数学建模----SARS的传播

浅夏110

本题要建立传染病模型。上网一查，最经典的传染病模型是SIR模型，出自1760年伯努利家族的丹尼尔.伯努利对天花传播规律的研究。
$ K1 [: x* Z8 {% w! q0 \
本题主要使用微分方程进行建模。
8 o0 y' E2 `* y
7 |& ?$ X1 x. X6 S9 f9 ?- K（一）梳理题目
3 a& D! v* j  P! r; c1 P


% X0 F+ O) ~7 A) Y# v/ e$ j
( H3 D$ O7 ~0 V
& w3 P3 f+ @* i# I# W
（二）Highlights which makes this paper stands out
(1)对早期模型拟合曲线的残差分析
3 Q4 |; t4 q4 S6 S拟合模型一定要用残差分析绘制残差图来分析拟合效果。比只是看图说话好。
) ^4 o. |& ]3 w% u! k
: ~1 F8 V+ y) w9 \7 v4 K7 o8 c
# m8 u$ q% V  u. E
  e8 ?/ @8 R9 e' r. y' q& d7 Ne i是第i天的计算值和实际值的残差
e∗i e_i^*e i∗是减去期望E（ei）=0 E（e_i）=0E（e i）=0,再除以残差的标准差得到的标准化残差
3 e" ]+ P; L6 h* \标准化残差服从标准正态分布
: ?8 B  S1 `# @6 B美中不足的是！！！
' j7 n, q7 [3 k/ Z' u, u没有解释为什么用这个式子作为残差的标准差的估计值。。。一般情况下，样本标准差的无偏估计应该是：
1 U. v# j, s3 q7 ]$ S

, b& F% g6 r: C3 x- Z% p2 ~1 ~

+ T: {7 E0 s, O- W4 f( f% d0 o如读者朋友知道原因，请评论告知，非常感谢



+ e) z5 a* J6 E; o
( D! ]9 @9 U2 ]$ h2 h: G: N论文绘制的残差图表明早期模型只有前期拟合效果较好，中后期都与实际情况偏离较大。

* f% g9 `2 h3 o  C+ N（2）模型假设和符号定义
3 L  W: ]8 p4 Q! v. @! x这个假设写得简直太数学太专业了，为后面用微分方程建模埋下了十足的伏笔啊。



" ?* s0 T2 f6 N" O% ~
这6个关键变量的找出，是不容易的。


1 [1 i3 U' ^5 `- R' n4 ^6 r* h
$ d! B. j3 F* `5 y0 P; I  P) k（2）基于SIR模型建立新模型
* P4 \8 y7 h; P/ [基于一个经典模型，成功率较高，又有更多可参考的资料。
# i4 S" A7 G3 t0 f# DSIR简单地把一个城市的人口分为三类，三类的状态转移图精准地刻画了传染病的传播过程。

# f( U7 y8 L; O8 R3 Q9 F
5 Q2 G6 @3 z( k4 [( b7 S! u
& C1 h; B9 {% q利用微分方程组建立数学模型，这也是对上图的数学描述：

8 y5 A; N) ~. k% u

! x& O" A" x! U4 [+ w/ l/ D,因为S类（易感类，能被感染的人群）随疫情发展减少。
其它数学公式论文中很清晰

7 k2 ^1 w7 Q9 I0 a& F; Y

7 J$ N1 p( ?$ S8 \" W
（3）求解模型
求解可以说是很考验数学功底了。深入挖掘模型中方程的关系和隐含信息。

5 |- z" ?# E# P% m! E1 |2 y
) \- T9 Z6 r/ Z7 C- Y
5 A8 W6 D* y6 e& ?7 l7 i# [+ N


2 w2 |# _+ p2 u然后根据实际数据就得到了σ 必须小于1的结论：

0 Y6 k1 h  T: I, K% r5 y+ H) P

' O1 K6 u, F9 r8 r/ z（4）用导数为0划分疫情发展的四个阶段

5 E$ I7 L- `1 ?$ i


! j3 i9 z$ G$ b, i! s
（5）根据实际设计三个关键函数
/ }# b1 b4 q' P) ?) D; H  Z/ r这才是体现智商和拉开区分度的重要赛点！！！前面那些都是小亮点，这个是闪瞎眼睛的关键。
/ o  ^% V6 A) W; @4 H论文也说了，疫情的发展要分阶段研究，各个参数在不同阶段的取值和变化规律（函数）是不同的，所以用分段函数来描述是符合实际的。

- D) e$ A3 I' ?6 W1 H' m平均传染期函数：
# g* \# G$ \  p# @9 j" r& m' Y


( o" s# d. _' ?2 A就诊率函数：



平均接触率函数：
& u9 K7 Q$ |5 E1 p; ^
) Y$ z$ [' t6 c" Y

  x* i  X2 Q9 k  C. B$ R模型预测效果图：

5 N% Y) @: m2 n  h& U1 O
$ l9 y6 L0 p. Z
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