排队论模型（三）：M / M / s/ s 损失制排队模型

浅夏110

当 s 个服务台被占用后，顾客自动离去。 这里我们着重介绍如何使用 LINGO 软件中的相关函数。
( F8 q# s8 S  q% g" x
5 B/ S$ N- K' i( O7 u% k* B1 损失制排队模型的基本参数
对于损失制排队模型，其模型的基本参数与等待制排队模型有些不同，我们关心如 下指标。

' A5 Z* F. a  K- H& N: o7 [! f
+ L) A. g4 |* N5 ^

  d1 I) C( o) {5 L5 R! [$ {3 a) P
2 损失制排队模型计算实例
5 E0 y- @. Y$ I% X2 \3 @; r3 J4 z2.1 s =1的情况（ M / M /1/1）
例 3 设某条电话线，平均每分钟有 0.6 次呼唤，若每次通话时间平均为 1.25min， 求系统相应的参数指标。



2 F: |: k& U, ^- x8 Omodel:
9 t# J- [$ a0 |, d, r! K  Ms=1;lamda=0.6;mu=1/1.25;rho=lamda/mu;
Plost=@pel(rho,s);
Q=1-Plost;
( U+ V5 F% o$ N6 N; P  Glamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
! W" I1 V. m  F6 iL_s=lamda_e/mu;
1 ^' U. h# u# g1 _$ |" c8 _eta=L_s/s;
end
2 B# t9 q1 l- l! K求得系统的顾客损失率为43％，即43％的电话没有接通，有57％的电话得到了服务， 通话率为平均每分钟有0.195次，系统的服务效率为43％。对于一个服务台的损失制系统， 系统的服务效率等于系统的顾客损失率，这一点在理论上也是正确的。

2.2    s >1的情况（ M / M / s/ s ）
9 b- d  {. e# K  Q2 U1 M' W例4 某单位电话交换台有一台200门内线的总机，已知在上班8h的时间内，有20％的 内线分机平均每40min要一次外线电话，80％的分机平均隔120min要一次外线。又知外线 打入内线的电话平均每分钟1次。假设与外线通话的时间平均为3min，并且上述时间均服 从负指数分布，如果要求电话的通话率为95％，问该交换台应设置多少条外线？

解 （1）电话交换台的服务分成两类，第一类内线打外线，其强度为
; u# o$ G; s7 G# n! q
5 s* ^2 }* l+ l
7 q/ O4 a5 z- T: F, ]  v4 v. ]. v

1 z) y! h1 m7 a1 f
, e9 c# ?8 D. ]) F" d由上述三条，写出相应的LINGO程序如下：
$ W& q( t* A3 x- A* a+ `. a
6 n% L1 d; v# Y+ h' vmodel:
lamda=200;
/ Z. R8 ]8 Q+ U1 \1 h7 U. a6 ~mu=60/3;rho=lamda/mu;
+ D" [1 O' z! W3 H" ]+ _. DPlost=@pel(rho,s)lost<0.05;
Q=1-Plost;
8 M) j/ r7 _% M, P9 f) \lamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
3 L: x3 l6 Z3 r( bL_s=lamda_e/mu;
eta=L_s/s;
( q0 `6 ?' e1 P' z3 p/ zmin=s;@gin(s);
: Q2 L# N6 P# ~- Hend
求得需要15条外线。在此条件下，交换台的顾客损失率为3.65％，有96.35％的电 话得到了服务，通话率为平均每小时185.67次，交换台每条外线的服务效率为64.23％。
5 P. z- w% ^1 W, S2 `2 h; j( `
求解时，尽量选用简单的模型让LINGO软件求解，而上述程序是解非线性整数规划（尽 管是一维的），但计算时间可能会较长，因此，我们选用下面的处理方法，分两步处理。

第一步，求出概率为5％的服务台的个数，尽管要求服务台的个数是整数，但@pel给出的是实数解。 编写LINGO程序：
& @: o# Q7 i' ~8 h. G0 [9 N8 H
2 W7 u# J# O8 R% x/ z5 w9 ]" F; l6 ymodel:
9 i  ~. ]' K4 v- k! N" Zlamda=200;
mu=60/3;rho=lamda/mu;
0 T" Y8 O# t. k+ A; t5 T@pel(rho,s)=0.05;
4 D3 E; `- d+ e$ Tend
求得 s =14.33555。

7 G% o( q. m$ ]" X) B% s! v第二步，注意到@pel(rho,s)是s的单调递减函数，因此，对s取整数（采用只入不舍 原则）就是满足条件的最小服务台数，然后再计算出其它的参数指标。 编写LINGO程序如下：

model:
lamda=200;
  D* V& f) [8 V$ C" n  C  Qmu=60/3;rho=lamda/mu;
( V$ W& N% S6 B- ^# o! `s=15lost=@pel(rho,s);
Q=1-Plost;
lamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
  t+ t; z, N& z8 T5 d! RL_s=lamda_e/mu;
8 W2 Z9 l; o+ Leta=L_s/s;
, l1 w( l( T8 q3 v& oend
比较上面两种方法的计算结果，其答案是相同的，但第二种方法比第一种方法在计算 时间上要少许多。
# \1 m/ Y: b8 i" j  _  t————————————————
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