常微分方程的解法 (一): 常微分方程的离散化 :差商近似导数、数值积分方法、Taylor...

浅夏110

建立微分方程只是解决问题的第一步，通常需要求出方程的解来说明实际现象，并 加以检验。如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的，但是我们知道，只有线 性常系数微分方程，并且自由项是某些特殊类型的函数时，才可以肯定得到这样的解， 而绝大多数变系数方程、非线性方程都是所谓“解不出来”的，即使看起来非常简单的 方程如  ，于是对于用微分方程解决实际问题来说，数值解法就是一个十 分重要的手段.

1 常微分方程的离散化
下面主要讨论一阶常微分方程的初值问题，其一般形式是



5 {: r) V1 ^9 y) j( ^4 j在下面的讨论中，我们总假定函数 f (x, y) 连续，且关于 y 满足李普希兹(Lipschitz)条 件，即存在常数 L ，使得

) v% I* T! t; K  b) _
6 ~3 _2 t" ?+ w8 i9 E8 v& J
这样，由常微分方程理论知，初值问题(1)的解必定存在唯一。

: y& F% r3 g; e" S数值解法
所谓数值解法，就是求问题（1）的解 y(x) 在若干点           
. y& V5 x6 x8 \* m- i* d- H7 @
! z7 o8 M6 y! H7 m: @: Q7 D

建立数值解法，首先要将微分方程离散化，一般采用以下几种方法：

（i）用差商近似导数------差分方程初值问题



/ W- \' z: O6 Z: u/ @- N6 u
需要说明的是，用不同的差商近似导数，将得到不同的计算公式。
' `$ b+ J/ j9 V" Q6 [% f
- m2 R& B7 B3 L+ t! k5 U（ii）用数值积分方法
将问题（1）的解表成积分形式，用数值积分方法离散化。例如，对微分方程两端 积分，得
+ b7 w$ `: h: P" `2 `6 Q1 p2 J
: v/ x! g2 `# w8 Y& m

# z1 m2 A& H0 p0 ]5 i$ m右边的积分用矩形公式或梯形公式计算。
6 p9 G* E1 |4 k/ o% K8 T1 ]
3 E* E: ]+ T( E1 Z/ _! I7 S4 L（iii）Taylor 多项式近似



以上三种方法都是将微分方程离散化的常用方法，每一类方法又可导出不同形式的 计算公式。其中的 Taylor 展开法，不仅可以得到求数值解的公式，而且容易估计截断 误差。
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