差分方程模型（一）：模型介绍与Z变换

浅夏110

1 差分方程简介
% l. I& w" i* w' Z


- x5 Q% l8 y& |- a2 E  X5 Q满足一差分方程的序列 称为差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有 的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。若解中不含任 意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。

' l* H) b; S/ ?/ v2 v n 阶常系数线性差分方程及求解
4 P3 o& y) j3 k( W" c


! s* Q" k. b' Q8 O* T

1 s5 H2 f' _& b两个例题
" f: i9 E4 Y: ^5 y
& b- U' L0 v/ }/ F0 k5 P
9 W: v+ d6 h# x) a3 Q; V
4 c0 O) m9 {5 v

( V8 d/ ~! W0 i& x4 p/ h! _4 I解的稳定性
2 m# B: g; i3 e1 R+ V" x; d
0 F; I3 p) D/ e# M

程（1）稳定的充要条件为其所有特征根的模均小于 1。

' N+ _! o: q, I& r3 u4 \  s8 X% y

2 常系数线性差分方程的 Z 变换解法
/ ^/ B( l$ o8 o常系数线性差分方程采用解析解法比较容易，而且对其解的意义也容易理解，但采 用这种解法求解常系数线性非齐次差分方程比较繁琐，通常是采用 Z 变换，将差分方 程变换为代数方程去求解。

+ t2 g" |( O6 {1 a

2.1 几个常用离散函数的 Z 变换
（i）单位冲激函数δ (k) 的 Z 变换

9 Z' Z8 K1 @2 W) X
0 N6 D9 J7 \7 `% m$ B
（ii）单位阶跃函数U(k) 的 Z 变换
# g6 O( o4 Z8 p% m) z
0 Q+ k7 a" e; Y7 N/ a  n9 p
: F1 G6 }5 }0 c# p9 o7 A
/ R( w2 j7 e: V: n3 Q3 Q# B（iii）单边指数函数   的 Z 变换（a 为不等于 1 的正常数）



2.2    Z 变换的性质
* V2 @+ k7 [  X9 f2 f1 l# Q（i）线性性质



" u8 ^& w) W: G0 u9 b（ii）平移性


9 C% W5 m5 j. i! J5 u2 p# R6 R3 W
& H- c( E; m% c" ]例 3  求齐次差分方程
: c6 b7 q/ p. E# J1 c( B

2 w- [8 }0 N5 K2 Z6 v, e
. P1 }' o( e! [7 f' t4 y# ]————————————————
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# {% C' E/ L, @8 Y& b