常微分方程的解法 (一): 常微分方程的离散化 :差商近似导数、数值积分方法、Taylor...

浅夏110

建立微分方程只是解决问题的第一步，通常需要求出方程的解来说明实际现象，并 加以检验。如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的，但是我们知道，只有线 性常系数微分方程，并且自由项是某些特殊类型的函数时，才可以肯定得到这样的解， 而绝大多数变系数方程、非线性方程都是所谓“解不出来”的，即使看起来非常简单的 方程如  ，于是对于用微分方程解决实际问题来说，数值解法就是一个十 分重要的手段.
# T7 n$ D3 h' ~" I$ F+ y5 R6 K
5 \1 g( Q! b4 K1 常微分方程的离散化
7 e9 F' v$ C( l6 b, H; k下面主要讨论一阶常微分方程的初值问题，其一般形式是


+ c7 v) Z+ k7 ^
* X* A' K. u, H: z6 c在下面的讨论中，我们总假定函数 f (x, y) 连续，且关于 y 满足李普希兹(Lipschitz)条 件，即存在常数 L ，使得
) m5 q3 h8 k, ]
& y) a- H3 `! K/ u$ A4 Z! \

; t& z4 ^. r6 Z) h7 `* R0 j这样，由常微分方程理论知，初值问题(1)的解必定存在唯一。
& u  M  B7 y9 F
, y$ ]7 g& C  F- X数值解法
所谓数值解法，就是求问题（1）的解 y(x) 在若干点           

  [- ^; R1 I& R6 o, J  V7 w
+ P0 A+ t  S9 ^* S
% P6 X  t# S, N6 N7 l建立数值解法，首先要将微分方程离散化，一般采用以下几种方法：

- g8 D/ U  P$ v9 _# Q（i）用差商近似导数------差分方程初值问题
1 u. P* I8 {( _- }% y' J

% }" o% B8 o5 e% i

需要说明的是，用不同的差商近似导数，将得到不同的计算公式。
) w( a& q6 e1 Q6 [) A( S
（ii）用数值积分方法
将问题（1）的解表成积分形式，用数值积分方法离散化。例如，对微分方程两端 积分，得
! H# B% V4 ]3 v% z1 m  {
: }# D( |- w  i! x% v5 r
6 Z) s2 U0 \4 [& C1 f3 ?9 Z
右边的积分用矩形公式或梯形公式计算。

（iii）Taylor 多项式近似

# R2 ^$ U( @& g/ E3 K: G

以上三种方法都是将微分方程离散化的常用方法，每一类方法又可导出不同形式的 计算公式。其中的 Taylor 展开法，不仅可以得到求数值解的公式，而且容易估计截断 误差。
" Z0 Z& m8 J: U- L/ T% L! K! ]————————————————
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