数学建模----SARS的传播

浅夏110

本题要建立传染病模型。上网一查，最经典的传染病模型是SIR模型，出自1760年伯努利家族的丹尼尔.伯努利对天花传播规律的研究。

# d0 m: w3 m7 v0 @# f3 `本题主要使用微分方程进行建模。

（一）梳理题目


, {8 l8 E$ F, |5 d
! l# P5 e9 c, u: T: H8 L& q8 ?
7 G# M0 l/ Z' f9 s# `( k5 y

3 s$ d$ g' W8 t! N# q! S) Z" ?（二）Highlights which makes this paper stands out
(1)对早期模型拟合曲线的残差分析
6 R9 L& S* U+ N# R4 C/ L) e4 t拟合模型一定要用残差分析绘制残差图来分析拟合效果。比只是看图说话好。
* [: U$ ^9 l0 g3 r6 P: Z

0 {! g- z  u+ J3 I) W' G
e i是第i天的计算值和实际值的残差
' R" v, \, \8 Z+ Ce∗i e_i^*e i∗是减去期望E（ei）=0 E（e_i）=0E（e i）=0,再除以残差的标准差得到的标准化残差
标准化残差服从标准正态分布
美中不足的是！！！
没有解释为什么用这个式子作为残差的标准差的估计值。。。一般情况下，样本标准差的无偏估计应该是：
/ B' h* D! l+ }( E- o0 ~2 u7 }
- Z' F- c, q8 h5 Q2 u, X
" S2 E4 y% j; K" ~' i& ^0 Y; J6 S
; y4 h* q  k5 H& T6 W: Y  H
% O9 r* [% R8 h2 X, o5 p/ \如读者朋友知道原因，请评论告知，非常感谢
  z: ?2 r: o) Z- H, |1 I; L0 i

. I( Y0 D$ p3 e( F( a5 d; m
& b. e0 v; {  _" z: A1 R# v% v
论文绘制的残差图表明早期模型只有前期拟合效果较好，中后期都与实际情况偏离较大。

（2）模型假设和符号定义
  h8 S- B# w0 j+ T4 @! k4 J+ t这个假设写得简直太数学太专业了，为后面用微分方程建模埋下了十足的伏笔啊。

6 j! V: o( P9 P3 w


这6个关键变量的找出，是不容易的。


) q/ u+ l: p. y7 ^4 G3 Z
3 `/ y! m7 I0 |) [; {0 ]（2）基于SIR模型建立新模型
基于一个经典模型，成功率较高，又有更多可参考的资料。
SIR简单地把一个城市的人口分为三类，三类的状态转移图精准地刻画了传染病的传播过程。

7 N; [! |+ O4 R0 V. r
1 G7 _1 b/ l  M" R1 G2 p# T
利用微分方程组建立数学模型，这也是对上图的数学描述：
  ^. [: i( o  U7 @  n

, @6 t7 y6 s3 `  P
0 H" j5 e1 T5 a" \9 h6 f,因为S类（易感类，能被感染的人群）随疫情发展减少。
其它数学公式论文中很清晰

/ {5 j% O* ^  U; A! y0 K2 v3 m
' P3 q7 ?/ N/ j+ c& e9 {; {: ^* ^

（3）求解模型
% X' b6 ?( W( Q( d5 j7 u求解可以说是很考验数学功底了。深入挖掘模型中方程的关系和隐含信息。

% y+ P" X3 z8 w3 g$ h

% b0 R7 _- u8 @4 l- V8 r# Q5 |


然后根据实际数据就得到了σ 必须小于1的结论：

& C' V' h5 j6 b+ g6 `/ k6 o4 Y. T1 m

. g/ v" M0 P: J（4）用导数为0划分疫情发展的四个阶段
, Z$ j6 X' D9 T2 e7 R" ]) r4 E) s

) a: d7 d* L. s6 n' O, w
$ W6 w1 q. o) G1 B* _, W6 c
; h8 ~: q8 r( x( A* T; ~
: S+ Y' q  _) N4 i, ^2 A0 f# n（5）根据实际设计三个关键函数
& L2 V( r$ ]: f4 Y# Q, S这才是体现智商和拉开区分度的重要赛点！！！前面那些都是小亮点，这个是闪瞎眼睛的关键。
: L2 w# M% h! O$ c% S6 k论文也说了，疫情的发展要分阶段研究，各个参数在不同阶段的取值和变化规律（函数）是不同的，所以用分段函数来描述是符合实际的。
! m* z* i/ |, x4 b( ^1 t
平均传染期函数：
; r8 S: L: `0 n' a5 A, W6 P


就诊率函数：

  v4 P, T6 p+ g
& h( q2 w/ q5 u5 n+ m* f" R8 \; }8 N
平均接触率函数：
1 c4 a( C, l1 H* C! y/ }


模型预测效果图：
. N# S$ W7 j3 Y) p5 g7 e0 G* j
0 H" F7 B2 b. D$ S
: a9 `; b0 o5 X+ l) X9 k; k9 z
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1 ^8 r8 y, U; c; _

( B$ M1 ?6 D+ b. E