差分方程模型(四）：遗传模型

浅夏110

随着人类的进化，人们为了揭示生命的奥妙，越来越重视遗传学的研究，特别是遗 传特征的逐代传播，引起人们更多的注意。无论是人，还是动植物都会将本身的特征遗 传给下一代，这主要是因为后代继承了双亲的基因，形成自己的基因对，基因对将确定 后代所表现的特征。下面，我们来研究两种类型的遗传：常染色体遗传和 x − 链遗传。 根据亲体基因遗传给后代的方式，建立模型，利用这些模型可以逐代研究一个总体基因 型的分布。

1 常染色体遗传模型
+ Q' Q; l. K# O! X- i. k常染色体遗传中，后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因，形成自己的基因对， 基因对也称为基因型。如果我们所考虑的遗传特征是由两个基因 A 和 a 控制的，那么 就有三种基因对，记为 AA, Aa,aa 。例如，金鱼草由两个遗传基因决定花的颜色，基 因型是 AA的金鱼草开红花， Aa 型的开粉红色花，而 aa 型的开白花。又如人类眼睛 的颜色也是通过常染色体遗传控制的。基因型是 AA或 Aa 的人，眼睛为棕色，基因型 是aa 的人，眼睛为蓝色。这里因为 AA和 Aa 都表示了同一外部特征，我们认为基因 A 支配基因a ，也可以认为基因a 对于 A 来说是隐性的。当一个亲体的基因型为 Aa ，而 另一个亲体的基因型是aa 时，那么后代可以从aa 型中得到基因a ，从 Aa 型中或得到 基因 A ，或得到基因a 。这样，后代基因型为 Aa 或 aa 的可能性相等。下面给出双亲 体基因型的所有可能的结合，以及其后代形成每种基因型的概率，如下表所示。

/ D+ R' F& s& e/ I) W& U

例 5 农场的植物园中某种植物的基因型为 AA, Aa 和 aa 。农场计划采用 AA型的 植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后，这种植物的任 一代的三种基因型分布如何？
7 r; w  t& u1 n
（a）假设
( c# P" _8 L$ Z5 j令n = 0,1,2,...。
* p/ D8 ], [+ h# c: k
; X( u: j1 g0 |

6 {/ q: l$ a/ X* L7 s+ p0 H  [9 W（b）建模
, |: e2 I/ ~8 z



* ~9 h5 I' q5 d7 U7 N
编写如下 Matlab 程序：

syms n a0 b0 c0
M=sym('[1,1/2,0;0,1/2,1;0,0,0]');
1 C$ P% ~: ?, M[p,lamda]=eig(M);
x=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0]；
x=simple(x)
- }9 O+ Z, E$ i2 }) T. V+ m

2 o: s- H6 P$ r. c( V0 Q

即在极限的情况下，培育的植物都是 AA型。

（c）模型的讨论

若在上述问题中，不选用基因 AA型的植物与每一植物结合，而是将具有相同基因 型植物相结合，那么后代具有三种基因型的概率如下表所示。

编写如下 Matlab 程序：

, `/ V* O# g5 O8 A6 wsyms n a0 b0 c0
4 t# J; L- I$ i  g9 m% e2 t+ ?M=sym('[1,1/4,0;0,1/2,0;0,1/4,1]');
[p,lamda]=eig(M);
x=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0];
7 E; U$ N" Z+ X' X' i/ V+ |x=simple(x)


$ ]$ D3 }' [0 ]5 p/ ?, H
" J9 w3 U% ?5 p. h+ R0 T
9 M# s  Q! J5 a  s2 常染色体隐性病模型
现在世界上已经发现的遗传病有将近 4000 种。在一般情况下，遗传病与特殊的种 族、部落及群体有关。例如，遗传病库利氏贫血症的患者以居住在地中海沿岸为多，镰 状网性贫血症一般流行在黑人中，家族黑蒙性白痴症则流行在东欧犹太人中间。患者经 常未到成年就痛苦地死去，而他们的父母则是疾病的病源。假若我们能识别这些疾病的 隐性患者，并且规定两个隐性患者不能结合（因为两个隐性患者结合，他们的后代就可 能成为显性患者），那么未来的儿童，虽然有可能是隐性患者，但决不会出现显性特征， 不会受到疾病的折磨。现在，我们考虑在控制结合的情况下，如何确定后代中隐性患者 的概率。

8 Q8 n$ i+ s$ x2 P（a）假设
（i）常染色体遗传的正常基因记为 A ，不正常基因记为a ，并以 AA, Aa,aa 分别 表示正常人，隐性患者，显性患者的基因型。
5 o  U! s" ?' `8 X1 E& ~' C) P
5 \+ G( n) i$ ^/ O

（b）建模





（c）模型讨论
5 S! u1 q- ?0 ^. e! s) E研究在随机结合的情况下，隐性患者的变化是很有意思的，但随机结合导致了非线 性化问题，超出了本章范围，然而用其它技巧，在随机结合的情况下可以把（24）式改写为


' J5 y) g. y# W% L7 n( F- E
6 |; N6 q) n% a' z$ d: m: U下面给出数值的例子： 某地区有 10%的黑人是镰状网性贫血症隐性患者，如果控制结合，根据（24）式 可知下一代（大约 27 年）的隐性患者将减少到 5%；如果随机结合，根据（25）式， 可以预言下一代人中有 9.5%是隐性患者，并且可计算出大约每出生 400 个黑人孩子， 其中有一个是显性患者。
: E, P+ L: E5 H( e/ }
) U' P" M5 W- _8 a8 Y- F3 H9 _) N% ~3   X − 链遗传模型
" H; ^, `, ~3 L9 Q/ R* e: z; FX − 链遗传是指雄性具有一个基因 A 或a ，雌性具有两个基因 AA，或 Aa ，或 aa 。 其遗传规律是雄性后代以相等概率得到母体两个基因中的一个，雌性后代从父体中得到 一个基因，并从母体的两个基因中等可能地得到一个。下面，研究与 X − 链遗传有关 的近亲繁殖过程。
& g6 p" L( `! V3 B: N) @
, D* c" t( J; ?/ ]8 r! ^/ n（a）假设
' R$ H" }$ L  E0 f4 S6 ?" i（i）从一对雌雄结合开始，在它们的后代中，任选雌雄各一个成配偶，然后在它 们产生的后代中任选两个结成配偶。如此继续下去。

- j- u, K, d: q9 |* R0 G% h# g（ii）父体与母体的基因型组成同胞对，同胞对的形式有 (A, AA) ， (A, Aa) ， (A,aa) ， (a, AA) ，(a, Aa) ，(a,aa) 六种。初始一对雌雄的同胞对，是这六种类型 中的任一种，其后代的基因型如下表所示。

- s+ A2 E8 [1 ~" t  g1 L
1 G* B0 N4 U$ e


" i! `4 i( {3 ]" ?$ p  m. I


4 P& o- C/ i' M7 ]  j9 x编写如下 Matlab 程序：
, \( t" h. N+ y" I# q; ]0 g; ]$ z
4 v& C9 L) {6 c" H/ ]& P& Xsyms n a0 b0 c0 d0 e0 f0
M=[1 1/4 0 0 0 0;0 1/4 0 1 1/4 0;0 0 0 0 1/4 0;
0 1/4 0 0 0 0;0 1/4 1 0 1/4 0;0 0 0 0 1/4 1];
5 X8 l# Q6 Q& K" ]3 NM=sym(M);
8 R' ]9 T9 j9 b. m2 f[p,lamda]=eig(M);
x=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0;d0;e0;f0];
x=simple(x)


  w2 t1 g- U9 J* i! I# T由上述程序计算结果可以看出
5 Y, C* t! }; f* H, {+ ~8 P
) z8 M2 D; P/ Z+ y; X$ h2 t& d" z/ u
2 I4 x5 Q+ t6 c

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2 l! d6 H9 E- o2 T2 X. F% K原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89646596
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