偏微分方程的数值解(六)： 偏微分方程的 pdetool 解法

浅夏110

1 图形界面解法简介
( h1 C7 I( e' D6 I对于一般的区域，任意边界条件的偏微分方程，我们可以利用 MATLAB 中 pdetool 提供的偏微分方程用户图形界面解法。 图形界面解法步骤大致上为：
) ~; R1 {0 T; }" @5 B
（1）定义 PDE 问题，包括二维空间范围，边界条件以及 PDE 系数等。

（2）产生离散化之点，并将原 PDE 方程式离散化。

（3）利用有限元素法(finite element method；FEM)求解并显示答案。

在说明此解法工具之前，先介绍此 PDE 图形界面的菜单下方的功能图标(icon)按 钮。
9 P5 G% E+ W5 |: I5 s


2 图形界面解法的使用步骤
; R, l: n8 R& m. ^6 o0 y1 ]要利用 pdetool 接口求解之前，需先定义 PDE 问题，其包含三大部份：
& R7 ?+ K2 y( d" V! E
4 K8 j( ?- Z: G" d（1）利用绘图(draw)模式，定义 需要求解的问题的空间范围(domain)Ω 。

（2）利用 boundary 模式，指定边界条件。

（3）利用 PDE 模式，指定 PDE 系数，即输入 c，a，f 和 d 等 PDE 模式中的系数。

# }& N. C8 \* p& l9 }! d在定义 PDE 问题之后，可依以下两个步骤求解
- S: ]. h0 E+ j0 C$ ~+ O
（1）在 mesh 模式下，产生 mesh 点，以便将原问题离散化。

（2）在 solve 模式下，求解。
9 I+ ]/ w5 M) v4 Y1 M
: i8 T$ l  w1 P$ A（3）最后，在 Plot 模式下，显示答案。
& w) O- @; j6 S9 o  R2 k3 b2 U
; C% F1 k' [2 b$ \8 C% X! o/ w




# K1 T7 [. C+ h6 Z
7 l+ C7 }' F. ?& J# t
# g% L: ]3 {: M+ U' ^8 A

" ]- s3 \$ q# }7 `4 @" \0 K注意：
! l) G! D. V) {+ u+ q$ |$ D* h
  b# t6 a# J9 J& ?1. MATLAB 会以图形的方式展示结果，使用者亦可点选 plot 下之“parameters”功 能，选择适当的方式显示图形及数据。例如用 3D 方式显示求解结果。参数设置见图 10， 显示结果见图 11。



2. 另外，若使用者欲将结果输出到命令窗口中，以供后续处理，可利用 solve 功能 项下之“export solution”指定变量名称来完成。

' |5 p7 x  r" |3. 如果求抛物型或双曲型方程的数值解，还需要通过“solve”菜单下的 “parameters…”选项设置初值条件。

4. 在上面定义边界条件和初始条件时，可以使用一些内置变量。

2 L: d$ R4 e! t: n  @. f（1）在边界条件输入框中，可以使用如下变量： 二维坐标 x 和 y，边界线段长度参数（s s 是以箭头的方向沿边界线段从 0 增加到 1）， 外法向矢量的分量 nx 和 ny（如果需要边界的切线方向，可以通过 tx=-ny 和 ty=nx 表示）， 解 u。
3 `; i: Q7 z( Q2 q4 X% l
（2）在初值条件的输入框中，也可以输入用户定义的 MATLAB 可接受变量（p， e，t，x，y）的函数。

例 11 使用 PDETOOL 重新求例 8 的数值解。
$ x' B1 `% n- ], W
$ a. |3 }  S, b2 ^                例8  求解正方形区域{(x, y) | −1 ≤ x, y ≤ 1}上的热传导方程
9 E( R# s7 y' [$ H4 b


边界条件为Dirichlet条件u = 0。

! N6 T6 w+ A' E  X7 I解 这里是抛物型方程，其中c = 1, a = 0, f = 0, d = 1。

1）定义 PDE 问题，包括二维空间范围，边界条件以及 PDE 系数等。我们这里就 省略了。
( p$ _9 B% e- R) k, K% R
2）区域剖分以后，通过“Mesh”菜单下的“Export Mesh…”选项可以把 p，e，t 三个参数分别输出到工作间。
; W% l8 T4 P% H) O, g) N' [2 `
0 J( D* Y9 W: ?/ y3）然后编写函数 fun1(x,y)如下：

function f=fun1(x,y);
1 a1 d* x1 @1 _' i( `- m$ |f=zeros(length(x),1);
( C. D$ _: x3 ?+ k1 L* D. S+ S1 gix=find(x.^2+y.^2<0.16);
f(ix)=1;

其中的变量 x，y 是 MATLAB 可接受的内置变量。 设置“solve”菜单下的“parameters…”选项如下：
: [6 S& F: {+ M7 d9 \  M/ b
时间框中输入：linspace(0,0.1,20)；

初值框中输入：fun1。
) r# M+ U4 ]  f0 ^
9 M/ {' m4 Z% b; T* O4）设置“plot"菜单下的“parameters…”选项如下：选择 Height(3-D plot) 和 Animation 两项。

5）用鼠标点一下工具栏上的“＝”按钮，就可以画出数值解的 3-D 图形。


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