数学建模----SARS的传播

浅夏110

本题要建立传染病模型。上网一查，最经典的传染病模型是SIR模型，出自1760年伯努利家族的丹尼尔.伯努利对天花传播规律的研究。

本题主要使用微分方程进行建模。

（一）梳理题目

% Z# b* p: l8 W8 L7 W% g" O

- s2 c5 F7 e& R  t& Y: O' T" E4 R
# ^" J. [+ r) a" @# h4 I. K0 {

（二）Highlights which makes this paper stands out
(1)对早期模型拟合曲线的残差分析
1 c% P- e2 A) K" ~拟合模型一定要用残差分析绘制残差图来分析拟合效果。比只是看图说话好。
; S+ {' @3 O; a+ E
+ n, m( d  P) t) F

e i是第i天的计算值和实际值的残差
e∗i e_i^*e i∗是减去期望E（ei）=0 E（e_i）=0E（e i）=0,再除以残差的标准差得到的标准化残差
) l* S7 b5 B7 @  |标准化残差服从标准正态分布
0 q3 }6 [6 n3 W& V美中不足的是！！！
! x8 ?* {" X  [+ h0 ?3 E* D没有解释为什么用这个式子作为残差的标准差的估计值。。。一般情况下，样本标准差的无偏估计应该是：
' ^) P  A, |$ D  l
& m; q& s2 B4 E9 B& K


如读者朋友知道原因，请评论告知，非常感谢
. Z' D  j9 J# _/ `+ @3 t: i
- u- R4 ]6 F* x- I0 q
7 I7 z- p; n9 J

( s1 ?  N! G2 |3 m$ z论文绘制的残差图表明早期模型只有前期拟合效果较好，中后期都与实际情况偏离较大。

) Q: V, ?7 ~) m* S（2）模型假设和符号定义
这个假设写得简直太数学太专业了，为后面用微分方程建模埋下了十足的伏笔啊。
1 m: l( ^9 T+ `* p# e



这6个关键变量的找出，是不容易的。
! L( ?) ]5 m6 \% h

3 e0 Q1 ]) H6 {$ L- T1 E; B
" V% ^3 E+ B+ s* v4 H0 _6 W! d3 [（2）基于SIR模型建立新模型
8 q9 a3 K$ \% k基于一个经典模型，成功率较高，又有更多可参考的资料。
SIR简单地把一个城市的人口分为三类，三类的状态转移图精准地刻画了传染病的传播过程。
1 C* Y$ A/ A4 ~; t9 s, s
( O; l3 C8 o! x$ M

利用微分方程组建立数学模型，这也是对上图的数学描述：
* O: o/ y8 ]& ^. q$ A7 P$ q3 _; b; f


,因为S类（易感类，能被感染的人群）随疫情发展减少。
其它数学公式论文中很清晰


* l7 Y7 {3 }- N6 R

（3）求解模型
求解可以说是很考验数学功底了。深入挖掘模型中方程的关系和隐含信息。

1 r" l+ S/ o; [: U
/ g0 N8 l2 X  ]& i+ e; o



然后根据实际数据就得到了σ 必须小于1的结论：

; N0 r) ^+ D# ~
' w- q- [5 `8 N# h& D# k& Y) u  p
（4）用导数为0划分疫情发展的四个阶段
: I# v# E0 I8 J" }- p




（5）根据实际设计三个关键函数
这才是体现智商和拉开区分度的重要赛点！！！前面那些都是小亮点，这个是闪瞎眼睛的关键。
0 W: Q- n% e$ s' f论文也说了，疫情的发展要分阶段研究，各个参数在不同阶段的取值和变化规律（函数）是不同的，所以用分段函数来描述是符合实际的。

平均传染期函数：

+ ]5 r5 ]3 f  j7 t
5 L% o1 x; U) E/ z$ A  h. k: f
4 f: C. x7 y3 h* }$ m就诊率函数：

) t6 O. C7 t6 h* s# O9 v- b( m
( ~& K$ b% ?5 i6 P
# \; ^$ H6 w- h6 A! j% S平均接触率函数：
) w! o! i6 ]2 D

) H8 d4 I; f  H9 q' T) @0 k5 s2 k
5 L) P+ y% D+ P+ q  c模型预测效果图：
, A' r0 b2 w0 L+ O- ~
, Y4 [# ~' H7 U
: t: @+ \: T9 s& o# K
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