动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分

浅夏110

动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。
0 Y3 e$ I( x! [; S$ y
! z, _2 V& E- e" e  ?变分法简介
/ b' D( K4 O  {: o) K5 p
变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。

6 A; \& u2 N4 C" R" M, F, f( Q) z1 变分法的基本概念
1.1 泛函
* _0 ~0 @& c8 j, g
3 M6 j( H5 L! d  C7 E1 @7 @

1.2 泛函的极值
9 X% K# g9 W- o, \3 y

4 \4 C+ {" B5 I: m' |. V
1.3 泛函的变分
/ _8 T" u& N( b
% T. J; g( m: A9 A+ z4 o. n9 F" _; i


1.4 极值与变分
利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：
4 R- C2 Y% q& j% W# C; |
% u$ a, e4 Y2 v' w+ T

+ _# b* n+ Z. y) I- }1.5. 变分法的基本引理
$ U, D8 B# T( Q- h; P
; t# i) F2 D. V0 H6 I; O

  Q8 J& M) t6 g) u# d  N2 无约束条件的泛函极值

% f# e9 p$ f1 V" @2 ^
, ?! L+ u, {9 \# j3 |, D
" V1 J/ V# l9 C! l+ j2.1 端点固定的情况



4 e& ^4 [6 Q/ |, @7 R  M% F
2.2 最简泛函的几种特殊情形

; l% \: Q1 @2 Q0 I8 K( w
- x8 K) s( y! D6 [$ @. Z- r! s


' ^" \6 l+ C* _- m例 1 (最速降线问题)  
& l  `& R! j) R2 x* F) a) H" r最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里（J. Bernoulli）于 1696 年提出的。问题的提法是这样的：设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 A 和 B 的平面曲线中，求一曲线，当 质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从 A 滑行至 B 时，使所需时间最短。

  b5 f. m( N! E* m0 N3 e

) q5 g6 U% B1 }7 l2 Y

例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程

/ E& t& B3 _% A, Z: |1 N. H5 _$ l
% D. K, S; A# o
2.3 最简泛函的推广
最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。

（ⅰ）含多个函数的泛函



（ii）含高阶导数的泛函


& `2 |1 ~" ?, V! `
（iii） 含多元函数的泛函、奥式方程
! a9 l) L- |% ^% z6 k0 f/ K$ W9 W

# Y6 ?! ^/ X1 M; T" ]# |( H
6 X  |, T2 ?% M2.4 端点变动的情况（横截条件）

) p  r. y1 O$ M2 u


横截条件有两种常见的特殊情况：

4 D& a$ K: G# g) C3 M  d; L) y
" [/ ~. z6 G  |. _& K
$ e2 W% x$ M1 \( n" e! I2 H注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。
2 k8 t3 f+ u. K! [
3 有约束条件的泛函极值
' j- R8 M4 T" J3 Z. ~3 V5 @/ m在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统



. P" |0 r2 j+ @3 O$ y

! `! e8 W6 R3 [# k, y! F+ |
$ \- t- a2 w7 ~7 }

; w! _/ J* ~# O5 r9 L
6 H& h4 |3 W5 O1 b6 V  S3 ?4 最大（小）值原理


* Y& m: D: S+ v$ S% B8 \' y
4 B6 ~% k0 d9 Z————————————————
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9 b5 O4 Q9 Z; O" {7 L

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