排队论模型（三）：M / M / s/ s 损失制排队模型

浅夏110

当 s 个服务台被占用后，顾客自动离去。 这里我们着重介绍如何使用 LINGO 软件中的相关函数。
8 i: b2 [' c6 l7 P1 U, Q9 `' }
. p* M9 D8 `/ @0 F4 ]1 损失制排队模型的基本参数
对于损失制排队模型，其模型的基本参数与等待制排队模型有些不同，我们关心如 下指标。




# F/ V- V# p! c5 c, T. o
2 损失制排队模型计算实例
2.1 s =1的情况（ M / M /1/1）
7 d; a  I9 ^3 ?4 g例 3 设某条电话线，平均每分钟有 0.6 次呼唤，若每次通话时间平均为 1.25min， 求系统相应的参数指标。
3 @9 i. O) K( z! W( q. p% y
+ z5 |4 K* o% B5 C+ x$ S
- L# Z5 k( R# H
9 x# P) W( R# v2 |4 a# Smodel:
8 U2 @& g0 n' zs=1;lamda=0.6;mu=1/1.25;rho=lamda/mu;
Plost=@pel(rho,s);
! c, |8 c( p$ |( NQ=1-Plost;
lamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
/ R, l1 ^" l% v. ~! L1 `0 Q$ E! K2 uL_s=lamda_e/mu;
2 `: d% A) P. m% B. ~+ P. a3 y( Yeta=L_s/s;
+ S$ L8 F2 h" d; fend
求得系统的顾客损失率为43％，即43％的电话没有接通，有57％的电话得到了服务， 通话率为平均每分钟有0.195次，系统的服务效率为43％。对于一个服务台的损失制系统， 系统的服务效率等于系统的顾客损失率，这一点在理论上也是正确的。
7 f, _7 T9 y! |: w" f- ?. h2 K0 B
0 q+ r8 N9 z+ I: @/ C2.2    s >1的情况（ M / M / s/ s ）
例4 某单位电话交换台有一台200门内线的总机，已知在上班8h的时间内，有20％的 内线分机平均每40min要一次外线电话，80％的分机平均隔120min要一次外线。又知外线 打入内线的电话平均每分钟1次。假设与外线通话的时间平均为3min，并且上述时间均服 从负指数分布，如果要求电话的通话率为95％，问该交换台应设置多少条外线？

0 h5 w& g& k  N8 Z! d4 W解 （1）电话交换台的服务分成两类，第一类内线打外线，其强度为
7 c: r$ z' Q, w




+ ]$ O+ H7 a- j5 c4 A由上述三条，写出相应的LINGO程序如下：

8 F. }6 U7 J; H  ]& q( U4 Amodel:
" _3 B4 {/ d9 ^; X7 |lamda=200;
. S$ ?" b! t4 P9 F5 Q$ _mu=60/3;rho=lamda/mu;
Plost=@pel(rho,s)lost<0.05;
0 U7 p! n' C6 ?3 j# bQ=1-Plost;
# d/ s2 O0 D7 h; [) x" z$ t, glamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
" j" X/ L& a* ^1 t! w3 U, H* tL_s=lamda_e/mu;
% v; C) W& b4 x& y1 Ieta=L_s/s;
min=s;@gin(s);
$ G+ b) Z# V8 X4 ?) `0 D2 cend
  l6 l* h5 C- d2 b0 q求得需要15条外线。在此条件下，交换台的顾客损失率为3.65％，有96.35％的电 话得到了服务，通话率为平均每小时185.67次，交换台每条外线的服务效率为64.23％。

求解时，尽量选用简单的模型让LINGO软件求解，而上述程序是解非线性整数规划（尽 管是一维的），但计算时间可能会较长，因此，我们选用下面的处理方法，分两步处理。
  Q1 \1 O3 F5 ^0 h
8 R9 ^" @& P* q9 r4 {, i第一步，求出概率为5％的服务台的个数，尽管要求服务台的个数是整数，但@pel给出的是实数解。 编写LINGO程序：
) G. O, H& m$ a; \5 w; q
model:
* P1 z2 Q# O; D7 {7 K/ Ylamda=200;
mu=60/3;rho=lamda/mu;
8 K4 R) g9 l% ?@pel(rho,s)=0.05;
end
求得 s =14.33555。
0 [4 Z8 b6 {5 i4 r, M
第二步，注意到@pel(rho,s)是s的单调递减函数，因此，对s取整数（采用只入不舍 原则）就是满足条件的最小服务台数，然后再计算出其它的参数指标。 编写LINGO程序如下：

model:
! `: Q' |* D% n( dlamda=200;
  H" J/ G5 L4 D' O8 t  J) Emu=60/3;rho=lamda/mu;
( s7 d7 p- j3 `5 o2 `( {s=15lost=@pel(rho,s);
) ?- ?1 D7 u  c, ^! L. yQ=1-Plost;
lamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
L_s=lamda_e/mu;
3 O: }5 `" p) d" Beta=L_s/s;
end
比较上面两种方法的计算结果，其答案是相同的，但第二种方法比第一种方法在计算 时间上要少许多。
7 G7 T- x/ X+ E5 G# l————————————————
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5 _; S8 C. K7 Z/ r