人口预测

longde

人口预测
" V* J0 |+ o7 z* e1.问题
' j: H$ B8 p  Y: G% \人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一.认识人口数量的变化规律，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提.下面介绍两个最基本的人口模型，并利用表1给出的近两百年的美国人口统计数据，对模型做出检验，最后用它预报2000年、2010年美国人口.
表1  美国人口统计数据
' U; I3 x- l$ r6 D3 J年（公元）

人口（百万）        1790

3.9        1800

5.3        1810

4 ~" T( {% ~* F3 g! j! b; @7.2        1820
+ ~9 H$ l6 g! f) G% v
9.6        1830

12.9        1840

3 ]* z7 a9 |' V5 d2 _9 c17.1        1850
2 W+ H4 R" C' {" Z- K  D, d9 }2 [
23.2
4 F8 N5 W/ B/ w& F年（公元）

, s! o" Z' A5 O0 Z# z4 ^人口（百万）        1860

31.4        1870
6 O% \; v' j+ O: s6 j. U
38.6        1880
) R9 |1 G  ^# o  M
: w6 t" a- @. a3 L4 k9 O. C6 b50.2        1890

( u" h! _% m% G. O3 {4 A62.9        1900

76.0        1910

$ c& ~* v2 P- {92.0        1920

106.5
年（公元）

人口（百万）        1930

  Y4 T6 x5 T5 m. p% ^8 a123.2        1940
) s' h) `0 o$ Y9 C( m
4 _( {$ b! o5 [$ z( w  l9 ?, L131.7        1950

. l1 U/ v2 v1 G$ h7 _+ n& H150.7        1960

179.3        1970
2 n8 V3 B2 N( x# l* |
204.0        1980
$ @) O4 U9 U. N9 c1 q! i( p( q
. }& M6 H0 Q4 q" `) e226.5        1990

- J3 R5 x* f6 e251.4

2.指数增长模型（马尔萨斯人口模型）
+ [: R% f" C+ b- s此模型由英国人口学家马尔萨斯（Malthus1766—1834）于1798年提出.
: _* S9 [# N2 y[1] 假设：人口增长率 是常数（或单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比）.
[2] 建立模型：  记时刻t=0时人口数为x0, 时刻t的人口为 ，由于量大， 可视为连续、可微函数.t到 时间内人口的增量为：

于是 满足微分方程：
# D: D- H  x3 j8 G  J$ F                       （1）
, D: J. w  Q7 H" J[3] 模型求解： 解微分方程（1）得
* Z2 I! ^% p; F                              （2）
表明： 时， （ >0）.
8 r/ Q. |5 Q9 y[4] 模型的参数估计：
要用模型的结果（2）来预报人口，必须对其中的参数r进行估计，这可以用表1-1的数据通过拟合得到.拟合的具体方法见本书第16章或第18章.
通过表中1790—1980的数据拟合得：  =0.307.
9 Y8 D: K% a9 K2 |+ j! A$ ?: E[5] 模型检验：
   将x0=3.9， =0.307 代入公式（2），求出用指数增长模型预测的1810—1920的人口数，见表2.
; y- @& E" z& {8 E* M表2  美国实际人口与按指数增长模型计算的人口比较
/ w* ]' G+ x0 B! U) z; `/ M# J8 q年
(公元)        实际人口
) g' L, A' K/ d% X% ~* y（百万）        指数增长模型
                预测人口（百万）        误差（%）
1790        3.9               
. p5 f4 k9 [6 }1800        5.3               
1810        7.2        7.3        1.4
4 U' i1 z" D4 L& x5 x& S! [1820        9.6        10.0        4.2
1830        12.9        13.7        6.2
8 W9 [2 ?' r- f5 C1840        17.1        18.7        9.4
1 ?" z' R6 c: Z- T- ]+ b9 T1850        23.2        25.6        10.3
4 x/ ^" ~* h2 z2 o7 z1860        31.4        35.0        10.8
' j% H! X2 G! l0 J4 B1870        38.6        47.8        23.8
1880        50.2        65.5        30.5
1890        62.9        89.6        42.4
1900        76.0        122.5        61.2
$ m- v- _+ L& f, U1910        92.0        167.6        82.1
; @' H8 g- n' S+ L0 D1920        106.5        229.3        115.3
  从表2可看出，1810—1870间的预测人口数与实际人口数吻合较好，但1880年以后的误差越来越大.
  分析原因，该模型的结果说明人口将以指数规律无限增长.而事实上，随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著.如果当人口较少时人口的自然增长率可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口增加而减少.于是应该对指数增长模型关于人口净增长率是常数的假设进行修改.下面的模型是在修改的
3. 阻滞增长模型（logistic模型）
[1]假设：
+ W. }- K( w5 r' h. U（a）人口增长率 为人口 的函数 （减函数），最简单假定 （线性函数）， 叫做固有增长率.
（b）自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量 .
[2]建立模型：
8 r' m5 m: }  b# W4 }& E   当  时，增长率应为0，即 =0，于是 ，代入 得：
                                   （3）
将（3）式代入（1）得：
% m- q- H# D  v5 E% e模型：                          （4）
' f* I) w1 v9 x3 v2 T, `2 f# p[3] 模型的求解：  解方程组（4）得             （5）
    根据方程（4）作出  曲线图，见图1，由该图可看出人口增长率随人口数的变化规律.根据结果（5）作出x-t曲线，见图2，由该图可看出人口数随时间的变化规律.  

. |1 u3 `6 O  C
# F. L) o- V. e
" ~  ]" j2 u' Z+ ]% n$ [7 W' ]+ N
8 n" s1 c8 c+ j/ u
- U4 {8 u  G' Y) H

$ m$ F1 e1 J7 B
5 b  n2 u" E2 E# o$ Z5 a6 q9 X

[4] 模型的参数估计：
利用表1中1790—1980的数据对 和 拟合得： =0.2072,  =464.
[5] 模型检验：
+ f2 u9 M+ {$ c6 |3 [将 =0.2072,  =464代入公式（5），求出用指数增长模型预测的1800—1990的人口数，见表3第3、4列.
也可将方程（4）离散化，得
4 ^# P; q$ g$ b# ?4 N      t=0,1,2,…,     (6)
/ y% }, i) k/ x3 H% O4 f用公式（6）预测1800—1990的人口数，结果见表3第5、6列.
9 h- Y$ q0 O" [; L7 ~
2 [7 ]( f6 r% k* H表3  美国实际人口与按阻滞增长模型计算的人口比较

  E/ J, s: J6 m& R2 v2 d0 |年
) c2 X& X" h" q7 o8 R; R% b! j$ k4 ~        实际
" x1 i' N; Z$ [人口
+ C% y* t; ?5 [. {+ `: G! }. M(百万)        阻滞增长模型
                公式（5）        公式（6）
                预测人口(百万)        误差（%）        预测人口(百万)        误差（%）
: M1 R$ r# I0 ?* ?/ z3 d' N1 L1790        3.9                               
1800        5.3        5.9025        0.1137        3.9000        0.2642
1810        7.2        7.2614          0.0085           6.5074        0.0962
. q" s2 w# r" _# c' a1820        9.6        8.9332        0.0695        8.6810        0.0957
1 I  X+ O5 K/ P, q2 P/ i9 _1830        12.9        10.9899        0.1481        11.4153        0.1151
1840        17.1        13.5201        0.2094        15.1232        0.1156
9 E; [/ G( D# T1850        23.2        16.6328        0.2831        19.8197        0.1457
/ p9 ^1 P  Z/ D7 D1860        31.4        20.4621        0.3483        26.5228        0.1553
" R* d! ]' p: L* V7 c1870        38.6        25.1731        0.3478        35.4528        0.0815
1880        50.2        30.9687          0.3831        43.5329        0.1328
) x$ N  F2 G' o& z7 G1890        62.9        38.0986        0.3943        56.1884          0.1067
5 g+ C% h3 |+ {+ _8 w! G) ]1900        76.0        46.8699        0.3833        70.1459        0.0770
3 D3 T& A  n( M5 N) l' e9 p1910        92.0        57.6607        0.3733        84.7305        0.0790
" o2 m& Z8 E& W# B( g/ c" z2 Y  M1920        106.5        70.9359        0.3339        102.4626        0.0379
& }7 _/ M( I8 C& g: K: q% r1 w; S9 z1930        123.2          87.2674        0.2917        118.9509          0.0345
7 X! {+ b% a. ?& E7 q! b* T& u1940        131.7        107.3588        0.1848        137.8810        0.0469
' S( h( z+ L0 b7 U5 t2 m1950        150.7        132.0759        0.1236        148.7978          0.0126
# _1 i2 h" T0 a' \# D8 k& L1960        179.3        162.4835          0.0938        170.2765        0.0503
3 z* D0 K0 U+ n; |1970        204.0        199.8919          0.0201        201.1772        0.0138
1980        226.5        245.9127        0.0857        227.5748        0.0047
1990        251.4        302.5288        0.2034        250.4488        0.0038
3 L# z7 }4 x, ^1 E[6] 模型应用：
3 [+ K: X6 C  N$ x 现应用该模型预测人口.用表1中1790—1990年的全部数据重新估计参数，可得 =0.2083,  =457.6. 用公式（6）作预测得：
x(2000)=275; x(2010)=297.9.
3 i1 M; }1 v$ m/ V9 k也可用公式（5）进行预测.
0 Q4 K+ k. y( B/ O2 h# Z% L4 o

, b/ h8 e. F5 S

2923153768

很好的帖子，支持一下。
1 q) O( \/ c6 ?6 h( b- T, I' B