模糊聚类分析方法

浅夏110

在工程技术和经济管理中，常常需要对某些指标按照一定的标准(相似的程度或亲 疏关系等)进行分类处理。例如，根据生物的某些性态对其进行分类，根据空气的性质 对空气质量进行分类，以及工业上对产品质量的分类、工程上对工程规模的分类、图像 识别中对图形的分类、地质学中对土壤的分类、水资源中的水质分类等等。这些对客观 事物按一定的标准进行分类的数学方法称为聚类分析，它是多元统计“物以聚类”的一种分类方法。然而，在科学技术、经济管理中有许多事物的类与类之间并无清晰的划分， 边界具有模糊性，它们之间的关系更多的是模糊关系。对于这类事物的分类，一般用模糊数学方法、我们把应用模糊数学方法进行的聚类分析，称为模糊聚类分析。
% d# ~! }8 ~. ]: }
5 m, J" Z/ G' K9 Z) o1 B' |5 C7 Z1 预备知识
% Y- s" R! ]- F$ {: _8 K6 |$ I) b' C" t1.1 模糊等价矩阵

% \4 K$ T/ G' u3 b# H) f& I
& |% g0 W0 F( x# U9 n! B" i+ g

1 |1 ]! l& _& k. E# C* n9 P  b0 m* ]n 阶等价布尔矩阵
* _$ w# o; F" q) e


模糊分类
1 i( I) z1 ?: J7 N/ ?
4 G3 a% X) M! R: k+ C9 k: r
8 w* j+ G; j. Z
" q" }% P8 M# A2 J
- Z- j, `) f* D* }7 r  e* [





) x. Z( ^/ H1 q1.2 模糊相似矩阵

7 M* _8 d' ?& ]4 l
% L, C! O8 {: H. m0 f5 b8 [% S5 i




! j3 e" \, t( j4 s% [
2 模糊聚类分析法的基本步骤
Step1: 数据标准化
- N1 l) V% Z: c9 L5 P
6 t9 h' G; B; q2 e(1) 获取数据
$ f5 G( W; o- n5 [) W2 {4 B' y
% B# C0 g# S" m) c. f# P

! o, T/ S3 b; O& S  @(2) 数据的标准化处理
在实际问题中，不同的数据可能有不同的性质和不同的量纲，为了使原始数据能够 适合模糊聚类的要求，需要将原始数据矩阵 A 作标准化处理，即通过适当的数据变换，将其转化为模糊矩阵。常用的方法有以下两种：

9 X) w: l+ P/ O! q① 平移—标准差变换
' M( i* S8 n  B- a% S
7 p5 Y7 n% R" w& {

9 F* A8 R' z9 h1 M( f' F+ {3 G9 Y7 C+ d② 平移—极差变换

7 e; B. R3 B+ x. a6 a
3 k/ m7 g% J9 Q+ z4 \, x% W* ~
Step2: 建立模糊相似矩阵

* j; p4 t, l) j# W1 P
/ k$ a! t5 a$ v
(1) 数量积法
5 `* S6 ^/ n# [" o' \, d
3 s3 N3 J2 q# J* u7 l

( S* F; Q* ]) ~# @
) y1 \& O' V1 ~( r  o$ _$ o* i(2) 夹角余弦法
" f, f  k) u) Q4 r  b
; Q# _8 \) d) D

(3) 相关系数法
- z" F4 d* M1 c; H8 g8 ^' f. {/ i% S

- ^3 ?' \5 v4 {9 s( w
" u) ^: F" D& O3 t8 }3 M(4) 指数相似系数法

8 r# r( I$ f# V2 O* ~; M3 p

7 ~- j: e" d7 f, H5 e: D9 q(5) 最大最小值法
: R& Q8 d4 {, r# S  d/ e                  式中 ∧ 为取小运算min，∨ 代表取大运算max
. ~/ |* W8 z9 i/ J+ [* x* J
9 ?/ ~; J6 b4 O% w
0 T$ h/ t4 ?& w* s( w; m
(6) 算术平均值法
& z, F, i( g  C6 ^$ j: j2 v7 q! q# }

3 ^) n3 t* V6 t$ J; N6 K. b% E
(7) 几何平均值法

% ~) \5 \& D" F- z9 G% t

(8) 绝对值倒数法
2 \# l& H+ g  r/ v1 Y, T
- G" M' k  P0 {- j

(9) 绝对值指数法
" i+ o7 g& H+ u
# |& M) H! l8 q$ L. z6 @  O

5 j7 r# e  f- Q! v. @(10) 海明距离法


: E; i8 M. \1 _7 O! o
6 k& y2 Q: d/ p, i/ ?(11) 欧氏距离法


# s* I8 z0 t. _' L2 K
/ _3 r4 x- t; }. f9 _(12) 切比雪夫距离法
% ?  f# @# E" {2 t
0 Q+ N  I: |1 P
& X0 M% n# I! N0 t) J7 l
(13) 主观评分法
& A6 _. g9 ~' m5 \& m* V
- J1 t. l5 H9 E! P
( B1 b' b/ Q! ~
& u9 \5 f/ t$ b8 ^8 D# \Step3: 聚类
' G, [! W; @7 \* J# M; K所谓聚类方法就是依据模糊矩阵将所研究的对象进行分类的方法。对于不同的置信 水平λ ∈[0,1]，可以得到不同的分类结果，从而形成动态聚类图。常用的方法如下：
. I* O+ A$ A$ R) m: |
4 ^4 `8 ]# Y0 [; q* m& s. U(1) 传递闭包法
从 Step2 中求出的模糊相似矩阵 R 出发，来构造一个模糊等价矩阵  。其方法就 是用平方法求出 R 的传递闭包t(R) ，则  t(R) =  ；然后，由大到小取一组λ ∈[0,1] ， 确定相应的λ 截矩阵，则可以将其分类，同时也可以构成动态聚类图。
# R" g6 d6 S1 e; g2 y
0 |8 i  d! ?+ `(2) 布尔矩阵法

; A8 S/ W( p' @/ C  `
4 c" F: q& E% Y( v0 c  u


2 [* `4 E& {2 L* q) N(3) 直接聚类法
此方法是直接由模糊相似矩阵求出聚类图的方法，具体步骤如下：
9 r! q% F6 p. g1 ]6 w5 G
) [3 B4 h9 C7 n
: Z5 U, M6 N8 R7 ]/ E, f% A
0 K2 }% ?7 P9 X; a5 [5 M* _) @' F3 模糊聚类分析应用案例
" V, r+ z! C( G) P例 15 某地区内有 12 个气象观测站，10 年来各站测得的年降水量如表 3 所示。 为了节省开支，想要适当减少气象观测站，试问减少哪些观察站可以使所得到的降水量 信息仍然足够大？
/ R5 ]' P: U8 o* ?! T
. A. ]- Y  V1 ~9 \9 [1 O, b0 w4 ~! E0 y
- f  S, j8 F, ~9 B/ l6 n
8 m; ?- x1 W; j
# M1 c# |% T! X) H# R, C5 [. o
解 我们把 12 个气象观测站的观测值看成 12 个向量组，由于本题只给出了 10 年 的观测数据，根据线性代数的理论可知，若向量组所含向量的个数大于向量的维数，则 该向量组必然线性相关。于是只要求出该向量组的秩就可确定该向量组的最大无关组所 含向量的个数，也就是需保留的气象观测站的个数。由于向量组中的其余向量都可由极 大线性无关组线性表示，因此，可以使所得到的降水信息量足够大。
( @" M1 z3 e$ Y$ C# {+ C5 T
! H4 _! F# Z5 }* d

到目前为止，问题似乎已经完全解决了，可其实不然，因为如果上述观测站的数 据不是 10 年，而是超过 12 年，则此时向量的维数大于向量组所含的向量个数，这样的 向量组未必线性相关。故上述的解法不具有一般性，下面我们考虑一般的解法，首先， 我们利用已有的 12 个气象观测站的数据进行模糊聚类分析，最后确定从哪几类中去掉 几个观测站。

（1）建立模糊集合
) i2 ~8 [1 r6 k5 k+ q7 P

: G. h7 E2 b  R5 C
/ A9 C) n, d7 ], o2 l% {) Q
( j- K: r# p" ^

（2）利用格贴近度建立模糊相似矩阵



, q) E$ X/ S9 _; e) G+ u（3）求 R 的传递闭包
( _& I+ h; [5 U
) ?% w, Q- k& \8 M
& Z- B. n0 C3 j+ H3 Q# {  I
& B1 j$ ^4 j  A7 `其余观测站属于中间水平。
0 s6 K2 G! J6 e! Z2 G
（4）选择保留观测站的准则
显然，去掉的观测站越少，则保留的信息量越大。为此，我们考虑在去掉的观测 站数目确定的条件下，使得信息量最大的准则。由于该地区的观测站分为 4 类，且第 4 类只含有一个观测站，因此，我们从前 3 类中各去掉一个观测站，我们的准则如下：
6 m' p$ r' \# W
9 m' P; ]0 b" o: V
( }3 y/ t6 ]) n6 W
% h& l% @. ^9 ], Y+ l( Y
* t5 G  c- D' e


（5）求解的 MATLAB 程序如下：
. e4 a/ w4 {. v- W9 ~" P& \5 o
# G/ c* ]* S1 u' ~i）求模糊相似矩阵的 MATLAB 程序
3 G: o/ z; i9 e2 V' Z# d9 ]; e
/ q% o: _  |) E# K8 H! da=[276.2 324.5 158.6 412.5 292.8 258.4 334.1 303.2 292.9 243.2 159.7 331.2
251.5 287.3 349.5 297.4 227.8 453.6 321.5 451.0 466.2 307.5 421.1 455.1
192.7 433.2 289.9 366.3 466.2 239.1 357.4 219.7 245.7 411.1 357.0 353.2
" Q- c$ j1 P9 v% S+ X246.2 232.4 243.7 372.5 460.4 158.9 298.7 314.5 256.6 327.0 296.5 423.0
291.7 311.0 502.4 254.0 245.6 324.8 401.0 266.5 251.3 289.9 255.4 362.1
* e  z# T4 T* M% n: Y466.5 158.9 223.5 425.1 251.4 321.0 315.4 317.4 246.2 277.5 304.2 410.7
2 a  Q9 Z! S) W! l2 ~7 I8 v$ l- T258.6 327.4 432.1 403.9 256.6 282.9 389.7 413.2 466.5 199.3 282.1 387.6
3 @2 [; _6 F2 f2 c453.4 365.5 357.6 258.1 278.8 467.2 355.2 228.5 453.6 315.6 456.3 407.2
158.2 271.0 410.2 344.2 250.0 360.7 376.4 179.4 159.2 342.4 331.2 377.7
, n7 R8 N* s0 {% Z0 P* h$ s324.8 406.5 235.7 288.8 192.6 284.9 290.5 343.7 283.4 281.2 243.7 411.1];
mu=mean(a),sigma=std(a)
for i=1:12
! a/ O- U* A( U/ r" J+ ^    for j=1:12
% {8 U4 @! w! N0 R1 x        r(i,j)=exp(-(mu(j)-mu(i))^2/(sigma(i)+sigma(j))^2);
    end
end
r
save data1 r a
6 I; B, }0 A  l" ^
' S8 S3 o4 x* o7 M6 O. _' Z: Kii）矩阵合成的 MATLAB 函数
, J9 A3 c, i1 L1 U: N2 i, Q, p
1 W) M3 I0 Q# Zfunction rhat=hecheng(r);
  |+ \# `1 W, E" d0 h( L9 d; _% y) e3 Cn=length(r);
7 {7 i/ s) X# S. D3 G1 d5 Ofor i=1:n
8 B! p5 X, s" h# l    for j=1:n
# R4 c9 D) V) ^. s5 M        rhat(i,j)=max(min([r(i,;r(:,j)']));
4 b( T/ w7 J. U8 s4 v0 U, C    end
end

7 V, M/ X, Z, ]$ @iii）求模糊等价矩阵和聚类的程序

load data1
) Z6 v/ g% _2 p1 ir1=hecheng(r)
r2=hecheng(r1)
; ~) A3 H# n) B) q  Er3=hecheng(r2)
: l6 O( r0 c1 @6 t0 i0 O/ ^bh=zeros(12);
bh(find(r2>0.998))=1

iv)计算表6的程序  编写计算误差平方和的函数如下：

' F2 u6 p$ T( j8 Dfunction err=wucha(a,t);
0 C. U8 f- Q: L; Y8 t4 ]b=a;b(:,t)=[];
mu1=mean(a,2);mu2=mean(b,2);
; C6 \, r, A- G0 jerr=sum((mu1-mu2).^2);

/ s1 C' t% L3 A6 v
9 N# |2 ]! d) g- X2 C9 l' O) M计算28个方案的主程序如下：

8 }& K, t$ ^# n/ ]% pload data1
ind1=[1,5];ind2=[2:3,6,8:11];ind3=[4,7];
+ g/ @7 C) H4 o7 g( A; f' j$ Yso=[];
; s- `  D, |; r: Z! {/ ^for i=1:length(ind1)
    for j=1:length(ind3)
* m, M. _3 T3 N2 ]& W7 u        for k=1:length(ind2)
            t=[ind1(i),ind3(j),ind2(k)];
            err=wucha(a,t);
            so=[so;[t,err]];
4 P& R9 L' c1 c2 o& S        end
    end
7 G, b, i" F8 E  \end
so
tm=find(so(:,4)==min(so(:,4)));
" v0 {; O1 ?" F% Sshanchu=so(tm,1:3)



- }( M: ^& w, }. c: T' ^————————————————
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& P( `4 i. F2 g  ^