偏最小二乘回归（三）：身体特征与体能训练结果的 案例分析

浅夏110

本节采用兰纳胡德（Linnerud）给出的关于体能训练的数据进行偏最小二乘回归建 模。在这个数据系统中被测的样本点，是某健身俱乐部的 20 位中年男子。被测变量分 为两组。第一组是身体特征指标 X ，包括：体重、腰围、脉搏。第二组变量是训练结 果指标Y ，包括：单杠、弯曲、跳高。原始数据见表 1。


/ m0 k! e9 }# E$ U  I
# f5 }$ X2 j% r
" Q5 n% i2 ?2 k7 t8 s
" B* n6 A/ j% H. T. a) O! {/ ]# _
表 2 给出了这 6 个变量的简单相关系数矩阵。从相关系数矩阵可以看出，体重与腰 围是正相关的；体重、腰围与脉搏负相关；而在单杠、弯曲与跳高之间是正相关的。从 两组变量间的关系看，单杠、弯曲和跳高的训练成绩与体重、腰围负相关，与脉搏正相 关。



利用如下的 MATLAB 程序：

clc,clear
load pz.txt %原始数据存放在纯文本文件 pz.txt 中
mu=mean(pz);sig=std(pz); %求均值和标准差
rr=corrcoef(pz); %求相关系数矩阵
data=zscore(pz); %数据标准化
; b9 c" _& `! ]) w+ O" s; T: ~n=3;m=3; %n 是自变量的个数,m 是因变量的个数
x0=pz(:,1:n);y0=pz(:,n+1:end);
. z  }" k% d3 t4 V* Oe0=data(:,1:n);f0=data(:,n+1:end);
num=size(e0,1);%求样本点的个数
: Z6 L' }! b0 Z  E5 fchg=eye(n); %w 到 w*变换矩阵的初始化
- P" l2 [" M: [$ t/ ^& x$ u! x5 L, Nfor i=1:n
9 H- o# U3 d3 ^%以下计算 w，w*和 t 的得分向量，
; I+ A# x6 y- F( c0 a, x4 a# X    matrix=e0'*f0*f0'*e0;
    [vec,val]=eig(matrix); %求特征值和特征向量
    val=diag(val); %提出对角线元素
    [val,ind]=sort(val,'descend');
    w(:,i)=vec(:,ind(1)); %提出最大特征值对应的特征向量
. P" {2 Q0 {) N# X  T    w_star(:,i)=chg*w(:,i); %计算 w*的取值
4 w% Y( g1 s& R, y5 {2 g$ U    t(:,i)=e0*w(:,i); %计算成分 ti 的得分
! `/ M3 D! G- [    alpha=e0'*t(:,i)/(t(:,i)'*t(:,i)); %计算 alpha_i
    chg=chg*(eye(n)-w(:,i)*alpha'); %计算 w 到 w*的变换矩阵
2 M( f! m/ P) Q. x! D" Q+ s  W) b    e=e0-t(:,i)*alpha'; %计算残差矩阵
) K& @9 C, ]" {+ G( _! R- d    e0=e;
3 O+ d# Z# U  S% D+ C! P6 _% K0 p%以下计算 ss(i)的值
    beta=[t(:,1:i),ones(num,1)]\f0; %求回归方程的系数
9 f( |# C1 a7 i4 u* \0 D4 r    beta(end,=[]; %删除回归分析的常数项
    cancha=f0-t(:,1:i)*beta; %求残差矩阵
) U' ~' P3 w! ~/ e& N% C    ss(i)=sum(sum(cancha.^2)); %求误差平方和
%以下计算 press(i)
3 C2 P/ L" F' {( v% G2 z. ]# t    for j=1:num
        t1=t(:,1:i);f1=f0;
        she_t=t1(j,;she_f=f1(j,; %把舍去的第 j 个样本点保存起来
        t1(j,=[];f1(j,=[]; %删除第 j 个观测值
# \4 ~2 M0 Q4 P% \  r+ ~        beta1=[t1,ones(num-1,1)]\f1; %求回归分析的系数
- h, R! z7 |* ]/ b7 d        beta1(end,=[]; %删除回归分析的常数项
        cancha=she_f-she_t*beta1; %求残差向量
, Y1 T; Y5 b0 d, W& ?" ^/ h        press_i(j)=sum(cancha.^2);
    end
    press(i)=sum(press_i);
    if i>1
% i% z) X6 z6 n6 U        Q_h2(i)=1-press(i)/ss(i-1);
    else
        Q_h2(1)=1;
: ~; D! _% @, A% D: i2 e    end
    if Q_h2(i)<0.0975
        fprintf('提出的成分个数 r=%d',i);
" `- K- T2 Y  P5 E; z- `        r=i;
        break
    end
8 r' ?4 X) O1 K4 w4 _2 X5 {: wend
# ]% B8 Q1 ?; lbeta_z=[t(:,1:r),ones(num,1)]\f0; %求 Y 关于 t 的回归系数
beta_z(end,=[]; %删除常数项
xishu=w_star(:,1:r)*beta_z; %求Y关于X的回归系数，且是针对标准数据的回归系数，
5 b: o6 [6 I+ T( J( V! m每一列是一个回归方程
mu_x=mu(1:n);mu_y=mu(n+1:end);
& s0 O/ J& S  Wsig_x=sig(1:n);sig_y=sig(n+1:end);
! X/ C  \4 Q  x( W! gfor i=1:m
9 \' p- [) f4 h/ c: \    ch0(i)=mu_y(i)-mu_x./sig_x*sig_y(i)*xishu(:,i); %计算原始数据的回归方程的常数项
end
for i=1:m
    xish(:,i)=xishu(:,i)./sig_x'*sig_y(i); %计算原始数据的回归方程的系数，每一列是一个回归方程
& W( h% s$ ]8 P; N0 nend
sol=[ch0;xish] %显示回归方程的系数，每一列是一个方程，每一列的第一个数是常数项
save mydata x0 y0 num xishu ch0 xish
) K7 E! m0 d. |; j% x- v- [* l5 L



9 {0 h$ Z' m. x5 k从回归系数图中可以立刻观察到，腰围变量在解释三个回归方程时起到了极为重要 的作用。然而，与单杠及弯曲相比，跳高成绩的回归方程显然不够理想，三个自变量对 它的解释能力均很低。

画直方图的 MATLAB 程序为：bar(xishu')

画体能训练的预测图的 MATLAB 程序如下：

load mydata
num
( {* W9 [  W5 cch0=repmat(ch0,num,1);
1 F( v' [7 x" j) {yhat=ch0+x0*xish; %计算 y 的预测值
2 ?2 o5 {6 G) h) c' {' ey1max=max(yhat);
  `* ?+ h( w8 o; t/ n: ?* R! yy2max=max(y0);
ymax=max([y1max;y2max])
+ F$ Q' B/ O5 W1 j; H0 s% Xcancha=yhat-y0; %计算残差
1 q7 O/ f+ ], L9 ysubplot(2,2,1)
plot(0:ymax(1),0:ymax(1),yhat(:,1),y0(:,1),'*')
subplot(2,2,2)
plot(0:ymax(2),0:ymax(2),yhat(:,2),y0(:,2),'O')
2 t4 v3 H) ^6 b6 b- d$ S$ Osubplot(2,2,3)
) S. t5 K4 Q8 }) }  n( S; ?plot(0:ymax(3),0:ymax(3),yhat(:,3),y0(:,3),'H')

  M. D1 d% a1 z5 `! k. ]/ s' d" w
$ D& ~, Z4 R7 w6 }% K: C* z3 {————————————————
版权声明：本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
, X7 x# ^7 s, @( I原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89669273


0 c) v3 B' E( c) O& Z