排队论模型（三）：M / M / s/ s 损失制排队模型

浅夏110

当 s 个服务台被占用后，顾客自动离去。 这里我们着重介绍如何使用 LINGO 软件中的相关函数。

1 损失制排队模型的基本参数
对于损失制排队模型，其模型的基本参数与等待制排队模型有些不同，我们关心如 下指标。

% ]5 a8 H& H* C& f% W7 a
+ z5 a; o1 m' U9 `3 b
" g. l& ?- W5 i  n
3 v$ ?) R) t' l
2 损失制排队模型计算实例
2.1 s =1的情况（ M / M /1/1）
例 3 设某条电话线，平均每分钟有 0.6 次呼唤，若每次通话时间平均为 1.25min， 求系统相应的参数指标。
: @9 S: x$ D4 d" r
- F( l0 K+ R: a  o  o& Z# [

model:
. {: `. c- H" k" d- v( vs=1;lamda=0.6;mu=1/1.25;rho=lamda/mu;
; e  X7 m2 v9 }1 H1 iPlost=@pel(rho,s);
Q=1-Plost;
. B9 M; d$ C) ?7 r% Wlamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
$ V' }% Z' K+ `" |5 `! oL_s=lamda_e/mu;
eta=L_s/s;
end
求得系统的顾客损失率为43％，即43％的电话没有接通，有57％的电话得到了服务， 通话率为平均每分钟有0.195次，系统的服务效率为43％。对于一个服务台的损失制系统， 系统的服务效率等于系统的顾客损失率，这一点在理论上也是正确的。

9 A9 T, f" Z- d) c2.2    s >1的情况（ M / M / s/ s ）
! O0 Q1 l7 o7 l  o! {/ M2 n- P, F例4 某单位电话交换台有一台200门内线的总机，已知在上班8h的时间内，有20％的 内线分机平均每40min要一次外线电话，80％的分机平均隔120min要一次外线。又知外线 打入内线的电话平均每分钟1次。假设与外线通话的时间平均为3min，并且上述时间均服 从负指数分布，如果要求电话的通话率为95％，问该交换台应设置多少条外线？
! U- l7 K( t) M# |" H
解 （1）电话交换台的服务分成两类，第一类内线打外线，其强度为

4 q. R! c2 x- R* s$ B8 b
5 `4 F5 X# m% P% ~

5 h* |. A) O6 o3 ^( \9 ~
由上述三条，写出相应的LINGO程序如下：
/ P" X' d1 a0 q1 J0 u+ Q& ^  o, r
model:
lamda=200;
mu=60/3;rho=lamda/mu;
$ H3 [3 s3 {% h/ d! gPlost=@pel(rho,s)lost<0.05;
Q=1-Plost;
& k1 e) P* j# C* w4 c" i; h2 vlamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
* T, p0 {1 p, e8 L) [7 kL_s=lamda_e/mu;
eta=L_s/s;
min=s;@gin(s);
3 P1 @+ H" w  Uend
5 J+ v1 e0 u' V5 A' C, g求得需要15条外线。在此条件下，交换台的顾客损失率为3.65％，有96.35％的电 话得到了服务，通话率为平均每小时185.67次，交换台每条外线的服务效率为64.23％。
1 W  s% X' e! M" T; `( Q
求解时，尽量选用简单的模型让LINGO软件求解，而上述程序是解非线性整数规划（尽 管是一维的），但计算时间可能会较长，因此，我们选用下面的处理方法，分两步处理。
9 H# Q1 c% B7 w
第一步，求出概率为5％的服务台的个数，尽管要求服务台的个数是整数，但@pel给出的是实数解。 编写LINGO程序：

model:
; N  Y; }( H" flamda=200;
mu=60/3;rho=lamda/mu;
$ K7 [7 N" Y5 g" L( k7 @( q! W@pel(rho,s)=0.05;
end
求得 s =14.33555。

* k  L; g1 E0 c+ p% K: `8 F% G第二步，注意到@pel(rho,s)是s的单调递减函数，因此，对s取整数（采用只入不舍 原则）就是满足条件的最小服务台数，然后再计算出其它的参数指标。 编写LINGO程序如下：

model:
, e0 J2 q8 B1 r0 n6 \( E/ B6 U5 tlamda=200;
& M5 K% D' `, Bmu=60/3;rho=lamda/mu;
, C2 U: c7 B& P2 e& m: _# |s=15lost=@pel(rho,s);
Q=1-Plost;
" a( @8 P* e) y5 G  V* tlamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
0 J0 J$ v( B4 T1 {7 g6 B6 a+ YL_s=lamda_e/mu;
- M4 I% d! q! j0 z# u/ ^; ?eta=L_s/s;
end
比较上面两种方法的计算结果，其答案是相同的，但第二种方法比第一种方法在计算 时间上要少许多。
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