稳定状态模型 （一）： 微分方程稳定性理论简介

浅夏110

虽然动态过程的变化规律一般要用微分方程建立的动态模型来描述，但是对于某些 实际问题，建模的主要目的并不是要寻求动态过程每个瞬时的性态，而是研究某种意义下稳定状态的特征，特别是当时间充分长以后动态过程的变化趋势。譬如在什么情况下 描述过程的变量会越来越接近某些确定的数值，在什么情况下又会越来越远离这些数值 而导致过程不稳定。为了分析这种稳定与不稳定的规律常常不需要求解微分方程，而可以利用微分方程稳定性理论，直接研究平衡状态的稳定性就行了。

本章先介绍平衡状态与稳定性的概念，然后列举几个这方面的建模例子。

4 h" ?1 m( \" r* E* g自治系统、动力系统
  M' Y7 d* W% @7 {* {4 L



  c5 V# ]" P+ R2 _, q9 k/ p% w
相平面、相图、轨线
; p% P. B" a1 A/ ?& |: M
0 r+ D' j" z4 u& z$ v# h0 B
0 o2 M* k% v/ e' i" _4 @1 X
* ^1 T" L: o& }* H$ W' q7 y) v3 I奇点、孤立奇点
6 e# f, L. [6 ]1 g/ @, }* e) `8 d


8 r+ ]2 S( j5 Y5 X9 Y2 i
4 Q5 p, S! t9 \( q6 q1 F" W
定义 5         一个奇点不是稳定的，则称这个奇点是不稳定的。

对于常系数齐次线性系统（3）有下述定理。

定理2    设 x = x(t)是系统（3）的通解。则
( o% ]# h4 f/ {) D
! p1 s# C# d3 `- y8 Z8 L; ~- U（i）如果系统（3）的系数矩阵 A 的一切特征根的实部都是负的，则系统（3）的 零解是渐近稳定的。
% j# u/ q1 P3 v0 j2 F
8 ~+ h8 u1 ]; [, y- U- n（ii）如果 A 的特征根中至少有一个根的实部是正的，则系统（3）的零解是不稳 定的。

0 {6 \5 y/ u$ Q; i8 ^' [（iii）如果 A 的一切特征根的实部都不是正的，但有零实部，则系统（3）的零解 可能是稳定的，也可能是不稳定的，但总不会是渐近稳定的。

4 @7 w5 b4 \6 U" [$ G* L7 L3 e定理2 告诉我们：系统（3）的零解渐近稳定的充分必要条件是 A 的一切特征根的 实部都是负的。

对于非线性系统，一般不可能找出其积分曲线或轨迹，也就不可能直接导出奇点的 稳定性。为克服这一困难，在奇点附近用一个线性系统来近似这个非线性系统，用这个 近似系统的解来给出这个奇点的稳定解.


4 r+ y7 E8 Z9 K# ]( {
称为系统（2）的线性近似。一开始，人们以为总可以用线性近似系统来代替所研究的原系统。但后来人们发现，这种看法是不对的，或至少说是不全面的，非线性系统中的 许多性质，在它的线性近似中不再保留。即使象零解稳定性这样一个问题，也要在一定 条件下，才可用它的线性近似系统代替原系统来研究。关于这个问题，我们有下述定理：

* p! u7 Z3 M8 k定理 3   如果系统（4）的零解是渐近稳定的，或不稳定的，则原系统的零解也是 渐近稳定的或不稳定的。然而，如果系统（4）的零解是稳定的，则原系统的零解是不 定的，即此时不能从线性化的系统来导出原系统的稳定性。
$ n5 Y3 \3 ?  o8 K  H, w: N/ O# v
" [4 b" h. x) \! N) {
* z3 {9 \+ T4 Z
" U  V7 j5 c( ?8 m8 ?

* B3 j  n; o( n7 j/ w  d6 m, Y# N————————————————
+ I7 G& w7 w+ c% {. q版权声明：本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89715602
, n% T! V" w+ P; `  J  M, j