差分方程模型(四）：遗传模型

浅夏110

1 常染色体遗传模型
常染色体遗传中，后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因，形成自己的基因对， 基因对也称为基因型。如果我们所考虑的遗传特征是由两个基因 A 和 a 控制的，那么 就有三种基因对，记为 AA, Aa,aa 。例如，金鱼草由两个遗传基因决定花的颜色，基 因型是 AA的金鱼草开红花， Aa 型的开粉红色花，而 aa 型的开白花。又如人类眼睛 的颜色也是通过常染色体遗传控制的。基因型是 AA或 Aa 的人，眼睛为棕色，基因型 是aa 的人，眼睛为蓝色。这里因为 AA和 Aa 都表示了同一外部特征，我们认为基因 A 支配基因a ，也可以认为基因a 对于 A 来说是隐性的。当一个亲体的基因型为 Aa ，而 另一个亲体的基因型是aa 时，那么后代可以从aa 型中得到基因a ，从 Aa 型中或得到 基因 A ，或得到基因a 。这样，后代基因型为 Aa 或 aa 的可能性相等。下面给出双亲 体基因型的所有可能的结合，以及其后代形成每种基因型的概率，如下表所示。

/ j1 b! f  m3 m+ O& M
! i5 t+ s# V! j
例 5 农场的植物园中某种植物的基因型为 AA, Aa 和 aa 。农场计划采用 AA型的 植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后，这种植物的任 一代的三种基因型分布如何？
, {! t0 d8 Z- \9 l
（a）假设
! D; @1 U( s1 m" ^; |/ R; `  [3 v令n = 0,1,2,...。

, u7 Q) v0 j+ [% R% L( |5 O

7 x, f" W$ m3 [- j$ S# v4 f

（b）建模




) ~- I$ M( X* q8 N1 y6 N$ l3 n" B

* z0 }; L; S5 L8 i! ]. l编写如下 Matlab 程序：

2 ^: m, v$ g/ p9 Zsyms n a0 b0 c0
M=sym('[1,1/2,0;0,1/2,1;0,0,0]');
[p,lamda]=eig(M);
x=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0]；
) ^" Q+ k' r4 G4 m: Z2 |x=simple(x)

即在极限的情况下，培育的植物都是 AA型。

（c）模型的讨论

若在上述问题中，不选用基因 AA型的植物与每一植物结合，而是将具有相同基因 型植物相结合，那么后代具有三种基因型的概率如下表所示。

编写如下 Matlab 程序：

syms n a0 b0 c0
M=sym('[1,1/4,0;0,1/2,0;0,1/4,1]');
[p,lamda]=eig(M);
x=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0];
x=simple(x)

. J% y! Y: }( L* |% O' A9 c

: u2 o) L  {5 b& q# t2 常染色体隐性病模型
现在世界上已经发现的遗传病有将近 4000 种。在一般情况下，遗传病与特殊的种 族、部落及群体有关。例如，遗传病库利氏贫血症的患者以居住在地中海沿岸为多，镰 状网性贫血症一般流行在黑人中，家族黑蒙性白痴症则流行在东欧犹太人中间。患者经 常未到成年就痛苦地死去，而他们的父母则是疾病的病源。假若我们能识别这些疾病的 隐性患者，并且规定两个隐性患者不能结合（因为两个隐性患者结合，他们的后代就可 能成为显性患者），那么未来的儿童，虽然有可能是隐性患者，但决不会出现显性特征， 不会受到疾病的折磨。现在，我们考虑在控制结合的情况下，如何确定后代中隐性患者 的概率。

2 A/ v1 A, r" Y% C（a）假设
（i）常染色体遗传的正常基因记为 A ，不正常基因记为a ，并以 AA, Aa,aa 分别 表示正常人，隐性患者，显性患者的基因型。
; L, l9 p: Z9 Y+ V

2 M7 ~1 N" R0 c5 ], |, A7 y( x( I
（b）建模
" B& i2 G9 c: B4 `9 _- u
8 S& c- J% a* I7 D, b1 `+ U  j1 }

$ c& {# j9 Z' @% k
* F9 c7 j1 `. ~

（c）模型讨论
研究在随机结合的情况下，隐性患者的变化是很有意思的，但随机结合导致了非线 性化问题，超出了本章范围，然而用其它技巧，在随机结合的情况下可以把（24）式改写为
) R0 C% v4 {. v# P$ i
1 ^& X$ C: U' b

6 I8 F& M$ p" L* x7 K下面给出数值的例子： 某地区有 10%的黑人是镰状网性贫血症隐性患者，如果控制结合，根据（24）式 可知下一代（大约 27 年）的隐性患者将减少到 5%；如果随机结合，根据（25）式， 可以预言下一代人中有 9.5%是隐性患者，并且可计算出大约每出生 400 个黑人孩子， 其中有一个是显性患者。

3   X − 链遗传模型
X − 链遗传是指雄性具有一个基因 A 或a ，雌性具有两个基因 AA，或 Aa ，或 aa 。 其遗传规律是雄性后代以相等概率得到母体两个基因中的一个，雌性后代从父体中得到 一个基因，并从母体的两个基因中等可能地得到一个。下面，研究与 X − 链遗传有关 的近亲繁殖过程。
7 @3 g! N1 I( s/ A: ^
0 e$ n. ^& p& p2 u/ ]# e（a）假设
& N  e5 H3 F! l3 Z* i0 _（i）从一对雌雄结合开始，在它们的后代中，任选雌雄各一个成配偶，然后在它 们产生的后代中任选两个结成配偶。如此继续下去。
+ h0 d, C3 S' R) u
3 u) H" S/ K  \) A6 [（ii）父体与母体的基因型组成同胞对，同胞对的形式有 (A, AA) ， (A, Aa) ， (A,aa) ， (a, AA) ，(a, Aa) ，(a,aa) 六种。初始一对雌雄的同胞对，是这六种类型 中的任一种，其后代的基因型如下表所示。

& {: ^, x! t- {+ u& j, O8 U8 K. X
, h. T1 B( w4 P0 e6 C: W
1 _$ t# A" r  p, r4 R
2 ~' k: n$ R4 J



编写如下 Matlab 程序：

/ G' l9 T# w: esyms n a0 b0 c0 d0 e0 f0
  f: a; U) c: Z$ d4 nM=[1 1/4 0 0 0 0;0 1/4 0 1 1/4 0;0 0 0 0 1/4 0;
1 I7 j; U/ z- M( o- D) B 0 1/4 0 0 0 0;0 1/4 1 0 1/4 0;0 0 0 0 1/4 1];
3 Y2 \+ u! Q! }: v- A# k7 k8 TM=sym(M);
[p,lamda]=eig(M);
7 l4 M+ q( y! c; N& p% e1 fx=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0;d0;e0;f0];
x=simple(x)
# \2 s1 M  P7 A& S: X
9 F2 Y0 y% q; O2 G. ~) J2 U9 `) `由上述程序计算结果可以看出
2 X3 H* @, X; M2 y& K! M
7 E, V. n" Z+ Z9 t/ k2 U

2 f4 i+ |4 g! ]: o习 题
4 n1 v6 t, {9 x3 o- }' Q0 [1. （汉诺塔问题）n 个大小不同的圆盘依其半径大小依次套在桩 A 上，大的在下， 小的在上。现要将此 n 个盘移到空桩 B 或C 上，但要求一次只能移动一个盘且移动过 程中，始终保持大盘在下，小盘在上。移动过程中桩 A 也可利用。设移动 n 个盘的次 数为  ，试建立关于  的差分方程，并求  的通项公式。

# m9 u- d2 N" N  t6 c2 z4 ]* T2. 设第一月初有雌雄各一的一对小兔。假定两月后长成成兔，同时（即第三月） 开始每月初产雌雄各一的一对小兔，新增小兔也按此规律繁殖。设第n 月末共有  对 兔子，试建立关于  的差分方程，并求  的通项公式。
" \) t+ F' |) x" ~9 S- c
3. 在常染色体遗传的问题中，假设植物总是和基因型是 Aa 的植物结合。求在第n 代中，基因型为 AA, Aa 和 aa 的植物的百分率，并求当 n 趋于无穷大时，基因型分布 的极限。

) [- [: \% Z' B7 `3 I
& o2 ]1 B9 f- Q0 h( f/ n# g
: H7 ^0 ?1 }( R1 h; w+ A
( V5 ]7 M& x8 H) X, w————————————————
版权声明：本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
5 F/ z+ [6 S+ T! N8 @3 u原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89646596

% @4 [3 ~$ ~" C0 W
' _9 h3 O& K2 {$ b2 V