稳定状态模型 （一）： 微分方程稳定性理论简介

浅夏110

虽然动态过程的变化规律一般要用微分方程建立的动态模型来描述，但是对于某些 实际问题，建模的主要目的并不是要寻求动态过程每个瞬时的性态，而是研究某种意义下稳定状态的特征，特别是当时间充分长以后动态过程的变化趋势。譬如在什么情况下 描述过程的变量会越来越接近某些确定的数值，在什么情况下又会越来越远离这些数值 而导致过程不稳定。为了分析这种稳定与不稳定的规律常常不需要求解微分方程，而可以利用微分方程稳定性理论，直接研究平衡状态的稳定性就行了。
$ D5 {2 R9 ?) b) h5 F
本章先介绍平衡状态与稳定性的概念，然后列举几个这方面的建模例子。
9 w. @0 J  l3 `
自治系统、动力系统
/ J- J% f: U- l

: h3 ^2 Q% H+ l* N, G0 u
2 P/ @0 O7 D  W. z" \

相平面、相图、轨线


4 G% O) s3 d3 G) y7 Q
奇点、孤立奇点
) {3 P8 H/ h: W, w+ G  f1 B. p

9 t9 l$ w$ m4 O- D+ o: R
' W5 C; Z6 ^9 P/ O/ P. P
* m; G; m2 l% |7 Q! G; Q. b
& I# }# q. I9 M3 b 定义 5         一个奇点不是稳定的，则称这个奇点是不稳定的。
% l* C0 [: d1 x. S: |/ c3 L
2 l8 l/ Y5 P2 f4 L. _; }对于常系数齐次线性系统（3）有下述定理。
* U, r" O; [, `- u0 r0 v3 d* y
3 |# ]& t( ^- s+ z# }; L定理2    设 x = x(t)是系统（3）的通解。则
/ x1 X9 p1 @. }
* }2 B9 h' }' W' \3 j7 h; ~5 W（i）如果系统（3）的系数矩阵 A 的一切特征根的实部都是负的，则系统（3）的 零解是渐近稳定的。

+ w( j( @3 h% R8 P* f+ w（ii）如果 A 的特征根中至少有一个根的实部是正的，则系统（3）的零解是不稳 定的。
$ r1 ?* K$ p9 T
（iii）如果 A 的一切特征根的实部都不是正的，但有零实部，则系统（3）的零解 可能是稳定的，也可能是不稳定的，但总不会是渐近稳定的。
! d, @  @) ]- ?8 r
! B. z& A" @% Y定理2 告诉我们：系统（3）的零解渐近稳定的充分必要条件是 A 的一切特征根的 实部都是负的。
; r/ R8 V3 B* P3 F! V
对于非线性系统，一般不可能找出其积分曲线或轨迹，也就不可能直接导出奇点的 稳定性。为克服这一困难，在奇点附近用一个线性系统来近似这个非线性系统，用这个 近似系统的解来给出这个奇点的稳定解.



称为系统（2）的线性近似。一开始，人们以为总可以用线性近似系统来代替所研究的原系统。但后来人们发现，这种看法是不对的，或至少说是不全面的，非线性系统中的 许多性质，在它的线性近似中不再保留。即使象零解稳定性这样一个问题，也要在一定 条件下，才可用它的线性近似系统代替原系统来研究。关于这个问题，我们有下述定理：

定理 3   如果系统（4）的零解是渐近稳定的，或不稳定的，则原系统的零解也是 渐近稳定的或不稳定的。然而，如果系统（4）的零解是稳定的，则原系统的零解是不 定的，即此时不能从线性化的系统来导出原系统的稳定性。
- {* G/ L! Z1 Q0 J' o4 P! l. M" D
: r6 m- u2 a; T! n' P. }
; n- O  w' S/ N$ D6 B6 a
5 h: U1 u, w2 J) s0 k/ n  a

* q% j7 F( v1 r2 U  X: B& E————————————————
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