偏最小二乘回归（三）：身体特征与体能训练结果的 案例分析

浅夏110

本节采用兰纳胡德（Linnerud）给出的关于体能训练的数据进行偏最小二乘回归建 模。在这个数据系统中被测的样本点，是某健身俱乐部的 20 位中年男子。被测变量分 为两组。第一组是身体特征指标 X ，包括：体重、腰围、脉搏。第二组变量是训练结 果指标Y ，包括：单杠、弯曲、跳高。原始数据见表 1。


4 F7 l6 `# k6 f9 Z- j
6 Y3 L5 q4 o0 Y, i/ [; H
% H6 B9 h% b& R- R, q1 c" i
* c) S0 w) \- W- _3 ^* l, U* l
5 V2 ^3 M# Z7 }' |* l表 2 给出了这 6 个变量的简单相关系数矩阵。从相关系数矩阵可以看出，体重与腰 围是正相关的；体重、腰围与脉搏负相关；而在单杠、弯曲与跳高之间是正相关的。从 两组变量间的关系看，单杠、弯曲和跳高的训练成绩与体重、腰围负相关，与脉搏正相 关。
: S5 a) ?" X* J5 a
  w+ q; j/ [% ]; c4 J1 l( m* C# U

9 M& t5 i1 Q  b' |* O3 x5 K4 r+ n利用如下的 MATLAB 程序：
" ^. Z# A5 a% o2 w
clc,clear
load pz.txt %原始数据存放在纯文本文件 pz.txt 中
; [) T# P" }0 x( zmu=mean(pz);sig=std(pz); %求均值和标准差
rr=corrcoef(pz); %求相关系数矩阵
data=zscore(pz); %数据标准化
n=3;m=3; %n 是自变量的个数,m 是因变量的个数
& }7 f! U6 \& j% a) `x0=pz(:,1:n);y0=pz(:,n+1:end);
e0=data(:,1:n);f0=data(:,n+1:end);
num=size(e0,1);%求样本点的个数
chg=eye(n); %w 到 w*变换矩阵的初始化
for i=1:n
%以下计算 w，w*和 t 的得分向量，
4 Z( K& p8 M) R: o    matrix=e0'*f0*f0'*e0;
- N& w4 \6 `8 _( @    [vec,val]=eig(matrix); %求特征值和特征向量
, T! X. c/ i$ s    val=diag(val); %提出对角线元素
    [val,ind]=sort(val,'descend');
  o9 c7 h4 X3 m) B* c7 {    w(:,i)=vec(:,ind(1)); %提出最大特征值对应的特征向量
    w_star(:,i)=chg*w(:,i); %计算 w*的取值
    t(:,i)=e0*w(:,i); %计算成分 ti 的得分
+ w: V9 Y$ X/ ?6 y. R' @6 j    alpha=e0'*t(:,i)/(t(:,i)'*t(:,i)); %计算 alpha_i
  F3 I( I5 K$ n8 e! l7 S    chg=chg*(eye(n)-w(:,i)*alpha'); %计算 w 到 w*的变换矩阵
! m+ D6 U% ]) e; Z& W" M/ M    e=e0-t(:,i)*alpha'; %计算残差矩阵
    e0=e;
  n! c5 @0 A9 k- ~: Q+ e, T. s4 b%以下计算 ss(i)的值
    beta=[t(:,1:i),ones(num,1)]\f0; %求回归方程的系数
, q3 v" r0 R% s- A    beta(end,=[]; %删除回归分析的常数项
    cancha=f0-t(:,1:i)*beta; %求残差矩阵
: a4 k1 p% ^2 L6 |2 Z- h0 {    ss(i)=sum(sum(cancha.^2)); %求误差平方和
8 ]6 I$ q1 G' S: [. f6 v/ [! `6 [%以下计算 press(i)
    for j=1:num
        t1=t(:,1:i);f1=f0;
        she_t=t1(j,;she_f=f1(j,; %把舍去的第 j 个样本点保存起来
        t1(j,=[];f1(j,=[]; %删除第 j 个观测值
# Q8 u2 W4 l- L2 |* A0 c- e, @! X! [: g        beta1=[t1,ones(num-1,1)]\f1; %求回归分析的系数
9 s: l8 l( _, n9 I1 z$ t7 O/ D6 s        beta1(end,=[]; %删除回归分析的常数项
        cancha=she_f-she_t*beta1; %求残差向量
        press_i(j)=sum(cancha.^2);
    end
$ F9 u2 c& q' y3 |* l    press(i)=sum(press_i);
  H" J5 b, \/ h5 b' r4 w+ Z' ^( C    if i>1
' R( M/ s4 F# L7 {        Q_h2(i)=1-press(i)/ss(i-1);
+ }5 Q$ i& G* W9 d    else
  j- n' `) x1 w% u3 z2 x        Q_h2(1)=1;
3 H1 N; g, g& b2 f    end
    if Q_h2(i)<0.0975
        fprintf('提出的成分个数 r=%d',i);
        r=i;
        break
    end
end
- A0 p7 N# ]. k6 [beta_z=[t(:,1:r),ones(num,1)]\f0; %求 Y 关于 t 的回归系数
9 G- T/ H( M6 C5 I8 q6 ibeta_z(end,=[]; %删除常数项
6 Z# F! i! y3 ]3 u2 Jxishu=w_star(:,1:r)*beta_z; %求Y关于X的回归系数，且是针对标准数据的回归系数，
* F0 ^8 E; H! p7 f, w每一列是一个回归方程
mu_x=mu(1:n);mu_y=mu(n+1:end);
* w$ t9 P0 m; y: l' f* V8 Ssig_x=sig(1:n);sig_y=sig(n+1:end);
) v9 C+ E$ f- O; _3 ifor i=1:m
    ch0(i)=mu_y(i)-mu_x./sig_x*sig_y(i)*xishu(:,i); %计算原始数据的回归方程的常数项
end
for i=1:m
    xish(:,i)=xishu(:,i)./sig_x'*sig_y(i); %计算原始数据的回归方程的系数，每一列是一个回归方程
end
9 y  z; |5 e( G. X6 [* |sol=[ch0;xish] %显示回归方程的系数，每一列是一个方程，每一列的第一个数是常数项
& X  p  W+ q) ]0 m: r0 @  Nsave mydata x0 y0 num xishu ch0 xish

9 Y/ l, Z8 V9 n1 h* |: Q
, ~$ P  \8 h, o3 ?* w
. b2 \4 \$ g. I  q3 G( l
从回归系数图中可以立刻观察到，腰围变量在解释三个回归方程时起到了极为重要 的作用。然而，与单杠及弯曲相比，跳高成绩的回归方程显然不够理想，三个自变量对 它的解释能力均很低。

画直方图的 MATLAB 程序为：bar(xishu')

画体能训练的预测图的 MATLAB 程序如下：

load mydata
9 z" |  r' ~8 ~" ^num
( i% f/ Y9 _% P3 G, [ch0=repmat(ch0,num,1);
yhat=ch0+x0*xish; %计算 y 的预测值
  q  w' _# i2 ]* m1 }) \$ Yy1max=max(yhat);
y2max=max(y0);
ymax=max([y1max;y2max])
- s* g: A/ h, I% @: H$ c( U4 Lcancha=yhat-y0; %计算残差
0 s1 k- A' N* P3 N6 M$ E& ksubplot(2,2,1)
plot(0:ymax(1),0:ymax(1),yhat(:,1),y0(:,1),'*')
# N' u% Q" T/ a  Q9 Csubplot(2,2,2)
$ v$ s& |, T& Fplot(0:ymax(2),0:ymax(2),yhat(:,2),y0(:,2),'O')
2 v9 u4 l! {6 x- f. Tsubplot(2,2,3)
plot(0:ymax(3),0:ymax(3),yhat(:,3),y0(:,3),'H')
* e# X' l% c1 o$ h
2 A$ I& g5 u# i, b
2 q$ Q: F) V9 v# v————————————————
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5 _& D( ]6 T% s: S. P