人口预测

longde

人口预测
+ a1 y* t" }4 C, s1.问题
3 Y; u9 h; z( B  i5 X. n+ y1 [* C7 {人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一.认识人口数量的变化规律，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提.下面介绍两个最基本的人口模型，并利用表1给出的近两百年的美国人口统计数据，对模型做出检验，最后用它预报2000年、2010年美国人口.
表1  美国人口统计数据
0 q3 n" `/ ]4 E$ ^6 |年（公元）
: W& g* ~+ L$ V9 v2 T% Y! z
人口（百万）        1790
1 G$ s0 C5 Y7 W+ _* [/ c
5 k$ M4 q9 T* c  D" f9 g3.9        1800
7 z* _: `, E2 A/ D# [9 S) R) K
& F, l8 U. G# _5 @- L5.3        1810
2 E1 U6 k6 S3 ?6 L
& ]8 P( |' z. l3 k- @7.2        1820

: J1 w. Y- P2 }8 J. D* y  b9 _( a9.6        1830

' q5 k. |- b' I4 x12.9        1840
1 @' W+ y. H& b1 u8 J6 s
17.1        1850

( B- L& ?( u5 m2 Z23.2
8 g! B& f. i, ~* i5 q+ t6 a: f年（公元）

" y& l  O  C$ Q人口（百万）        1860

" n/ H3 ^! B4 Z6 L2 K; D: J: ]31.4        1870
: ]- q  Y+ b+ M; y
( v0 N4 }; A' z2 h9 H& y$ L4 k38.6        1880
* [) V  _" F3 o* C/ l$ Y  H
8 e! l" J) ?2 O5 s50.2        1890
: ]5 @" i% U' q: K/ E: y, y1 \
2 Z4 g. k( b3 ?' G62.9        1900
, |# _8 p& F- m; z* `
, ]# E8 K6 Z& D) l76.0        1910
! W) k0 i& m) k; U( G. e. G
+ m' N  r  h: |" \# u7 E8 {5 f92.0        1920

106.5
+ F9 D' L$ O: a8 R2 s/ D/ a9 _) J年（公元）

7 S  f# B% V% ?' Z$ }人口（百万）        1930
/ @# Z) L3 ]7 j
123.2        1940
; t, V0 R  ~. i. O2 j# b6 \7 y) {
" O1 S$ R9 I9 @8 ]' g0 f# c131.7        1950
+ l7 {& R+ i! J) g
! I6 T" {) w) o% }+ k2 J' ?$ e! }5 b150.7        1960

179.3        1970

204.0        1980

3 ]+ s7 d4 V- Z& t" N9 f1 e8 b226.5        1990

251.4

5 Z4 F+ ?8 h$ ]" R' y& C2.指数增长模型（马尔萨斯人口模型）
此模型由英国人口学家马尔萨斯（Malthus1766—1834）于1798年提出.
+ v, z! B4 z9 f8 S4 ?. R[1] 假设：人口增长率 是常数（或单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比）.
* @' i2 ^: w+ M# `6 G& J9 ~[2] 建立模型：  记时刻t=0时人口数为x0, 时刻t的人口为 ，由于量大， 可视为连续、可微函数.t到 时间内人口的增量为：
6 T* B" c6 Z/ d5 _* h; Q/ c: p
7 T7 s( |- R# M于是 满足微分方程：
( S4 L8 F8 I. m4 ^' J, ]                       （1）
[3] 模型求解： 解微分方程（1）得
                              （2）
表明： 时， （ >0）.
. V( x2 L$ H0 k: t1 o  R[4] 模型的参数估计：
1 f1 B* s# u& g( w" g' j要用模型的结果（2）来预报人口，必须对其中的参数r进行估计，这可以用表1-1的数据通过拟合得到.拟合的具体方法见本书第16章或第18章.
# J4 ^  }9 w6 h) y8 r通过表中1790—1980的数据拟合得：  =0.307.
3 W" ?4 b* f4 z: i- n[5] 模型检验：
" E! `2 K: S" e   将x0=3.9， =0.307 代入公式（2），求出用指数增长模型预测的1810—1920的人口数，见表2.
表2  美国实际人口与按指数增长模型计算的人口比较
年
(公元)        实际人口
: a; [* }* a! L- [+ y（百万）        指数增长模型
                预测人口（百万）        误差（%）
$ O+ \& Y, i) d1 C) D* O$ o1790        3.9               
7 o# \5 y. P. }/ e; W- f/ b3 T) h1800        5.3               
1810        7.2        7.3        1.4
% F3 q4 I1 z9 C4 n$ E7 x1820        9.6        10.0        4.2
1830        12.9        13.7        6.2
# R+ [& q% \' u1 B) e; s1840        17.1        18.7        9.4
1850        23.2        25.6        10.3
; I* F$ k0 Y; k# I0 U1860        31.4        35.0        10.8
4 T% z+ \4 M: d' J9 z! p1870        38.6        47.8        23.8
$ n# Q7 g  j9 Y1880        50.2        65.5        30.5
1890        62.9        89.6        42.4
1900        76.0        122.5        61.2
* A( d3 Q0 x7 _5 l/ f1910        92.0        167.6        82.1
1920        106.5        229.3        115.3
  从表2可看出，1810—1870间的预测人口数与实际人口数吻合较好，但1880年以后的误差越来越大.
  分析原因，该模型的结果说明人口将以指数规律无限增长.而事实上，随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著.如果当人口较少时人口的自然增长率可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口增加而减少.于是应该对指数增长模型关于人口净增长率是常数的假设进行修改.下面的模型是在修改的
; u5 r5 N8 r1 i+ m; B1 G- {! o  h2 \( c3. 阻滞增长模型（logistic模型）
! @0 W7 `0 S1 p7 C# t9 u[1]假设：
% q$ R5 g6 N1 O- C1 o+ D; k（a）人口增长率 为人口 的函数 （减函数），最简单假定 （线性函数）， 叫做固有增长率.
% c. H2 i( A4 Q# I/ s* k（b）自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量 .
[2]建立模型：
   当  时，增长率应为0，即 =0，于是 ，代入 得：
6 d9 |9 A* v3 G0 Y2 {                                   （3）
. O' A( N/ g! \0 N  X  H4 E9 A将（3）式代入（1）得：
$ s; i4 p  t- U1 Y; i模型：                          （4）
[3] 模型的求解：  解方程组（4）得             （5）
9 V9 K7 l% z0 k' m  }/ H; d    根据方程（4）作出  曲线图，见图1，由该图可看出人口增长率随人口数的变化规律.根据结果（5）作出x-t曲线，见图2，由该图可看出人口数随时间的变化规律.  

! `+ e6 d( f: ~! b
1 z+ _3 I" C+ q8 z. q: ^9 Z" Z
# W$ o+ z$ m- n+ E- v4 f2 J8 V! F% d


$ R+ S8 H, I8 m& F+ E& b, O7 N+ d3 I



[4] 模型的参数估计：
  G9 h$ t3 r" A; {6 u+ M利用表1中1790—1980的数据对 和 拟合得： =0.2072,  =464.
- L! D, o: S  m: a9 N2 V [5] 模型检验：
将 =0.2072,  =464代入公式（5），求出用指数增长模型预测的1800—1990的人口数，见表3第3、4列.
也可将方程（4）离散化，得
      t=0,1,2,…,     (6)
用公式（6）预测1800—1990的人口数，结果见表3第5、6列.
% k8 E1 i2 d7 R! |
表3  美国实际人口与按阻滞增长模型计算的人口比较

4 B; F( Z! `: l1 l# f年
        实际
" k8 U9 c8 G, ~, o* M人口
(百万)        阻滞增长模型
' R( }5 @9 i2 }; ^: q7 E                公式（5）        公式（6）
                预测人口(百万)        误差（%）        预测人口(百万)        误差（%）
1790        3.9                               
! |6 g. h6 w$ C0 r1800        5.3        5.9025        0.1137        3.9000        0.2642
# c7 X3 j' i* i2 S1810        7.2        7.2614          0.0085           6.5074        0.0962
  D1 \) Y: ]$ N% N9 n: \: h1820        9.6        8.9332        0.0695        8.6810        0.0957
6 d9 K0 B4 f6 W5 a; P1830        12.9        10.9899        0.1481        11.4153        0.1151
7 l1 _! C7 j  _4 S  V% `1840        17.1        13.5201        0.2094        15.1232        0.1156
1850        23.2        16.6328        0.2831        19.8197        0.1457
( t: D, R2 ^2 n8 Z1 E1 T1 e) `1860        31.4        20.4621        0.3483        26.5228        0.1553
1870        38.6        25.1731        0.3478        35.4528        0.0815
1880        50.2        30.9687          0.3831        43.5329        0.1328
1890        62.9        38.0986        0.3943        56.1884          0.1067
) u' U4 ?' I% x- [1900        76.0        46.8699        0.3833        70.1459        0.0770
! t! G( C: c1 X1910        92.0        57.6607        0.3733        84.7305        0.0790
3 V8 T4 `3 W* G0 C. s1920        106.5        70.9359        0.3339        102.4626        0.0379
1930        123.2          87.2674        0.2917        118.9509          0.0345
1940        131.7        107.3588        0.1848        137.8810        0.0469
1950        150.7        132.0759        0.1236        148.7978          0.0126
1960        179.3        162.4835          0.0938        170.2765        0.0503
3 b" c( r! R+ A/ P* Q1970        204.0        199.8919          0.0201        201.1772        0.0138
  d4 J! O3 K' p, ~; @7 a$ y2 y" z( @1980        226.5        245.9127        0.0857        227.5748        0.0047
9 @' B& p1 N$ |1990        251.4        302.5288        0.2034        250.4488        0.0038
" X9 Q! y2 h; m! H3 h9 J[6] 模型应用：
现应用该模型预测人口.用表1中1790—1990年的全部数据重新估计参数，可得 =0.2083,  =457.6. 用公式（6）作预测得：
x(2000)=275; x(2010)=297.9.
也可用公式（5）进行预测.
( T# }8 }5 G6 \6 e4 b8 T6 ?

2923153768

很好的帖子，支持一下。