排队论模型（三）：M / M / s/ s 损失制排队模型

浅夏110

当 s 个服务台被占用后，顾客自动离去。 这里我们着重介绍如何使用 LINGO 软件中的相关函数。
8 K, P7 c7 `2 J6 B) i7 v% H
1 损失制排队模型的基本参数
对于损失制排队模型，其模型的基本参数与等待制排队模型有些不同，我们关心如 下指标。

3 |  {& M' L9 [# w$ L1 v/ l
5 Q* H5 x3 V- S8 _& k: v
/ U- h( m. D$ A2 s0 ]. `

2 损失制排队模型计算实例
2.1 s =1的情况（ M / M /1/1）
2 U3 j/ n: ]& K/ W% u6 M例 3 设某条电话线，平均每分钟有 0.6 次呼唤，若每次通话时间平均为 1.25min， 求系统相应的参数指标。


! S: h; d6 g0 I
+ n5 Y( b- G7 G5 t) \model:
s=1;lamda=0.6;mu=1/1.25;rho=lamda/mu;
: \0 l1 K+ Y4 \& q3 p  kPlost=@pel(rho,s);
' B0 S* R1 n( ?6 R" A" E" @Q=1-Plost;
lamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
8 n! y8 P$ W0 t" p3 C" cL_s=lamda_e/mu;
2 F: d+ ^$ J% O, J% \eta=L_s/s;
% N" n" Q7 P& L8 \2 lend
7 e8 S7 c# Y9 ^8 g8 e求得系统的顾客损失率为43％，即43％的电话没有接通，有57％的电话得到了服务， 通话率为平均每分钟有0.195次，系统的服务效率为43％。对于一个服务台的损失制系统， 系统的服务效率等于系统的顾客损失率，这一点在理论上也是正确的。
  W7 Y# s7 V/ u  w5 ]# G! ]- `
2.2    s >1的情况（ M / M / s/ s ）
例4 某单位电话交换台有一台200门内线的总机，已知在上班8h的时间内，有20％的 内线分机平均每40min要一次外线电话，80％的分机平均隔120min要一次外线。又知外线 打入内线的电话平均每分钟1次。假设与外线通话的时间平均为3min，并且上述时间均服 从负指数分布，如果要求电话的通话率为95％，问该交换台应设置多少条外线？
' J# V. d; M! {# `" ]
解 （1）电话交换台的服务分成两类，第一类内线打外线，其强度为

4 w9 l" `3 K( E, ?


+ o) u2 Z; B$ i7 V: e/ t* c( G: |
由上述三条，写出相应的LINGO程序如下：
8 K! E8 q/ k+ g3 w1 S
4 K" W* l0 D' a( f- O9 qmodel:
lamda=200;
mu=60/3;rho=lamda/mu;
% J0 E! `5 @5 RPlost=@pel(rho,s)lost<0.05;
Q=1-Plost;
lamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
8 O0 j3 n7 l# ]+ eL_s=lamda_e/mu;
. H4 n9 C% b5 V: {eta=L_s/s;
min=s;@gin(s);
end
# p7 M7 o: q8 B4 _7 y5 \( V3 t9 i求得需要15条外线。在此条件下，交换台的顾客损失率为3.65％，有96.35％的电 话得到了服务，通话率为平均每小时185.67次，交换台每条外线的服务效率为64.23％。

求解时，尽量选用简单的模型让LINGO软件求解，而上述程序是解非线性整数规划（尽 管是一维的），但计算时间可能会较长，因此，我们选用下面的处理方法，分两步处理。
" i- c6 L" S, }' g5 e  G7 o  E( V
第一步，求出概率为5％的服务台的个数，尽管要求服务台的个数是整数，但@pel给出的是实数解。 编写LINGO程序：
9 e, x, d  n6 m' H) }- e
model:
lamda=200;
8 b  R" U; x: p$ J. H8 j. u. zmu=60/3;rho=lamda/mu;
9 h2 j" i/ r1 _! H@pel(rho,s)=0.05;
! Q; u1 H* Y; ^) q) lend
求得 s =14.33555。
1 n1 _6 w- e' a; m
" ^7 v* p/ K' B! s: J7 u第二步，注意到@pel(rho,s)是s的单调递减函数，因此，对s取整数（采用只入不舍 原则）就是满足条件的最小服务台数，然后再计算出其它的参数指标。 编写LINGO程序如下：

model:
lamda=200;
" K! z7 D, r5 G4 R3 Vmu=60/3;rho=lamda/mu;
5 @" h+ E4 g/ R! xs=15lost=@pel(rho,s);
/ q9 A  u( M- ^$ ?4 s6 M( Z2 mQ=1-Plost;
) B1 F+ M) Y, N# G: j* blamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
, g* Y7 d9 s1 y0 S, kL_s=lamda_e/mu;
' E0 w$ j% f0 N1 \" ?" ]3 Peta=L_s/s;
end
! a7 s+ s" b' S% c; I# g比较上面两种方法的计算结果，其答案是相同的，但第二种方法比第一种方法在计算 时间上要少许多。
* i8 m) V7 \$ z0 {( c————————————————
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5 Z4 Y! N( m: X# Z; z; Z8 f1 Q  e# S