差分方程模型(四）：遗传模型

浅夏110

1 常染色体遗传模型
% r+ c0 m( k2 F9 V; |( h常染色体遗传中，后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因，形成自己的基因对， 基因对也称为基因型。如果我们所考虑的遗传特征是由两个基因 A 和 a 控制的，那么 就有三种基因对，记为 AA, Aa,aa 。例如，金鱼草由两个遗传基因决定花的颜色，基 因型是 AA的金鱼草开红花， Aa 型的开粉红色花，而 aa 型的开白花。又如人类眼睛 的颜色也是通过常染色体遗传控制的。基因型是 AA或 Aa 的人，眼睛为棕色，基因型 是aa 的人，眼睛为蓝色。这里因为 AA和 Aa 都表示了同一外部特征，我们认为基因 A 支配基因a ，也可以认为基因a 对于 A 来说是隐性的。当一个亲体的基因型为 Aa ，而 另一个亲体的基因型是aa 时，那么后代可以从aa 型中得到基因a ，从 Aa 型中或得到 基因 A ，或得到基因a 。这样，后代基因型为 Aa 或 aa 的可能性相等。下面给出双亲 体基因型的所有可能的结合，以及其后代形成每种基因型的概率，如下表所示。
5 O) T! H/ G; X2 Z. a


4 j  b) N+ ~$ k; k例 5 农场的植物园中某种植物的基因型为 AA, Aa 和 aa 。农场计划采用 AA型的 植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后，这种植物的任 一代的三种基因型分布如何？
1 ~' n0 w: z1 y7 @
（a）假设
9 i% Y6 T: K0 ]. }1 D/ C- i# N令n = 0,1,2,...。
& @4 C4 O, i% b: h( n

$ m- O- c" ^1 Q" k- n$ V" a% m

, \6 {/ r) _! m4 w) W
（b）建模

4 V! a% w5 U. x/ [
% c* E7 I' v, N" J

1 N, D# X3 U% I4 L3 x% ?- e% |
. b' T3 Q6 W$ E5 r  q5 ?
编写如下 Matlab 程序：
3 R0 W2 g. G5 g6 A6 ~4 I* o
syms n a0 b0 c0
2 _0 k5 \  I# o+ IM=sym('[1,1/2,0;0,1/2,1;0,0,0]');
[p,lamda]=eig(M);
, z" _# h4 F& E" l" Yx=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0]；
x=simple(x)
  c) G9 ~( |9 r- [$ G7 @
" ~6 d. N  K2 g. s9 x
, ?9 `9 V0 w( Z% w3 B/ m7 s

即在极限的情况下，培育的植物都是 AA型。

（c）模型的讨论

若在上述问题中，不选用基因 AA型的植物与每一植物结合，而是将具有相同基因 型植物相结合，那么后代具有三种基因型的概率如下表所示。

编写如下 Matlab 程序：

syms n a0 b0 c0
M=sym('[1,1/4,0;0,1/2,0;0,1/4,1]');
' ^9 R! [) M2 @5 m9 M4 z# V  D! {[p,lamda]=eig(M);
, o# o0 i$ M; z" M! E& l+ b  wx=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0];
. q0 j7 t4 K9 d# s  q0 Ax=simple(x)



2 常染色体隐性病模型
现在世界上已经发现的遗传病有将近 4000 种。在一般情况下，遗传病与特殊的种 族、部落及群体有关。例如，遗传病库利氏贫血症的患者以居住在地中海沿岸为多，镰 状网性贫血症一般流行在黑人中，家族黑蒙性白痴症则流行在东欧犹太人中间。患者经 常未到成年就痛苦地死去，而他们的父母则是疾病的病源。假若我们能识别这些疾病的 隐性患者，并且规定两个隐性患者不能结合（因为两个隐性患者结合，他们的后代就可 能成为显性患者），那么未来的儿童，虽然有可能是隐性患者，但决不会出现显性特征， 不会受到疾病的折磨。现在，我们考虑在控制结合的情况下，如何确定后代中隐性患者 的概率。

（a）假设
（i）常染色体遗传的正常基因记为 A ，不正常基因记为a ，并以 AA, Aa,aa 分别 表示正常人，隐性患者，显性患者的基因型。


( K+ n* q! {3 x! k4 q
6 \$ a: u2 P" k （b）建模
9 ]5 P3 Z% N5 H: ?' ]- Y

* S! e+ r8 O2 ~3 O) g) C& |% ~* x
( f- s6 t- ?3 h) Z# _* X$ K
; P- T$ I4 J  H- @  F# @( O+ w8 D

+ s) J# }5 G) b: S5 @8 r2 C6 R" Q（c）模型讨论
* S: ~) [/ S7 k, ?研究在随机结合的情况下，隐性患者的变化是很有意思的，但随机结合导致了非线 性化问题，超出了本章范围，然而用其它技巧，在随机结合的情况下可以把（24）式改写为
  O4 y2 n$ W, F+ B
9 @) |5 [) K. w+ ?( \: L; B3 W
. W; S5 S( N$ }) u( o, S: ]4 W
下面给出数值的例子： 某地区有 10%的黑人是镰状网性贫血症隐性患者，如果控制结合，根据（24）式 可知下一代（大约 27 年）的隐性患者将减少到 5%；如果随机结合，根据（25）式， 可以预言下一代人中有 9.5%是隐性患者，并且可计算出大约每出生 400 个黑人孩子， 其中有一个是显性患者。
- p& L1 ~+ S' b; `3 ]+ w
3   X − 链遗传模型
2 N$ r  ^6 u, ^" k9 V- dX − 链遗传是指雄性具有一个基因 A 或a ，雌性具有两个基因 AA，或 Aa ，或 aa 。 其遗传规律是雄性后代以相等概率得到母体两个基因中的一个，雌性后代从父体中得到 一个基因，并从母体的两个基因中等可能地得到一个。下面，研究与 X − 链遗传有关 的近亲繁殖过程。

（a）假设
（i）从一对雌雄结合开始，在它们的后代中，任选雌雄各一个成配偶，然后在它 们产生的后代中任选两个结成配偶。如此继续下去。
1 V/ _3 x7 R% `+ H! w' [4 B
（ii）父体与母体的基因型组成同胞对，同胞对的形式有 (A, AA) ， (A, Aa) ， (A,aa) ， (a, AA) ，(a, Aa) ，(a,aa) 六种。初始一对雌雄的同胞对，是这六种类型 中的任一种，其后代的基因型如下表所示。


1 D! C2 |, d4 k( ^* S0 ^

; A8 l! F" }3 E9 q1 q* |% `7 g+ C
: I+ n3 g1 ^' D9 m1 K! _3 g8 D4 y


* u# E' \5 v7 v( B9 K: a8 T- ]编写如下 Matlab 程序：
6 Z: F! y- G. B# [: ]" Y" B
syms n a0 b0 c0 d0 e0 f0
M=[1 1/4 0 0 0 0;0 1/4 0 1 1/4 0;0 0 0 0 1/4 0;
5 a. V8 z0 T; X; Z 0 1/4 0 0 0 0;0 1/4 1 0 1/4 0;0 0 0 0 1/4 1];
, v, e) }! E# U) W( c% ]1 SM=sym(M);
% i8 F/ `' m- R% I  S% ~[p,lamda]=eig(M);
. d( w  t6 Q5 T) K8 k5 \+ s4 o  Ex=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0;d0;e0;f0];
x=simple(x)
- f  g1 H/ O& e% a
由上述程序计算结果可以看出
0 s+ ^, q1 j( c( V+ `


0 {! H1 g, G5 l' j# {) R1 L% r" D! }% B习 题
1. （汉诺塔问题）n 个大小不同的圆盘依其半径大小依次套在桩 A 上，大的在下， 小的在上。现要将此 n 个盘移到空桩 B 或C 上，但要求一次只能移动一个盘且移动过 程中，始终保持大盘在下，小盘在上。移动过程中桩 A 也可利用。设移动 n 个盘的次 数为  ，试建立关于  的差分方程，并求  的通项公式。
, j9 k+ l& [2 c1 T/ P. G
2. 设第一月初有雌雄各一的一对小兔。假定两月后长成成兔，同时（即第三月） 开始每月初产雌雄各一的一对小兔，新增小兔也按此规律繁殖。设第n 月末共有  对 兔子，试建立关于  的差分方程，并求  的通项公式。
& M( p" g% f  \8 r
3. 在常染色体遗传的问题中，假设植物总是和基因型是 Aa 的植物结合。求在第n 代中，基因型为 AA, Aa 和 aa 的植物的百分率，并求当 n 趋于无穷大时，基因型分布 的极限。



4 @4 w3 X6 h3 O+ }$ S
————————————————
3 G7 L, u" p. A' L# ?: }0 i1 U版权声明：本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89646596
8 C( A+ t& Y2 I( k3 E0 F5 m
' q, t$ Y4 J* w0 {
& m" m7 G, F4 S# m/ H& O