模糊聚类分析方法

浅夏110

在工程技术和经济管理中，常常需要对某些指标按照一定的标准(相似的程度或亲 疏关系等)进行分类处理。例如，根据生物的某些性态对其进行分类，根据空气的性质 对空气质量进行分类，以及工业上对产品质量的分类、工程上对工程规模的分类、图像 识别中对图形的分类、地质学中对土壤的分类、水资源中的水质分类等等。这些对客观 事物按一定的标准进行分类的数学方法称为聚类分析，它是多元统计“物以聚类”的一种分类方法。然而，在科学技术、经济管理中有许多事物的类与类之间并无清晰的划分， 边界具有模糊性，它们之间的关系更多的是模糊关系。对于这类事物的分类，一般用模糊数学方法、我们把应用模糊数学方法进行的聚类分析，称为模糊聚类分析。
* y# J5 f" V4 b" N  b4 w# r# G
1 预备知识
% ^# ?/ P; N; f. x; c* Z1.1 模糊等价矩阵

$ \6 z5 w: y* }+ n: }

& b6 Q9 S; V( `4 {
3 W% G) u- D' C' k1 G8 P6 ]& O; Xn 阶等价布尔矩阵

8 Q4 R9 a! i) I* w. s. C3 ^
' ]2 Q8 N5 v* j; t; h; f, m
模糊分类
) y, w9 K7 A! D# F  r



, L/ o+ o5 b7 ?4 A. B2 W3 Z6 q
' }' o& _) [" z9 k4 H

3 o) [9 c# S6 U9 O


1.2 模糊相似矩阵


( B$ L; ~5 x! {6 `8 f) I9 d


, r% _' L* c3 P
1 H2 j6 y6 @" g1 U( N# x1 H
; I; x9 s1 [0 l6 @" y# U
7 R, |; W& e) Q0 J3 G) F' V2 模糊聚类分析法的基本步骤
* {# y$ ]3 P2 N, G% tStep1: 数据标准化

(1) 获取数据

1 {# F/ i( k$ {5 p$ e
: E9 k, K$ H6 F8 x$ b
(2) 数据的标准化处理
, X: T$ `& L# F  X- ^- a在实际问题中，不同的数据可能有不同的性质和不同的量纲，为了使原始数据能够 适合模糊聚类的要求，需要将原始数据矩阵 A 作标准化处理，即通过适当的数据变换，将其转化为模糊矩阵。常用的方法有以下两种：
3 q+ ?, x! [6 H4 A# K; [3 D
4 x8 K: G4 L9 y  J) |* H① 平移—标准差变换


0 D, s( G4 C& H" T, k" v
' ?9 z! Z+ N: d5 ?* e7 r" S* h7 x  W② 平移—极差变换
3 p4 n1 g/ U9 {0 e) l
- Q# v4 E. b4 Y; B& U
* x- e! G7 n0 y; \
Step2: 建立模糊相似矩阵
4 m8 C) j0 `1 x& V; x4 a/ }9 W


(1) 数量积法
* J! ]$ d$ F5 z& @; Y9 t: I1 t
9 |% [3 p+ F1 p$ i$ R
  m9 s% h# i- R5 C9 B
, ~( |0 V1 \6 V, Y1 q4 Z
(2) 夹角余弦法

. q6 ~- J- l3 E, A6 ^; N
9 Y% n' V/ i+ B+ ~
(3) 相关系数法

/ e7 s8 v/ |) Z& r) }

(4) 指数相似系数法
% x3 e- Y5 a% [6 l
+ ~6 f$ t' ?! I/ u
9 u: U# v% x* X' l8 J
(5) 最大最小值法
; A, a- F- W3 n4 I" ~# }                  式中 ∧ 为取小运算min，∨ 代表取大运算max
! }3 X& J5 |( W, g- W

9 d. _- P4 t* H: g+ }" N+ I4 ]
(6) 算术平均值法
/ U1 k/ d* g$ O
" Z  a: u& R" s5 P' l& v$ k

% N- ^' H1 f8 W" s1 {, K$ j. d(7) 几何平均值法



(8) 绝对值倒数法
8 I9 R; P: w' s. j& s6 B, v
2 d2 V- y6 n4 d: u) |# Y1 [

) m3 H: z* q" i$ ]! N2 z! |1 {+ P& S7 P(9) 绝对值指数法


" z- Q: i5 E+ c: Q) f; d( }% @
$ Q5 W% n" y2 e6 Q" t2 l8 E$ E1 Z(10) 海明距离法

- W  I* I6 V) x" `4 A* `
; d) q& K/ t# z: ?! y  G! y
6 V, [2 ~# K2 a! h4 \(11) 欧氏距离法
0 `' C' I2 r8 o5 P


(12) 切比雪夫距离法



+ P, ^2 F6 s4 e4 [3 y2 ~(13) 主观评分法
/ a: w5 e5 B& [. Z9 u
4 S- O* x8 S, f! D9 i. I6 t3 t$ c

Step3: 聚类
所谓聚类方法就是依据模糊矩阵将所研究的对象进行分类的方法。对于不同的置信 水平λ ∈[0,1]，可以得到不同的分类结果，从而形成动态聚类图。常用的方法如下：

& w6 I( R# I. e# w, A9 e; d(1) 传递闭包法
" _3 R" b: k6 _从 Step2 中求出的模糊相似矩阵 R 出发，来构造一个模糊等价矩阵  。其方法就 是用平方法求出 R 的传递闭包t(R) ，则  t(R) =  ；然后，由大到小取一组λ ∈[0,1] ， 确定相应的λ 截矩阵，则可以将其分类，同时也可以构成动态聚类图。

: P2 ~( K$ Z' ~8 F$ `4 w. A3 \/ H(2) 布尔矩阵法

+ \% G' O1 _' _5 q) L' R

0 l( u8 X  J6 n6 |5 V5 A8 G

(3) 直接聚类法
此方法是直接由模糊相似矩阵求出聚类图的方法，具体步骤如下：
2 j6 A+ m1 \  e

: w: i3 X7 i' I1 z
3 模糊聚类分析应用案例
  }3 W! U* H* @例 15 某地区内有 12 个气象观测站，10 年来各站测得的年降水量如表 3 所示。 为了节省开支，想要适当减少气象观测站，试问减少哪些观察站可以使所得到的降水量 信息仍然足够大？
) A  p1 _2 X* X

% |1 s- P0 A+ \. E% ~! `
+ S9 [5 o; f# K; b0 {) ~$ f0 q
8 Y. m" w1 o7 t
解 我们把 12 个气象观测站的观测值看成 12 个向量组，由于本题只给出了 10 年 的观测数据，根据线性代数的理论可知，若向量组所含向量的个数大于向量的维数，则 该向量组必然线性相关。于是只要求出该向量组的秩就可确定该向量组的最大无关组所 含向量的个数，也就是需保留的气象观测站的个数。由于向量组中的其余向量都可由极 大线性无关组线性表示，因此，可以使所得到的降水信息量足够大。
9 R4 l) J9 Z! N9 D4 r0 S6 A

" B* F7 j% d+ A; z
到目前为止，问题似乎已经完全解决了，可其实不然，因为如果上述观测站的数 据不是 10 年，而是超过 12 年，则此时向量的维数大于向量组所含的向量个数，这样的 向量组未必线性相关。故上述的解法不具有一般性，下面我们考虑一般的解法，首先， 我们利用已有的 12 个气象观测站的数据进行模糊聚类分析，最后确定从哪几类中去掉 几个观测站。
6 B, |1 d) M+ }  M5 {+ S; J
（1）建立模糊集合

3 `5 B2 d" S8 {$ d; {
$ ~8 B: \8 \# E7 Q2 {: P

9 I. @  w+ i- X+ }  k! e1 n
5 ], t6 [/ g0 V3 e: T; `& H
（2）利用格贴近度建立模糊相似矩阵

  ]' S. [, a5 l  R6 e

. g% m; e) a& m- [  `+ S（3）求 R 的传递闭包
" [; H2 i0 d9 b" G
# A3 l0 x9 P0 c

& b$ N1 M  t; M- P9 u其余观测站属于中间水平。

（4）选择保留观测站的准则
3 p6 A) {( c' w# B显然，去掉的观测站越少，则保留的信息量越大。为此，我们考虑在去掉的观测 站数目确定的条件下，使得信息量最大的准则。由于该地区的观测站分为 4 类，且第 4 类只含有一个观测站，因此，我们从前 3 类中各去掉一个观测站，我们的准则如下：
3 b+ \2 v6 ^$ [3 v, ~( s2 P





; p4 N" I7 R6 ~# K0 j1 c+ H. H
（5）求解的 MATLAB 程序如下：

i）求模糊相似矩阵的 MATLAB 程序
0 v) @% s1 i  ]( h. m& T( B& \5 }
a=[276.2 324.5 158.6 412.5 292.8 258.4 334.1 303.2 292.9 243.2 159.7 331.2
251.5 287.3 349.5 297.4 227.8 453.6 321.5 451.0 466.2 307.5 421.1 455.1
$ O6 z# p1 C- z% X! z! \& B: r. }  r4 K192.7 433.2 289.9 366.3 466.2 239.1 357.4 219.7 245.7 411.1 357.0 353.2
246.2 232.4 243.7 372.5 460.4 158.9 298.7 314.5 256.6 327.0 296.5 423.0
  z& I# b# B! O+ H3 J' H, a5 h- l291.7 311.0 502.4 254.0 245.6 324.8 401.0 266.5 251.3 289.9 255.4 362.1
466.5 158.9 223.5 425.1 251.4 321.0 315.4 317.4 246.2 277.5 304.2 410.7
( o" O8 w7 v. B1 O1 w! N5 r5 I' C258.6 327.4 432.1 403.9 256.6 282.9 389.7 413.2 466.5 199.3 282.1 387.6
' j7 C' q% R+ v0 L# N7 D) j2 Z453.4 365.5 357.6 258.1 278.8 467.2 355.2 228.5 453.6 315.6 456.3 407.2
158.2 271.0 410.2 344.2 250.0 360.7 376.4 179.4 159.2 342.4 331.2 377.7
324.8 406.5 235.7 288.8 192.6 284.9 290.5 343.7 283.4 281.2 243.7 411.1];
mu=mean(a),sigma=std(a)
/ ]' S* z9 F8 t7 _4 R0 ofor i=1:12
+ C' c: S" w/ m3 N* F' ]1 N; x7 K; a    for j=1:12
        r(i,j)=exp(-(mu(j)-mu(i))^2/(sigma(i)+sigma(j))^2);
    end
- i/ j7 W  r* J# x! f& X; {; yend
r
. U* {5 k( h" n: m  ~$ qsave data1 r a

ii）矩阵合成的 MATLAB 函数
4 o+ c# W9 t& c9 x/ W; @
7 ~2 G  l4 n! c' ~function rhat=hecheng(r);
  F/ M# W4 w- Hn=length(r);
for i=1:n
    for j=1:n
2 w  f7 }, W' a! V/ ]        rhat(i,j)=max(min([r(i,;r(:,j)']));
    end
8 |* e. D7 S, Eend

% Z# L( W6 m! D" \8 N0 h, h9 aiii）求模糊等价矩阵和聚类的程序

load data1
* d4 x7 s8 t4 q3 v0 G' M$ [3 _r1=hecheng(r)
r2=hecheng(r1)
r3=hecheng(r2)
* v; I' z9 u* F5 U. l! \0 Ibh=zeros(12);
bh(find(r2>0.998))=1
7 [$ u& B" }- X. D$ I
/ O0 K, j$ l5 Aiv)计算表6的程序  编写计算误差平方和的函数如下：
  C0 v. q$ Q  k, N& x* J
  ?$ h- s6 [0 \function err=wucha(a,t);
b=a;b(:,t)=[];
! B! E) ?8 }2 [' M$ [7 Ymu1=mean(a,2);mu2=mean(b,2);
' s4 g- a. }1 j6 O2 L- Ierr=sum((mu1-mu2).^2);

; V' _  q2 K! |: V, {: U
; [( q1 i+ R& L  M" i计算28个方案的主程序如下：

" f* g5 Q2 {! zload data1
& k* ?+ Z9 c3 e- q4 \ind1=[1,5];ind2=[2:3,6,8:11];ind3=[4,7];
8 j- p# S7 X" E. U1 Rso=[];
6 E8 C3 `* K: E+ f" D" s) X4 o6 m/ ufor i=1:length(ind1)
! R, p  ]  l" w+ `    for j=1:length(ind3)
9 b9 t2 w7 ]) ]9 J3 N+ j$ C        for k=1:length(ind2)
            t=[ind1(i),ind3(j),ind2(k)];
            err=wucha(a,t);
* e( T. ^& e) S! O& V            so=[so;[t,err]];
        end
) H$ @" B8 h# ~2 `    end
! t% o6 K- ?5 q  Xend
so
tm=find(so(:,4)==min(so(:,4)));
- R2 i- Q4 f- \0 B- u1 Jshanchu=so(tm,1:3)
( e) w6 h5 y% Z* W; h" O

, o1 R5 Q1 n  [
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