动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分

浅夏110

动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。
" o/ ?5 j8 s$ S; T; f: n
变分法简介

变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。
1 V, f$ |! D2 r
1 变分法的基本概念
1.1 泛函

0 J, \0 y, J0 P, V; @4 g8 F
+ f) k0 i0 D6 J  d& K/ m
' g, Z4 P3 C& W; A* O" Y+ z 1.2 泛函的极值


$ X, m/ S" v. D8 q, H
1.3 泛函的变分
9 }. L/ I" E4 g3 X$ J! G

# v0 X3 @# u2 O4 x5 t* j3 C( X

; D' o4 g1 {% E1 ~- W1.4 极值与变分
利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：

% e: W, \8 |6 s' J; S- M! Q: R7 N
. p2 t, |+ a8 A# P8 B1 [) X
7 d  z. ^% b7 x; v' |9 x1.5. 变分法的基本引理
$ \/ c* ^  w- u! V! z* ?( e
6 J3 q4 P. a7 W1 K
3 C; @" ]' h1 e$ _
2 无约束条件的泛函极值
) |7 U) _% S7 s; b7 T& T7 L+ o
& ^6 _) T0 s: i; T! {

/ s  G+ Y7 A" |9 m9 |, b& T2.1 端点固定的情况

/ A4 t+ G1 [/ j" O


2.2 最简泛函的几种特殊情形
+ A7 i0 W2 A  _- w0 r9 T/ r0 \0 ~
0 {) n$ ]5 [) |0 y2 M3 \$ ?
: q. _6 J+ o. c
$ Z' Z0 S- C: R' @" M5 ]1 [! p! \3 F

/ O7 ~5 ^% c. }' h例 1 (最速降线问题)  
% o0 ^7 q( L* y7 x最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里（J. Bernoulli）于 1696 年提出的。问题的提法是这样的：设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 A 和 B 的平面曲线中，求一曲线，当 质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从 A 滑行至 B 时，使所需时间最短。

0 b$ J9 ~1 C" `5 _6 @, o



例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程



) q7 @8 C+ x9 G) @2.3 最简泛函的推广
最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。

$ N3 \( B+ ]& ]: O& E（ⅰ）含多个函数的泛函

2 ^8 s; Z5 H( ~3 T' s8 a( Y" n' S% V

（ii）含高阶导数的泛函



（iii） 含多元函数的泛函、奥式方程
5 H# b+ ^. R( p  E3 V: ~$ i: o
. H" @2 b! a! K7 B1 f4 }! \
. F2 i4 S6 X5 q5 ], Z1 d
1 ?: W2 F  c! m8 q; {7 H2.4 端点变动的情况（横截条件）

  }- J, ^- r# C7 |
7 `$ X; U( P, x$ m, U
; t" c. k3 z, r0 S: t& `
- S- R0 a& N' s4 j横截条件有两种常见的特殊情况：
$ I/ x' r, o+ g; K
1 j4 w: q- w+ X' C2 J6 M3 T5 x
# j/ \6 h3 O/ f
注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。
' e# L4 v- V* L7 n7 {& i
5 d$ ?/ y1 a3 T$ M/ h( A. T3 W 3 有约束条件的泛函极值
* @' u  V, ]6 f, K  T' [# d+ G在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统

9 U4 w4 q& }' ~7 Z1 f( t

& W$ ?! J" R$ |" N7 {& K  H

) f! w+ ~0 z. d

0 w. w% U, E) [; B1 T
+ P. J# @5 X! N+ W0 y' e/ }* Z7 P0 v% e
2 P: B# v: u: y* v' N: \* {& V4 最大（小）值原理
( K4 B- ?% N1 n/ ?


% r- P8 l; v1 S7 S" Z————————————————
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$ D' V7 R# }; n  _

/ g7 P+ L* {/ s- Q% R: C