稳定状态模型 （一）： 微分方程稳定性理论简介

浅夏110

虽然动态过程的变化规律一般要用微分方程建立的动态模型来描述，但是对于某些 实际问题，建模的主要目的并不是要寻求动态过程每个瞬时的性态，而是研究某种意义下稳定状态的特征，特别是当时间充分长以后动态过程的变化趋势。譬如在什么情况下 描述过程的变量会越来越接近某些确定的数值，在什么情况下又会越来越远离这些数值 而导致过程不稳定。为了分析这种稳定与不稳定的规律常常不需要求解微分方程，而可以利用微分方程稳定性理论，直接研究平衡状态的稳定性就行了。
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本章先介绍平衡状态与稳定性的概念，然后列举几个这方面的建模例子。
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; q# }5 \' Q- U3 k: z自治系统、动力系统

8 k& z3 R& l5 n1 k+ n, ]. h



相平面、相图、轨线

6 e. |% k4 S+ Q/ x2 S
0 S' W; }" \, B% c; E& k3 @
奇点、孤立奇点
2 n6 |- X2 w5 _4 t

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定义 5         一个奇点不是稳定的，则称这个奇点是不稳定的。

+ K0 Z) r) j7 ?对于常系数齐次线性系统（3）有下述定理。

定理2    设 x = x(t)是系统（3）的通解。则

2 h% Y* s* W1 i' }; @8 A7 @（i）如果系统（3）的系数矩阵 A 的一切特征根的实部都是负的，则系统（3）的 零解是渐近稳定的。
1 o. |: y/ p' q# h) ~! p
- n. k8 w, l& a* |$ x（ii）如果 A 的特征根中至少有一个根的实部是正的，则系统（3）的零解是不稳 定的。

（iii）如果 A 的一切特征根的实部都不是正的，但有零实部，则系统（3）的零解 可能是稳定的，也可能是不稳定的，但总不会是渐近稳定的。
2 f  n" m" r4 w* q
定理2 告诉我们：系统（3）的零解渐近稳定的充分必要条件是 A 的一切特征根的 实部都是负的。
" v( J" m- Z: l6 l
+ M6 T, W4 V+ O! v4 x+ P8 @& l对于非线性系统，一般不可能找出其积分曲线或轨迹，也就不可能直接导出奇点的 稳定性。为克服这一困难，在奇点附近用一个线性系统来近似这个非线性系统，用这个 近似系统的解来给出这个奇点的稳定解.
+ p  [( x6 R2 a  T8 L% H

1 `) M) l) R* C7 _7 g6 ]: e2 e" q
称为系统（2）的线性近似。一开始，人们以为总可以用线性近似系统来代替所研究的原系统。但后来人们发现，这种看法是不对的，或至少说是不全面的，非线性系统中的 许多性质，在它的线性近似中不再保留。即使象零解稳定性这样一个问题，也要在一定 条件下，才可用它的线性近似系统代替原系统来研究。关于这个问题，我们有下述定理：

& x0 d# a& ~* F" e: ?; d! k' I定理 3   如果系统（4）的零解是渐近稳定的，或不稳定的，则原系统的零解也是 渐近稳定的或不稳定的。然而，如果系统（4）的零解是稳定的，则原系统的零解是不 定的，即此时不能从线性化的系统来导出原系统的稳定性。
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