S123.2        1940
$ R: H9 }' V6 v) [( T
- @& {) K7 S+ D; _0 j9 h+ ?- e3 E131.7        1950

150.7        1960
6 K/ G* X; x* G5 ^: \7 c
- ^) M. M, s5 k179.3        1970

204.0        1980

" f- l* c+ N# `- V2 a/ T: T226.5        1990

+ a/ B2 {; o/ q7 M* I- |251.4

2.指数增长模型（马尔萨斯人口模型）
: V- H+ e4 ^+ y7 a4 G此模型由英国人口学家马尔萨斯（Malthus1766—1834）于1798年提出.
[1] 假设：人口增长率 是常数（或单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比）.
3 x4 D+ m4 {; B7 U[2] 建立模型：  记时刻t=0时人口数为x0, 时刻t的人口为 ，由于量大， 可视为连续、可微函数.t到 时间内人口的增量为：
. Y2 ^) {3 D: s( P2 a# J
于是 满足微分方程：
" J1 b9 ~5 u- d; M) x3 }                       （1）
; V9 g- k8 g" T1 R# u[3] 模型求解： 解微分方程（1）得
2 p2 o2 [: m! _2 k7 H; v4 y                              （2）
表明： 时， （ >0）.
[4] 模型的参数估计：
要用模型的结果（2）来预报人口，必须对其中的参数r进行估计，这可以用表1-1的数据通过拟合得到.拟合的具体方法见本书第16章或第18章.
通过表中1790—1980的数据拟合得：  =0.307.
[5] 模型检验：
   将x0=3.9， =0.307 代入公式（2），求出用指数增长模型预测的1810—1920的人口数，见表2.
表2  美国实际人口与按指数增长模型计算的人口比较
: I9 I+ r  t% L% x/ }) @年
(公元)        实际人口
（百万）        指数增长模型
7 q' Y: p9 w0 i7 X                预测人口（百万）        误差（%）
1790        3.9               
  K' z2 N" w) T+ m  n* H: V1800        5.3               
1 f' G! P$ Q. E) ~2 x+ {9 K1810        7.2        7.3        1.4
3 b/ u7 R5 l% w$ p3 x" K  A1820        9.6        10.0        4.2
1830        12.9        13.7        6.2
1840        17.1        18.7        9.4
1850        23.2        25.6        10.3
( q. r- N0 u3 D' ^1 c1860        31.4        35.0        10.8
1870        38.6        47.8        23.8
  s3 M7 |$ t! U3 J9 T+ y/ _" h1880        50.2        65.5        30.5
1890        62.9        89.6        42.4
  T4 z* M% I2 P( F. l- A# A$ g$ m1900        76.0        122.5        61.2
1910        92.0        167.6        82.1
1920        106.5        229.3        115.3
  从表2可看出，1810—1870间的预测人口数与实际人口数吻合较好，但1880年以后的误差越来越大.
  分析原因，该模型的结果说明人口将以指数规律无限增长.而事实上，随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著.如果当人口较少时人口的自然增长率可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口增加而减少.于是应该对指数增长模型关于人口净增长率是常数的假设进行修改.下面的模型是在修改的
: A5 i/ \5 m$ f! Y/ M: d9 w% f3. 阻滞增长模型（logistic模型）
[1]假设：
9 q. C+ ^5 s% W（a）人口增长率 为人口 的函数 （减函数），最简单假定 （线性函数）， 叫做固有增长率.
（b）自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量 .
# m2 n4 `8 V9 b1 ~5 x1 t[2]建立模型：
   当  时，增长率应为0，即 =0，于是 ，代入 得：
& @. u  w: j% t/ n/ e  w                                   （3）
' g" h, o5 \* u1 j将（3）式代入（1）得：
模型：                          （4）
[3] 模型的求解：  解方程组（4）得             （5）
    根据方程（4）作出  曲线图，见图1，由该图可看出人口增长率随人口数的变化规律.根据结果（5）作出x-t曲线，见图2，由该图可看出人口数随时间的变化规律.  

/ G$ L- F- C% N. `1 Q( X

- F9 e' a, g4 g. G
7 B$ o( N+ K8 Z- h; F





[4] 模型的参数估计：
& |# D% Q4 @9 `9 u: c利用表1中1790—1980的数据对 和 拟合得： =0.2072,  =464.
4 m- U+ d2 {( o6 c6 t [5] 模型检验：
将 =0.2072,  =464代入公式（5），求出用指数增长模型预测的1800—1990的人口数，见表3第3、4列.
也可将方程（4）离散化，得
      t=0,1,2,…,     (6)
用公式（6）预测1800—1990的人口数，结果见表3第5、6列.

- b$ t6 B' M  E1 \* j& b# Z% m表3  美国实际人口与按阻滞增长模型计算的人口比较
& M+ }% H  o" h4 ^2 C
年
        实际
人口
(百万)        阻滞增长模型
: t3 n( h; F2 T0 A/ h                公式（5）        公式（6）
" h: l' N3 W( i" @* q                预测人口(百万)        误差（%）        预测人口(百万)        误差（%）
1790        3.9                               
1800        5.3        5.9025        0.1137        3.9000        0.2642
1810        7.2        7.2614          0.0085           6.5074        0.0962
1820        9.6        8.9332        0.0695        8.6810        0.0957
1830        12.9        10.9899        0.1481        11.4153        0.1151
0 c1 `! {5 Z/ g% j7 ?1840        17.1        13.5201        0.2094        15.1232        0.1156
% ?6 L" @' m, S( W1850        23.2        16.6328        0.2831        19.8197        0.1457
1860        31.4        20.4621        0.3483        26.5228        0.1553
: o7 S. L  |3 G1870        38.6        25.1731        0.3478        35.4528        0.0815
; r$ R- x* E' Y; H( d& D1880        50.2        30.9687          0.3831        43.5329        0.1328
2 b6 I6 n2 x5 m2 R1890        62.9        38.0986        0.3943        56.1884          0.1067
1900        76.0        46.8699        0.3833        70.1459        0.0770
1910        92.0        57.6607        0.3733        84.7305        0.0790
1920        106.5        70.9359        0.3339        102.4626        0.0379
6 Q' A  ]' O! |* r1930        123.2          87.2674        0.2917        118.9509          0.0345
+ H5 M4 w; l# N3 @7 e7 q1940        131.7        107.3588        0.1848        137.8810        0.0469
1950        150.7        132.0759        0.1236        148.7978          0.0126
- {4 }2 q# O- S& p1960        179.3        162.4835          0.0938        170.2765        0.0503
- ~. C" ~  ^4 t  Q1970        204.0        199.8919          0.0201        201.1772        0.0138
3 S/ c6 x6 \# b) o& K1980        226.5        245.9127        0.0857        227.5748        0.0047
+ z) j. ~& b; C9 @. l1990        251.4        302.5288        0.2034        250.4488        0.0038
[6] 模型应用：
现应用该模型预测人口.用表1中1790—1990年的全部数据重新估计参数，可得 =0.2083,  =457.6. 用公式（6）作预测得：
x(2000)=275; x(2010)=297.9.
+ w8 Q, Q  l; r/ @也可用公式（5）进行预测.
! p6 f9 a# n. x+ K
- I, z6 E- n: D) o. i: o$ c& J  C
9 M+ E% v' x% q1 z% _$ o

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