时间序列模型 （二）：移动平均法

浅夏110

移动平均法 可以作为一种数据平滑的方式 ,以每天的气温数据为例，今天的天气可能与过去的十天的气温有线性关系；或者有的人对食物有一种节俭的美德，他们做的饭菜能看出有些是上一顿的，当然也有一部分是今天的做的，再假设隔两顿的都被倒掉了，并且每天都是这样的，那么这碗饭菜可能就是一部分上一顿的再加上一部分今天现做的，这就是一个一阶的移动平均。

移动平均法
移动平均法是根据时间序列资料逐渐推移，依次计算包含一定项数的时序平均数， 以反映长期趋势的方法。当时间序列的数值由于受周期变动和不规则变动的影响，起伏 较大，不易显示出发展趋势时，可用移动平均法，消除这些因素的影响，分析、预测序列的长期趋势。  移动平均法有简单移动平均法，加权移动平均法，趋势移动平均法等。

简单移动平均法
: b+ T' _: J) ]% }7 y

( y. y0 y8 ^* ~  D* M  B
近N 期序列值的平均值作为未来各期的预测结果。一般 N 的取值范围： 5≤N≤ 200。当历史序列的基本趋势变化不大且序列中随机变动成分较多时，N 的 取值应较大一些。否则 N 的取值应小一些。在有确定的季节变动周期的资料中，移动平均的项数应取周期长度。选择佳 N 值的一个有效方法是，比较若干模型的预测误 差。预测标准误差小者为好。

简单移动平均法只适合做近期预测，而且是预测目标的发展趋势变化不大的情况。 如果目标的发展趋势存在其它的变化，采用简单移动平均法就会产生较大的预测偏差和滞后。

2 }: l+ E5 ?" j! b) y3 i例 1  某企业 1 月～11 月份的销售收入时间序列如表 1 示。试用一次简单滑动平 均法预测第 12 月份的销售收入。

, N9 E; |6 A0 ?) e



计算的 Matlab 程序如下：
6 M- C# P% e& o" ~
clc,clear
y=[533.8  574.6  606.9  649.8   705.1  772.0  816.4  892.7  963.9  1015.1  1102.7]; m=length(y);   
n=[4,5];   %n 为移动平均的项数
for i=1:length(n)   
%由于 n 的取值不同，yhat 的长度不一致，下面使用了细胞数组   
    for j=1:m-n(i)+1         
7 B6 p" `; }* }8 d1 p5 B        yhat{i}(j)=sum(y(j:j+n(i)-1))/n(i);     
1 m2 T" ~+ g8 z& p. _    end   
/ E! Y: K, e$ B" f% V; \    y12(i)=yhat{i}(end);     
- A5 W- t& y' j  Z3 X    s(i)=sqrt(mean((y(n(i)+1:m)-yhat{i}(1:end-1)).^2));
end
y12,s
7 j" f7 t3 J* G
$ l6 M0 f- [4 Q7 D8 P0 B1 y  T加权移动平均法
* q; {/ w) p: e在简单移动平均公式中，每期数据在求平均时的作用是等同的。但是，每期数据所包含的信息量不一样，近期数据包含着更多关于未来情况的信心。因此，把各期数据等同看待是不尽合理的，应考虑各期数据的重要性，对近期数据给予较大的权重，这就 是加权移动平均法的基本思想。

# S. g5 ^) M9 G  |* K
/ Z  b4 L3 g- Y- _& l* ]  D& e
例 2  我国 1979～1988 年原煤产量如表 2 所示，试用加权移动平均法预测 1989 年 的产量

6 `% B9 E" f9 }




* s  W4 @' V1 U' b3 i5 {, C

计算的 MATLAB 程序如下：
1 m6 a6 U8 f8 J9 B" W
y=[6.35 6.20    6.22    6.66    7.15    7.89    8.72    8.94    9.28    9.8];
w=[1/6;2/6;3/6];
' o5 J4 Q/ B6 N1 r) w3 cm=length(y);n=3;
- ~- U+ O& [6 k& v3 P# Lfor i=1:m-n+1     
' \# E( ?2 `# A8 N( m2 l    yhat(i)=y(i:i+n-1)*w;
; a/ s5 b9 K/ }% R) H/ Xend
) z: `9 @7 D, Q$ Y/ Syhat
9 Z0 V( j7 D4 x) A1 Derr=abs(y(n+1:m)-yhat(1:end-1))./y(n+1:m)
T_err=1-sum(yhat(1:end-1))/sum(y(n+1:m))
y1989=yhat(end)/(1-T_err)

3 R8 t2 V& @+ f' q# T$ B3 t7 e- u7 r 在加权移动平均法中,   的选择，同样具有一定的经验性。一般的原则是：近期 数据的权数大，远期数据的权数小。至于大到什么程度和小到什么程度，则需要按照预 测者对序列的了解和分析来确定。
8 g3 m8 K7 \- J9 T- P
趋势移动平均法
简单移动平均法和加权移动平均法，在时间序列没有明显的趋势变动时，能够准确 反映实际情况。但当时间序列出现直线增加或减少的变动趋势时，用简单移动平均法和 加权移动平均法来预测就会出现滞后偏差。因此，需要进行修正，修正的方法是作二次 移动平均，利用移动平均滞后偏差的规律来建立直线趋势的预测模型。这就是趋势移动平均法。  一次移动的平均数为

. ~, ]) r+ m1 N9 P
* y& ^2 n- j3 C* `& i




例 3  我国 1965～1985 年的发电总量如表 3 所示，试预测 1986 年和 1987 年的发 电总量。
2 O( k7 [- m( L* T

5 ~% F+ j2 f" p4 s4 `3 z  ~- X7 T
) n, A0 O2 @! z& n解  由散点图 1 可以看出，发电总量基本呈直线上升趋势，可用趋势移动平均法 来预测。

9 ~, U/ S, I9 ?* f0 \
( s* R# ]( y* Z: ?
计算的 MATLAB 程序如下：
! t9 O  m! c. H- o
clc,clear
2 n; C) I, i$ b& a& G" rload y.txt   %把原始数据保存在纯文本文件 y.txt 中
m1=length(y);   
n=6;   %n 为移动平均的项数
for i=1:m1-n+1     
% j. _. M; Q* c+ P: X9 I8 f    yhat1(i)=sum(y(i:i+n-1))/n;
! Q4 i: Y  u5 h1 [0 C9 Tend
, R5 G: H7 E1 p3 m0 iyhat1
, g' h7 ^' t7 Q2 H; P: T/ Wm2=length(yhat1);
3 X/ N* g- N! G3 \7 [: `( Dfor i=1:m2-n+1   
    yhat2(i)=sum(yhat1(i:i+n-1))/n;
, ]4 X( B5 O* q: Q( Bend
yhat2   
! h0 I% T8 ?" x1 w( `) {plot(1:21,y,'*')
8 k4 j3 l& C  `9 d/ v* h6 D' qa21=2*yhat1(end)-yhat2(end)
' C( K# F3 c' Q6 |7 c: H* Jb21=2*(yhat1(end)-yhat2(end))/(n-1)
$ O7 _; S, J7 ~7 W3 o7 d% ky1986=a21+b21
y1987=a21+2*b21

( X( ~0 V; R/ g
6 w7 Q5 S1 F2 [- C; c  p. N
) W5 B$ V3 C2 H2 V2 c" a趋势移动平均法对于同时存在直线趋势与周期波动的序列，是一种既能反映趋势变 化，又可以有效地分离出来周期变动的方法。

6 N7 y, A- e) M8 |8 C
4 g) ^1 q- {+ x: G0 |/ N# O7 X! [+ i
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