模糊聚类分析方法

浅夏110

在工程技术和经济管理中，常常需要对某些指标按照一定的标准(相似的程度或亲 疏关系等)进行分类处理。例如，根据生物的某些性态对其进行分类，根据空气的性质 对空气质量进行分类，以及工业上对产品质量的分类、工程上对工程规模的分类、图像 识别中对图形的分类、地质学中对土壤的分类、水资源中的水质分类等等。这些对客观 事物按一定的标准进行分类的数学方法称为聚类分析，它是多元统计“物以聚类”的一种分类方法。然而，在科学技术、经济管理中有许多事物的类与类之间并无清晰的划分， 边界具有模糊性，它们之间的关系更多的是模糊关系。对于这类事物的分类，一般用模糊数学方法、我们把应用模糊数学方法进行的聚类分析，称为模糊聚类分析。

1 预备知识
1.1 模糊等价矩阵


+ B9 V0 W- ?* ^0 }2 J9 [# K
: B) c- b% X* @! D* T
n 阶等价布尔矩阵

7 S& }) P5 o2 d# H# t0 L

模糊分类


* n  S7 l# g9 j) x

7 X( W' I1 _, @2 S. u
& c% k7 z3 g* O* L. Q4 m
! U" z+ ?  O* o% ], d" I: }, x6 i



1.2 模糊相似矩阵




4 X& E- I( b6 P9 o
3 J, O) t! x8 W1 ~  _: O8 M# q; ^

2 U$ d' `* J$ v6 c6 B
2 模糊聚类分析法的基本步骤
4 m0 T" ]  X7 u' [5 }. @Step1: 数据标准化
# O3 v! R) _3 y- q5 X3 A, H3 _+ u
(1) 获取数据

  n& Y# @( F* E* g) m' T0 B5 @

. K0 l, I% v* b(2) 数据的标准化处理
! O4 ~( t# A& d, Q2 P/ u在实际问题中，不同的数据可能有不同的性质和不同的量纲，为了使原始数据能够 适合模糊聚类的要求，需要将原始数据矩阵 A 作标准化处理，即通过适当的数据变换，将其转化为模糊矩阵。常用的方法有以下两种：

7 D& Z; P5 ~+ c* {0 {1 m① 平移—标准差变换
4 n+ b- p8 E, m" ?2 I
) U/ ^9 |' X6 \) G1 z# n
4 B5 _8 u  r$ {0 a
% S8 _. P$ \( x6 K4 A② 平移—极差变换
2 M/ I1 G! o4 ]7 Y" o

; j& q8 Y3 j% j! l6 n
Step2: 建立模糊相似矩阵
3 C' W; o: C1 s# Z


; n; L+ v1 c$ v+ ?(1) 数量积法

! E/ I  |6 x6 q, \
& k' o) w! v2 ^# }1 D
% x# {# d! z& C
# m/ _* s$ i  g% f1 N(2) 夹角余弦法
9 x/ d- F/ u# P- `5 T: y
8 m5 O' c+ b2 L# Y3 l) L8 f

1 @* e8 S7 V5 C, h% M(3) 相关系数法
( I& @; U5 P. @0 L3 F

" E+ M: o4 B" m5 h6 @% {8 V$ x5 c+ ^
(4) 指数相似系数法
2 q$ T8 Z$ i% U
6 q! X7 g* m' t! ?/ t

(5) 最大最小值法
                  式中 ∧ 为取小运算min，∨ 代表取大运算max
* v2 c0 B4 t3 t7 |' h
3 K/ `! l! C6 L
1 G  Z7 ~$ b8 k6 H4 l8 |
(6) 算术平均值法



  _. c5 j* n* r2 V& m# }. M(7) 几何平均值法
9 Z2 E) \! t% U7 x3 x
( S2 _% x6 k0 P5 W' X

- V4 p7 ^, U. `% C3 F) o7 Z(8) 绝对值倒数法
8 h5 _, A' o' `  s* Y
1 h3 ~! X4 b4 h9 r; h. w$ p
- Y# w- w, Z7 U4 Z9 h
(9) 绝对值指数法



1 \$ V: J9 l2 c3 Q* Z4 @+ A1 |(10) 海明距离法



(11) 欧氏距离法
  _* |" G0 {0 q! R& D
- E* a) N2 H) p; D, D" b
, S% c$ h% u) ^
6 Z% l8 I7 s" o5 k" [" j& R! L(12) 切比雪夫距离法

# ~: h  `* [* s" Q- J! x7 o8 o

1 D& z, c7 `+ ^% b(13) 主观评分法



Step3: 聚类
; ^1 B1 Y5 ~% H2 _! _所谓聚类方法就是依据模糊矩阵将所研究的对象进行分类的方法。对于不同的置信 水平λ ∈[0,1]，可以得到不同的分类结果，从而形成动态聚类图。常用的方法如下：

+ \/ e& b, `! k3 ^9 ]" S(1) 传递闭包法
从 Step2 中求出的模糊相似矩阵 R 出发，来构造一个模糊等价矩阵  。其方法就 是用平方法求出 R 的传递闭包t(R) ，则  t(R) =  ；然后，由大到小取一组λ ∈[0,1] ， 确定相应的λ 截矩阵，则可以将其分类，同时也可以构成动态聚类图。

(2) 布尔矩阵法
9 r" {) }1 d1 M- K% q
  R; g; i! T+ W% g9 Z. y
9 M: i/ d3 {. Z; C. ?% j

$ h! L7 Z- s2 V
(3) 直接聚类法
2 Q6 z  L$ g3 i' O. ~此方法是直接由模糊相似矩阵求出聚类图的方法，具体步骤如下：
9 N! L; |/ G( u
# ~8 P# S9 S8 C9 e2 ^# E' F

3 模糊聚类分析应用案例
例 15 某地区内有 12 个气象观测站，10 年来各站测得的年降水量如表 3 所示。 为了节省开支，想要适当减少气象观测站，试问减少哪些观察站可以使所得到的降水量 信息仍然足够大？
& W& c: e5 t4 a/ S: [1 h0 W; t3 I
0 Q* L0 J; g0 f' v7 F* S: f& r3 a+ Q
; i+ R& A. S* n" `4 b! X8 k! ~0 E
  Q- l9 i, S+ N4 q& f7 s

解 我们把 12 个气象观测站的观测值看成 12 个向量组，由于本题只给出了 10 年 的观测数据，根据线性代数的理论可知，若向量组所含向量的个数大于向量的维数，则 该向量组必然线性相关。于是只要求出该向量组的秩就可确定该向量组的最大无关组所 含向量的个数，也就是需保留的气象观测站的个数。由于向量组中的其余向量都可由极 大线性无关组线性表示，因此，可以使所得到的降水信息量足够大。
) z/ ?/ ?( A. g# S( Y* K: b
/ s0 z( r- C4 Z, h4 x) @# X
7 J1 u# T" `, }9 U9 s
; B; r) J& i; p& ]到目前为止，问题似乎已经完全解决了，可其实不然，因为如果上述观测站的数 据不是 10 年，而是超过 12 年，则此时向量的维数大于向量组所含的向量个数，这样的 向量组未必线性相关。故上述的解法不具有一般性，下面我们考虑一般的解法，首先， 我们利用已有的 12 个气象观测站的数据进行模糊聚类分析，最后确定从哪几类中去掉 几个观测站。
  l: R! b$ F- w
2 A0 v& g2 ^" r4 s2 @（1）建立模糊集合
! _9 N" _& J5 N- p4 @- V

- L1 M, [9 w8 N& C

# V- _: [4 ^6 u# W, S3 G) d

! b8 q6 {8 K6 U6 W2 `$ i- b% y& `（2）利用格贴近度建立模糊相似矩阵
( U/ _. V8 Y- }0 R8 d- O

( K6 A; U3 ?, N$ s7 @( |; \. i' h
（3）求 R 的传递闭包
2 f$ U( B& Z+ |2 ]' M
! t% t) L  {3 V) x; m5 r3 ^

: V: v0 s6 z. w1 j: S: _其余观测站属于中间水平。
6 B) T+ i" ~+ v
（4）选择保留观测站的准则
显然，去掉的观测站越少，则保留的信息量越大。为此，我们考虑在去掉的观测 站数目确定的条件下，使得信息量最大的准则。由于该地区的观测站分为 4 类，且第 4 类只含有一个观测站，因此，我们从前 3 类中各去掉一个观测站，我们的准则如下：
& n* n& q/ L0 v3 s6 N
, C1 Q7 S/ v2 J1 {1 S" L  K
: C" m. G/ y$ T) v




3 s  z' y6 x: _. M6 u2 B( Z（5）求解的 MATLAB 程序如下：
2 R% |* x" o1 f& X5 W7 j1 n2 x
i）求模糊相似矩阵的 MATLAB 程序

a=[276.2 324.5 158.6 412.5 292.8 258.4 334.1 303.2 292.9 243.2 159.7 331.2
/ T. S, b2 F5 E4 \251.5 287.3 349.5 297.4 227.8 453.6 321.5 451.0 466.2 307.5 421.1 455.1
192.7 433.2 289.9 366.3 466.2 239.1 357.4 219.7 245.7 411.1 357.0 353.2
" ?$ r8 z6 d2 J/ R; |/ }) i246.2 232.4 243.7 372.5 460.4 158.9 298.7 314.5 256.6 327.0 296.5 423.0
1 j, T" L$ x# Q291.7 311.0 502.4 254.0 245.6 324.8 401.0 266.5 251.3 289.9 255.4 362.1
466.5 158.9 223.5 425.1 251.4 321.0 315.4 317.4 246.2 277.5 304.2 410.7
/ J" S# u& d4 l2 c2 X9 }) ?9 E7 G9 d258.6 327.4 432.1 403.9 256.6 282.9 389.7 413.2 466.5 199.3 282.1 387.6
3 A$ K- n  d# Y453.4 365.5 357.6 258.1 278.8 467.2 355.2 228.5 453.6 315.6 456.3 407.2
, k: |1 v5 }4 J- U* G158.2 271.0 410.2 344.2 250.0 360.7 376.4 179.4 159.2 342.4 331.2 377.7
6 `9 U& z; ]2 k324.8 406.5 235.7 288.8 192.6 284.9 290.5 343.7 283.4 281.2 243.7 411.1];
mu=mean(a),sigma=std(a)
% Z7 }* j  S1 u7 h% Y& b" }3 Mfor i=1:12
    for j=1:12
* ^8 k  m: w* J7 H- v3 S        r(i,j)=exp(-(mu(j)-mu(i))^2/(sigma(i)+sigma(j))^2);
    end
% T' O+ o+ U$ F$ T0 O7 f, Bend
' O; n! ^, g1 \7 @6 g/ m, `r
save data1 r a

ii）矩阵合成的 MATLAB 函数

function rhat=hecheng(r);
n=length(r);
for i=1:n
    for j=1:n
        rhat(i,j)=max(min([r(i,;r(:,j)']));
    end
8 I% o! n) u7 D. S2 yend
8 p) F1 }0 R/ j
4 O& v5 v( a0 w/ ]# Jiii）求模糊等价矩阵和聚类的程序

& S/ F; U! U2 L0 X# mload data1
4 {# t& d5 C+ @r1=hecheng(r)
0 Z2 R4 U+ f5 C9 rr2=hecheng(r1)
r3=hecheng(r2)
$ }/ d$ t9 x: W# g/ O9 Jbh=zeros(12);
bh(find(r2>0.998))=1

+ W, ?* T8 S6 S6 c! S& Qiv)计算表6的程序  编写计算误差平方和的函数如下：
' a& H4 [2 e, |1 O) H0 C
; J& \* n' J' ~7 s6 Lfunction err=wucha(a,t);
b=a;b(:,t)=[];
mu1=mean(a,2);mu2=mean(b,2);
1 S8 ], \- O$ p8 v& Jerr=sum((mu1-mu2).^2);
7 d' ?6 X) C. @$ [/ a- q
  F. _/ Z( ~8 Z/ w6 s, x) e
6 W- w3 h" V0 P& t& }计算28个方案的主程序如下：

: T6 q- ?8 u0 e4 Oload data1
, n( W9 i3 h% a4 W" S' kind1=[1,5];ind2=[2:3,6,8:11];ind3=[4,7];
* Q( `9 `5 p7 G/ ?so=[];
for i=1:length(ind1)
    for j=1:length(ind3)
        for k=1:length(ind2)
6 @5 O; ?" Z! Y6 y( Y5 G" i            t=[ind1(i),ind3(j),ind2(k)];
            err=wucha(a,t);
            so=[so;[t,err]];
7 V4 O1 O; ]: y7 ]+ t; e        end
    end
' z, \5 q& P5 hend
% ?/ X( ~9 s: G$ V& I& Jso
tm=find(so(:,4)==min(so(:,4)));
3 N' _: w6 R9 ^* Oshanchu=so(tm,1:3)



% s6 C+ N, z0 o  g7 `————————————————
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. g" w9 c: H) F
/ b' B9 U, w$ ?# L