排队论模型（三）：M / M / s/ s 损失制排队模型

浅夏110

当 s 个服务台被占用后，顾客自动离去。 这里我们着重介绍如何使用 LINGO 软件中的相关函数。

) ^, a- ?2 q8 W2 {1 损失制排队模型的基本参数
对于损失制排队模型，其模型的基本参数与等待制排队模型有些不同，我们关心如 下指标。

3 H  `. A2 D& i* l

) Y2 X# T0 X8 l0 X

2 损失制排队模型计算实例
( x3 I$ S7 e# i2.1 s =1的情况（ M / M /1/1）
例 3 设某条电话线，平均每分钟有 0.6 次呼唤，若每次通话时间平均为 1.25min， 求系统相应的参数指标。



* z' Q" I5 ~1 y% \model:
s=1;lamda=0.6;mu=1/1.25;rho=lamda/mu;
Plost=@pel(rho,s);
/ L- B; {9 k# u5 Q4 ~2 OQ=1-Plost;
lamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
L_s=lamda_e/mu;
8 M1 ~9 [, o3 M; l& v0 j' U  aeta=L_s/s;
end
求得系统的顾客损失率为43％，即43％的电话没有接通，有57％的电话得到了服务， 通话率为平均每分钟有0.195次，系统的服务效率为43％。对于一个服务台的损失制系统， 系统的服务效率等于系统的顾客损失率，这一点在理论上也是正确的。

2.2    s >1的情况（ M / M / s/ s ）
( D3 s) r1 P1 b" i- F例4 某单位电话交换台有一台200门内线的总机，已知在上班8h的时间内，有20％的 内线分机平均每40min要一次外线电话，80％的分机平均隔120min要一次外线。又知外线 打入内线的电话平均每分钟1次。假设与外线通话的时间平均为3min，并且上述时间均服 从负指数分布，如果要求电话的通话率为95％，问该交换台应设置多少条外线？
# b# f) y- A, `' z' N" z
% |# p9 J$ y3 P( P" h解 （1）电话交换台的服务分成两类，第一类内线打外线，其强度为

- t$ W5 O  P& x1 _. D. L: m) M! ~



- O# Z0 [* P6 L- Y3 Q# J/ ?# Z由上述三条，写出相应的LINGO程序如下：

$ V; g. D* w1 Q- i( Emodel:
+ ^/ s7 i: C- dlamda=200;
mu=60/3;rho=lamda/mu;
  Y0 r. Z0 p3 X! O" W7 S1 Y: @Plost=@pel(rho,s)lost<0.05;
+ p' R) P8 |  K' l- F! g3 RQ=1-Plost;
7 H0 q: ^" F* }) ?6 ?lamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
: M8 w9 X& i1 U& rL_s=lamda_e/mu;
eta=L_s/s;
min=s;@gin(s);
& e  |& q1 s5 x  i8 ?( hend
- M' x8 J) [- E; H求得需要15条外线。在此条件下，交换台的顾客损失率为3.65％，有96.35％的电 话得到了服务，通话率为平均每小时185.67次，交换台每条外线的服务效率为64.23％。
. ?+ X6 m) c: G! P
1 i1 \: n2 {) h# K  F' g求解时，尽量选用简单的模型让LINGO软件求解，而上述程序是解非线性整数规划（尽 管是一维的），但计算时间可能会较长，因此，我们选用下面的处理方法，分两步处理。
5 D6 t7 f: _# F& @$ @0 y, @
第一步，求出概率为5％的服务台的个数，尽管要求服务台的个数是整数，但@pel给出的是实数解。 编写LINGO程序：

1 b  M$ h) N! ], j/ N$ }0 @model:
lamda=200;
mu=60/3;rho=lamda/mu;
. c. b2 M6 k& O0 p  V@pel(rho,s)=0.05;
end
; h/ W* U( U' D9 H求得 s =14.33555。
' X8 N' y+ D  p* f! ?1 u  I  {3 g" Y
第二步，注意到@pel(rho,s)是s的单调递减函数，因此，对s取整数（采用只入不舍 原则）就是满足条件的最小服务台数，然后再计算出其它的参数指标。 编写LINGO程序如下：
5 v- t: O% I- g) G. Y" @9 J& S
' I+ K/ P& b; ?model:
, _8 e: T% a$ G- A- r$ [$ ~lamda=200;
mu=60/3;rho=lamda/mu;
) D2 O. ?: F$ E7 n; y5 `" Vs=15lost=@pel(rho,s);
Q=1-Plost;
: I6 z0 V, _! }5 c# w, t7 blamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
L_s=lamda_e/mu;
eta=L_s/s;
* d2 M5 _# H. F$ K+ dend
1 x. @+ W" U; `/ H. A* t比较上面两种方法的计算结果，其答案是相同的，但第二种方法比第一种方法在计算 时间上要少许多。
' |3 {- n. a/ p* c————————————————
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