偏微分方程的数值解(六)： 偏微分方程的 pdetool 解法

浅夏110

1 图形界面解法简介
1 T: L/ q7 A% A1 r对于一般的区域，任意边界条件的偏微分方程，我们可以利用 MATLAB 中 pdetool 提供的偏微分方程用户图形界面解法。 图形界面解法步骤大致上为：
! K+ L1 m/ M  C; p! k3 j
1 z- {+ R4 l/ \6 u; C$ c6 l5 R- O（1）定义 PDE 问题，包括二维空间范围，边界条件以及 PDE 系数等。

（2）产生离散化之点，并将原 PDE 方程式离散化。
! ~+ e1 J& @% _% L: E( G4 g
（3）利用有限元素法(finite element method；FEM)求解并显示答案。

8 H( b! w7 z3 ^3 g, A! r在说明此解法工具之前，先介绍此 PDE 图形界面的菜单下方的功能图标(icon)按 钮。
0 k. J# K- M* y0 [9 Y& V  F0 L
* `7 }# L2 @7 R  M

& E8 {! j$ G* Z& A# L2 图形界面解法的使用步骤
要利用 pdetool 接口求解之前，需先定义 PDE 问题，其包含三大部份：

" ?2 P. H, ^2 \/ [$ @（1）利用绘图(draw)模式，定义 需要求解的问题的空间范围(domain)Ω 。

（2）利用 boundary 模式，指定边界条件。

! y( V& B+ z: ]（3）利用 PDE 模式，指定 PDE 系数，即输入 c，a，f 和 d 等 PDE 模式中的系数。
4 Z/ r/ ?) t: v& |4 }
( m+ M, T4 |) D4 Y( A- Z/ V在定义 PDE 问题之后，可依以下两个步骤求解

+ L9 \7 l. c/ y/ |1 I2 u2 E% f（1）在 mesh 模式下，产生 mesh 点，以便将原问题离散化。
7 Y, s% m% q( \
（2）在 solve 模式下，求解。
6 U6 z; _& f, l
3 o; Y9 D9 ^  N5 w/ i（3）最后，在 Plot 模式下，显示答案。
1 M! i$ }' u: d6 c" q1 _
, r% _7 R+ ]7 M1 i. W' t
& P. l" w2 L- @, W* k- {4 s$ A
7 k( e$ f) l, T2 Y% |) s$ R

. Q. j" m" `" \  y" Y
; }0 s3 y  H8 e$ ]+ ]+ B

& @" S1 `, @) m  U  l
7 [9 w/ V5 [  }; ?
% H1 d' r  L5 I  [- A- l# v注意：

, T; q7 K0 ]- u& _" L" H6 y) t1. MATLAB 会以图形的方式展示结果，使用者亦可点选 plot 下之“parameters”功 能，选择适当的方式显示图形及数据。例如用 3D 方式显示求解结果。参数设置见图 10， 显示结果见图 11。

" F: E; _; D6 o0 }9 j! A7 {

2. 另外，若使用者欲将结果输出到命令窗口中，以供后续处理，可利用 solve 功能 项下之“export solution”指定变量名称来完成。

3. 如果求抛物型或双曲型方程的数值解，还需要通过“solve”菜单下的 “parameters…”选项设置初值条件。

4. 在上面定义边界条件和初始条件时，可以使用一些内置变量。

（1）在边界条件输入框中，可以使用如下变量： 二维坐标 x 和 y，边界线段长度参数（s s 是以箭头的方向沿边界线段从 0 增加到 1）， 外法向矢量的分量 nx 和 ny（如果需要边界的切线方向，可以通过 tx=-ny 和 ty=nx 表示）， 解 u。

（2）在初值条件的输入框中，也可以输入用户定义的 MATLAB 可接受变量（p， e，t，x，y）的函数。
, \; E* q6 F3 N1 b% v" x% b+ B
例 11 使用 PDETOOL 重新求例 8 的数值解。

7 c' x) z- X1 g& i                例8  求解正方形区域{(x, y) | −1 ≤ x, y ≤ 1}上的热传导方程

# k$ l6 q* j* w/ ^& `

边界条件为Dirichlet条件u = 0。

6 b% `  @! `- g5 o8 C2 a: B解 这里是抛物型方程，其中c = 1, a = 0, f = 0, d = 1。
$ ~: {( W# Y) o2 V5 S3 Z( F
! q* N( J( q( R4 H6 ^1）定义 PDE 问题，包括二维空间范围，边界条件以及 PDE 系数等。我们这里就 省略了。
$ E3 l) O9 q- j3 V+ W8 q
$ h* U& W/ k: q. a# S2 R2）区域剖分以后，通过“Mesh”菜单下的“Export Mesh…”选项可以把 p，e，t 三个参数分别输出到工作间。

3）然后编写函数 fun1(x,y)如下：
  R- }, ?& {' l* d
function f=fun1(x,y);
  `' F3 v, A; p3 ^/ d" hf=zeros(length(x),1);
6 g  U+ D) g4 Pix=find(x.^2+y.^2<0.16);
f(ix)=1;
3 s- t/ ^4 p. b% Y: m
其中的变量 x，y 是 MATLAB 可接受的内置变量。 设置“solve”菜单下的“parameters…”选项如下：
0 {- k' w- {  u
时间框中输入：linspace(0,0.1,20)；
& s3 Y: |9 f7 J$ S) L& [' k
初值框中输入：fun1。
5 y) [- a1 U1 t9 k$ w: G
4）设置“plot"菜单下的“parameters…”选项如下：选择 Height(3-D plot) 和 Animation 两项。
4 B% `5 H% D* R; m+ k- g
6 ?" _+ x. J0 s& @5）用鼠标点一下工具栏上的“＝”按钮，就可以画出数值解的 3-D 图形。

/ l& _5 v! R/ _4 q# Q; X6 C- e
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