排队论模型（三）：M / M / s/ s 损失制排队模型

浅夏110

当 s 个服务台被占用后，顾客自动离去。 这里我们着重介绍如何使用 LINGO 软件中的相关函数。

& b5 T+ M6 V# v$ p' `1 损失制排队模型的基本参数
对于损失制排队模型，其模型的基本参数与等待制排队模型有些不同，我们关心如 下指标。

% w6 |7 Q  ?# V. k( z- p4 W
+ X% H& @8 B: C. L

; v+ M( e2 r8 e: A; v1 l( T
2 损失制排队模型计算实例
2 Y: ^& \6 {4 y9 S7 n$ T% ^% e0 j2 V2.1 s =1的情况（ M / M /1/1）
例 3 设某条电话线，平均每分钟有 0.6 次呼唤，若每次通话时间平均为 1.25min， 求系统相应的参数指标。


: a9 G% N5 ?6 m& L( O8 }2 v) }
% \- c9 `. Z' l5 w. |# o6 a0 `/ \9 n9 zmodel:
s=1;lamda=0.6;mu=1/1.25;rho=lamda/mu;
) h0 g* r, L) h2 d5 d7 c6 BPlost=@pel(rho,s);
2 i' H0 l0 z' P: P. B6 ?Q=1-Plost;
lamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
L_s=lamda_e/mu;
$ W& _3 K* F0 v# `$ keta=L_s/s;
end
6 w$ T. H" D. S: q* ~. n' r' J求得系统的顾客损失率为43％，即43％的电话没有接通，有57％的电话得到了服务， 通话率为平均每分钟有0.195次，系统的服务效率为43％。对于一个服务台的损失制系统， 系统的服务效率等于系统的顾客损失率，这一点在理论上也是正确的。
/ ?' T, [4 k' X* C8 u% `; Q, o
2.2    s >1的情况（ M / M / s/ s ）
例4 某单位电话交换台有一台200门内线的总机，已知在上班8h的时间内，有20％的 内线分机平均每40min要一次外线电话，80％的分机平均隔120min要一次外线。又知外线 打入内线的电话平均每分钟1次。假设与外线通话的时间平均为3min，并且上述时间均服 从负指数分布，如果要求电话的通话率为95％，问该交换台应设置多少条外线？

解 （1）电话交换台的服务分成两类，第一类内线打外线，其强度为
! N) ^5 U: A! I2 l1 k6 `



, m) h4 N( A" i! {7 F2 G
) U0 r* |9 a; d1 r由上述三条，写出相应的LINGO程序如下：
2 D4 [" f& E) ~8 v0 W. C" S) |
) z8 w; d; K4 ^8 ]% v1 D( Emodel:
# n% p/ w; G# q3 q# j& \5 {lamda=200;
mu=60/3;rho=lamda/mu;
2 s9 u$ u& C+ d5 NPlost=@pel(rho,s)lost<0.05;
, X7 \: K; V3 y- _Q=1-Plost;
lamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
  s2 T& e# ^, K6 }' gL_s=lamda_e/mu;
eta=L_s/s;
  z, E7 R; {# D% Zmin=s;@gin(s);
4 C- V' M6 W" I9 ?( ~end
3 j9 ~  m) b$ p$ A' ~; n: o9 k! P求得需要15条外线。在此条件下，交换台的顾客损失率为3.65％，有96.35％的电 话得到了服务，通话率为平均每小时185.67次，交换台每条外线的服务效率为64.23％。
: y: U7 @3 m& K! Q3 {3 n0 R) A! M6 }
6 w3 S2 K5 E5 c! ?$ C/ X1 k+ I求解时，尽量选用简单的模型让LINGO软件求解，而上述程序是解非线性整数规划（尽 管是一维的），但计算时间可能会较长，因此，我们选用下面的处理方法，分两步处理。
/ s/ C0 @( A* T- N
; K, l. b$ s/ r  y* w8 L, C2 D* f* w第一步，求出概率为5％的服务台的个数，尽管要求服务台的个数是整数，但@pel给出的是实数解。 编写LINGO程序：
' T, g9 i0 G- t+ G
model:
; d# R8 V5 u1 k& Plamda=200;
; n  j+ k/ K# U- gmu=60/3;rho=lamda/mu;
@pel(rho,s)=0.05;
end
' k/ n! U9 A* G" B$ e( O求得 s =14.33555。

8 t$ y8 v0 D; U. d# e9 _# h2 [6 N+ x第二步，注意到@pel(rho,s)是s的单调递减函数，因此，对s取整数（采用只入不舍 原则）就是满足条件的最小服务台数，然后再计算出其它的参数指标。 编写LINGO程序如下：

9 G! T/ ?) x5 r3 O( k6 @- emodel:
  n) o/ }6 t& u3 _9 ~9 a1 q. T$ xlamda=200;
+ u  B4 D7 {/ j$ u+ V/ F5 Y! x- Imu=60/3;rho=lamda/mu;
s=15lost=@pel(rho,s);
Q=1-Plost;
lamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
. G) S, T' V6 _% I+ |L_s=lamda_e/mu;
eta=L_s/s;
end
! n7 e) B7 B( Y! e比较上面两种方法的计算结果，其答案是相同的，但第二种方法比第一种方法在计算 时间上要少许多。
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