稳定状态模型 （一）： 微分方程稳定性理论简介

浅夏110

虽然动态过程的变化规律一般要用微分方程建立的动态模型来描述，但是对于某些 实际问题，建模的主要目的并不是要寻求动态过程每个瞬时的性态，而是研究某种意义下稳定状态的特征，特别是当时间充分长以后动态过程的变化趋势。譬如在什么情况下 描述过程的变量会越来越接近某些确定的数值，在什么情况下又会越来越远离这些数值 而导致过程不稳定。为了分析这种稳定与不稳定的规律常常不需要求解微分方程，而可以利用微分方程稳定性理论，直接研究平衡状态的稳定性就行了。
0 @/ C/ z  D$ i# \5 v" A
' ?# h! n% c) {, }! a- r! f; z本章先介绍平衡状态与稳定性的概念，然后列举几个这方面的建模例子。
4 ]4 l* _$ x2 y* c2 U3 r
自治系统、动力系统


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' g# j8 X6 ]9 x2 v  w) Q$ i
8 \) R# r# I/ I7 K
" x+ L- B  K( x6 d. V2 [; B 相平面、相图、轨线
7 k( ~( @4 I' h, J; N4 X% {" c
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$ I6 R/ w* ], I2 N8 M' X
奇点、孤立奇点
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2 ~6 I. d- ^$ `7 O( U  U
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3 W1 L# W5 t8 ~8 f 定义 5         一个奇点不是稳定的，则称这个奇点是不稳定的。
8 K+ O2 ]" o: u4 m& l  s' J% ?
4 v+ h3 h! Z0 r$ e3 e9 w对于常系数齐次线性系统（3）有下述定理。
! x2 x0 a4 L4 E+ I. W, s# N; U6 E
定理2    设 x = x(t)是系统（3）的通解。则

/ O' ~5 C* M  X+ {9 ?9 n5 F; ^（i）如果系统（3）的系数矩阵 A 的一切特征根的实部都是负的，则系统（3）的 零解是渐近稳定的。

（ii）如果 A 的特征根中至少有一个根的实部是正的，则系统（3）的零解是不稳 定的。

（iii）如果 A 的一切特征根的实部都不是正的，但有零实部，则系统（3）的零解 可能是稳定的，也可能是不稳定的，但总不会是渐近稳定的。
5 D0 W' e3 d( K2 W. e( _
" K& M! I/ ]) g0 V" l& e定理2 告诉我们：系统（3）的零解渐近稳定的充分必要条件是 A 的一切特征根的 实部都是负的。

对于非线性系统，一般不可能找出其积分曲线或轨迹，也就不可能直接导出奇点的 稳定性。为克服这一困难，在奇点附近用一个线性系统来近似这个非线性系统，用这个 近似系统的解来给出这个奇点的稳定解.


9 a2 ?2 R4 D6 z' R% i
称为系统（2）的线性近似。一开始，人们以为总可以用线性近似系统来代替所研究的原系统。但后来人们发现，这种看法是不对的，或至少说是不全面的，非线性系统中的 许多性质，在它的线性近似中不再保留。即使象零解稳定性这样一个问题，也要在一定 条件下，才可用它的线性近似系统代替原系统来研究。关于这个问题，我们有下述定理：
5 P: m! R' {# ]# q  \  o: h
! B8 q' N: k: Y2 C: X- v1 v6 b2 ]定理 3   如果系统（4）的零解是渐近稳定的，或不稳定的，则原系统的零解也是 渐近稳定的或不稳定的。然而，如果系统（4）的零解是稳定的，则原系统的零解是不 定的，即此时不能从线性化的系统来导出原系统的稳定性。

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