动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分

浅夏110

动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。
: R7 Q8 n1 Q7 L8 x
变分法简介
, \0 \. u! }3 F2 M6 i9 U& X1 p
3 q; Z0 J/ p7 ~变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。
6 Q* A9 S0 l) ^) M" O# l
/ P# y6 N/ i2 H7 f4 f8 k1 变分法的基本概念
1.1 泛函
2 X4 x7 [4 z3 d. }$ o$ o5 ~/ A& N

3 ]2 ?0 H: J4 c# R7 n
3 ~" H9 M2 N) c3 m% {( P& l 1.2 泛函的极值
5 X) z  k( x$ l" J+ p

, P7 Z  q% a. \& c7 }  D$ r8 I
7 F0 M/ V* u, D: W1.3 泛函的变分
/ G# w7 y: d. R3 A- R" O
  V$ A; {! d( e) ]  q
( e. h9 k; |- l
* K5 \" @6 O% u3 s* ~7 P
1.4 极值与变分
! |9 y0 m1 Y, W7 F利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：
. B) H/ U  Y$ h) P

8 q) p( {( c% t! N
1.5. 变分法的基本引理
6 h3 p) C: h8 g5 [- i8 p
" L; ~) K+ o. P9 ^: d" E
0 H, J, E3 f5 l8 |, w
2 无约束条件的泛函极值
$ @4 X9 z- P$ d( J/ |5 V
) d. Q  s6 X: [* r7 ~: ~+ y

2.1 端点固定的情况

" y7 R; Z$ h- r4 H
: a# l9 I; k7 l4 f/ W. l$ T

2.2 最简泛函的几种特殊情形





例 1 (最速降线问题)  
最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里（J. Bernoulli）于 1696 年提出的。问题的提法是这样的：设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 A 和 B 的平面曲线中，求一曲线，当 质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从 A 滑行至 B 时，使所需时间最短。




* {" D4 V! I' A& O- ~9 \% E
8 |% s; J) k2 S- b) F例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程



2.3 最简泛函的推广
" f& y* k" a3 P最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。

6 d) o- i7 ^6 m9 j/ `（ⅰ）含多个函数的泛函


& v  W& F& @- a3 r6 `  O
（ii）含高阶导数的泛函

0 J( a/ ~- E) L# V% G  Y8 @6 W% Y) |
/ o( I- Y) d$ ]$ H
) ^2 k3 r  r0 W% N$ b/ Z（iii） 含多元函数的泛函、奥式方程
7 w) i8 u1 j+ Q- \) I, P
( o9 K8 Y; T0 _$ s6 D1 n+ Z

2.4 端点变动的情况（横截条件）


5 b$ @) m# w- P( C  d) E9 r

横截条件有两种常见的特殊情况：
9 w5 W8 R2 ~; X4 L
( c! a8 D/ @5 f' j

注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。

3 有约束条件的泛函极值
$ s5 R! ~  M5 [  ^在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统

3 t2 z  s( R7 U

* J+ ], n$ ?! @' n0 F2 G) `




' z# P/ C7 _5 z- w/ |
* w0 W/ k( c8 j% L2 D4 最大（小）值原理

, F4 J7 j$ n7 D3 A  U

+ u/ B" t# c4 S$ ~% n/ T; Y————————————————
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: S% ~4 E% }4 V+ H+ ~原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/java/article/details/89644497

; Z) A3 N% _  P  v. C# D2 h
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