差分方程模型(四）：遗传模型

浅夏110

随着人类的进化，人们为了揭示生命的奥妙，越来越重视遗传学的研究，特别是遗 传特征的逐代传播，引起人们更多的注意。无论是人，还是动植物都会将本身的特征遗 传给下一代，这主要是因为后代继承了双亲的基因，形成自己的基因对，基因对将确定 后代所表现的特征。下面，我们来研究两种类型的遗传：常染色体遗传和 x − 链遗传。 根据亲体基因遗传给后代的方式，建立模型，利用这些模型可以逐代研究一个总体基因 型的分布。
. W4 z7 O  ~4 m8 V
" D, j# R; A% j7 y1 常染色体遗传模型
8 n3 _/ M, {" ?常染色体遗传中，后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因，形成自己的基因对， 基因对也称为基因型。如果我们所考虑的遗传特征是由两个基因 A 和 a 控制的，那么 就有三种基因对，记为 AA, Aa,aa 。例如，金鱼草由两个遗传基因决定花的颜色，基 因型是 AA的金鱼草开红花， Aa 型的开粉红色花，而 aa 型的开白花。又如人类眼睛 的颜色也是通过常染色体遗传控制的。基因型是 AA或 Aa 的人，眼睛为棕色，基因型 是aa 的人，眼睛为蓝色。这里因为 AA和 Aa 都表示了同一外部特征，我们认为基因 A 支配基因a ，也可以认为基因a 对于 A 来说是隐性的。当一个亲体的基因型为 Aa ，而 另一个亲体的基因型是aa 时，那么后代可以从aa 型中得到基因a ，从 Aa 型中或得到 基因 A ，或得到基因a 。这样，后代基因型为 Aa 或 aa 的可能性相等。下面给出双亲 体基因型的所有可能的结合，以及其后代形成每种基因型的概率，如下表所示。



例 5 农场的植物园中某种植物的基因型为 AA, Aa 和 aa 。农场计划采用 AA型的 植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后，这种植物的任 一代的三种基因型分布如何？
! C% J. b" w7 T
# i5 ^$ M& j( h( h& [（a）假设
/ s# J; B1 q3 b/ I! y令n = 0,1,2,...。

, g- G/ K; [7 \1 s. V

（b）建模
# J6 ~2 u; h2 B$ b0 \2 [: a
6 ~2 C4 Z  @+ w  V

2 y$ E3 Y* S' [

编写如下 Matlab 程序：
) ~; a/ z# D6 c$ {
syms n a0 b0 c0
M=sym('[1,1/2,0;0,1/2,1;0,0,0]');
[p,lamda]=eig(M);
, W! n7 d8 t- rx=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0]；
8 N4 D+ X3 z+ d) _) A& ~x=simple(x)



/ u+ U; B9 y' B7 g: _+ {1 `' Y

即在极限的情况下，培育的植物都是 AA型。

（c）模型的讨论

若在上述问题中，不选用基因 AA型的植物与每一植物结合，而是将具有相同基因 型植物相结合，那么后代具有三种基因型的概率如下表所示。

1 t3 z6 r4 X! `( a& K

编写如下 Matlab 程序：
1 M! d$ }0 F8 R& R* W
syms n a0 b0 c0
M=sym('[1,1/4,0;0,1/2,0;0,1/4,1]');
[p,lamda]=eig(M);
x=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0];
x=simple(x)

6 P' g! K0 T1 q8 ^. W" _* d
- {4 J* G& Z( u+ A$ {+ @* _

) u/ F' W( O/ g+ e: o  E  e2 常染色体隐性病模型
现在世界上已经发现的遗传病有将近 4000 种。在一般情况下，遗传病与特殊的种 族、部落及群体有关。例如，遗传病库利氏贫血症的患者以居住在地中海沿岸为多，镰 状网性贫血症一般流行在黑人中，家族黑蒙性白痴症则流行在东欧犹太人中间。患者经 常未到成年就痛苦地死去，而他们的父母则是疾病的病源。假若我们能识别这些疾病的 隐性患者，并且规定两个隐性患者不能结合（因为两个隐性患者结合，他们的后代就可 能成为显性患者），那么未来的儿童，虽然有可能是隐性患者，但决不会出现显性特征， 不会受到疾病的折磨。现在，我们考虑在控制结合的情况下，如何确定后代中隐性患者 的概率。
6 N+ Z+ K; N6 \4 v, F1 ~
) B' ~+ I. x7 [! {% \（a）假设
（i）常染色体遗传的正常基因记为 A ，不正常基因记为a ，并以 AA, Aa,aa 分别 表示正常人，隐性患者，显性患者的基因型。

6 B; i$ \( ^" W/ A, X
8 x$ N, P1 ~+ J5 [; a! o
（b）建模


" i/ c( G* T/ C  Q3 s
0 E5 C' `8 [; k# p9 U

（c）模型讨论
& ^/ h, M# v- q# c: l, S( [研究在随机结合的情况下，隐性患者的变化是很有意思的，但随机结合导致了非线 性化问题，超出了本章范围，然而用其它技巧，在随机结合的情况下可以把（24）式改写为
% ^( \  Q" z: u% V1 Q: X' g
; G* {1 \- |9 s( L3 `/ K; `
, ?- r1 w* a8 [) h3 T/ z
下面给出数值的例子： 某地区有 10%的黑人是镰状网性贫血症隐性患者，如果控制结合，根据（24）式 可知下一代（大约 27 年）的隐性患者将减少到 5%；如果随机结合，根据（25）式， 可以预言下一代人中有 9.5%是隐性患者，并且可计算出大约每出生 400 个黑人孩子， 其中有一个是显性患者。
9 N; f0 e2 d; v- B6 ~
1 z% H. x, r# m8 U% a7 n3   X − 链遗传模型
3 F; v9 }. g' p+ \8 \X − 链遗传是指雄性具有一个基因 A 或a ，雌性具有两个基因 AA，或 Aa ，或 aa 。 其遗传规律是雄性后代以相等概率得到母体两个基因中的一个，雌性后代从父体中得到 一个基因，并从母体的两个基因中等可能地得到一个。下面，研究与 X − 链遗传有关 的近亲繁殖过程。

（a）假设
（i）从一对雌雄结合开始，在它们的后代中，任选雌雄各一个成配偶，然后在它 们产生的后代中任选两个结成配偶。如此继续下去。

) Z- |, l$ Z3 F) V5 P（ii）父体与母体的基因型组成同胞对，同胞对的形式有 (A, AA) ， (A, Aa) ， (A,aa) ， (a, AA) ，(a, Aa) ，(a,aa) 六种。初始一对雌雄的同胞对，是这六种类型 中的任一种，其后代的基因型如下表所示。
& U% i. \  s- c  n+ B$ y" ~
# I: R" A0 l' f  B& k4 D* H






+ c  h6 l/ I8 E& g. s编写如下 Matlab 程序：
6 K8 Q/ |! p+ n5 p# a" ]
0 R% W/ Y/ N9 Zsyms n a0 b0 c0 d0 e0 f0
M=[1 1/4 0 0 0 0;0 1/4 0 1 1/4 0;0 0 0 0 1/4 0;
0 1/4 0 0 0 0;0 1/4 1 0 1/4 0;0 0 0 0 1/4 1];
M=sym(M);
[p,lamda]=eig(M);
8 \) t& w; K( g1 n$ tx=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0;d0;e0;f0];
3 D$ k% ^9 X( Yx=simple(x)


1 M# f& G' S: t+ a4 ^% y由上述程序计算结果可以看出

5 @& K+ l6 W7 m, l


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+ J# w$ S* K- ~8 W4 w' I

( q* g$ K5 c9 x; o: L& V4 D