排队论模型（七）：排队系统的优化

浅夏110

排队系统中的优化模型，一般可分为系统设计的优化和系统控制的优化。前者为静 态优化，即在服务系统设置以前根据一定的质量指标，找出参数的最优值，从而使系统 最为经济。后者为动态优化，即对已有的排队系统寻求使其某一目标函数达到最优的运 营机制。由于对后一类问题的阐述需要较多的数学知识，所以本节着重介绍静态最优问 题。
! A  i) D7 T9 v/ F) h& p3 e
在优化问题的处理方法上，一般根据变量的类型是离散的还是连续的，相应地采用 边际分析方法或经典的微分法，对较为复杂的优化问题需要用非线性规划或动态规划等 方法。

1.  M / M /1模型中的最优服务率 μ
" w, n$ |0 b7 F先考虑 M / M /1/ ∞ 模型，取目标函数 z 为单位时间服务成本与顾客在系统中逗留 费用之和的期望值，即



" T% O9 d  `: G) E1 k5 V
+ R" e/ m. s: f& ]! W" T
% Q; v0 a1 n6 }3 B4 P! u+ _
$ p( o1 @0 F5 W$ `7 C( `1 X( X
6 F5 @/ `8 G! ?/ i1 @* U3 A+ w编写 LINGO 程序如下：

3 E0 X5 u  b& ], x) c4 W/ \! r4 g' |model:
s=1;k=4;lamda=1;
( ]; ^4 }4 U2 k6 G: y* ^: d6 C; x3 rL_s=@pfs(k*lamda/mu,s,k);
max=100*(k-L_s)-75*mu;
end

, ?( m1 q8 a. ~. W" \1 |3 k* `

2 v' C4 X; W, D+ s+ ]; q
+ U7 v4 e2 R& K0 ]' I1 T# `( t编写 LINGO 程序如下：

7 U6 l3 }7 ^* gmodel:
0 i  M# ]+ }. g- Wsets:
0 E6 ]* }* G+ Q# U0 d6 astate/1..3/:p;
) y$ D& l3 G( i! O5 Qendsets
lamda=3.6;k=3;
lamda*p0=p(1)/t;
(lamda+1/t)*p(1)=lamda*p0+p(2)/t;
- d. ~$ `$ ^# b5 V/ H@for(state(i)|i #gt# 1 #and# i #lt# k:
(lamda+1/t)*p(i)=lamda*p(i-1)+p(i+1)/t);
lamda*p(k-1)=p(k)/t;
p0+@sum(state:p)=1;
max=2*lamda*(1-p(k))-0.5/t;
end
9 u. \' i  ]7 `5 L求得系统为每位顾客最佳服务时间是0.2238h，系统每小时赢利3.70元。
" n/ ~  b' e1 r9 j% U# L: P* w
1 r( ^5 l# p4 G; H/ B# ^5 |2 M6 C2   M / M / s 模型中的最优的服务台数  
+ C/ J, q' X6 N$ r+ f! X
  P7 E6 g$ N" e: {- ~. O0 O


例 13 某检验中心为各工厂服务，要求进行检验的工厂（顾客）的到来服从 Poisson 流，平均到达率为λ = 48（次/d）；每天来检验由于停工等原因损失 6 元；服务（检验） 时间服从负指数分布，平均服务率为 μ = 25（次/d）；每设置一个检验员的服务成本为 4 元/d，其它条件均适合 M / M / s/ ∞ 系统。问应设几个检验员可使总费用的平均值最 少？


+ p/ o, t. q5 f
求解的 LINGO 程序如下：

/ b# |9 o: W3 K& F7 @7 e: V5 Omodel:
lamda=48;mu=25;rho=lamda/mu;
P_wait=@peb(rho,s);
+ K8 v% R0 W- I# O- PL_q=P_wait*rho/(s-rho);
) U# t6 W/ t1 K3 d" a1 p1 Z! FL_s=L_q+rho;
% K% p7 Z& |; d, ^8 |5 `' k& E: }min=4*s+6*L_s;
2 a+ g2 u/ t( p5 ~@gin(s);@bnd(2,s,5);
end

+ B# {/ S4 f$ ]2 H————————————————
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