时间序列模型 （二）：移动平均法

浅夏110

移动平均法 可以作为一种数据平滑的方式 ,以每天的气温数据为例，今天的天气可能与过去的十天的气温有线性关系；或者有的人对食物有一种节俭的美德，他们做的饭菜能看出有些是上一顿的，当然也有一部分是今天的做的，再假设隔两顿的都被倒掉了，并且每天都是这样的，那么这碗饭菜可能就是一部分上一顿的再加上一部分今天现做的，这就是一个一阶的移动平均。

1 P- C9 |7 M1 K) {移动平均法
3 r) L0 l1 \! W移动平均法是根据时间序列资料逐渐推移，依次计算包含一定项数的时序平均数， 以反映长期趋势的方法。当时间序列的数值由于受周期变动和不规则变动的影响，起伏 较大，不易显示出发展趋势时，可用移动平均法，消除这些因素的影响，分析、预测序列的长期趋势。  移动平均法有简单移动平均法，加权移动平均法，趋势移动平均法等。

1 s1 [7 |; a& z3 j5 f) I简单移动平均法
. l; E: ~6 M2 t  Z4 \, J" O. b1 `
+ q. g6 v2 B/ \, u: F6 P. t  U0 `

& j7 `' ?2 l3 o$ ?  _近N 期序列值的平均值作为未来各期的预测结果。一般 N 的取值范围： 5≤N≤ 200。当历史序列的基本趋势变化不大且序列中随机变动成分较多时，N 的 取值应较大一些。否则 N 的取值应小一些。在有确定的季节变动周期的资料中，移动平均的项数应取周期长度。选择佳 N 值的一个有效方法是，比较若干模型的预测误 差。预测标准误差小者为好。

简单移动平均法只适合做近期预测，而且是预测目标的发展趋势变化不大的情况。 如果目标的发展趋势存在其它的变化，采用简单移动平均法就会产生较大的预测偏差和滞后。
# e/ a; n* t. j/ F
  \9 b5 \; x0 Y8 M! c7 N例 1  某企业 1 月～11 月份的销售收入时间序列如表 1 示。试用一次简单滑动平 均法预测第 12 月份的销售收入。
5 C9 M. |1 U, _# o( w0 F

8 U) i1 p* D3 p9 t/ D& b# w0 n5 D
1 Y: W+ E  h2 ^& s. Y; W' Y  `
4 M2 R& c8 B6 Z" Q2 e* V
计算的 Matlab 程序如下：
) o  ~* U; B& G: o9 j5 D; @8 b% I& Y& n
clc,clear
# y1 g- k# z) x) F, By=[533.8  574.6  606.9  649.8   705.1  772.0  816.4  892.7  963.9  1015.1  1102.7]; m=length(y);   
* r0 F/ P) F, d4 L9 H n=[4,5];   %n 为移动平均的项数
7 F# d. s% K+ k1 H6 c) o. W4 c$ M$ Ifor i=1:length(n)   
# ~  j( G& P% X4 P %由于 n 的取值不同，yhat 的长度不一致，下面使用了细胞数组   
    for j=1:m-n(i)+1         
3 c  l: w" L( T# }) D        yhat{i}(j)=sum(y(j:j+n(i)-1))/n(i);     
    end   
    y12(i)=yhat{i}(end);     
    s(i)=sqrt(mean((y(n(i)+1:m)-yhat{i}(1:end-1)).^2));
end
+ e8 r$ E7 D) K( F9 n1 T% [y12,s
1 T+ ?3 A. \) V: p: d* p  E# Z, s
加权移动平均法
在简单移动平均公式中，每期数据在求平均时的作用是等同的。但是，每期数据所包含的信息量不一样，近期数据包含着更多关于未来情况的信心。因此，把各期数据等同看待是不尽合理的，应考虑各期数据的重要性，对近期数据给予较大的权重，这就 是加权移动平均法的基本思想。
6 ~; k' I% w& q3 K0 ]


例 2  我国 1979～1988 年原煤产量如表 2 所示，试用加权移动平均法预测 1989 年 的产量



3 L( k+ d9 h- Q; z1 T8 O

6 k1 H$ {3 d  A, M


计算的 MATLAB 程序如下：
$ b8 w' j$ P, N+ }- `
* z* M0 U* v. O, Z7 fy=[6.35 6.20    6.22    6.66    7.15    7.89    8.72    8.94    9.28    9.8];
w=[1/6;2/6;3/6];
m=length(y);n=3;
for i=1:m-n+1     
: m- x- W  u- h' r    yhat(i)=y(i:i+n-1)*w;
end
yhat
4 J$ ]! n1 e! Q/ lerr=abs(y(n+1:m)-yhat(1:end-1))./y(n+1:m)
8 C7 F" H# i" J6 Z+ ^2 s2 T, KT_err=1-sum(yhat(1:end-1))/sum(y(n+1:m))
* ^2 C4 T9 n" p* Ky1989=yhat(end)/(1-T_err)

. x( y2 ~; m$ T) g& K' z 在加权移动平均法中,   的选择，同样具有一定的经验性。一般的原则是：近期 数据的权数大，远期数据的权数小。至于大到什么程度和小到什么程度，则需要按照预 测者对序列的了解和分析来确定。
& S$ T( D; M" o  p) @2 Q
趋势移动平均法
简单移动平均法和加权移动平均法，在时间序列没有明显的趋势变动时，能够准确 反映实际情况。但当时间序列出现直线增加或减少的变动趋势时，用简单移动平均法和 加权移动平均法来预测就会出现滞后偏差。因此，需要进行修正，修正的方法是作二次 移动平均，利用移动平均滞后偏差的规律来建立直线趋势的预测模型。这就是趋势移动平均法。  一次移动的平均数为






+ b* E4 d9 {& e: c
例 3  我国 1965～1985 年的发电总量如表 3 所示，试预测 1986 年和 1987 年的发 电总量。
( ^1 M6 t5 u  t1 M; N& a- l


解  由散点图 1 可以看出，发电总量基本呈直线上升趋势，可用趋势移动平均法 来预测。

4 g4 D; h1 B3 x/ I3 A: c& ^
; q) X/ \* [8 f( K
* Z' Y* l1 s4 H; f计算的 MATLAB 程序如下：

( A9 r! W) x) h2 t' b% ~/ @! lclc,clear
7 n  B9 V: b/ I+ q4 Iload y.txt   %把原始数据保存在纯文本文件 y.txt 中
* T  T' T' x% W: G4 z1 {, p$ m7 m; ?3 Gm1=length(y);   
n=6;   %n 为移动平均的项数
for i=1:m1-n+1     
    yhat1(i)=sum(y(i:i+n-1))/n;
+ d# S1 O3 Q, B, u+ j* `5 ]6 vend
/ b8 X$ [/ T! Q8 Syhat1
! Y  z: ]* ]0 o; z7 X9 a* Pm2=length(yhat1);
, ]5 C7 ?' n* {4 Qfor i=1:m2-n+1   
- s! u( E  h  B# Y. B% g& `  [    yhat2(i)=sum(yhat1(i:i+n-1))/n;
4 @$ f9 q  C4 n' Mend
yhat2   
plot(1:21,y,'*')
a21=2*yhat1(end)-yhat2(end)
7 j; L6 x1 v4 |1 \# }6 `b21=2*(yhat1(end)-yhat2(end))/(n-1)
4 @, p# G, `! V& G" A& z; yy1986=a21+b21
y1987=a21+2*b21
5 C- b/ a* b: a5 j* Y4 ^

3 ?, A; ~. t- O: l. K) n
趋势移动平均法对于同时存在直线趋势与周期波动的序列，是一种既能反映趋势变 化，又可以有效地分离出来周期变动的方法。

5 f, ?6 Y9 |$ n+ X  E$ U7 |
8 z% ]2 D8 {( W0 W5 K: |$ |6 J& Q# @
) A; R* c+ J- z4 ^/ Y————————————————
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9 C. v8 e; Y: M

3 ]4 l5 ^( o: \2 {7 _