差分方程模型(四）：遗传模型

浅夏110

随着人类的进化，人们为了揭示生命的奥妙，越来越重视遗传学的研究，特别是遗 传特征的逐代传播，引起人们更多的注意。无论是人，还是动植物都会将本身的特征遗 传给下一代，这主要是因为后代继承了双亲的基因，形成自己的基因对，基因对将确定 后代所表现的特征。下面，我们来研究两种类型的遗传：常染色体遗传和 x − 链遗传。 根据亲体基因遗传给后代的方式，建立模型，利用这些模型可以逐代研究一个总体基因 型的分布。
  E. {" \4 l4 f
  q7 d# N3 U7 [1 F, l0 \1 常染色体遗传模型
7 @' }3 b9 X2 i! \! X; |4 x常染色体遗传中，后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因，形成自己的基因对， 基因对也称为基因型。如果我们所考虑的遗传特征是由两个基因 A 和 a 控制的，那么 就有三种基因对，记为 AA, Aa,aa 。例如，金鱼草由两个遗传基因决定花的颜色，基 因型是 AA的金鱼草开红花， Aa 型的开粉红色花，而 aa 型的开白花。又如人类眼睛 的颜色也是通过常染色体遗传控制的。基因型是 AA或 Aa 的人，眼睛为棕色，基因型 是aa 的人，眼睛为蓝色。这里因为 AA和 Aa 都表示了同一外部特征，我们认为基因 A 支配基因a ，也可以认为基因a 对于 A 来说是隐性的。当一个亲体的基因型为 Aa ，而 另一个亲体的基因型是aa 时，那么后代可以从aa 型中得到基因a ，从 Aa 型中或得到 基因 A ，或得到基因a 。这样，后代基因型为 Aa 或 aa 的可能性相等。下面给出双亲 体基因型的所有可能的结合，以及其后代形成每种基因型的概率，如下表所示。
; _6 T6 U2 @* ]- f6 m9 f
3 ?( S" \( G' [
) A/ G7 |6 x, c8 h" f( K/ O; u
例 5 农场的植物园中某种植物的基因型为 AA, Aa 和 aa 。农场计划采用 AA型的 植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后，这种植物的任 一代的三种基因型分布如何？

（a）假设
8 F# l9 x* V) k8 \' H" }6 F令n = 0,1,2,...。
5 W4 n- W) r* w, D+ L, n

6 ?7 x: d" [1 _9 A. L- I- N2 B0 U
（b）建模
+ d6 S% V. f3 p; |& X




编写如下 Matlab 程序：

syms n a0 b0 c0
/ ], Z5 E6 d- [  q- |  n  r( QM=sym('[1,1/2,0;0,1/2,1;0,0,0]');
[p,lamda]=eig(M);
6 l- W: g( k) ^- @' D. }x=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0]；
$ e6 |  y, V% Q+ I' \x=simple(x)



1 w0 L$ Y( e& b; R) Q7 \

即在极限的情况下，培育的植物都是 AA型。

（c）模型的讨论

若在上述问题中，不选用基因 AA型的植物与每一植物结合，而是将具有相同基因 型植物相结合，那么后代具有三种基因型的概率如下表所示。

% a$ w* l4 e. x6 _
  P7 r6 ^: f6 n" ^9 m4 [
编写如下 Matlab 程序：
5 x5 C* P$ |" ^2 @! d
  }. X) ]9 F- _7 W5 Zsyms n a0 b0 c0
M=sym('[1,1/4,0;0,1/2,0;0,1/4,1]');
) t& g# Y, r% S3 h: x1 w9 {[p,lamda]=eig(M);
x=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0];
' v* Y2 H4 f8 kx=simple(x)




2 常染色体隐性病模型
2 D5 l  c: r, \6 ~现在世界上已经发现的遗传病有将近 4000 种。在一般情况下，遗传病与特殊的种 族、部落及群体有关。例如，遗传病库利氏贫血症的患者以居住在地中海沿岸为多，镰 状网性贫血症一般流行在黑人中，家族黑蒙性白痴症则流行在东欧犹太人中间。患者经 常未到成年就痛苦地死去，而他们的父母则是疾病的病源。假若我们能识别这些疾病的 隐性患者，并且规定两个隐性患者不能结合（因为两个隐性患者结合，他们的后代就可 能成为显性患者），那么未来的儿童，虽然有可能是隐性患者，但决不会出现显性特征， 不会受到疾病的折磨。现在，我们考虑在控制结合的情况下，如何确定后代中隐性患者 的概率。
* |+ E) O8 {; z7 i8 K: C  P" t
（a）假设
（i）常染色体遗传的正常基因记为 A ，不正常基因记为a ，并以 AA, Aa,aa 分别 表示正常人，隐性患者，显性患者的基因型。



0 A( w, E2 |1 ^# R0 T （b）建模

& U& n# Q* J! u$ J% {) O
  V( O; Z4 C* G

$ O. \/ U9 M1 W. j6 S+ a
; l7 N' }' J( t7 _9 I4 D3 Z（c）模型讨论
研究在随机结合的情况下，隐性患者的变化是很有意思的，但随机结合导致了非线 性化问题，超出了本章范围，然而用其它技巧，在随机结合的情况下可以把（24）式改写为
" }5 F' x5 T1 D( Q' Z/ |$ _
$ N& l( I& J* a" H3 p% g

6 @6 o! D5 a1 q3 W- c" Z下面给出数值的例子： 某地区有 10%的黑人是镰状网性贫血症隐性患者，如果控制结合，根据（24）式 可知下一代（大约 27 年）的隐性患者将减少到 5%；如果随机结合，根据（25）式， 可以预言下一代人中有 9.5%是隐性患者，并且可计算出大约每出生 400 个黑人孩子， 其中有一个是显性患者。

; N3 T8 I8 C' ^3 M3 T2 ~3   X − 链遗传模型
X − 链遗传是指雄性具有一个基因 A 或a ，雌性具有两个基因 AA，或 Aa ，或 aa 。 其遗传规律是雄性后代以相等概率得到母体两个基因中的一个，雌性后代从父体中得到 一个基因，并从母体的两个基因中等可能地得到一个。下面，研究与 X − 链遗传有关 的近亲繁殖过程。
; i: K8 e2 b' {; Q+ t, E
, |7 C0 X" g& M（a）假设
（i）从一对雌雄结合开始，在它们的后代中，任选雌雄各一个成配偶，然后在它 们产生的后代中任选两个结成配偶。如此继续下去。

（ii）父体与母体的基因型组成同胞对，同胞对的形式有 (A, AA) ， (A, Aa) ， (A,aa) ， (a, AA) ，(a, Aa) ，(a,aa) 六种。初始一对雌雄的同胞对，是这六种类型 中的任一种，其后代的基因型如下表所示。

' L. T+ E# x$ q. N: M: ~" a

0 l% y' f5 d: e2 l6 d
+ f/ b* d6 i5 A# o6 a+ q3 l7 d


7 Y% f) N5 `  k5 X: q  o, ]' `
( Y5 V' I, P* r) R# t+ d! ?  v0 Z编写如下 Matlab 程序：

' P$ m: W  G- k5 N* `# @syms n a0 b0 c0 d0 e0 f0
: ^/ I8 z0 Z- I+ g: fM=[1 1/4 0 0 0 0;0 1/4 0 1 1/4 0;0 0 0 0 1/4 0;
7 V% N& s( X  ~4 V9 ] 0 1/4 0 0 0 0;0 1/4 1 0 1/4 0;0 0 0 0 1/4 1];
1 X) [- p* e* |6 [/ i' bM=sym(M);
; f: Y0 j- R% d% V  j[p,lamda]=eig(M);
/ f) `- V. m1 dx=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0;d0;e0;f0];
. Q. x* y2 ?- `/ Px=simple(x)
: \- b) r2 b/ C
- U5 N! U) h% n/ g0 L
由上述程序计算结果可以看出

9 I- X, ?, i: M/ k' p* w
$ B& B# B. v+ h6 b

, w: d* T0 u) C- K: r1 z4 P————————————————
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1 Y- }4 f- s$ m9 s, s4 X8 n  Q( ]原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89646596
$ r, n/ ^, B0 G) s' y# e" i