常微分方程的解法 (一): 常微分方程的离散化 :差商近似导数、数值积分方法、Taylor...

浅夏110

建立微分方程只是解决问题的第一步，通常需要求出方程的解来说明实际现象，并 加以检验。如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的，但是我们知道，只有线 性常系数微分方程，并且自由项是某些特殊类型的函数时，才可以肯定得到这样的解， 而绝大多数变系数方程、非线性方程都是所谓“解不出来”的，即使看起来非常简单的 方程如  ，于是对于用微分方程解决实际问题来说，数值解法就是一个十 分重要的手段.

1 常微分方程的离散化
9 ]7 @+ G2 ^* X% D4 m& V  s下面主要讨论一阶常微分方程的初值问题，其一般形式是
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# h: E% A7 }0 M4 V

; H# T* I5 ^" ]: G在下面的讨论中，我们总假定函数 f (x, y) 连续，且关于 y 满足李普希兹(Lipschitz)条 件，即存在常数 L ，使得
! V  s5 v9 f2 y+ }& w0 F" {. p7 Y4 w

! Z% d% k" }3 b$ j$ d! s9 o) t
4 H  _1 X: `" K1 B3 B. I这样，由常微分方程理论知，初值问题(1)的解必定存在唯一。

数值解法
所谓数值解法，就是求问题（1）的解 y(x) 在若干点           
2 |: ]3 t, Q8 w9 @" \' R4 H. W
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( `, c" Z* a; |) Y/ w9 K
! j( r6 c7 g$ Q0 F建立数值解法，首先要将微分方程离散化，一般采用以下几种方法：
% Y* l# M$ f& R$ P
（i）用差商近似导数------差分方程初值问题
, D7 j# C( ^% }$ h5 ?$ x
& E" s2 O7 M9 Y- U( A

; F$ T- {# T  i$ p2 o, g1 }
需要说明的是，用不同的差商近似导数，将得到不同的计算公式。

（ii）用数值积分方法
将问题（1）的解表成积分形式，用数值积分方法离散化。例如，对微分方程两端 积分，得

( ^6 f" n  i1 e3 s' K$ X) H

右边的积分用矩形公式或梯形公式计算。
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( t' ~6 ?% L+ }! j! l! |, V3 H（iii）Taylor 多项式近似

( c/ l  g5 M( \& K9 f" E( S2 X, ~

# P0 {% g! s. \8 t; F+ D以上三种方法都是将微分方程离散化的常用方法，每一类方法又可导出不同形式的 计算公式。其中的 Taylor 展开法，不仅可以得到求数值解的公式，而且容易估计截断 误差。
! C8 x: ^. ^8 H: h7 \————————————————
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