排队论模型（三）：M / M / s/ s 损失制排队模型

浅夏110

当 s 个服务台被占用后，顾客自动离去。 这里我们着重介绍如何使用 LINGO 软件中的相关函数。
. R! @% `5 o& u& a; _9 K
1 损失制排队模型的基本参数
对于损失制排队模型，其模型的基本参数与等待制排队模型有些不同，我们关心如 下指标。
5 r  H1 s6 v, J# G! [3 [6 a3 R



4 _& s9 |$ U. n$ K2 k
6 i3 [& Z0 _' z' x6 [( F2 损失制排队模型计算实例
2.1 s =1的情况（ M / M /1/1）
例 3 设某条电话线，平均每分钟有 0.6 次呼唤，若每次通话时间平均为 1.25min， 求系统相应的参数指标。
$ ~; I$ s2 U  G5 v' R


model:
s=1;lamda=0.6;mu=1/1.25;rho=lamda/mu;
Plost=@pel(rho,s);
# Y" T0 ?5 E8 o0 V1 D: S- FQ=1-Plost;
! y9 V0 k: P; F1 u3 B5 clamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
  F& N- O1 d2 b' _0 ^! A* nL_s=lamda_e/mu;
& I/ S  `) y7 @eta=L_s/s;
6 L* X6 ]* Q) G  v# y! D+ ~; |: gend
1 F+ L4 ?7 h, h  Q求得系统的顾客损失率为43％，即43％的电话没有接通，有57％的电话得到了服务， 通话率为平均每分钟有0.195次，系统的服务效率为43％。对于一个服务台的损失制系统， 系统的服务效率等于系统的顾客损失率，这一点在理论上也是正确的。
5 G8 K; e+ V0 m: j& D. K" L0 l# ~
2.2    s >1的情况（ M / M / s/ s ）
+ P* C  y0 f3 J4 C. t例4 某单位电话交换台有一台200门内线的总机，已知在上班8h的时间内，有20％的 内线分机平均每40min要一次外线电话，80％的分机平均隔120min要一次外线。又知外线 打入内线的电话平均每分钟1次。假设与外线通话的时间平均为3min，并且上述时间均服 从负指数分布，如果要求电话的通话率为95％，问该交换台应设置多少条外线？

解 （1）电话交换台的服务分成两类，第一类内线打外线，其强度为


2 f0 M# G' d* s3 k


. }8 E  p7 W2 r由上述三条，写出相应的LINGO程序如下：
# i( ?6 e) y4 |5 d* m3 v" L
5 W: Y! f% `1 n- c6 Lmodel:
1 [, A3 ~& O- L. S, [: Flamda=200;
mu=60/3;rho=lamda/mu;
Plost=@pel(rho,s)lost<0.05;
Q=1-Plost;
lamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
, s  n! V: t% T  ]L_s=lamda_e/mu;
' p) X, G% U/ d  }: B% z9 v. xeta=L_s/s;
9 w+ f( d1 |/ D- e' e+ Q5 j  u  A! qmin=s;@gin(s);
& Y4 h  {; `- G' F' v2 iend
求得需要15条外线。在此条件下，交换台的顾客损失率为3.65％，有96.35％的电 话得到了服务，通话率为平均每小时185.67次，交换台每条外线的服务效率为64.23％。

求解时，尽量选用简单的模型让LINGO软件求解，而上述程序是解非线性整数规划（尽 管是一维的），但计算时间可能会较长，因此，我们选用下面的处理方法，分两步处理。
$ p6 @  @3 G+ }; }5 @. Q8 v
第一步，求出概率为5％的服务台的个数，尽管要求服务台的个数是整数，但@pel给出的是实数解。 编写LINGO程序：
$ o) y  R2 Q. J: h1 R/ ]: M4 |6 \
( u7 p3 t: A( }3 P0 f! M4 m# B, mmodel:
lamda=200;
' E( |' }% [' d; j0 g* }/ N2 f) C/ kmu=60/3;rho=lamda/mu;
3 t5 E6 @( l2 a  L6 Y@pel(rho,s)=0.05;
5 }% [) V8 H. T% `; S  uend
$ B9 V) F. `0 E. F求得 s =14.33555。

5 `) P& y5 S6 y( r8 N8 ^  T/ Z第二步，注意到@pel(rho,s)是s的单调递减函数，因此，对s取整数（采用只入不舍 原则）就是满足条件的最小服务台数，然后再计算出其它的参数指标。 编写LINGO程序如下：

0 l4 ]5 d7 d3 xmodel:
lamda=200;
/ o' c5 J: J" P- ^mu=60/3;rho=lamda/mu;
, X! r. t5 L) e- ?5 q3 As=15lost=@pel(rho,s);
. s* k/ ?( m; d1 E2 J, ~! [Q=1-Plost;
lamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
L_s=lamda_e/mu;
eta=L_s/s;
end
比较上面两种方法的计算结果，其答案是相同的，但第二种方法比第一种方法在计算 时间上要少许多。
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