偏最小二乘回归（三）：身体特征与体能训练结果的 案例分析

浅夏110

本节采用兰纳胡德（Linnerud）给出的关于体能训练的数据进行偏最小二乘回归建 模。在这个数据系统中被测的样本点，是某健身俱乐部的 20 位中年男子。被测变量分 为两组。第一组是身体特征指标 X ，包括：体重、腰围、脉搏。第二组变量是训练结 果指标Y ，包括：单杠、弯曲、跳高。原始数据见表 1。


1 H; O8 A! t5 _* f/ f  i8 s


) t. R/ E0 P& M* z9 L* m. @表 2 给出了这 6 个变量的简单相关系数矩阵。从相关系数矩阵可以看出，体重与腰 围是正相关的；体重、腰围与脉搏负相关；而在单杠、弯曲与跳高之间是正相关的。从 两组变量间的关系看，单杠、弯曲和跳高的训练成绩与体重、腰围负相关，与脉搏正相 关。



. H, j4 I+ g! Y* h5 |. n
利用如下的 MATLAB 程序：
clc,clear
load pz.txt %原始数据存放在纯文本文件 pz.txt 中
mu=mean(pz);sig=std(pz); %求均值和标准差
rr=corrcoef(pz); %求相关系数矩阵
0 S* f% v9 I+ S9 Sdata=zscore(pz); %数据标准化
. b  O/ E! k/ \6 Z9 D- N. Q+ Tn=3;m=3; %n 是自变量的个数,m 是因变量的个数
+ L$ e0 l8 h2 W1 B1 [x0=pz(:,1:n);y0=pz(:,n+1:end);
; v) @# {3 i2 n* l+ Ke0=data(:,1:n);f0=data(:,n+1:end);
; i# k/ I' u9 e5 `num=size(e0,1);%求样本点的个数
5 j( e! R, N$ A+ ~chg=eye(n); %w 到 w*变换矩阵的初始化
2 H4 K( B9 _. ]8 jfor i=1:n
%以下计算 w，w*和 t 的得分向量，
7 f1 e+ {: z. W9 ]- q    matrix=e0'*f0*f0'*e0;
0 l, E$ n9 H0 F    [vec,val]=eig(matrix); %求特征值和特征向量
    val=diag(val); %提出对角线元素
    [val,ind]=sort(val,'descend');
( y( z  l2 t% \1 m& N    w(:,i)=vec(:,ind(1)); %提出最大特征值对应的特征向量
  m8 G9 D5 J* J1 g- ~0 Q7 c+ i% Q$ L    w_star(:,i)=chg*w(:,i); %计算 w*的取值
. ~4 r4 N. q9 v, K: \% L' k4 S    t(:,i)=e0*w(:,i); %计算成分 ti 的得分
4 L- a# u% f, ]$ U- c) M    alpha=e0'*t(:,i)/(t(:,i)'*t(:,i)); %计算 alpha_i
  x; @. s" ], ]& s    chg=chg*(eye(n)-w(:,i)*alpha'); %计算 w 到 w*的变换矩阵
    e=e0-t(:,i)*alpha'; %计算残差矩阵
    e0=e;
& }% H  _' W8 \- p%以下计算 ss(i)的值
. V' o, G" t! I, d4 @& m( y4 q, d    beta=[t(:,1:i),ones(num,1)]\f0; %求回归方程的系数
    beta(end,=[]; %删除回归分析的常数项
    cancha=f0-t(:,1:i)*beta; %求残差矩阵
5 U( K7 z- o" ^% l    ss(i)=sum(sum(cancha.^2)); %求误差平方和
%以下计算 press(i)
    for j=1:num
        t1=t(:,1:i);f1=f0;
        she_t=t1(j,;she_f=f1(j,; %把舍去的第 j 个样本点保存起来
! s/ x9 F# |7 a/ b1 m9 W        t1(j,=[];f1(j,=[]; %删除第 j 个观测值
9 V8 x6 }( j0 L' ?1 _1 {+ ]        beta1=[t1,ones(num-1,1)]\f1; %求回归分析的系数
        beta1(end,=[]; %删除回归分析的常数项
        cancha=she_f-she_t*beta1; %求残差向量
        press_i(j)=sum(cancha.^2);
    end
, s& Y! n% k; N2 z) v    press(i)=sum(press_i);
2 |) p" q3 \+ P, o    if i>1
7 A/ T- y/ t5 K1 D1 R        Q_h2(i)=1-press(i)/ss(i-1);
    else
% t5 u. i/ D$ P! m        Q_h2(1)=1;
9 l+ x" }' I4 U7 a; D$ x3 t* [    end
    if Q_h2(i)<0.0975
        fprintf('提出的成分个数 r=%d',i);
        r=i;
        break
$ N" g1 c1 u# |+ L3 Y0 m) h- I( P9 @    end
end
beta_z=[t(:,1:r),ones(num,1)]\f0; %求 Y 关于 t 的回归系数
beta_z(end,=[]; %删除常数项
xishu=w_star(:,1:r)*beta_z; %求Y关于X的回归系数，且是针对标准数据的回归系数，
$ O- s. M! i5 U/ P7 f: F* f每一列是一个回归方程
4 ]4 Q) X# d/ A; \0 T  \" ?" z1 [mu_x=mu(1:n);mu_y=mu(n+1:end);
# j$ K( B1 r4 a1 O- ~" G. A: Osig_x=sig(1:n);sig_y=sig(n+1:end);
5 ]7 y+ I8 ^3 m# r; _for i=1:m
! Q/ @  h# z' r# D5 n8 Y' l) E    ch0(i)=mu_y(i)-mu_x./sig_x*sig_y(i)*xishu(:,i); %计算原始数据的回归方程的常数项
+ b8 ^/ M$ g% H3 C" d, a/ Send
for i=1:m
  f0 n+ n/ M) M8 V( B9 K    xish(:,i)=xishu(:,i)./sig_x'*sig_y(i); %计算原始数据的回归方程的系数，每一列是一个回归方程
end
3 x" E/ B5 ^7 f1 d( Tsol=[ch0;xish] %显示回归方程的系数，每一列是一个方程，每一列的第一个数是常数项
save mydata x0 y0 num xishu ch0 xish

# W9 U1 K9 @+ w% b* }! G- w  c

" B% c5 ^, l1 ?' u
2 _; v; M1 ^9 M. M
$ ?" a5 e" ^8 G: Y  B; D4 V
从回归系数图中可以立刻观察到，腰围变量在解释三个回归方程时起到了极为重要 的作用。然而，与单杠及弯曲相比，跳高成绩的回归方程显然不够理想，三个自变量对 它的解释能力均很低。
5 @2 }7 Q! K9 J

' w. u( D; g; l2 O
' m' d9 j0 x8 l

画直方图的 MATLAB 程序为：bar(xishu')
" |2 G8 u$ `' [; d2 t
; ^0 R5 H4 y, q( Q画体能训练的预测图的 MATLAB 程序如下：

load mydata
' Q7 I1 f. x  n: K* Z# Snum
6 I2 s$ |% A, Rch0=repmat(ch0,num,1);
* e# b$ H6 K- `) m4 pyhat=ch0+x0*xish; %计算 y 的预测值
, U& C$ A; J; {. ]y1max=max(yhat);
0 I. G" I3 d2 ^1 w8 j" s/ o# S7 k8 Ky2max=max(y0);
ymax=max([y1max;y2max])
cancha=yhat-y0; %计算残差
subplot(2,2,1)
plot(0:ymax(1),0:ymax(1),yhat(:,1),y0(:,1),'*')
# R" p- N) L0 }# q+ _4 P$ ?subplot(2,2,2)
plot(0:ymax(2),0:ymax(2),yhat(:,2),y0(:,2),'O')
7 {, H- ^3 @$ k- tsubplot(2,2,3)
plot(0:ymax(3),0:ymax(3),yhat(:,3),y0(:,3),'H')


4 v* j2 K2 |5 E& ?3 ]! L

3 R6 \) J- q1 I8 L/ ?* x————————————————
. }, T# \) J/ J) Y9 V; ~版权声明：本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
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' z* E1 l4 n8 `% c
1 X0 N% V. d& ?