常微分方程的解法 (一): 常微分方程的离散化 :差商近似导数、数值积分方法、Taylor...

浅夏110

建立微分方程只是解决问题的第一步，通常需要求出方程的解来说明实际现象，并 加以检验。如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的，但是我们知道，只有线 性常系数微分方程，并且自由项是某些特殊类型的函数时，才可以肯定得到这样的解， 而绝大多数变系数方程、非线性方程都是所谓“解不出来”的，即使看起来非常简单的 方程如  ，于是对于用微分方程解决实际问题来说，数值解法就是一个十 分重要的手段.
- u6 d  `( |6 J* ^
1 常微分方程的离散化
& w2 K! C2 n& w* g1 d) |/ D下面主要讨论一阶常微分方程的初值问题，其一般形式是

+ X! @- y$ j( o2 j1 u

7 e4 w2 |* x7 g" j9 n4 {, s在下面的讨论中，我们总假定函数 f (x, y) 连续，且关于 y 满足李普希兹(Lipschitz)条 件，即存在常数 L ，使得



这样，由常微分方程理论知，初值问题(1)的解必定存在唯一。
6 u1 _- I  z6 G0 R
  ^& c3 H( L3 c0 I3 c: m数值解法
% C0 P9 U; |' ~9 f# W9 O所谓数值解法，就是求问题（1）的解 y(x) 在若干点           
- d3 f5 u4 c+ K

  E9 `& T4 X3 ]3 G9 ]* H
8 H$ Z/ L0 l# z建立数值解法，首先要将微分方程离散化，一般采用以下几种方法：
1 I8 T8 T/ p' ~2 ]
（i）用差商近似导数------差分方程初值问题

" \. a: j! z: x; W5 }& Z


* M' y6 u: J" k" `* ^需要说明的是，用不同的差商近似导数，将得到不同的计算公式。

4 d, W, g. f& ?/ u$ [) X. N（ii）用数值积分方法
将问题（1）的解表成积分形式，用数值积分方法离散化。例如，对微分方程两端 积分，得
- n! Q9 o  N; m/ b4 o* R


右边的积分用矩形公式或梯形公式计算。

' J" H" q! p- h% G（iii）Taylor 多项式近似


0 n5 w/ d' ]2 J. P4 ^, [$ ]" Y2 Q
- k2 |: [8 S" M$ O; l以上三种方法都是将微分方程离散化的常用方法，每一类方法又可导出不同形式的 计算公式。其中的 Taylor 展开法，不仅可以得到求数值解的公式，而且容易估计截断 误差。
————————————————
1 s8 s# E0 x" L  e* d. {* g$ T  B版权声明：本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89703074

1 ^7 c3 n. ]+ j  ^. p