排队论模型（七）：排队系统的优化

浅夏110

排队系统中的优化模型，一般可分为系统设计的优化和系统控制的优化。前者为静 态优化，即在服务系统设置以前根据一定的质量指标，找出参数的最优值，从而使系统 最为经济。后者为动态优化，即对已有的排队系统寻求使其某一目标函数达到最优的运 营机制。由于对后一类问题的阐述需要较多的数学知识，所以本节着重介绍静态最优问 题。

4 D# o$ ~6 T" A8 A) b在优化问题的处理方法上，一般根据变量的类型是离散的还是连续的，相应地采用 边际分析方法或经典的微分法，对较为复杂的优化问题需要用非线性规划或动态规划等 方法。

1.  M / M /1模型中的最优服务率 μ
4 B6 c# W6 m5 j7 B先考虑 M / M /1/ ∞ 模型，取目标函数 z 为单位时间服务成本与顾客在系统中逗留 费用之和的期望值，即
5 w5 `0 F+ }% Q
8 I* d% A& y, H$ ^* X. T: f* y

. ~6 P1 f: f( Z5 O

& i% N6 b/ P9 y7 `
6 r9 b: d) A3 {% o& C
6 J3 e. Y8 H$ L编写 LINGO 程序如下：

model:
! V2 \: q$ ]" f, v2 z6 u! E' f  Ys=1;k=4;lamda=1;
L_s=@pfs(k*lamda/mu,s,k);
3 o7 e: s" b; q4 ]) \; cmax=100*(k-L_s)-75*mu;
end

& C  g$ z/ I+ g. N: m


. J. g- H# t& d$ J# j5 f编写 LINGO 程序如下：

model:
4 V& M/ ~# [+ i* W7 [8 c, Ysets:
state/1..3/:p;
3 I; X6 U$ L& f# Xendsets
6 ]+ ?" U& _& t# ~$ `. H' I' }0 Jlamda=3.6;k=3;
lamda*p0=p(1)/t;
. v; u8 D$ m+ {(lamda+1/t)*p(1)=lamda*p0+p(2)/t;
@for(state(i)|i #gt# 1 #and# i #lt# k:
(lamda+1/t)*p(i)=lamda*p(i-1)+p(i+1)/t);
. t; ~" N3 ^- H3 B4 e. a; Rlamda*p(k-1)=p(k)/t;
+ ^9 o0 p/ {0 C) @; }) c- dp0+@sum(state:p)=1;
max=2*lamda*(1-p(k))-0.5/t;
end
求得系统为每位顾客最佳服务时间是0.2238h，系统每小时赢利3.70元。
) q3 L9 N. T& C" r& `
3 h; A* U  Y- U% ~! E2   M / M / s 模型中的最优的服务台数  
7 [9 g) D; R: M/ Q3 C8 R

& w5 u4 [5 a4 y& U/ e+ Z% y2 Z2 n& C

例 13 某检验中心为各工厂服务，要求进行检验的工厂（顾客）的到来服从 Poisson 流，平均到达率为λ = 48（次/d）；每天来检验由于停工等原因损失 6 元；服务（检验） 时间服从负指数分布，平均服务率为 μ = 25（次/d）；每设置一个检验员的服务成本为 4 元/d，其它条件均适合 M / M / s/ ∞ 系统。问应设几个检验员可使总费用的平均值最 少？



4 f, I* D2 S, ?9 c, y9 C, c求解的 LINGO 程序如下：

* f5 D3 D9 L5 E, R- a  l4 K% `1 r1 vmodel:
- k6 h) O" Z7 E* Tlamda=48;mu=25;rho=lamda/mu;
1 `. S7 L9 R& ]& {! L) bP_wait=@peb(rho,s);
L_q=P_wait*rho/(s-rho);
) U: [$ l4 L% \4 O4 b2 q! V) JL_s=L_q+rho;
3 F# G9 t: x0 D* y2 Gmin=4*s+6*L_s;
@gin(s);@bnd(2,s,5);
: g/ U) z- ~- d  cend

7 Z6 y' z8 x2 v; s————————————————
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