数学建模----SARS的传播

浅夏110

本题要建立传染病模型。上网一查，最经典的传染病模型是SIR模型，出自1760年伯努利家族的丹尼尔.伯努利对天花传播规律的研究。

本题主要使用微分方程进行建模。
4 R# k, u; @/ w
（一）梳理题目
; @' K% M9 [) Q1 a





（二）Highlights which makes this paper stands out
7 ~9 }, \: }) K* w8 l  z7 R7 [$ N(1)对早期模型拟合曲线的残差分析
1 l% S4 M# L: A) _" B拟合模型一定要用残差分析绘制残差图来分析拟合效果。比只是看图说话好。
* R: }0 }; h+ r( l+ W3 F+ M
! P) x" Y3 ?* V+ a

e i是第i天的计算值和实际值的残差
e∗i e_i^*e i∗是减去期望E（ei）=0 E（e_i）=0E（e i）=0,再除以残差的标准差得到的标准化残差
* a1 {; b# P/ U$ ~4 ]; Z标准化残差服从标准正态分布
0 Q0 |& L: k7 \美中不足的是！！！
% C& v0 v' Z% x" e: Y没有解释为什么用这个式子作为残差的标准差的估计值。。。一般情况下，样本标准差的无偏估计应该是：
' B# s  L% [! a  x) h, P! M% K( @" c
0 q% W% {5 Y* \! e# `2 E8 A4 F


如读者朋友知道原因，请评论告知，非常感谢
1 c2 I7 R" R8 Z# a7 R
4 g- Q; }" L( u7 R; `% }: }! ]
/ F. ]  L; v. I2 J

) v* Q$ K5 M# G' k8 _6 W论文绘制的残差图表明早期模型只有前期拟合效果较好，中后期都与实际情况偏离较大。

! j% `0 v) j, B" o& O6 `: ]（2）模型假设和符号定义
7 O  z6 A+ ]# g, i- _; `" [这个假设写得简直太数学太专业了，为后面用微分方程建模埋下了十足的伏笔啊。
. b% E: d  Y, c9 h! ~: b4 R
, t) _% I# _+ _/ H0 e+ `# X
$ d" O( X1 M% B6 Y

3 `8 w$ b0 \. [8 ]这6个关键变量的找出，是不容易的。

2 E  t! u" Y$ S0 X  W: f) G

（2）基于SIR模型建立新模型
基于一个经典模型，成功率较高，又有更多可参考的资料。
SIR简单地把一个城市的人口分为三类，三类的状态转移图精准地刻画了传染病的传播过程。
9 j8 b  D0 k' ^( }
, \. r: ]5 y$ }2 y) ]7 Y9 k* D

利用微分方程组建立数学模型，这也是对上图的数学描述：

  ]) V3 l, r8 E7 P( E3 |  ?

,因为S类（易感类，能被感染的人群）随疫情发展减少。
其它数学公式论文中很清晰
9 y) _. c  _6 \" N- t  P; h


) s, N* O3 q2 g# ^, B9 |# _
! T3 h/ J2 ^- Q1 u（3）求解模型
求解可以说是很考验数学功底了。深入挖掘模型中方程的关系和隐含信息。

7 m5 Y8 }& [9 R4 K9 h
) b( S( g7 }7 }

- u7 ]- `. M; s
! i1 s: }( o; c1 A% Y* L4 I+ P
7 o; p8 K3 j2 ^5 k然后根据实际数据就得到了σ 必须小于1的结论：
2 R6 a$ G  F: k; U' g

1 {- S5 g. W2 w7 g$ ^
% ~( x# I; e& ]- W（4）用导数为0划分疫情发展的四个阶段

6 }# c# a: f3 o% B- n4 s



（5）根据实际设计三个关键函数
这才是体现智商和拉开区分度的重要赛点！！！前面那些都是小亮点，这个是闪瞎眼睛的关键。
5 J- \: g* t! ?: d# w# @论文也说了，疫情的发展要分阶段研究，各个参数在不同阶段的取值和变化规律（函数）是不同的，所以用分段函数来描述是符合实际的。

, Z: Z2 f2 E, ~平均传染期函数：
% Y2 G# r9 b+ ]% {& e

( h0 B. P# P6 H* a0 F
7 u2 K8 H8 \0 ~) v1 z. L$ G3 h就诊率函数：

5 }. C7 A8 B2 ?) t8 V- U

平均接触率函数：

0 X! b+ [, f7 M! h  F7 s) s
& R" M' v, [+ b1 q) J
模型预测效果图：
' a& R4 t( y7 Y  P0 \, [# K

% ^+ e  C* V# q* V) P8 s% g
  ]- \+ i: Q5 h; T5 h0 A————————————————
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