动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分

浅夏110

动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。
3 V" g9 ~* C: z1 k: |: J8 Y
变分法简介

1 ]0 Z$ J4 m$ W- l变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。
8 i3 R- G. Y; }8 ]
1 变分法的基本概念
1.1 泛函
+ |: n: D+ Z- M  ?* `
' C0 i) k9 n$ d3 q5 ?! f' f& U* Q: W0 V

. _3 r9 q3 b+ g/ a( P 1.2 泛函的极值
. t- g% \3 a' B; h. [. |5 P


1.3 泛函的变分

* ^7 U, f! |: E9 d$ p. Q

* O7 h4 V- _: Z% }
1.4 极值与变分
利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：
" Z5 f% X" A* Q5 N- z
' W2 j# f$ s- V% f+ i- k3 s6 U5 q3 D

0 g* n/ f% |- |& S# i9 F1.5. 变分法的基本引理
4 v. o3 I/ ^1 u& v  T2 M( U  b
: b( x2 P+ q3 p+ g, X0 u
) D* l( @9 n8 L3 g& c9 e
2 U1 j1 ?9 [' e; V4 C/ K6 c6 H2 无约束条件的泛函极值


6 `2 C( E" j- G) Y
2.1 端点固定的情况

0 J% ]8 z/ g' `# m) j  Y; ~
8 n+ t1 ?6 a2 J

2.2 最简泛函的几种特殊情形



6 C0 a0 f1 K0 R; O5 C) t
$ w, L% n# V& Z4 y* d  ^% \* n' X
; ~( g; w$ F5 t. l: h例 1 (最速降线问题)  
) F2 a% g) n- D( u. i最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里（J. Bernoulli）于 1696 年提出的。问题的提法是这样的：设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 A 和 B 的平面曲线中，求一曲线，当 质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从 A 滑行至 B 时，使所需时间最短。
3 R5 E) \* i- [. U; P7 }9 a3 {3 {




例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程


. @  |  |8 G( H5 ?+ X# k& Y2 }1 h
  r; N) @" z. ]% u  o# V3 Z6 [2.3 最简泛函的推广
最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。
1 W$ h! l; G1 {* s  q! r! H! F
（ⅰ）含多个函数的泛函
6 Y) |+ ]# h# o  H, o9 l2 N


（ii）含高阶导数的泛函
( @6 `# U. J. [+ _2 H

, j+ O) g+ @* D" {% l
（iii） 含多元函数的泛函、奥式方程
3 {7 r  Z" D+ f1 C9 e5 c) b- ~
) U# |! `& s* [7 x, |8 {' Y/ U3 h6 V
! x! V) {3 Y& L
( |5 o  l  x. p: h2.4 端点变动的情况（横截条件）
' `1 o# ~. s! [. b



横截条件有两种常见的特殊情况：
' F( Q# v, _* z
" V* o, T1 D7 Y0 ~" i1 Z/ E
2 X& }2 I1 q) I- N  |
注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。
6 l+ q$ }' M3 J- ~
3 有约束条件的泛函极值
在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统
# b  x: h, U+ @: s1 Q& [
+ S' v3 ]- u2 X

" w; Q7 M" J5 M. `, F3 w
7 I& F  {" q( U+ t6 j  M3 O, d
: q% B9 Q% A5 `' M
4 f: q5 J. G6 S4 l
* C+ i# ?! _! A, |/ ]

7 f, k" d4 m1 G! z1 B& Q, x; `: U4 最大（小）值原理



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