QQ登录

只需要一步,快速开始

 注册地址  找回密码
查看: 3456|回复: 0
打印 上一主题 下一主题

[建模教程] 偏微分方程的数值解(六): 偏微分方程的 pdetool 解法

[复制链接]
字体大小: 正常 放大
浅夏110 实名认证       

542

主题

15

听众

1万

积分

  • TA的每日心情
    开心
    2020-11-14 17:15
  • 签到天数: 74 天

    [LV.6]常住居民II

    邮箱绑定达人

    群组2019美赛冲刺课程

    群组站长地区赛培训

    群组2019考研数学 桃子老师

    群组2018教师培训(呼伦贝

    群组2019考研数学 站长系列

    跳转到指定楼层
    1#
    发表于 2020-6-10 10:34 |只看该作者 |倒序浏览
    |招呼Ta 关注Ta |邮箱已经成功绑定
    1 图形界面解法简介0 L  V- T$ O; X6 b1 B, n9 \* B' P: L
    对于一般的区域,任意边界条件的偏微分方程,我们可以利用 MATLAB 中 pdetool 提供的偏微分方程用户图形界面解法。 图形界面解法步骤大致上为:& {; C% Q' z9 E$ S6 M% s

      ~/ }0 C) V; ]6 C(1)定义 PDE 问题,包括二维空间范围,边界条件以及 PDE 系数等。0 v. p6 }! D+ ?' N

    - J. a/ W( Q/ O(2)产生离散化之点,并将原 PDE 方程式离散化。
      \' \" d; |6 T" O* y
    0 o6 C& E- G! i, w' K( K(3)利用有限元素法(finite element method;FEM)求解并显示答案。  m9 n% o9 o+ k8 P

    ( n3 j2 n4 Y0 A1 I在说明此解法工具之前,先介绍此 PDE 图形界面的菜单下方的功能图标(icon)按 钮。
    , o0 ]# e! C: J( h9 y0 v- L, d( o
    ( G/ ?' \4 r+ c/ a' n$ g: t# g* j, W/ B9 o' B, E
    ) a9 r) ~/ I" C0 n& J
    2 图形界面解法的使用步骤5 X/ q# [" e, r  s6 ?
    要利用 pdetool 接口求解之前,需先定义 PDE 问题,其包含三大部份:
    . Y( _2 Q4 B( n0 V6 Z0 w1 Q4 M+ W
    ) D+ J& M4 E( i# Q+ @(1)利用绘图(draw)模式,定义 需要求解的问题的空间范围(domain)Ω 。- B$ F1 V  q2 p7 z! f0 R

    ' [7 j: ]6 g; Y' S0 j' a(2)利用 boundary 模式,指定边界条件。7 {' P" w' V" {8 J; D
    ; @  F0 @* I4 k( H9 r3 I; k7 ^
    (3)利用 PDE 模式,指定 PDE 系数,即输入 c,a,f 和 d 等 PDE 模式中的系数。7 f; ?9 `! |* E# z' @

    9 [5 o2 K5 l6 r! z在定义 PDE 问题之后,可依以下两个步骤求解
    4 y& P4 E! a6 \) P1 k* @
    & Y# A# z- |* }) Q  J4 B(1)在 mesh 模式下,产生 mesh 点,以便将原问题离散化。& e+ M  N8 t+ g% |  i7 b5 X
    , A7 u/ o! A  i7 d0 l! z
    (2)在 solve 模式下,求解。/ d! d3 Z3 @& K7 U* U& b: A
    8 Q, q" G/ K+ c: \2 ]* ~5 g3 a0 Q3 B
    (3)最后,在 Plot 模式下,显示答案。* `3 i  \+ X9 I% L
    ) L! D% q/ s1 z  ?$ F

    4 `* V; r' j  t& U2 E, t0 A2 z. F  I& r# r
    7 t; M6 k! H6 O0 ]# m4 u" b

    2 [% x" k' M6 Y  n! F/ T3 K( [
    & Z( v  h  a5 Y6 D9 }8 ~' C& c. ?
    4 _4 U' P! Z/ q- f8 o; A. o  z

    ; I/ f, ~$ x+ W0 l8 a4 r4 ?
    5 }' a9 t' z1 v; O+ H! j' I* a( s( ^注意:5 p$ n' u( z2 m$ N4 |7 e, C
    $ V# |+ k- s/ A0 I. @+ d% v
    1. MATLAB 会以图形的方式展示结果,使用者亦可点选 plot 下之“parameters”功 能,选择适当的方式显示图形及数据。例如用 3D 方式显示求解结果。参数设置见图 10, 显示结果见图 11。! y9 _6 M. X% Q1 L) I2 m# S
    , r, {: r0 ]" _) N- p6 I! _5 }7 H

    ) H& T* R1 O  S% y3 M8 T( ^
    9 _5 e) P3 l0 N  `2. 另外,若使用者欲将结果输出到命令窗口中,以供后续处理,可利用 solve 功能 项下之“export solution”指定变量名称来完成。
    : e0 ~  o; i0 k( P8 n) W8 b- e; S# Q: _  d$ u
    3. 如果求抛物型或双曲型方程的数值解,还需要通过“solve”菜单下的 “parameters…”选项设置初值条件。
    5 Y) d4 H* b% z- M, i. f& W7 v, O7 L
    + g$ t2 i5 L2 J/ l! T4. 在上面定义边界条件和初始条件时,可以使用一些内置变量。- [) R7 D: a' H- l* c
    5 N/ a  R' @& M% c
    (1)在边界条件输入框中,可以使用如下变量: 二维坐标 x 和 y,边界线段长度参数(s s 是以箭头的方向沿边界线段从 0 增加到 1), 外法向矢量的分量 nx 和 ny(如果需要边界的切线方向,可以通过 tx=-ny 和 ty=nx 表示), 解 u。
    " K0 Y* q0 O% m  N/ |9 _9 z; K4 F+ y7 A1 E7 n
    (2)在初值条件的输入框中,也可以输入用户定义的 MATLAB 可接受变量(p, e,t,x,y)的函数。, z7 @1 V1 Z( {- {2 ^
    6 n7 H+ O$ F% M& Y; m4 ~
    例 11 使用 PDETOOL 重新求例 8 的数值解。( R  _" E6 v. T+ ]5 @

    6 d4 ?9 T6 v3 ~/ n! |- {/ O' V                例8  求解正方形区域{(x, y) | −1 ≤ x, y ≤ 1}上的热传导方程1 n$ q; [) }& e  ~& T) E
    ! g" k0 H1 X) _# E1 T
    + k/ C6 z" J2 p4 K6 }

    , ^$ M6 r2 W, Y8 w6 i边界条件为Dirichlet条件u = 0。  p: X, w1 s  h

    6 L8 ~/ T4 g4 h/ S8 p" y! B解 这里是抛物型方程,其中c = 1, a = 0, f = 0, d = 1。6 i/ Q! O( S+ r9 ]7 n7 n

    - Y3 R6 y3 F% W3 ?1)定义 PDE 问题,包括二维空间范围,边界条件以及 PDE 系数等。我们这里就 省略了。  X2 r0 e3 F/ G% Q; t+ B- Q) ?  X

    + m6 {$ Q9 O8 ^3 g# e  L7 {2)区域剖分以后,通过“Mesh”菜单下的“Export Mesh…”选项可以把 p,e,t 三个参数分别输出到工作间。
    9 H" g) z- d4 j+ l0 I1 x6 n& l7 O$ P* [5 t
    3)然后编写函数 fun1(x,y)如下:
    0 M7 ^' E) R5 i/ x; u7 Q2 |+ G& @8 D+ z3 H/ n3 P
    function f=fun1(x,y);8 C; ^8 c+ [8 _5 ?
    f=zeros(length(x),1);
    & o. Y& P+ ~& X6 Gix=find(x.^2+y.^2<0.16);
    3 P1 S. L* h2 K' z, mf(ix)=1;
    & ~, s7 \; t7 W+ t: A8 v6 u4 _8 G  ?8 L, n2 S! M
    其中的变量 x,y 是 MATLAB 可接受的内置变量。 设置“solve”菜单下的“parameters…”选项如下:- y3 |# e! f# H  [
    , m7 F$ S. P" e$ h, A5 l7 q
    时间框中输入:linspace(0,0.1,20);
    8 P: D$ a$ m6 a0 V' l  L0 N0 R/ F
    - J5 B% g5 w/ x6 I9 N/ c% `) _$ A初值框中输入:fun1。9 C8 e& k; z; D3 |' ]- M- ~
    / j; A3 ?* j$ k5 I
    4)设置“plot"菜单下的“parameters…”选项如下:选择 Height(3-D plot) 和 Animation 两项。) {  f6 ^1 T7 ?4 I8 y8 h( n# Z
    ) m1 M! W% X! d5 \9 [
    5)用鼠标点一下工具栏上的“=”按钮,就可以画出数值解的 3-D 图形。
    & F, y2 h- [9 R% v) Y! e' N2 ]2 k0 I& o# w0 I. H8 Y
    : l# P3 D( A2 e- B9 R) v
    ————————————————' \1 O3 z3 k/ a
    版权声明:本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。. k# n+ e5 }# U# J
    原文链接:https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89712663; n; @' ^6 k  k" T) H7 |
    4 V' `# [( {$ O* T  q% g! t- F$ e
    # ]( Z9 k: q2 M( {/ W
    zan
    转播转播0 分享淘帖0 分享分享0 收藏收藏0 支持支持0 反对反对0 微信微信
    您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册地址

    qq
    收缩
    • 电话咨询

    • 04714969085
    fastpost

    关于我们| 联系我们| 诚征英才| 对外合作| 产品服务| QQ

    手机版|Archiver| |繁體中文 手机客户端  

    蒙公网安备 15010502000194号

    Powered by Discuz! X2.5   © 2001-2013 数学建模网-数学中国 ( 蒙ICP备14002410号-3 蒙BBS备-0002号 )     论坛法律顾问:王兆丰

    GMT+8, 2026-4-13 10:53 , Processed in 0.394737 second(s), 51 queries .

    回顶部