差分方程模型（一）：模型介绍与Z变换

浅夏110

1 差分方程简介



满足一差分方程的序列 称为差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有 的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。若解中不含任 意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。

n 阶常系数线性差分方程及求解

  T3 q6 {( ]  V2 H& S3 g! l
9 m5 U0 ?, T1 F' M9 J  R
. y7 B* _: a9 `' g" J7 M

两个例题
- i+ m6 g+ [2 ]$ V. L

5 u3 V! |6 P4 T/ n3 ]8 s. X
  F8 G1 y' p" Y1 G- X) }" d
$ ]) O) E: g4 W( q+ l
解的稳定性
5 R6 L( b2 C; p0 a3 n& s9 G
4 c: p: B% J3 [( T1 X1 `
  u# H1 P) ^$ n6 K
程（1）稳定的充要条件为其所有特征根的模均小于 1。
9 y8 l+ X5 I3 Z# }0 w2 m. o

; X5 n9 h# E- o$ K% ~1 L
; N  s2 T, Z2 A, d2 常系数线性差分方程的 Z 变换解法
( g/ {1 g: B1 }  }3 w3 C- Z4 ]常系数线性差分方程采用解析解法比较容易，而且对其解的意义也容易理解，但采 用这种解法求解常系数线性非齐次差分方程比较繁琐，通常是采用 Z 变换，将差分方 程变换为代数方程去求解。
: h6 d% R5 t. A. u6 S  y
( D* k7 K' h, T3 T+ b* |* v
1 j0 F  ]5 T/ a& v
* P' B" I2 y$ J2.1 几个常用离散函数的 Z 变换
) w% T( u) w% N（i）单位冲激函数δ (k) 的 Z 变换
; L! w4 _' r8 s! A  ~$ S, |
+ A3 u8 {- ?# K: J. m) m

0 q: N# x' m" P. n  @（ii）单位阶跃函数U(k) 的 Z 变换


. N& J- o& M+ d: n4 p
# r( f" l( h% @- m4 T* \( k+ s（iii）单边指数函数   的 Z 变换（a 为不等于 1 的正常数）
1 Q8 ?. ]% r/ C; i; I0 K
" _2 w* b8 j$ @, L! P" K: B

  H, j2 m6 M5 A+ v) T1 E2 P2.2    Z 变换的性质
（i）线性性质
, _" e2 d1 Z# }/ e+ ?, S; m

( `8 _  D- A$ p
（ii）平移性


: ]5 V! a3 {% t6 y
例 3  求齐次差分方程

! Y! _# b) N, B, L

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( a0 ?0 Y1 i, Z