差分方程模型(四）：遗传模型

浅夏110

随着人类的进化，人们为了揭示生命的奥妙，越来越重视遗传学的研究，特别是遗 传特征的逐代传播，引起人们更多的注意。无论是人，还是动植物都会将本身的特征遗 传给下一代，这主要是因为后代继承了双亲的基因，形成自己的基因对，基因对将确定 后代所表现的特征。下面，我们来研究两种类型的遗传：常染色体遗传和 x − 链遗传。 根据亲体基因遗传给后代的方式，建立模型，利用这些模型可以逐代研究一个总体基因 型的分布。
8 ^7 A. S, j4 I8 b. N) @
1 常染色体遗传模型
2 `' i+ G0 i( e常染色体遗传中，后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因，形成自己的基因对， 基因对也称为基因型。如果我们所考虑的遗传特征是由两个基因 A 和 a 控制的，那么 就有三种基因对，记为 AA, Aa,aa 。例如，金鱼草由两个遗传基因决定花的颜色，基 因型是 AA的金鱼草开红花， Aa 型的开粉红色花，而 aa 型的开白花。又如人类眼睛 的颜色也是通过常染色体遗传控制的。基因型是 AA或 Aa 的人，眼睛为棕色，基因型 是aa 的人，眼睛为蓝色。这里因为 AA和 Aa 都表示了同一外部特征，我们认为基因 A 支配基因a ，也可以认为基因a 对于 A 来说是隐性的。当一个亲体的基因型为 Aa ，而 另一个亲体的基因型是aa 时，那么后代可以从aa 型中得到基因a ，从 Aa 型中或得到 基因 A ，或得到基因a 。这样，后代基因型为 Aa 或 aa 的可能性相等。下面给出双亲 体基因型的所有可能的结合，以及其后代形成每种基因型的概率，如下表所示。



% S. t$ U% r. R; w例 5 农场的植物园中某种植物的基因型为 AA, Aa 和 aa 。农场计划采用 AA型的 植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后，这种植物的任 一代的三种基因型分布如何？
! W  m% I% b& t* f5 R* b2 {
（a）假设
' \" C9 f) x9 u7 @1 U' C" H令n = 0,1,2,...。

+ a" G5 E) r$ Q$ m
  N8 x- N6 t4 \# S& e/ h" Z
  T" R" v/ |& V4 s/ b( y（b）建模





编写如下 Matlab 程序：

syms n a0 b0 c0
, R( W- {; @2 EM=sym('[1,1/2,0;0,1/2,1;0,0,0]');
2 g7 a8 Z4 u" o% f. q' N[p,lamda]=eig(M);
7 u6 @3 {8 J7 L& `2 xx=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0]；
x=simple(x)



+ p$ }/ Z% g/ ]" R1 d; G4 b# `

即在极限的情况下，培育的植物都是 AA型。

（c）模型的讨论

若在上述问题中，不选用基因 AA型的植物与每一植物结合，而是将具有相同基因 型植物相结合，那么后代具有三种基因型的概率如下表所示。

6 \$ J/ V: K, x8 X. f
4 @1 R9 @4 q8 S: w( Q9 J3 [  O! D编写如下 Matlab 程序：

syms n a0 b0 c0
( X( K0 s1 L$ h; K6 X. KM=sym('[1,1/4,0;0,1/2,0;0,1/4,1]');
[p,lamda]=eig(M);
x=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0];
, o* K' P. \+ n+ \x=simple(x)




' }7 F+ v  J$ i! V4 M, e* k$ e2 常染色体隐性病模型
4 l. o( K$ i' {现在世界上已经发现的遗传病有将近 4000 种。在一般情况下，遗传病与特殊的种 族、部落及群体有关。例如，遗传病库利氏贫血症的患者以居住在地中海沿岸为多，镰 状网性贫血症一般流行在黑人中，家族黑蒙性白痴症则流行在东欧犹太人中间。患者经 常未到成年就痛苦地死去，而他们的父母则是疾病的病源。假若我们能识别这些疾病的 隐性患者，并且规定两个隐性患者不能结合（因为两个隐性患者结合，他们的后代就可 能成为显性患者），那么未来的儿童，虽然有可能是隐性患者，但决不会出现显性特征， 不会受到疾病的折磨。现在，我们考虑在控制结合的情况下，如何确定后代中隐性患者 的概率。
# L; B2 I. m7 R( w" C+ T/ Z
+ m3 ]. L- x' K（a）假设
3 k+ X4 i# L, I; M（i）常染色体遗传的正常基因记为 A ，不正常基因记为a ，并以 AA, Aa,aa 分别 表示正常人，隐性患者，显性患者的基因型。
( c- ?# F5 R( i- Q
+ W# w1 I% m) r8 b1 H) Z' o0 Q# m

（b）建模


: `4 r9 b* |) x) J2 [7 I
8 L3 o# r$ t- p

（c）模型讨论
研究在随机结合的情况下，隐性患者的变化是很有意思的，但随机结合导致了非线 性化问题，超出了本章范围，然而用其它技巧，在随机结合的情况下可以把（24）式改写为


3 s" F1 x7 x# N
下面给出数值的例子： 某地区有 10%的黑人是镰状网性贫血症隐性患者，如果控制结合，根据（24）式 可知下一代（大约 27 年）的隐性患者将减少到 5%；如果随机结合，根据（25）式， 可以预言下一代人中有 9.5%是隐性患者，并且可计算出大约每出生 400 个黑人孩子， 其中有一个是显性患者。
! `* e9 g. j% @6 K( |/ ]( K
2 q1 A' X7 o/ a, D8 G3   X − 链遗传模型
X − 链遗传是指雄性具有一个基因 A 或a ，雌性具有两个基因 AA，或 Aa ，或 aa 。 其遗传规律是雄性后代以相等概率得到母体两个基因中的一个，雌性后代从父体中得到 一个基因，并从母体的两个基因中等可能地得到一个。下面，研究与 X − 链遗传有关 的近亲繁殖过程。

: T9 t. N, g5 }; @' c' O. Y' ~4 D! D（a）假设
（i）从一对雌雄结合开始，在它们的后代中，任选雌雄各一个成配偶，然后在它 们产生的后代中任选两个结成配偶。如此继续下去。

（ii）父体与母体的基因型组成同胞对，同胞对的形式有 (A, AA) ， (A, Aa) ， (A,aa) ， (a, AA) ，(a, Aa) ，(a,aa) 六种。初始一对雌雄的同胞对，是这六种类型 中的任一种，其后代的基因型如下表所示。
4 P  q3 U/ g) N* I
& @8 Y' M, ?1 t6 g6 ]
% U( X0 J, t4 w4 j6 Y  B, K



/ Y7 }) `) a7 Q, T$ V
2 o' z4 ~' F+ e: [
- {: _5 x& B: Y8 |% c编写如下 Matlab 程序：

syms n a0 b0 c0 d0 e0 f0
2 _( K0 R0 p$ E/ o( J" sM=[1 1/4 0 0 0 0;0 1/4 0 1 1/4 0;0 0 0 0 1/4 0;
6 P# Y) @, }  h* P/ ~; U 0 1/4 0 0 0 0;0 1/4 1 0 1/4 0;0 0 0 0 1/4 1];
M=sym(M);
[p,lamda]=eig(M);
- A( r4 }! o# Y  H7 c0 Fx=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0;d0;e0;f0];
/ \& C+ N( R! u; ^/ _3 \x=simple(x)
* E% [! M2 h4 Z2 C- V1 L/ v7 n

$ Q  T% `- h* y* e% j1 A9 }  x+ |7 Z由上述程序计算结果可以看出
8 S  M# a5 Y- W1 [) @



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! o% G! f1 V0 S* x' ^原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89646596

9 R3 M/ M. m% Q/ d" ?/ F" D