时间序列模型 （二）：移动平均法

浅夏110

移动平均法 可以作为一种数据平滑的方式 ,以每天的气温数据为例，今天的天气可能与过去的十天的气温有线性关系；或者有的人对食物有一种节俭的美德，他们做的饭菜能看出有些是上一顿的，当然也有一部分是今天的做的，再假设隔两顿的都被倒掉了，并且每天都是这样的，那么这碗饭菜可能就是一部分上一顿的再加上一部分今天现做的，这就是一个一阶的移动平均。

移动平均法
. l3 |- A+ z- {) \7 o; b7 \移动平均法是根据时间序列资料逐渐推移，依次计算包含一定项数的时序平均数， 以反映长期趋势的方法。当时间序列的数值由于受周期变动和不规则变动的影响，起伏 较大，不易显示出发展趋势时，可用移动平均法，消除这些因素的影响，分析、预测序列的长期趋势。  移动平均法有简单移动平均法，加权移动平均法，趋势移动平均法等。
9 L- R" D' k' p' X6 O  }+ o
简单移动平均法



近N 期序列值的平均值作为未来各期的预测结果。一般 N 的取值范围： 5≤N≤ 200。当历史序列的基本趋势变化不大且序列中随机变动成分较多时，N 的 取值应较大一些。否则 N 的取值应小一些。在有确定的季节变动周期的资料中，移动平均的项数应取周期长度。选择佳 N 值的一个有效方法是，比较若干模型的预测误 差。预测标准误差小者为好。
! k' P4 C6 }) [( M* Y' Q
- I8 D! n  W) B" y简单移动平均法只适合做近期预测，而且是预测目标的发展趋势变化不大的情况。 如果目标的发展趋势存在其它的变化，采用简单移动平均法就会产生较大的预测偏差和滞后。

& U! Q' J. ], j" G. T# u  w3 v. p例 1  某企业 1 月～11 月份的销售收入时间序列如表 1 示。试用一次简单滑动平 均法预测第 12 月份的销售收入。

4 D8 N4 d9 n9 A/ X: n1 `# I: T

3 w# w/ l1 s0 {
+ U8 ~( m0 K# ~7 }' p" J( ?
计算的 Matlab 程序如下：
8 S6 H+ r0 Z4 Y6 a8 O6 d; |( B
) E, H6 R4 J( q4 c( n( w4 Zclc,clear
! f6 N& }% ^% b) H6 Ky=[533.8  574.6  606.9  649.8   705.1  772.0  816.4  892.7  963.9  1015.1  1102.7]; m=length(y);   
n=[4,5];   %n 为移动平均的项数
1 O9 P0 L. a0 Y* m* P% h! p, w8 bfor i=1:length(n)   
%由于 n 的取值不同，yhat 的长度不一致，下面使用了细胞数组   
9 W" j  }  J% I2 O9 U& A) C" n7 q    for j=1:m-n(i)+1         
        yhat{i}(j)=sum(y(j:j+n(i)-1))/n(i);     
    end   
$ q9 l3 m& _2 T4 C) Y! S6 M- h    y12(i)=yhat{i}(end);     
    s(i)=sqrt(mean((y(n(i)+1:m)-yhat{i}(1:end-1)).^2));
$ C  p  K" E2 T* I" X! _, ]end
y12,s

加权移动平均法
在简单移动平均公式中，每期数据在求平均时的作用是等同的。但是，每期数据所包含的信息量不一样，近期数据包含着更多关于未来情况的信心。因此，把各期数据等同看待是不尽合理的，应考虑各期数据的重要性，对近期数据给予较大的权重，这就 是加权移动平均法的基本思想。



例 2  我国 1979～1988 年原煤产量如表 2 所示，试用加权移动平均法预测 1989 年 的产量

9 W4 |* `' Z* B5 P. r7 {

9 ?2 N  U% J, H, x! z+ f

+ F. p1 P- y- K# ~  M8 I
' p5 a$ \3 _- N/ l' F. w: a  v

5 L& x9 A3 h& W计算的 MATLAB 程序如下：
( x5 V4 O2 g: s5 K
y=[6.35 6.20    6.22    6.66    7.15    7.89    8.72    8.94    9.28    9.8];
w=[1/6;2/6;3/6];
3 F8 \: Q( ~9 _# h! Dm=length(y);n=3;
for i=1:m-n+1     
7 J8 {; c/ K" E/ t9 _7 _; @    yhat(i)=y(i:i+n-1)*w;
end
+ j; O  z4 S) ?, |* a) _7 L, V6 Wyhat
" C5 E% T% o8 P& Xerr=abs(y(n+1:m)-yhat(1:end-1))./y(n+1:m)
# J! E8 D( h2 _! ^9 S3 x% fT_err=1-sum(yhat(1:end-1))/sum(y(n+1:m))
y1989=yhat(end)/(1-T_err)
/ d, q# T% ?- A
在加权移动平均法中,   的选择，同样具有一定的经验性。一般的原则是：近期 数据的权数大，远期数据的权数小。至于大到什么程度和小到什么程度，则需要按照预 测者对序列的了解和分析来确定。
2 Z+ G" ~% b' E& t& v% g( F1 D
1 q- r: m8 w8 s& `0 K. i趋势移动平均法
简单移动平均法和加权移动平均法，在时间序列没有明显的趋势变动时，能够准确 反映实际情况。但当时间序列出现直线增加或减少的变动趋势时，用简单移动平均法和 加权移动平均法来预测就会出现滞后偏差。因此，需要进行修正，修正的方法是作二次 移动平均，利用移动平均滞后偏差的规律来建立直线趋势的预测模型。这就是趋势移动平均法。  一次移动的平均数为
8 j% Y- F+ J+ \. c
) q# U, Z7 ?# F0 \4 m( O
+ Q. \( f$ `; f$ E" B7 @, j
, ?5 p/ V9 ^+ k9 f8 n  }# }) z

$ h" ?3 T+ e! Q
; z1 R& Y0 z% r3 e6 y5 s
9 k  [+ K6 {$ ^* I例 3  我国 1965～1985 年的发电总量如表 3 所示，试预测 1986 年和 1987 年的发 电总量。


. n5 k7 ?: u, Z2 y0 S
解  由散点图 1 可以看出，发电总量基本呈直线上升趋势，可用趋势移动平均法 来预测。


; T$ A9 a7 h% V9 `7 ?( e
计算的 MATLAB 程序如下：

' O6 g" l6 V. p8 M+ M3 p  B% U7 Qclc,clear
: }9 r! ^  j0 A' Vload y.txt   %把原始数据保存在纯文本文件 y.txt 中
m1=length(y);   
* d7 r) k. m( ^4 I5 _( O4 L9 rn=6;   %n 为移动平均的项数
for i=1:m1-n+1     
/ L- k8 a' a6 i7 R" R( U' X# `$ U) u8 d    yhat1(i)=sum(y(i:i+n-1))/n;
  Q) F. h4 D) t2 T$ yend
yhat1
m2=length(yhat1);
for i=1:m2-n+1   
    yhat2(i)=sum(yhat1(i:i+n-1))/n;
6 T" s9 g6 c) g* E9 ^1 D8 c6 F8 Cend
yhat2   
plot(1:21,y,'*')
a21=2*yhat1(end)-yhat2(end)
* x$ |9 D0 S1 e! I# b: cb21=2*(yhat1(end)-yhat2(end))/(n-1)
y1986=a21+b21
y1987=a21+2*b21
8 r& o" Y5 C! H& r3 J4 x
" |1 W3 j/ `. u: y0 R
/ }3 d/ G* W* ^8 q8 r! v
趋势移动平均法对于同时存在直线趋势与周期波动的序列，是一种既能反映趋势变 化，又可以有效地分离出来周期变动的方法。

0 h4 C" F6 H4 ?- S: x/ _

# y9 x+ F6 p# o4 u$ Q3 e/ t————————————————
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: k" n! P2 _. ?
: b. n/ `* M* J. ]+ ]