排队论模型（四）：M / M / s 混合制排队模型

浅夏110

1 单服务台混合制模型
4 b' P. a6 R9 c3 P1 i单服务台混合制模型 M / M /1/ K 是指：顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指数 分布，服务台个数为1，服务时间V 服从参数为 μ 的负指数分布，系统的空间为 K ，当 K 个位置已被顾客占用时，新到的顾客自动离去，当系统中有空位置时，新到的顾客进入系统排队等待。
- X5 _, h0 D7 [3 U4 k, w
- ?+ R8 f( D3 s. q1 e4 k; q* i# C

# Y3 J' p  Z0 B, P
0 b; m! d% V( |& v6 L" d6 s
由于排队系统的容量有限，只有 K −1个排队位置，因此，当系统空间被占满时， 再来的顾客将不能进入系统排队，也就是说不能保证所有到达的顾客都能进入系统等待服务。假设顾客的到达率（单位时间内来到系统的顾客的平均数）为 λ ，则当系统处 于状态 K 时，顾客不能进入系统，即顾客可进入系统的概率是  。因此，单位时 间内实际可进入系统的顾客的平均数为：


9 F: B! C5 e+ ?# a  L' K4 Y# ]5 I4 \
例 5 某修理站只有一个修理工，且站内最多只能停放 4 台待修的机器。设待修机 器按 Poisson 流到达修理站，平均每分钟到达 1 台；修理时间服从负指数分布，平均每 1.25 分钟可修理 1 台，试求该系统的有关指标。
* [% e( y3 ?6 h% u5 {% s
' H0 X, O$ a" Z解 该系统可看成是一个 M / M /1/ 4 排队系统，其中


. y( [7 C6 f* v2 k! Q1 z% @4 z


编写 LINGO 程序如下：

model:
: I+ U. H, t1 N! N' l1 zsets:
state/1..4/:p;
endsets
lamda=1;mu=1/1.25;rho=lamda/mu;k=4;
* s5 n  ]* R/ T6 Slamda*p0=mu*p(1);
(lamda+mu)*p(1)=lamda*p0+mu*p(2);
" ~" v3 z. n% N@for(state(i)|i #gt#1 #and# i #lt#
$ @6 R/ [3 b2 A% ?klamda+mu)*p(i)=lamda*p(i-1)+mu*p(i+1));
lamda*p(k-1)=mu*p(k);
& \. x  q: M" H* g' @  Pp0+@sum(state:p)=1;
P_lost=p(k);lamda_e=lamda*(1-P_lost);
) v# x, S/ U+ O( ^( fL_s=@sum(state(i)|i #le#k:i*p(i));
L_q=L_s-(1-p0);
2 z% q% z, j9 U4 D# o7 u2 m7 zW_s=L_s/lamda_e;
9 {: k8 w- h* HW_q=W_s-1/mu;
end
4 K( v) e, x  E2 k9 b2 多服务台混合制模型
8 [; l) G& s+ @; R6 l6 U# \多服务台混合制模型 M / M / s/ K 是指顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指 数分布，服务台个数为 s ，每个服务台服务时间相互独立，且服从参数为 μ 的负指数分 布，系统的空间为 K 。

0 L0 h( x2 h5 I7 A由式（4），式（5）和式（6），并注意到在本模型中
" C& q3 Z; v1 s


* |+ g' T3 `1 y于是
( Q% V9 J% v9 ?: E% S) s

. v4 Y0 ^) Y# J
9 E2 j0 P  L" N! d& @
1 s! A$ n# K  S$ D5 M# m+ Y2 I


例 6 某汽车加油站设有两个加油机，汽车按 Poisson 流到达，平均每分钟到达 2 辆；汽车加油时间服从负指数分布，平均加油时间为 2 分钟。又知加油站上最多只能停 放 3 辆等待加油的汽车，汽车到达时，若已满员，则必须开到别的加油站去，试对该系 统进行分析。

解 可将该系统看作一个 M / M / 2 / 5 排队系统，其中


: I; Q+ ?3 R5 \* }
! y8 e; g* v3 X% T编写 LINGO 程序如下：
( u% D' \, U: W- T- S2 [! G8 Q
- {) {/ ^: g) U9 e2 lmodel:
; o" m/ K4 E: j4 B- f- esets:
: \2 {8 b3 d! e% z7 B( W5 s* G$ vstate/1..5/:p;
endsets
lamda=2;mu=0.5;rho=lamda/mu;s=2;k=5;
lamda*p0=mu*p(1);
(lamda+mu)*p(1)=lamda*p0+2*mu*p(2);
, K$ _3 D0 k( r4 K, F/ o@for(state(i)|i #gt#1 #and# i #lt# s:
(lamda+i*mu)*p(i)=lamda*p(i-1)+(i+1)*mu*p(i+1));
; Q$ {3 |* T2 N: }- a3 S@for(state(i)|i #ge# s #and# i #lt# k:
(lamda+s*mu)*p(i)=lamda*p(i-1)+s*mu*p(i+1));
lamda*p(k-1)=s*mu*p(k);
p0+@sum(state:p)=1;
P_lost=p(k);lamda_e=lamda*(1-P_lost);
L_s=@sum(state(i):i*p(i));
9 R& r" [$ D5 ]6 ^" {5 AL_q=L_s-lamda_e/mu;
- A1 Q3 _  `- U9 L; q' p$ H( ~W_s=L_s/lamda_e;
9 C6 `1 `- S# h3 Y9 g; EW_q=W_s-1/mu;
end
$ O+ G( j) @9 A, k: H  w在对上述多服务台混合制排队模型 M / M / s/ K 的讨论中，当 s = K 时，即为多 服务台损失制系统。对损失制系统，有



式（52）称为 Erlang 损失公式， B(s, ρ) 亦表示了到达系统后由于系统空间已被占满 而不能进入系统的顾客的百分比。
- ]" N, U  |* M* n& A+ f
对损失制系统，平均被占用的服务台数（正在接受服务的顾客的平均数）为
' c% c5 x( w! d! [
0 c! ^" z; t. d: `. `& ]3 d4 \
# U" ~, F9 R& Q( g
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