常微分方程的解法 (一): 常微分方程的离散化 :差商近似导数、数值积分方法、Taylor...

浅夏110

建立微分方程只是解决问题的第一步，通常需要求出方程的解来说明实际现象，并 加以检验。如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的，但是我们知道，只有线 性常系数微分方程，并且自由项是某些特殊类型的函数时，才可以肯定得到这样的解， 而绝大多数变系数方程、非线性方程都是所谓“解不出来”的，即使看起来非常简单的 方程如  ，于是对于用微分方程解决实际问题来说，数值解法就是一个十 分重要的手段.

1 常微分方程的离散化
下面主要讨论一阶常微分方程的初值问题，其一般形式是
4 Z. e) v$ a. T: u! A

; ~: o* w: b2 i& N# W
在下面的讨论中，我们总假定函数 f (x, y) 连续，且关于 y 满足李普希兹(Lipschitz)条 件，即存在常数 L ，使得



这样，由常微分方程理论知，初值问题(1)的解必定存在唯一。
2 U1 M7 c- i( _
( K! n, d+ I6 J' j数值解法
1 c0 ]% c6 w+ Q& p所谓数值解法，就是求问题（1）的解 y(x) 在若干点           
& i7 R" A: }+ J7 Z% Y

7 _! {8 |. Z% ~% W' F
+ y% i" u. g/ q5 X" A( E( E建立数值解法，首先要将微分方程离散化，一般采用以下几种方法：

（i）用差商近似导数------差分方程初值问题
* ~& w0 W& p0 x% Z3 U7 d& \

2 Y$ ~5 k) Y9 c7 |% e% M
! U) x; y7 s7 p1 a& P
需要说明的是，用不同的差商近似导数，将得到不同的计算公式。

& X0 M. n8 ?- u; z" z+ N. x: P（ii）用数值积分方法
将问题（1）的解表成积分形式，用数值积分方法离散化。例如，对微分方程两端 积分，得



7 L9 U2 G! ]& S% q右边的积分用矩形公式或梯形公式计算。

（iii）Taylor 多项式近似
! k" G3 W4 w" h" }/ X5 C


以上三种方法都是将微分方程离散化的常用方法，每一类方法又可导出不同形式的 计算公式。其中的 Taylor 展开法，不仅可以得到求数值解的公式，而且容易估计截断 误差。
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