偏微分方程的数值解(六)： 偏微分方程的 pdetool 解法

浅夏110

1 图形界面解法简介
对于一般的区域，任意边界条件的偏微分方程，我们可以利用 MATLAB 中 pdetool 提供的偏微分方程用户图形界面解法。 图形界面解法步骤大致上为：
; h: L0 |$ G1 |# D3 |
2 ~. b% X, i, _# r! b" F. x1 W# u  y（1）定义 PDE 问题，包括二维空间范围，边界条件以及 PDE 系数等。

7 E  ?# Q/ J- d! x7 K* }0 k（2）产生离散化之点，并将原 PDE 方程式离散化。
( E. E; l7 z( Q: P
: M/ ]7 b: [! k& g% c( B( \; e（3）利用有限元素法(finite element method；FEM)求解并显示答案。
, v; ^6 k/ J: J# R$ ~3 R
在说明此解法工具之前，先介绍此 PDE 图形界面的菜单下方的功能图标(icon)按 钮。

: ^- t) b# m( z% n4 o: M3 r, ~& T

& E" N7 X2 {0 g1 ?2 图形界面解法的使用步骤
3 d7 O2 K7 ~' I要利用 pdetool 接口求解之前，需先定义 PDE 问题，其包含三大部份：
! z3 b7 T' n) {- L# D
5 H% O# w5 i4 F/ D) L. n（1）利用绘图(draw)模式，定义 需要求解的问题的空间范围(domain)Ω 。
$ m. J2 z0 z+ _" q4 r- `7 j
9 p. e( a# t4 g& l（2）利用 boundary 模式，指定边界条件。

（3）利用 PDE 模式，指定 PDE 系数，即输入 c，a，f 和 d 等 PDE 模式中的系数。

. U8 r9 m! G9 j, N  Z3 J在定义 PDE 问题之后，可依以下两个步骤求解
6 x. m) A  E7 T/ {
（1）在 mesh 模式下，产生 mesh 点，以便将原问题离散化。
) `4 T1 q2 Y+ [' c7 `* L7 b& A! U0 F
（2）在 solve 模式下，求解。
( f4 U* K4 v/ P3 B( Z3 S* k0 c; d/ Y
( x4 L/ J+ d2 S7 Y（3）最后，在 Plot 模式下，显示答案。

. r6 z, u$ l1 [9 T
; ]* t( Y; u  {! [
) o: t  @% h9 U3 `  l2 U' Z
& K  ]' ?, A' C+ K. e3 J/ b4 W; u

! t4 [# `% ~3 p
- Q* ]/ L3 e( o" o
, {1 C" M8 H) N' |. F
* A( V& M: S  s* O" X( c
3 I' |4 w& L% Z注意：
. b9 a: N3 W5 V- v
1. MATLAB 会以图形的方式展示结果，使用者亦可点选 plot 下之“parameters”功 能，选择适当的方式显示图形及数据。例如用 3D 方式显示求解结果。参数设置见图 10， 显示结果见图 11。


5 }, a1 `$ h( E& n4 N
8 Y4 v( v4 A- r9 s! v2. 另外，若使用者欲将结果输出到命令窗口中，以供后续处理，可利用 solve 功能 项下之“export solution”指定变量名称来完成。
9 p* _' u. y8 {' E  b
3. 如果求抛物型或双曲型方程的数值解，还需要通过“solve”菜单下的 “parameters…”选项设置初值条件。
- X- ?6 F" y  o4 t1 M* r6 r
4. 在上面定义边界条件和初始条件时，可以使用一些内置变量。
- j/ p6 X8 }& o* x6 o- t
（1）在边界条件输入框中，可以使用如下变量： 二维坐标 x 和 y，边界线段长度参数（s s 是以箭头的方向沿边界线段从 0 增加到 1）， 外法向矢量的分量 nx 和 ny（如果需要边界的切线方向，可以通过 tx=-ny 和 ty=nx 表示）， 解 u。
: W6 H+ l3 t1 D5 o; B% z
; q: {8 W, |+ I" ~! m& }（2）在初值条件的输入框中，也可以输入用户定义的 MATLAB 可接受变量（p， e，t，x，y）的函数。

例 11 使用 PDETOOL 重新求例 8 的数值解。

0 A0 J$ C7 R6 E                例8  求解正方形区域{(x, y) | −1 ≤ x, y ≤ 1}上的热传导方程
0 d3 J. b6 I- W
: i  Q1 m. Q' o/ b. }
' L' f$ [7 ^$ Y- ~  d1 K9 h) _0 m
边界条件为Dirichlet条件u = 0。

解 这里是抛物型方程，其中c = 1, a = 0, f = 0, d = 1。

/ x8 R5 z+ P3 l: l  z# B1 d! s7 F1）定义 PDE 问题，包括二维空间范围，边界条件以及 PDE 系数等。我们这里就 省略了。

2）区域剖分以后，通过“Mesh”菜单下的“Export Mesh…”选项可以把 p，e，t 三个参数分别输出到工作间。

3）然后编写函数 fun1(x,y)如下：
7 t9 K5 a! e; K) K! Y
function f=fun1(x,y);
$ K9 @. ?, \  ]f=zeros(length(x),1);
ix=find(x.^2+y.^2<0.16);
; c. A7 k7 X3 j5 g) nf(ix)=1;

1 T! ?0 P2 h; [其中的变量 x，y 是 MATLAB 可接受的内置变量。 设置“solve”菜单下的“parameters…”选项如下：

8 K8 ^8 Q0 E0 ~3 N4 X% u/ @# b2 Y! z时间框中输入：linspace(0,0.1,20)；

初值框中输入：fun1。
" Y; v" C" M, n: u2 w4 k
4）设置“plot"菜单下的“parameters…”选项如下：选择 Height(3-D plot) 和 Animation 两项。
+ g4 S7 d* X) b- a
5）用鼠标点一下工具栏上的“＝”按钮，就可以画出数值解的 3-D 图形。


————————————————
版权声明：本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89712663


$ F: b8 |" B1 Q8 w  `) S; I" d1 a6 w