排队论模型（七）：排队系统的优化

浅夏110

排队系统中的优化模型，一般可分为系统设计的优化和系统控制的优化。前者为静 态优化，即在服务系统设置以前根据一定的质量指标，找出参数的最优值，从而使系统 最为经济。后者为动态优化，即对已有的排队系统寻求使其某一目标函数达到最优的运 营机制。由于对后一类问题的阐述需要较多的数学知识，所以本节着重介绍静态最优问 题。

. _5 j4 z* j7 n7 K! G- P在优化问题的处理方法上，一般根据变量的类型是离散的还是连续的，相应地采用 边际分析方法或经典的微分法，对较为复杂的优化问题需要用非线性规划或动态规划等 方法。

* U8 q1 T4 D* P% V0 Q6 E" f+ ^/ j1.  M / M /1模型中的最优服务率 μ
先考虑 M / M /1/ ∞ 模型，取目标函数 z 为单位时间服务成本与顾客在系统中逗留 费用之和的期望值，即




# w2 o6 W9 a+ N5 L) K; `7 q
) n# `! r( L' [6 e8 R

编写 LINGO 程序如下：

9 y1 W2 v0 C0 j4 W$ ?, I% Umodel:
s=1;k=4;lamda=1;
L_s=@pfs(k*lamda/mu,s,k);
max=100*(k-L_s)-75*mu;
" ^4 c0 n" U5 m$ o0 i' z% Yend
" T  m) f* Q& a  A" i0 _; ^- H, U
" j1 O' i" J7 u6 X3 z- l( [
3 G# v$ }# t/ Z( U
  P9 h) r# Z2 _' c
" j! j6 \" T0 s( T8 I! J7 c编写 LINGO 程序如下：

2 D6 {8 H2 d7 P* W7 x7 U& Smodel:
% a6 O0 L# m$ q0 G4 a( ^4 ?0 Z: `- lsets:
state/1..3/:p;
+ I9 w& V+ F; V/ d: P: Kendsets
& c' G0 _$ a$ V8 }9 D5 olamda=3.6;k=3;
lamda*p0=p(1)/t;
(lamda+1/t)*p(1)=lamda*p0+p(2)/t;
4 f& ]& T, A# z6 V$ e. c@for(state(i)|i #gt# 1 #and# i #lt# k:
/ ^0 X! M8 X/ t; E(lamda+1/t)*p(i)=lamda*p(i-1)+p(i+1)/t);
lamda*p(k-1)=p(k)/t;
p0+@sum(state:p)=1;
; g) L' ?) s# g* ymax=2*lamda*(1-p(k))-0.5/t;
7 K( E4 D3 `5 |' p" kend
求得系统为每位顾客最佳服务时间是0.2238h，系统每小时赢利3.70元。
  \  ?: E- U/ \% D. D- O2 t2 o* Q2 b" R
2   M / M / s 模型中的最优的服务台数  

1 {3 N9 n) v4 ~* E
) i/ O3 J9 ^. p" O

例 13 某检验中心为各工厂服务，要求进行检验的工厂（顾客）的到来服从 Poisson 流，平均到达率为λ = 48（次/d）；每天来检验由于停工等原因损失 6 元；服务（检验） 时间服从负指数分布，平均服务率为 μ = 25（次/d）；每设置一个检验员的服务成本为 4 元/d，其它条件均适合 M / M / s/ ∞ 系统。问应设几个检验员可使总费用的平均值最 少？
- B8 t- V+ N+ Z
" e9 ], ^& `( \& n. a  F
. F/ i2 Z9 e- ^! n0 g; Y0 g+ I
求解的 LINGO 程序如下：
: x- J& R- z8 z& a8 f% }: j' w8 r
+ \$ t/ Q; g8 s* [. v+ L  Pmodel:
4 f- P" B; h$ b1 \8 p* V( Olamda=48;mu=25;rho=lamda/mu;
P_wait=@peb(rho,s);
" M' m1 s* z/ B9 CL_q=P_wait*rho/(s-rho);
, R  X. b# W6 |3 [. [' Z- `L_s=L_q+rho;
min=4*s+6*L_s;
@gin(s);@bnd(2,s,5);
end
; j7 n" H$ k2 y: m# H0 B: ]" O
, v' o( o# F& ~. n————————————————
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