差分方程模型（一）：模型介绍与Z变换

浅夏110

1 差分方程简介

0 h# ~; j  l0 ~, E% E; D8 E4 j. k

  S+ l+ E1 [! V; S+ \8 d9 L满足一差分方程的序列 称为差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有 的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。若解中不含任 意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。

/ p5 @" ]' F) l4 _+ b. W n 阶常系数线性差分方程及求解
! M- j# C1 y8 G$ n  @0 Y

& H) g6 z+ e( i% f; P- l3 A2 {! D: x
4 g1 y3 w* ?, Z! v8 p: Z; E* p

两个例题
* N$ H2 v$ M' G' X: x
/ X7 g- k) \7 `8 h3 p& W8 N

3 E$ U& t* s( \- L& W

解的稳定性
9 U  a& L7 i" \" F3 ?


) C6 k1 O! ?" D9 }程（1）稳定的充要条件为其所有特征根的模均小于 1。

; C8 C& t8 k# B* A
8 N. p' l' D- o3 r5 |% R" r
2 常系数线性差分方程的 Z 变换解法
9 `) x4 u; v5 {5 I5 j常系数线性差分方程采用解析解法比较容易，而且对其解的意义也容易理解，但采 用这种解法求解常系数线性非齐次差分方程比较繁琐，通常是采用 Z 变换，将差分方 程变换为代数方程去求解。
3 `* o0 {  j- w( z8 C

  c7 @/ Y) b* J; k* V+ }! e
, k7 N9 y, v: I1 \9 u2.1 几个常用离散函数的 Z 变换
（i）单位冲激函数δ (k) 的 Z 变换
% o" O7 g! I1 u- M' J( ~. B5 @3 W! F
, {4 D$ N# B( h% f- D
; `/ o+ _: k& Q0 \2 l# S, n
& V# ~" Q+ T3 L+ T  P（ii）单位阶跃函数U(k) 的 Z 变换
: c6 U6 X+ G+ y' d, ?


（iii）单边指数函数   的 Z 变换（a 为不等于 1 的正常数）



2.2    Z 变换的性质
9 x4 `( l; G9 D* u9 V（i）线性性质
( j# Z1 c- J' k
% n8 z$ b' a) S1 N% D2 a
8 j1 m; ?% t# w+ M$ c
（ii）平移性

0 l- K9 T+ v' \4 o/ G  J
+ |. z2 q# ]. u2 V
例 3  求齐次差分方程

, d9 J0 Y9 m4 ~2 g  X

# c* V- u5 C$ g. u————————————————
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