差分方程模型（一）：模型介绍与Z变换

浅夏110

1 差分方程简介

* G: m% |8 Z. C  b3 u
  T9 K3 ~- f( m1 b
满足一差分方程的序列 称为差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有 的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。若解中不含任 意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。
4 g2 j" b. [$ U+ r+ ]: S
n 阶常系数线性差分方程及求解
) v$ M5 m5 j( L/ D


! x# C1 X( k, }) {2 C4 C
: z" N$ S; C8 U9 j! s6 h. p
两个例题
; K. M# v  Z' a  p$ r, J6 ]

) u2 D, f& Y4 V$ d, d# D1 \
$ c! v4 \! ~  v& r8 O5 V

; ]- a% @: f! s4 h) t( {  @  F0 ^. a解的稳定性

% V, K3 o3 j7 Q7 O5 P. b" Y
2 d  z* A$ m8 Q" {; c4 M
- W( b6 r" |& q  Y+ a程（1）稳定的充要条件为其所有特征根的模均小于 1。

, |! w2 a  s! ?% K, |( f7 Y2 c
1 d2 E% K( }4 E/ q2 M3 N" s. [
2 常系数线性差分方程的 Z 变换解法
1 ]; P: z5 B, X5 `! q7 c常系数线性差分方程采用解析解法比较容易，而且对其解的意义也容易理解，但采 用这种解法求解常系数线性非齐次差分方程比较繁琐，通常是采用 Z 变换，将差分方 程变换为代数方程去求解。
: ~- y, p9 `* F1 q( z! N7 T/ _% B
9 {0 b0 w* M. l% w5 l. ~1 p

2.1 几个常用离散函数的 Z 变换
& o, Y0 \: k' z5 r1 p" ^5 E- j（i）单位冲激函数δ (k) 的 Z 变换

0 N; }& d" ^/ v% p  q) I3 S9 h9 y$ t! v
; T; a) p4 C$ c2 h/ t
; j" @! j! j1 @, ?# K$ p( V$ l（ii）单位阶跃函数U(k) 的 Z 变换
" i6 k. `& B/ N- n2 B- q# \1 N

" a9 s7 |  `9 Z/ `# x  n4 |4 g
（iii）单边指数函数   的 Z 变换（a 为不等于 1 的正常数）
4 @( `( V$ C# Y; b" @; s0 A' Q
. B) }4 }) A: [1 ]/ L6 |
' Z# N9 Z! @& h# [1 z; t- h- L0 |
) J" q5 b/ ~. T  H  N  s- \2.2    Z 变换的性质
（i）线性性质
2 O7 L' s5 b  m- [
( q4 m8 Z( s* m) F) ?

3 ?% I* r2 b. j! W2 n4 k$ j. v& @（ii）平移性
8 }, h' Q$ P1 n# q- A' U+ c

4 U5 L- l8 d+ j2 b: L
例 3  求齐次差分方程
- V1 c# U# u: s& j, m: F

& N. m9 m9 ?" V' u7 m
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; x- B% @6 k$ o; y; p