排队论模型（五）： 有限源排队模型、服务率或到达率依赖状态的排队模型

浅夏110

1. 有限源排队模型
现在，来分析一下顾客源为有限的排队问题。这类排队问题的主要特征是顾客总数 是有限的，如果有 m 个顾客。每个顾客来到系统中接受服务后仍回到原来的总体，还 有可能再来，这类排队问题的典型例子是机器看管问题。如一个工人同时看管 m 台机 器，当机器发生故障时即停下来等待维修，修好后再投入使用，且仍然可能再发生故障。 类似的例子还有m 个终端共用一台打印机等，如图 2 所示。
/ K  j/ j0 q9 y. u: i


关于顾客的平均到达率，在无限源的情形中是按全体顾客来考虑的，而在有限源的 情形下，必须按每一顾客来考虑。设每个顾客的到达率都是相同的，均为λ（这里λ 的 含义是指单位时间内该顾客来到系统请求服务的次数），且每一顾客在系统外的时间均 服从参数为 λ 的负指数分布。由于在系统外的顾客的平均数为 m − Ls ，故系统的有效到达率为
8 h. t( ]9 ~5 r1 Y9 C


下面给出系统的有关运行指标
, X4 v8 Q5 ^2 \1 |" Y
# r' M- s6 s3 V5 U2 A0 b
7 ~5 O" ~( P  w5 D5 r' w$ I) s
  ?0 P5 l1 S0 x例 7 设有一工人看管 5 台机器，每台机器正常运转的时间服从负指数分布，平均 为 15 分钟。当发生故障后，每次修理时间服从负指数分布，平均为 12 分钟，试求该系 统的有关运行指标。
) A% I+ ]# F% ~. V! r+ n
解 用有限源排队模型处理本问题。已知
# u$ s. {: z4 ]3 ]3 b  N2 g4 b




即该工人每小时可修理机器的平均台数为0.083× 60 = 4.96台。 上述结果表面，机器停工时间过长，看管工人几乎没有空闲时间，应采取措施提高 服务率或增加工人。 LINGO 计算程序如下

1 f/ p2 t, ^( R/ zmodel:
lamda=1/15;mu=1/12;rho=lamda/mu;s=1;m=5;
: z9 s. W5 N! s0 A8 Wload=m*rho;
L_s=@pfs(load,s,m);
p_0=1-(m-L_s)*rho;
9 s* R5 \: O3 p/ X, @$ H, elamda_e=lamda*(m-L_s);
5 G: F& R/ Z2 p( f: c# ~) Yp_5=@exp(@lgm(6))*0.8^5*p_0;
L_q=L_s-(1-p_0);
: T0 P6 D+ r, C3 f4 g* o* R$ t5 m0 Kw_s=L_s/lamda_e;w_q=L_q/lamda_e;
: l- d6 l' y5 Y/ zend
& ]+ u5 d( @* }$ X2 p1 C, c2 服务率或到达率依赖状态的排队模型
在前面的各类排队模型的分析中，均假设顾客的到达率为常数 λ ，服务台的服务 率也为常数 μ 。而在实际的排队问题中，到达率或服务率可能是随系统的状态而变化 的。例如，当系统中顾客数已经比较多时，后来的顾客可能不愿意再进入系统；服务员 的服务率当顾客较多时也可能会提高。因此，对单服务台系统，实际的到达率和服务率 （它们均依赖于系统所处的状态n ）可假设为
* x) Y& ?4 ~. U0 q
5 r& R- Y5 K+ U( Z' |
3 M4 ]  I$ ^- u5 C


" \, R' E4 E! d$ N0 e' Y
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