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TA的每日心情 | 开心 2020-11-14 17:15 |
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1 图形界面解法简介$ p* ?: U/ F# M- |
对于一般的区域,任意边界条件的偏微分方程,我们可以利用 MATLAB 中 pdetool 提供的偏微分方程用户图形界面解法。 图形界面解法步骤大致上为:, C1 I) H1 G2 i- x' D1 b8 _
* E5 ^( X: k) o2 N9 T(1)定义 PDE 问题,包括二维空间范围,边界条件以及 PDE 系数等。
0 z. I7 }& b2 t
+ `% t+ {' B4 E7 X. y( \4 x(2)产生离散化之点,并将原 PDE 方程式离散化。
$ w5 H" j- E8 d3 L' f' K. W% f5 Z1 B/ J! O& F2 v" |5 z
(3)利用有限元素法(finite element method;FEM)求解并显示答案。; r( s( ^4 B( {( c
4 \4 J) { x |. w在说明此解法工具之前,先介绍此 PDE 图形界面的菜单下方的功能图标(icon)按 钮。
3 Q1 D$ V) A# b. K# {3 I- k+ Z6 E7 D" r
4 R; M" n. _+ V7 @9 Y0 S/ G! O
0 |0 v# }( _3 v3 `4 O% s2 图形界面解法的使用步骤
" z+ q$ X! T: }, l$ o# D要利用 pdetool 接口求解之前,需先定义 PDE 问题,其包含三大部份:- ^+ y" M4 d& y7 S
4 B9 B" h7 {8 g" ^; ], {
(1)利用绘图(draw)模式,定义 需要求解的问题的空间范围(domain)Ω 。
( B. i" D* M+ c9 C5 B; t7 k! ]3 ]# ]2 }, F3 i* @ X
(2)利用 boundary 模式,指定边界条件。, t' v% N9 x$ N* `0 L8 u
( M2 b+ u% j, Y, S, P
(3)利用 PDE 模式,指定 PDE 系数,即输入 c,a,f 和 d 等 PDE 模式中的系数。
/ e- |: Z; t: M( ?% q, I5 i
9 _! \$ p6 F C; T* A6 j在定义 PDE 问题之后,可依以下两个步骤求解+ G( R- k* }9 j7 l' I4 p
" a1 {( P1 g ?2 z
(1)在 mesh 模式下,产生 mesh 点,以便将原问题离散化。5 O6 J$ e4 [) u' }1 n- e1 x6 m' q5 p
- [: {$ a- I5 d. Z' ?2 P(2)在 solve 模式下,求解。7 f6 H8 f5 d' e' I1 u5 R
+ T6 X& ]/ W5 U3 r(3)最后,在 Plot 模式下,显示答案。
& s7 w z/ l1 P& m. F0 g& M0 _! I9 c7 k1 U. @- S
![]()
2 Z+ P+ Q8 v" W
^' l0 ^! ~" O![]()
3 w5 k r: l8 z J; G- Y5 S+ Q6 K2 v
5 Z% S1 U! c1 g. T" C S l0 V# A, s* C1 U6 `9 u8 j
+ \ P. q% E2 g8 \' K
# a) n& q8 @8 c9 j; d* w x
![]()
; {/ u* ?+ @1 f5 g& W$ B/ e" S
5 B( e; _( P' f, u注意:
6 {3 S# d' G+ Y2 w2 I4 _: } g/ [' H! j+ D3 z
1. MATLAB 会以图形的方式展示结果,使用者亦可点选 plot 下之“parameters”功 能,选择适当的方式显示图形及数据。例如用 3D 方式显示求解结果。参数设置见图 10, 显示结果见图 11。, L# x& ]1 F D4 G4 J8 @- g y
( ^8 F. @: u# P ; `; c$ F y" |/ k0 A
; ~( M& T$ }( H2. 另外,若使用者欲将结果输出到命令窗口中,以供后续处理,可利用 solve 功能 项下之“export solution”指定变量名称来完成。! ?4 l* `) p8 S6 I0 x( i$ `
8 [7 I: ?* L4 t: u3. 如果求抛物型或双曲型方程的数值解,还需要通过“solve”菜单下的 “parameters…”选项设置初值条件。( c$ G, q4 Z0 l! M
" D! f; P" x; |0 q2 L' R! H6 i% ]) B4. 在上面定义边界条件和初始条件时,可以使用一些内置变量。: ] S" w: |. _9 ]/ L
: q$ X; q6 M& H(1)在边界条件输入框中,可以使用如下变量: 二维坐标 x 和 y,边界线段长度参数(s s 是以箭头的方向沿边界线段从 0 增加到 1), 外法向矢量的分量 nx 和 ny(如果需要边界的切线方向,可以通过 tx=-ny 和 ty=nx 表示), 解 u。, H7 r3 T7 w& @. s) E
8 u. U8 A- y, L
(2)在初值条件的输入框中,也可以输入用户定义的 MATLAB 可接受变量(p, e,t,x,y)的函数。
( c: ]+ I3 E5 P) Q3 C( ^. F# g7 M* l8 y2 a
例 11 使用 PDETOOL 重新求例 8 的数值解。
7 q* `2 {; y# E' }6 ^. e
, [% Q& k' e# _, r 例8 求解正方形区域{(x, y) | −1 ≤ x, y ≤ 1}上的热传导方程, `$ L. Z" q3 `, T
0 E6 h8 ]" E) n& Y5 {
4 G* f1 M/ E) I% G: K
! g0 i0 v8 f4 I
边界条件为Dirichlet条件u = 0。( l" F5 E4 ~' t- D2 N
4 l6 ~2 H+ X0 |* `, n4 F( n7 z
解 这里是抛物型方程,其中c = 1, a = 0, f = 0, d = 1。
4 `. I, }. x1 ~% \/ s6 }- x$ g
% m+ h' J, ^5 |4 A5 d1)定义 PDE 问题,包括二维空间范围,边界条件以及 PDE 系数等。我们这里就 省略了。2 _, ~# M; d c2 W3 C' p4 F
9 g X8 }% m7 q7 C Q1 a
2)区域剖分以后,通过“Mesh”菜单下的“Export Mesh…”选项可以把 p,e,t 三个参数分别输出到工作间。
% U# F; U' N; g- ^ g$ }! B
) e: [# v; u: f% B9 J" x3)然后编写函数 fun1(x,y)如下:8 K+ B+ Q' r" ~1 @
! Q2 J! C" i* l: _/ a I* D8 Dfunction f=fun1(x,y);
! P; o2 ]9 y) U% K# \& of=zeros(length(x),1);6 F3 a/ L2 z- P( C# B
ix=find(x.^2+y.^2<0.16);; |# v& |5 Q. C/ r
f(ix)=1;
5 [; H; z9 v/ L! I
7 {7 D! X% Y9 e9 K) M2 R# L其中的变量 x,y 是 MATLAB 可接受的内置变量。 设置“solve”菜单下的“parameters…”选项如下:+ C. [2 g7 @) ?' E1 u& ~ H
2 j. B' a3 U/ J* S" t4 z
时间框中输入:linspace(0,0.1,20);3 h7 L3 S3 f7 r1 @6 ^: [
, {, }% {! i9 D* ?, h2 X初值框中输入:fun1。
! l& W+ o9 l7 c5 w- Y, ^) X2 D# L9 i5 a6 Z5 w
4)设置“plot"菜单下的“parameters…”选项如下:选择 Height(3-D plot) 和 Animation 两项。
$ z: y! s6 ]1 P$ D6 U! P6 |! B( ~1 a3 A% l, ]- B9 L
5)用鼠标点一下工具栏上的“=”按钮,就可以画出数值解的 3-D 图形。5 U* w" |8 {2 U3 ?
. X' w, @6 J- V, a) E( I' c
' M7 k7 K1 C: M. ], z q6 F————————————————7 p. ~/ i1 |9 d6 ]6 R
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& I; K) U: i8 k# D+ `( k7 T9 n# ~: r6 J* ^
; q: D/ Q) N1 q7 G2 y
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