偏最小二乘回归（三）：身体特征与体能训练结果的 案例分析

浅夏110

本节采用兰纳胡德（Linnerud）给出的关于体能训练的数据进行偏最小二乘回归建 模。在这个数据系统中被测的样本点，是某健身俱乐部的 20 位中年男子。被测变量分 为两组。第一组是身体特征指标 X ，包括：体重、腰围、脉搏。第二组变量是训练结 果指标Y ，包括：单杠、弯曲、跳高。原始数据见表 1。

" V, A7 j- L) s. E6 e



表 2 给出了这 6 个变量的简单相关系数矩阵。从相关系数矩阵可以看出，体重与腰 围是正相关的；体重、腰围与脉搏负相关；而在单杠、弯曲与跳高之间是正相关的。从 两组变量间的关系看，单杠、弯曲和跳高的训练成绩与体重、腰围负相关，与脉搏正相 关。
3 G- E8 ~$ P& }( h$ ?# z
% B! a& X$ J9 i" b) g
, q4 g' ^, _( }4 v
0 o- b% s9 m* X2 ]/ p2 U& \0 ~
利用如下的 MATLAB 程序：
clc,clear
+ g8 L% U# a( r; }) _  Nload pz.txt %原始数据存放在纯文本文件 pz.txt 中
mu=mean(pz);sig=std(pz); %求均值和标准差
6 y2 T$ ^' u0 Trr=corrcoef(pz); %求相关系数矩阵
data=zscore(pz); %数据标准化
2 y5 K, m6 X; L. Z- Hn=3;m=3; %n 是自变量的个数,m 是因变量的个数
x0=pz(:,1:n);y0=pz(:,n+1:end);
2 R# \& B2 E* O6 je0=data(:,1:n);f0=data(:,n+1:end);
num=size(e0,1);%求样本点的个数
6 |8 s0 V0 t( Rchg=eye(n); %w 到 w*变换矩阵的初始化
+ \% n3 K/ f; x3 v7 {for i=1:n
: y  P( r$ S6 b%以下计算 w，w*和 t 的得分向量，
$ c3 w. _9 a& k$ O    matrix=e0'*f0*f0'*e0;
    [vec,val]=eig(matrix); %求特征值和特征向量
: ]+ H3 a6 Q: s+ M* D- A) \: Q0 N    val=diag(val); %提出对角线元素
    [val,ind]=sort(val,'descend');
* s. |% s% g* P2 f* O    w(:,i)=vec(:,ind(1)); %提出最大特征值对应的特征向量
    w_star(:,i)=chg*w(:,i); %计算 w*的取值
' X1 }' G" T5 Y" R    t(:,i)=e0*w(:,i); %计算成分 ti 的得分
9 \9 u" A! N9 d5 C1 M    alpha=e0'*t(:,i)/(t(:,i)'*t(:,i)); %计算 alpha_i
% N' @2 V2 m7 F    chg=chg*(eye(n)-w(:,i)*alpha'); %计算 w 到 w*的变换矩阵
) R6 o# Z6 v" l/ b/ |    e=e0-t(:,i)*alpha'; %计算残差矩阵
) I5 C# j6 l0 b" O& n' `    e0=e;
%以下计算 ss(i)的值
5 N7 w% D0 K$ y    beta=[t(:,1:i),ones(num,1)]\f0; %求回归方程的系数
    beta(end,=[]; %删除回归分析的常数项
$ h" |, Q1 q$ ?2 e! Y6 k    cancha=f0-t(:,1:i)*beta; %求残差矩阵
    ss(i)=sum(sum(cancha.^2)); %求误差平方和
4 q4 m& c: X, E: y%以下计算 press(i)
1 T7 c2 X( W' a    for j=1:num
  v. V7 q$ Y3 a! ^6 h$ p" z* U        t1=t(:,1:i);f1=f0;
: V- Y8 C8 u3 h        she_t=t1(j,;she_f=f1(j,; %把舍去的第 j 个样本点保存起来
0 [% K) g; p" H7 l4 p, U        t1(j,=[];f1(j,=[]; %删除第 j 个观测值
% j) {, z" E2 T" `; F5 A        beta1=[t1,ones(num-1,1)]\f1; %求回归分析的系数
        beta1(end,=[]; %删除回归分析的常数项
! \3 m5 S1 e. Q6 A% M        cancha=she_f-she_t*beta1; %求残差向量
- e' I0 u, z2 b; u3 X& C" Q$ Z        press_i(j)=sum(cancha.^2);
    end
    press(i)=sum(press_i);
    if i>1
        Q_h2(i)=1-press(i)/ss(i-1);
# v% ?& o! `0 X- X9 {! {3 U/ g& X& T    else
        Q_h2(1)=1;
1 y1 Z% C. k9 A) o# K. J( W( v% E    end
    if Q_h2(i)<0.0975
        fprintf('提出的成分个数 r=%d',i);
        r=i;
4 W! W4 I* u: T7 y        break
    end
4 @; Q( ?5 n" D0 i; F- n+ z4 Y7 Eend
6 ?4 x/ a9 l; U% e  E6 ^2 Tbeta_z=[t(:,1:r),ones(num,1)]\f0; %求 Y 关于 t 的回归系数
beta_z(end,=[]; %删除常数项
xishu=w_star(:,1:r)*beta_z; %求Y关于X的回归系数，且是针对标准数据的回归系数，
7 R1 z. ~- A3 v每一列是一个回归方程
2 g  {( W$ M4 J. Z8 jmu_x=mu(1:n);mu_y=mu(n+1:end);
sig_x=sig(1:n);sig_y=sig(n+1:end);
for i=1:m
6 f' M7 ~$ f0 [3 p) V2 M    ch0(i)=mu_y(i)-mu_x./sig_x*sig_y(i)*xishu(:,i); %计算原始数据的回归方程的常数项
end
. A; c1 v' d" P) b' Gfor i=1:m
    xish(:,i)=xishu(:,i)./sig_x'*sig_y(i); %计算原始数据的回归方程的系数，每一列是一个回归方程
, |2 q6 ?3 D9 Z3 B7 S3 o/ lend
2 s$ r4 \3 v6 gsol=[ch0;xish] %显示回归方程的系数，每一列是一个方程，每一列的第一个数是常数项
save mydata x0 y0 num xishu ch0 xish


2 }' U( X+ {, Z5 l# W
6 g1 C5 H( ~7 m8 v/ j
; S$ R/ p* k' r8 m/ O" G. j

从回归系数图中可以立刻观察到，腰围变量在解释三个回归方程时起到了极为重要 的作用。然而，与单杠及弯曲相比，跳高成绩的回归方程显然不够理想，三个自变量对 它的解释能力均很低。
! I8 R  v* \5 b2 m) w* K1 p
( j7 q6 B' B& ?
" Y" d2 \. W" B* [% a8 h


画直方图的 MATLAB 程序为：bar(xishu')
3 I6 E5 l# m$ A- \# P1 s  J3 ]& R1 k
, m& {9 h9 W& H$ z画体能训练的预测图的 MATLAB 程序如下：
/ K" v5 \0 Y4 j
load mydata
% `$ s! C4 g, J* rnum
" H! W' z4 X7 `- G) Tch0=repmat(ch0,num,1);
. [2 Y! C6 l0 E6 x. A, }- }) Kyhat=ch0+x0*xish; %计算 y 的预测值
y1max=max(yhat);
y2max=max(y0);
ymax=max([y1max;y2max])
cancha=yhat-y0; %计算残差
" V0 ?  Y. x: |9 {$ Dsubplot(2,2,1)
, [* s  D! m- Y. xplot(0:ymax(1),0:ymax(1),yhat(:,1),y0(:,1),'*')
* n4 q4 U  w) z( X3 u' r1 Ssubplot(2,2,2)
! q( }& G, ^! ^* Q% B* G' N. Mplot(0:ymax(2),0:ymax(2),yhat(:,2),y0(:,2),'O')
5 w* g3 a  g- Q+ Q' r' Ksubplot(2,2,3)
* @" R5 I/ d* jplot(0:ymax(3),0:ymax(3),yhat(:,3),y0(:,3),'H')

9 ^! u! D' r- j& B+ ~  x, G

& L" q4 Y+ d, q
& k& @; Z4 {2 w: F" f$ i2 T————————————————
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$ ^4 n. {& Y9 v, _' I0 D4 b1 T2 s

1 {, h! P% ~  r/ e' ?# s  r1 N- y9 |