偏最小二乘回归（三）：身体特征与体能训练结果的 案例分析

浅夏110

本节采用兰纳胡德（Linnerud）给出的关于体能训练的数据进行偏最小二乘回归建 模。在这个数据系统中被测的样本点，是某健身俱乐部的 20 位中年男子。被测变量分 为两组。第一组是身体特征指标 X ，包括：体重、腰围、脉搏。第二组变量是训练结 果指标Y ，包括：单杠、弯曲、跳高。原始数据见表 1。
, l& Y  j3 X& V& R
2 `- v3 O; e( y8 q9 m/ j
2 N  s, s& @. V# U
& o2 G9 F  F! f0 t! E0 J2 ^2 Q
/ I! i8 g* ^7 ^! f. ~+ c% W- W

表 2 给出了这 6 个变量的简单相关系数矩阵。从相关系数矩阵可以看出，体重与腰 围是正相关的；体重、腰围与脉搏负相关；而在单杠、弯曲与跳高之间是正相关的。从 两组变量间的关系看，单杠、弯曲和跳高的训练成绩与体重、腰围负相关，与脉搏正相 关。
+ G2 X9 }) c8 e9 z7 ?3 l  l8 P8 ~
: i/ B3 `$ j1 W1 `( g

利用如下的 MATLAB 程序：

clc,clear
, h; L, v% b, N$ D. }& O9 Eload pz.txt %原始数据存放在纯文本文件 pz.txt 中
mu=mean(pz);sig=std(pz); %求均值和标准差
5 M2 Z0 n5 H* @rr=corrcoef(pz); %求相关系数矩阵
: A3 z( c& r% i4 J4 z9 L% rdata=zscore(pz); %数据标准化
n=3;m=3; %n 是自变量的个数,m 是因变量的个数
* h+ A! ?0 N. U: ^1 ?7 kx0=pz(:,1:n);y0=pz(:,n+1:end);
e0=data(:,1:n);f0=data(:,n+1:end);
8 k( P; c( s' v' Q' i" ^7 ~6 @num=size(e0,1);%求样本点的个数
chg=eye(n); %w 到 w*变换矩阵的初始化
for i=1:n
8 f; }% b$ }2 q%以下计算 w，w*和 t 的得分向量，
    matrix=e0'*f0*f0'*e0;
    [vec,val]=eig(matrix); %求特征值和特征向量
    val=diag(val); %提出对角线元素
    [val,ind]=sort(val,'descend');
1 G' z3 {$ p; s9 W. {    w(:,i)=vec(:,ind(1)); %提出最大特征值对应的特征向量
& t$ e1 g! B" q# ^) A    w_star(:,i)=chg*w(:,i); %计算 w*的取值
    t(:,i)=e0*w(:,i); %计算成分 ti 的得分
* A5 I+ \0 q2 ^4 x( Q    alpha=e0'*t(:,i)/(t(:,i)'*t(:,i)); %计算 alpha_i
+ w5 d# s  I$ Q. _5 Z    chg=chg*(eye(n)-w(:,i)*alpha'); %计算 w 到 w*的变换矩阵
    e=e0-t(:,i)*alpha'; %计算残差矩阵
$ J2 l8 o7 I# p+ Q2 k+ }+ W$ w  p    e0=e;
%以下计算 ss(i)的值
    beta=[t(:,1:i),ones(num,1)]\f0; %求回归方程的系数
- Q/ r8 ]1 m# j& h    beta(end,=[]; %删除回归分析的常数项
5 l: R* \1 m8 w9 b+ v    cancha=f0-t(:,1:i)*beta; %求残差矩阵
    ss(i)=sum(sum(cancha.^2)); %求误差平方和
4 {' Z6 y2 y& ~  E- p/ C%以下计算 press(i)
- j3 M0 N3 m1 T* E' g1 O" C& i0 t    for j=1:num
+ _4 H0 k7 Y/ |$ ^        t1=t(:,1:i);f1=f0;
/ g* B2 ]' E7 ?. q/ D0 ?, |        she_t=t1(j,;she_f=f1(j,; %把舍去的第 j 个样本点保存起来
        t1(j,=[];f1(j,=[]; %删除第 j 个观测值
( w9 K; o+ N6 S( f% D) n        beta1=[t1,ones(num-1,1)]\f1; %求回归分析的系数
        beta1(end,=[]; %删除回归分析的常数项
        cancha=she_f-she_t*beta1; %求残差向量
( M0 h9 O+ c7 Y5 p5 _* w6 A% l5 |        press_i(j)=sum(cancha.^2);
; X, s3 ^% a/ a* J5 r' q9 g/ E/ i    end
    press(i)=sum(press_i);
' O* e# }1 V& J$ K+ {8 ?' F8 y    if i>1
        Q_h2(i)=1-press(i)/ss(i-1);
. E" D0 U+ r9 U( k    else
0 T% k% p- G2 y$ o, {7 p9 c# l4 t+ B        Q_h2(1)=1;
    end
0 \: p9 x4 T& Z/ U  s, l    if Q_h2(i)<0.0975
0 q8 u) d( n: a4 I% P        fprintf('提出的成分个数 r=%d',i);
7 T5 O$ [2 ~3 a3 K        r=i;
        break
4 @: m/ P, x* m$ i  L; E8 |2 [    end
% _8 B8 L# x* f6 Q; c2 Xend
beta_z=[t(:,1:r),ones(num,1)]\f0; %求 Y 关于 t 的回归系数
beta_z(end,=[]; %删除常数项
xishu=w_star(:,1:r)*beta_z; %求Y关于X的回归系数，且是针对标准数据的回归系数，
每一列是一个回归方程
mu_x=mu(1:n);mu_y=mu(n+1:end);
: r# q; H  U6 c3 Nsig_x=sig(1:n);sig_y=sig(n+1:end);
- M4 W% F2 k. h9 T$ K4 Sfor i=1:m
    ch0(i)=mu_y(i)-mu_x./sig_x*sig_y(i)*xishu(:,i); %计算原始数据的回归方程的常数项
+ [) y% e" @* mend
for i=1:m
    xish(:,i)=xishu(:,i)./sig_x'*sig_y(i); %计算原始数据的回归方程的系数，每一列是一个回归方程
end
sol=[ch0;xish] %显示回归方程的系数，每一列是一个方程，每一列的第一个数是常数项
save mydata x0 y0 num xishu ch0 xish

# s! `, s  A5 G0 I; P$ F


从回归系数图中可以立刻观察到，腰围变量在解释三个回归方程时起到了极为重要 的作用。然而，与单杠及弯曲相比，跳高成绩的回归方程显然不够理想，三个自变量对 它的解释能力均很低。

( z2 Z  i& c2 M' n0 E+ C

画直方图的 MATLAB 程序为：bar(xishu')

画体能训练的预测图的 MATLAB 程序如下：

" X9 K; h+ z5 r3 gload mydata
num
( y9 `4 T& \) D1 Tch0=repmat(ch0,num,1);
yhat=ch0+x0*xish; %计算 y 的预测值
8 X, e* O2 k- Y( B  O1 R; w) cy1max=max(yhat);
y2max=max(y0);
+ h2 [- y0 P2 B5 M4 L+ V7 \  E# a/ [% Pymax=max([y1max;y2max])
6 t# y* }' i9 g  U- i2 Zcancha=yhat-y0; %计算残差
subplot(2,2,1)
: j8 T4 M+ D8 e% u; a5 j3 v+ Tplot(0:ymax(1),0:ymax(1),yhat(:,1),y0(:,1),'*')
subplot(2,2,2)
plot(0:ymax(2),0:ymax(2),yhat(:,2),y0(:,2),'O')
( l3 v. k# n( D/ V) M% W) `subplot(2,2,3)
plot(0:ymax(3),0:ymax(3),yhat(:,3),y0(:,3),'H')


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% w' b/ B& C) e+ R5 l) ]
# c9 f) V! ]  x7 |# Z
- h( Z7 }; p  I; _