排队论模型（四）：M / M / s 混合制排队模型

浅夏110

1 单服务台混合制模型
7 R, Z2 {' D* f/ \! }9 k单服务台混合制模型 M / M /1/ K 是指：顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指数 分布，服务台个数为1，服务时间V 服从参数为 μ 的负指数分布，系统的空间为 K ，当 K 个位置已被顾客占用时，新到的顾客自动离去，当系统中有空位置时，新到的顾客进入系统排队等待。
: q. u; X( k* Q# I, [
( p5 i8 K9 j7 b6 {0 Y8 y' }

" g5 G/ k- Z1 ?  d* c2 D
0 ~' s+ {4 U( b9 E) b
2 H/ w6 ~2 b( C1 \& B% J- H由于排队系统的容量有限，只有 K −1个排队位置，因此，当系统空间被占满时， 再来的顾客将不能进入系统排队，也就是说不能保证所有到达的顾客都能进入系统等待服务。假设顾客的到达率（单位时间内来到系统的顾客的平均数）为 λ ，则当系统处 于状态 K 时，顾客不能进入系统，即顾客可进入系统的概率是  。因此，单位时 间内实际可进入系统的顾客的平均数为：


! V% [2 p6 Q$ P, n
+ B2 ]; m! e" x$ n% I+ a) B0 L例 5 某修理站只有一个修理工，且站内最多只能停放 4 台待修的机器。设待修机 器按 Poisson 流到达修理站，平均每分钟到达 1 台；修理时间服从负指数分布，平均每 1.25 分钟可修理 1 台，试求该系统的有关指标。

% X4 C3 V9 K+ T, X5 ]解 该系统可看成是一个 M / M /1/ 4 排队系统，其中

4 ^( x9 A5 q/ }% }
4 `$ E- [% m$ ^; M- j: l

  {( `2 M7 o: ^. z2 A; }) u
) v$ t8 l3 n7 B& U% B2 u" E  [& U编写 LINGO 程序如下：
5 T8 I( X+ ?8 r' C6 X1 y
$ T; x/ u* t, _; v% [model:
sets:
state/1..4/:p;
endsets
lamda=1;mu=1/1.25;rho=lamda/mu;k=4;
lamda*p0=mu*p(1);
(lamda+mu)*p(1)=lamda*p0+mu*p(2);
' n8 U* ?: b! R@for(state(i)|i #gt#1 #and# i #lt#
klamda+mu)*p(i)=lamda*p(i-1)+mu*p(i+1));
* R3 q# p+ {/ v# W  Dlamda*p(k-1)=mu*p(k);
1 @3 R4 |  h" y' J6 h& Ep0+@sum(state:p)=1;
. U8 W+ r! u" V1 |0 P+ t6 JP_lost=p(k);lamda_e=lamda*(1-P_lost);
L_s=@sum(state(i)|i #le#k:i*p(i));
L_q=L_s-(1-p0);
( V, k1 Y3 I( U! a- r1 l) jW_s=L_s/lamda_e;
. I" t. C  K9 p- LW_q=W_s-1/mu;
; l) N" W8 F1 V1 }( G" T  X: Kend
! H  z4 D5 V! k+ h- N2 多服务台混合制模型
多服务台混合制模型 M / M / s/ K 是指顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指 数分布，服务台个数为 s ，每个服务台服务时间相互独立，且服从参数为 μ 的负指数分 布，系统的空间为 K 。
% Z! H0 q4 `- z8 X! s8 U1 t) b
9 R; c" O2 `0 z! _" k  @由式（4），式（5）和式（6），并注意到在本模型中



于是



6 @1 L% a5 ~1 x& ~% q
) j+ W* ^6 N! H) G6 N  j* Q+ W
0 ]! w/ |  E  s  a
9 f6 `" T9 u: L) O2 J! p8 O$ O2 V
例 6 某汽车加油站设有两个加油机，汽车按 Poisson 流到达，平均每分钟到达 2 辆；汽车加油时间服从负指数分布，平均加油时间为 2 分钟。又知加油站上最多只能停 放 3 辆等待加油的汽车，汽车到达时，若已满员，则必须开到别的加油站去，试对该系 统进行分析。

解 可将该系统看作一个 M / M / 2 / 5 排队系统，其中



9 Z! K: ^, J( G' }编写 LINGO 程序如下：

0 l# t6 B  r2 W. R  L7 p4 j( S) r- Rmodel:
sets:
state/1..5/:p;
endsets
" o8 q2 u! S- Tlamda=2;mu=0.5;rho=lamda/mu;s=2;k=5;
lamda*p0=mu*p(1);
" H! t6 |1 i. {9 d( m+ h1 ^(lamda+mu)*p(1)=lamda*p0+2*mu*p(2);
, l- Y% x8 p8 [- N! [% N: `@for(state(i)|i #gt#1 #and# i #lt# s:
(lamda+i*mu)*p(i)=lamda*p(i-1)+(i+1)*mu*p(i+1));
7 j0 C1 {3 p: i! B* C. e; G@for(state(i)|i #ge# s #and# i #lt# k:
, _5 L# H* o) p3 B& K  M, u(lamda+s*mu)*p(i)=lamda*p(i-1)+s*mu*p(i+1));
* s' P- d2 _. w& k, k  |lamda*p(k-1)=s*mu*p(k);
p0+@sum(state:p)=1;
P_lost=p(k);lamda_e=lamda*(1-P_lost);
L_s=@sum(state(i):i*p(i));
& B- C! w+ I9 n/ w5 x$ VL_q=L_s-lamda_e/mu;
! Q6 p% A3 f! m8 v8 f+ O5 fW_s=L_s/lamda_e;
W_q=W_s-1/mu;
7 Z9 N3 s0 F- _% l! v; j; |end
$ g3 \4 A' }) S4 i+ F在对上述多服务台混合制排队模型 M / M / s/ K 的讨论中，当 s = K 时，即为多 服务台损失制系统。对损失制系统，有



+ B. i! r5 u6 ]" p9 H0 c: C式（52）称为 Erlang 损失公式， B(s, ρ) 亦表示了到达系统后由于系统空间已被占满 而不能进入系统的顾客的百分比。

. p7 \0 Q4 _( D' w- Y对损失制系统，平均被占用的服务台数（正在接受服务的顾客的平均数）为
3 C( T! ?" ?1 b4 O& Z0 m/ M


' j4 A" j+ R: x6 Y1 V" w————————————————
版权声明：本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
  ]+ `, V) [$ U' W* D3 Y# A  e原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/java/article/details/89735728

; S) \  l. J' u3 ]& ^0 f  f
( _2 _3 d. V1 I6 I" k- ]8 z/ N9 e