偏微分方程的数值解(六)： 偏微分方程的 pdetool 解法

浅夏110

1 图形界面解法简介
对于一般的区域，任意边界条件的偏微分方程，我们可以利用 MATLAB 中 pdetool 提供的偏微分方程用户图形界面解法。 图形界面解法步骤大致上为：

* E5 ^( X: k) o2 N9 T（1）定义 PDE 问题，包括二维空间范围，边界条件以及 PDE 系数等。
0 z. I7 }& b2 t
+ `% t+ {' B4 E7 X. y( \4 x（2）产生离散化之点，并将原 PDE 方程式离散化。
$ w5 H" j- E8 d3 L' f' K. W
（3）利用有限元素法(finite element method；FEM)求解并显示答案。

4 \4 J) {  x  |. w在说明此解法工具之前，先介绍此 PDE 图形界面的菜单下方的功能图标(icon)按 钮。
3 Q1 D$ V) A# b. K# {3 I


0 |0 v# }( _3 v3 `4 O% s2 图形界面解法的使用步骤
" z+ q$ X! T: }, l$ o# D要利用 pdetool 接口求解之前，需先定义 PDE 问题，其包含三大部份：

（1）利用绘图(draw)模式，定义 需要求解的问题的空间范围(domain)Ω 。
( B. i" D* M+ c9 C5 B; t
（2）利用 boundary 模式，指定边界条件。

（3）利用 PDE 模式，指定 PDE 系数，即输入 c，a，f 和 d 等 PDE 模式中的系数。
/ e- |: Z; t: M( ?% q, I5 i
9 _! \$ p6 F  C; T* A6 j在定义 PDE 问题之后，可依以下两个步骤求解

（1）在 mesh 模式下，产生 mesh 点，以便将原问题离散化。

- [: {$ a- I5 d. Z' ?2 P（2）在 solve 模式下，求解。

+ T6 X& ]/ W5 U3 r（3）最后，在 Plot 模式下，显示答案。
& s7 w  z/ l1 P& m. F0 g

2 Z+ P+ Q8 v" W
  ^' l0 ^! ~" O
3 w5 k  r: l8 z  J; G- Y5 S+ Q6 K2 v
5 Z% S1 U! c1 g. T" C  S  l0 V# A, s



; {/ u* ?+ @1 f5 g& W$ B/ e" S
5 B( e; _( P' f, u注意：
6 {3 S# d' G+ Y2 w2 I4 _: }  g
1. MATLAB 会以图形的方式展示结果，使用者亦可点选 plot 下之“parameters”功 能，选择适当的方式显示图形及数据。例如用 3D 方式显示求解结果。参数设置见图 10， 显示结果见图 11。

( ^8 F. @: u# P

; ~( M& T$ }( H2. 另外，若使用者欲将结果输出到命令窗口中，以供后续处理，可利用 solve 功能 项下之“export solution”指定变量名称来完成。

8 [7 I: ?* L4 t: u3. 如果求抛物型或双曲型方程的数值解，还需要通过“solve”菜单下的 “parameters…”选项设置初值条件。

" D! f; P" x; |0 q2 L' R! H6 i% ]) B4. 在上面定义边界条件和初始条件时，可以使用一些内置变量。

: q$ X; q6 M& H（1）在边界条件输入框中，可以使用如下变量： 二维坐标 x 和 y，边界线段长度参数（s s 是以箭头的方向沿边界线段从 0 增加到 1）， 外法向矢量的分量 nx 和 ny（如果需要边界的切线方向，可以通过 tx=-ny 和 ty=nx 表示）， 解 u。

（2）在初值条件的输入框中，也可以输入用户定义的 MATLAB 可接受变量（p， e，t，x，y）的函数。
( c: ]+ I3 E5 P) Q
例 11 使用 PDETOOL 重新求例 8 的数值解。
7 q* `2 {; y# E' }6 ^. e
, [% Q& k' e# _, r                例8  求解正方形区域{(x, y) | −1 ≤ x, y ≤ 1}上的热传导方程



边界条件为Dirichlet条件u = 0。

解 这里是抛物型方程，其中c = 1, a = 0, f = 0, d = 1。
4 `. I, }. x1 ~% \/ s6 }- x$ g
% m+ h' J, ^5 |4 A5 d1）定义 PDE 问题，包括二维空间范围，边界条件以及 PDE 系数等。我们这里就 省略了。

2）区域剖分以后，通过“Mesh”菜单下的“Export Mesh…”选项可以把 p，e，t 三个参数分别输出到工作间。
% U# F; U' N; g- ^  g$ }! B
) e: [# v; u: f% B9 J" x3）然后编写函数 fun1(x,y)如下：

! Q2 J! C" i* l: _/ a  I* D8 Dfunction f=fun1(x,y);
! P; o2 ]9 y) U% K# \& of=zeros(length(x),1);
ix=find(x.^2+y.^2<0.16);
f(ix)=1;
5 [; H; z9 v/ L! I
7 {7 D! X% Y9 e9 K) M2 R# L其中的变量 x，y 是 MATLAB 可接受的内置变量。 设置“solve”菜单下的“parameters…”选项如下：

时间框中输入：linspace(0,0.1,20)；

, {, }% {! i9 D* ?, h2 X初值框中输入：fun1。
! l& W+ o9 l7 c5 w- Y, ^) X
4）设置“plot"菜单下的“parameters…”选项如下：选择 Height(3-D plot) 和 Animation 两项。
$ z: y! s6 ]1 P$ D6 U! P6 |
5）用鼠标点一下工具栏上的“＝”按钮，就可以画出数值解的 3-D 图形。

. X' w, @6 J- V, a) E( I' c
' M7 k7 K1 C: M. ], z  q6 F————————————————
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