人口预测

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人口预测
* T8 A% e6 _! B. d) o4 g2 e$ `1.问题
人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一.认识人口数量的变化规律，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提.下面介绍两个最基本的人口模型，并利用表1给出的近两百年的美国人口统计数据，对模型做出检验，最后用它预报2000年、2010年美国人口.
3 D4 y& d. E! J0 a表1  美国人口统计数据
年（公元）
& M# X. r  e. W; i* F
/ ~. p& t$ d, H! H; Z" F人口（百万）        1790

# H6 A/ P' S; J) i9 y: G* l" K3.9        1800
1 G/ o" I# A& Z! U$ ^  q1 J
5.3        1810
1 o/ J! Q; {0 x  Q& ?4 A! T% u
7.2        1820
9 u) S9 r2 ~; S- X
; _5 i, p: ^+ m* L  u5 w9.6        1830

12.9        1840
, ~7 n; V$ l" l$ X
17.1        1850

& H0 a  z$ {! y9 _4 r) I7 A23.2
年（公元）

人口（百万）        1860

31.4        1870
2 R$ W: J! {# G6 J7 v$ O
4 G: U/ {9 T" c2 w' W& h9 f38.6        1880

: \! W  w6 l, p' S7 N50.2        1890

62.9        1900

76.0        1910

92.0        1920
. J9 `2 c6 Z/ h6 _
106.5
# X1 o. ^) s9 }5 E& q* a0 l7 L年（公元）

人口（百万）        1930
( p/ |9 r0 q8 N$ P
123.2        1940
" H0 Y8 E$ I% g# S2 }+ h
$ y( w# [% t# T131.7        1950
/ e3 Y" K7 y9 F& J
150.7        1960
1 Z- ~0 F* T0 A9 s6 l
179.3        1970
8 B/ {! `# s* z$ d% m" R8 r
* o, R, Q( s3 G, s2 y, ^204.0        1980
8 w: Z' B! c; N8 k: r4 r
5 z3 h" `, b/ E# t226.5        1990
- Z4 Q5 L4 G* x
3 k4 a6 L: O9 O: @2 N7 @) c# V' l) c; N251.4

% ~9 k1 @# v/ r3 L9 K2 t8 e, N2.指数增长模型（马尔萨斯人口模型）
. j  L8 s% b* K. n2 Z7 k' u4 U此模型由英国人口学家马尔萨斯（Malthus1766—1834）于1798年提出.
[1] 假设：人口增长率 是常数（或单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比）.
[2] 建立模型：  记时刻t=0时人口数为x0, 时刻t的人口为 ，由于量大， 可视为连续、可微函数.t到 时间内人口的增量为：

于是 满足微分方程：
                       （1）
* S! J& M- W# P+ o[3] 模型求解： 解微分方程（1）得
                              （2）
3 E- e" Z+ [6 k$ {2 U  o/ ]9 r表明： 时， （ >0）.
[4] 模型的参数估计：
) J) B6 {" z; l4 p4 d要用模型的结果（2）来预报人口，必须对其中的参数r进行估计，这可以用表1-1的数据通过拟合得到.拟合的具体方法见本书第16章或第18章.
1 F' C" \$ F  r4 M6 ~: k. d  g* f+ i9 ]+ l通过表中1790—1980的数据拟合得：  =0.307.
+ a$ E% g& }4 D4 Y2 |4 g. u[5] 模型检验：
   将x0=3.9， =0.307 代入公式（2），求出用指数增长模型预测的1810—1920的人口数，见表2.
. f7 u2 t  b- F5 @) {6 A表2  美国实际人口与按指数增长模型计算的人口比较
年
(公元)        实际人口
（百万）        指数增长模型
* g7 T, j/ o8 E4 K$ k6 y                预测人口（百万）        误差（%）
1790        3.9               
1800        5.3               
1810        7.2        7.3        1.4
1 |: G/ h0 ~, m+ W( ~- `1820        9.6        10.0        4.2
: X4 E* I" |# w; v* _  R1830        12.9        13.7        6.2
, G* R6 r/ g" l& c* Q1840        17.1        18.7        9.4
1850        23.2        25.6        10.3
1860        31.4        35.0        10.8
9 B! X; K- K; @( f7 Z1870        38.6        47.8        23.8
6 w+ c& A2 n5 h) ]7 h. ]1880        50.2        65.5        30.5
1890        62.9        89.6        42.4
' Q, @9 D% \6 M3 y1900        76.0        122.5        61.2
1910        92.0        167.6        82.1
( p5 |0 a) F, s1920        106.5        229.3        115.3
  从表2可看出，1810—1870间的预测人口数与实际人口数吻合较好，但1880年以后的误差越来越大.
  分析原因，该模型的结果说明人口将以指数规律无限增长.而事实上，随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著.如果当人口较少时人口的自然增长率可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口增加而减少.于是应该对指数增长模型关于人口净增长率是常数的假设进行修改.下面的模型是在修改的
& p8 W  {" i; @8 r" b' M$ e9 w3. 阻滞增长模型（logistic模型）
[1]假设：
（a）人口增长率 为人口 的函数 （减函数），最简单假定 （线性函数）， 叫做固有增长率.
5 ~5 O6 T" X: }8 `! c* l4 |4 c/ D（b）自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量 .
[2]建立模型：
   当  时，增长率应为0，即 =0，于是 ，代入 得：
, v* P3 j8 |" ]  X' E                                   （3）
将（3）式代入（1）得：
5 N3 X( K% _, y+ S模型：                          （4）
6 Y' Y$ M- @# j4 i: u/ p' B) S2 S[3] 模型的求解：  解方程组（4）得             （5）
7 y; N" d. P9 w' g" C& \5 `! w# S    根据方程（4）作出  曲线图，见图1，由该图可看出人口增长率随人口数的变化规律.根据结果（5）作出x-t曲线，见图2，由该图可看出人口数随时间的变化规律.  

5 ~; }+ _  {% T& b0 @; x; q3 a
3 Z9 b: W2 {( _% ^" e


% j* z. p( A! \9 r" P7 ^2 U) {
: C/ @$ p$ \* e0 O/ \6 c4 e



[4] 模型的参数估计：
2 v4 M5 S6 L3 b( r- x利用表1中1790—1980的数据对 和 拟合得： =0.2072,  =464.
! h; B; W" M* d; m2 c, n7 B5 Z$ t [5] 模型检验：
将 =0.2072,  =464代入公式（5），求出用指数增长模型预测的1800—1990的人口数，见表3第3、4列.
- u6 i4 O; T2 ]) E1 ]也可将方程（4）离散化，得
/ O! u9 j: u4 N7 |; Z      t=0,1,2,…,     (6)
用公式（6）预测1800—1990的人口数，结果见表3第5、6列.

  k! T# m! s% ^/ Y/ B* ~+ \表3  美国实际人口与按阻滞增长模型计算的人口比较
) e# L; {' d( r# e
" J* g, m6 F; D1 N% V年
( M+ P6 T/ B, T        实际
! G/ c( o7 F6 ^3 p人口
(百万)        阻滞增长模型
0 @+ d8 b3 I  N+ m3 x/ c                公式（5）        公式（6）
                预测人口(百万)        误差（%）        预测人口(百万)        误差（%）
0 D6 e2 X! W' V3 L" s& i% l, _1790        3.9                               
* d5 ?0 e8 V; n1800        5.3        5.9025        0.1137        3.9000        0.2642
1810        7.2        7.2614          0.0085           6.5074        0.0962
% i2 ]8 a' {' I9 @0 o1820        9.6        8.9332        0.0695        8.6810        0.0957
1830        12.9        10.9899        0.1481        11.4153        0.1151
8 {" h& D' J% |2 o2 W" f1840        17.1        13.5201        0.2094        15.1232        0.1156
! m4 V, X/ L/ k/ p; ^1 G1850        23.2        16.6328        0.2831        19.8197        0.1457
& g! l! P8 Y% g! m/ l9 Q1860        31.4        20.4621        0.3483        26.5228        0.1553
1870        38.6        25.1731        0.3478        35.4528        0.0815
' b& W. ]& k# j1880        50.2        30.9687          0.3831        43.5329        0.1328
' ^: v2 b/ E& d0 v1890        62.9        38.0986        0.3943        56.1884          0.1067
1900        76.0        46.8699        0.3833        70.1459        0.0770
1910        92.0        57.6607        0.3733        84.7305        0.0790
! U% Q% G* x$ Q9 h* n$ I# M1920        106.5        70.9359        0.3339        102.4626        0.0379
1930        123.2          87.2674        0.2917        118.9509          0.0345
1940        131.7        107.3588        0.1848        137.8810        0.0469
1950        150.7        132.0759        0.1236        148.7978          0.0126
1960        179.3        162.4835          0.0938        170.2765        0.0503
" R6 j* |( r" I+ N( Q- B: v1970        204.0        199.8919          0.0201        201.1772        0.0138
8 E% c. K- I1 j% r6 c- }1980        226.5        245.9127        0.0857        227.5748        0.0047
1990        251.4        302.5288        0.2034        250.4488        0.0038
& p8 o9 R1 K; e2 J) X& E[6] 模型应用：
现应用该模型预测人口.用表1中1790—1990年的全部数据重新估计参数，可得 =0.2083,  =457.6. 用公式（6）作预测得：
& M! v. V" f0 \& P% l8 C; Y( Sx(2000)=275; x(2010)=297.9.
也可用公式（5）进行预测.

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很好的帖子，支持一下。
; w. B; ]* v( `# T; r* E: J