稳定状态模型 （一）： 微分方程稳定性理论简介

浅夏110

虽然动态过程的变化规律一般要用微分方程建立的动态模型来描述，但是对于某些 实际问题，建模的主要目的并不是要寻求动态过程每个瞬时的性态，而是研究某种意义下稳定状态的特征，特别是当时间充分长以后动态过程的变化趋势。譬如在什么情况下 描述过程的变量会越来越接近某些确定的数值，在什么情况下又会越来越远离这些数值 而导致过程不稳定。为了分析这种稳定与不稳定的规律常常不需要求解微分方程，而可以利用微分方程稳定性理论，直接研究平衡状态的稳定性就行了。

4 b& S2 R0 ]; {9 ~, B本章先介绍平衡状态与稳定性的概念，然后列举几个这方面的建模例子。
) r4 f3 k4 P5 ~: b. }
自治系统、动力系统
( u8 P  e& ^8 [. i2 U7 r
- A  j5 v2 h$ `) e' N) T) D& X1 c

8 o! L) g, A: q) ]! D1 j, u7 F

! O2 e# D. F8 j) N& t5 _ 相平面、相图、轨线
4 _4 k) N8 y9 @& o  b: D$ i+ V
! b; Z: u6 T/ r( x* k' z

奇点、孤立奇点



. G* o; S/ ?: ^$ p6 o! v$ H! b

定义 5         一个奇点不是稳定的，则称这个奇点是不稳定的。

+ T5 E2 p( w3 h& Z/ g* c; g& J对于常系数齐次线性系统（3）有下述定理。

定理2    设 x = x(t)是系统（3）的通解。则

（i）如果系统（3）的系数矩阵 A 的一切特征根的实部都是负的，则系统（3）的 零解是渐近稳定的。

0 l1 g5 \  C8 Q5 d  h# L（ii）如果 A 的特征根中至少有一个根的实部是正的，则系统（3）的零解是不稳 定的。
  S4 Y& K% J) s9 |0 l1 e3 M6 }
$ y( Z. n# x4 x. u1 L（iii）如果 A 的一切特征根的实部都不是正的，但有零实部，则系统（3）的零解 可能是稳定的，也可能是不稳定的，但总不会是渐近稳定的。

定理2 告诉我们：系统（3）的零解渐近稳定的充分必要条件是 A 的一切特征根的 实部都是负的。
- o& t4 R  R( k( G% C+ W
对于非线性系统，一般不可能找出其积分曲线或轨迹，也就不可能直接导出奇点的 稳定性。为克服这一困难，在奇点附近用一个线性系统来近似这个非线性系统，用这个 近似系统的解来给出这个奇点的稳定解.
( i5 V4 X- j: O) p& {; ^

+ D( L" b& O$ h" c* e( s* }7 u
称为系统（2）的线性近似。一开始，人们以为总可以用线性近似系统来代替所研究的原系统。但后来人们发现，这种看法是不对的，或至少说是不全面的，非线性系统中的 许多性质，在它的线性近似中不再保留。即使象零解稳定性这样一个问题，也要在一定 条件下，才可用它的线性近似系统代替原系统来研究。关于这个问题，我们有下述定理：
2 V' F; v9 b$ S# s7 P4 \: B
定理 3   如果系统（4）的零解是渐近稳定的，或不稳定的，则原系统的零解也是 渐近稳定的或不稳定的。然而，如果系统（4）的零解是稳定的，则原系统的零解是不 定的，即此时不能从线性化的系统来导出原系统的稳定性。


! G) D! b  T/ u
* D3 d3 a$ ?, J2 `$ J4 O) `
: I/ P# ]  S; S) o% G
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