时间序列模型 （二）：移动平均法

浅夏110

移动平均法 可以作为一种数据平滑的方式 ,以每天的气温数据为例，今天的天气可能与过去的十天的气温有线性关系；或者有的人对食物有一种节俭的美德，他们做的饭菜能看出有些是上一顿的，当然也有一部分是今天的做的，再假设隔两顿的都被倒掉了，并且每天都是这样的，那么这碗饭菜可能就是一部分上一顿的再加上一部分今天现做的，这就是一个一阶的移动平均。
& z/ Z* b- ^  T0 R& q$ M. |5 i# e* K1 Q
移动平均法
+ v7 u2 R5 t3 P( @移动平均法是根据时间序列资料逐渐推移，依次计算包含一定项数的时序平均数， 以反映长期趋势的方法。当时间序列的数值由于受周期变动和不规则变动的影响，起伏 较大，不易显示出发展趋势时，可用移动平均法，消除这些因素的影响，分析、预测序列的长期趋势。  移动平均法有简单移动平均法，加权移动平均法，趋势移动平均法等。
1 E; E5 @, G) h0 |  @
* u) @+ ]% {" P4 m( \4 j' k简单移动平均法
+ k$ C7 V& A# E2 z9 B: r

& `9 F. Z) B, Y# q* u7 e9 _
近N 期序列值的平均值作为未来各期的预测结果。一般 N 的取值范围： 5≤N≤ 200。当历史序列的基本趋势变化不大且序列中随机变动成分较多时，N 的 取值应较大一些。否则 N 的取值应小一些。在有确定的季节变动周期的资料中，移动平均的项数应取周期长度。选择佳 N 值的一个有效方法是，比较若干模型的预测误 差。预测标准误差小者为好。
1 n; h% Y. P. {( N" {
. r% o" q) `; R3 V' g/ ^! z简单移动平均法只适合做近期预测，而且是预测目标的发展趋势变化不大的情况。 如果目标的发展趋势存在其它的变化，采用简单移动平均法就会产生较大的预测偏差和滞后。
! G& _( }$ q$ ]. I5 C
例 1  某企业 1 月～11 月份的销售收入时间序列如表 1 示。试用一次简单滑动平 均法预测第 12 月份的销售收入。

4 O, |* ?7 h# S" t* u0 ?) _& M

# O( W3 C: P* }; Z
2 L2 k* C8 [' w+ M
计算的 Matlab 程序如下：
, w4 b/ ]# \" f3 k9 h
clc,clear
5 R0 {8 {6 g9 E' Ny=[533.8  574.6  606.9  649.8   705.1  772.0  816.4  892.7  963.9  1015.1  1102.7]; m=length(y);   
5 P: V2 h' }' s9 i) {1 T/ f n=[4,5];   %n 为移动平均的项数
for i=1:length(n)   
%由于 n 的取值不同，yhat 的长度不一致，下面使用了细胞数组   
    for j=1:m-n(i)+1         
/ L/ J* U. n$ w8 V% L        yhat{i}(j)=sum(y(j:j+n(i)-1))/n(i);     
3 @1 s6 C5 k4 m  d' h7 Y/ d5 ^/ i    end   
$ S) ]' R# R- q' z" z/ s1 H    y12(i)=yhat{i}(end);     
6 ^9 X* g' a3 U/ h    s(i)=sqrt(mean((y(n(i)+1:m)-yhat{i}(1:end-1)).^2));
end
y12,s

加权移动平均法
在简单移动平均公式中，每期数据在求平均时的作用是等同的。但是，每期数据所包含的信息量不一样，近期数据包含着更多关于未来情况的信心。因此，把各期数据等同看待是不尽合理的，应考虑各期数据的重要性，对近期数据给予较大的权重，这就 是加权移动平均法的基本思想。

- l2 `: m- A# R- _% g& F0 [! k& N
9 ~" n5 p2 ?. }& }* a1 i2 c3 a
例 2  我国 1979～1988 年原煤产量如表 2 所示，试用加权移动平均法预测 1989 年 的产量
8 T. D; r8 I& C) t
+ p: o. _* G" D6 K
% N& j9 P( T8 o# K
/ d+ e2 V# S1 `- s1 `% {2 b



6 h! v" A" |3 I$ D
" {; Q4 j7 Q1 b5 O' @* v! Y5 A计算的 MATLAB 程序如下：
: m+ ?) B; U3 K. @+ I
y=[6.35 6.20    6.22    6.66    7.15    7.89    8.72    8.94    9.28    9.8];
! p: h- X4 P9 v5 jw=[1/6;2/6;3/6];
m=length(y);n=3;
for i=1:m-n+1     
# M9 z$ Q3 S* D5 r    yhat(i)=y(i:i+n-1)*w;
. a" f  w( d' j( S8 rend
% k8 \' S0 D- _# S: G. qyhat
err=abs(y(n+1:m)-yhat(1:end-1))./y(n+1:m)
T_err=1-sum(yhat(1:end-1))/sum(y(n+1:m))
0 c( `8 D( h/ P1 U2 f: a: i* f1 py1989=yhat(end)/(1-T_err)

, L3 w- o( N( a7 y5 z 在加权移动平均法中,   的选择，同样具有一定的经验性。一般的原则是：近期 数据的权数大，远期数据的权数小。至于大到什么程度和小到什么程度，则需要按照预 测者对序列的了解和分析来确定。
9 e1 E) F, i- N! A
# ~( k, b6 ^) V9 V# ^" T. @! C( Z0 n1 K趋势移动平均法
简单移动平均法和加权移动平均法，在时间序列没有明显的趋势变动时，能够准确 反映实际情况。但当时间序列出现直线增加或减少的变动趋势时，用简单移动平均法和 加权移动平均法来预测就会出现滞后偏差。因此，需要进行修正，修正的方法是作二次 移动平均，利用移动平均滞后偏差的规律来建立直线趋势的预测模型。这就是趋势移动平均法。  一次移动的平均数为




' S3 ^6 k# @. }0 D) h0 L
/ Z$ m$ K! P8 D( p9 U

7 V: N4 W3 Q  d8 \例 3  我国 1965～1985 年的发电总量如表 3 所示，试预测 1986 年和 1987 年的发 电总量。
' r. d: T; {" f0 E! K9 G7 k0 u& t
/ q) S# T8 k! k9 D0 A( J
2 \/ r- H$ J8 f! v. X3 K! k4 @
8 @* M* C2 X7 E+ {$ d" J7 }5 b解  由散点图 1 可以看出，发电总量基本呈直线上升趋势，可用趋势移动平均法 来预测。
& |% q* a9 B% T; T  a5 B& A3 \6 Q
6 q9 ~  y5 {* r3 V* S, f; @9 H
) F1 K5 ~& M9 W2 R
计算的 MATLAB 程序如下：
2 W& `( g/ c% @* g
7 M& {0 B6 [6 h& Sclc,clear
load y.txt   %把原始数据保存在纯文本文件 y.txt 中
+ ?! u: x+ d+ F) W) Qm1=length(y);   
n=6;   %n 为移动平均的项数
for i=1:m1-n+1     
' Y+ w: Z; i  g: P6 g0 n5 ~    yhat1(i)=sum(y(i:i+n-1))/n;
end
$ u+ }9 r' W8 Q7 j8 F  v$ @5 Zyhat1
m2=length(yhat1);
for i=1:m2-n+1   
2 ~/ A) M& G6 j$ d2 r. y3 k    yhat2(i)=sum(yhat1(i:i+n-1))/n;
& ~* r1 _1 }: E+ n4 Oend
yhat2   
) J& y. ^3 ]# C9 M- Xplot(1:21,y,'*')
) P% r2 M- `, [* m6 T. G% V9 ra21=2*yhat1(end)-yhat2(end)
# t1 s  K1 u& X6 J  q$ Gb21=2*(yhat1(end)-yhat2(end))/(n-1)
+ {6 Z+ s, ]) I; Dy1986=a21+b21
' ^7 {* e3 ^, P$ @  u: y. i2 r. wy1987=a21+2*b21
/ W5 |/ Q# H- R( m2 l: m4 K3 y

% ?/ z  G( m2 @# m+ r  @: Z
# q6 X- _' y- }) }0 [. m趋势移动平均法对于同时存在直线趋势与周期波动的序列，是一种既能反映趋势变 化，又可以有效地分离出来周期变动的方法。

' ], }& ?" T: w- b) B
( X2 r& j+ B* f1 d# ]* C3 }
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6 Q, y# V- z- o  ~. |# Q3 o4 _4 K
& g/ k) ]5 m0 A# H! z# W+ d
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