市场营销问题 （一）：用马氏链进行新产品的市场预测

浅夏110

某公司开发了一种新产品，打算与目前市场上已有的三种同类产品竞争。 为了了解这种新产品在市场上的竞争力，在大规模投放市场 前，公司营销部门进行了广 泛的市场调查，得到了表8。四种产品分别记为 A 、B 、C、D ，其中 A为新产品，表 中的数据的含义是：近购买某种产品（用行表示）的顾客下次购买四种产品的机会（概 率）。例如：表中第一行数据表示当前购买产品 A的顾客，下次购买产品 A 、B 、C、D  的概率分别为75％，10％，5％，10％。请你根据这个调查结果，分析新产品 A未来 的市场份额大概是多少？



6 ~1 b0 Y2 ?) X- H

5 g0 ~* @, I: P* c: ?" Y! k （1）问题分析

4 k4 |6 p% Y; j2 M- L! D. B! Z2 j新产品进入市场后，初期的市场份额将会不断发生变化，因此，本例中的问题是一 个离散动态随机过程，也就是马氏链（Markov chain）。很显然，上面给出的表实 际上是转移概率矩阵（注意每行元素的和肯定为1）。要分析新产品 A未来的市场份额， 就是要计算稳定状态下每种产品的概率。

/ ?" {9 `2 X& x+ h（2）模型的建立
/ _, p+ |' J& W) h. U8 U
7 N* U4 O: D  R3 z! _7 E, V/ Y记 N 为产品种数。产品编号为i（ N i =1, 2,...1 L= ），转移概率矩阵的元素记为，稳定状态下产品i的市场份额记为 .  因为是稳定状态，所以应该有   
3 X: L4 r# A; t( b) i" N# j
; C! p1 S" F5 N! h. W                                                              （1）

, U/ L* @- _1 k& i; `. V不过，这N 个方程实际上并不独立，至少有一个是冗余的。好在我们还有另一个 约束，即 N 种产品的市场份额之和等于1
% ^7 k. U8 A- V) B) b

                 （2）
/ W) v& B# s9 B0 h8 w
% V; B; x: @" v. s可见，这个问题的模型实际上是一个非常简单的方程组（当然，还应该增加概率  非负的约束）。如果把这些看成约束条件，那就是一个特殊的优化模型（没有目标函数）。

. b; @: c2 h% m! x9 B, F （3）模型的求解

) [9 u  P5 |7 p3 xLINGO程序如下：

3 {1 z' R" E5 V) dMODEL:
TITLE 新产品的市场预测;
: k3 {  o! o5 x& r/ m' h* QSETS:   
1 u& O4 i; }' m( r    PROD/ A B C D/: P;   
    LINK(PROD, PROD): T;
ENDSETS
5 l5 ?8 x# \4 l0 U, HDATA: ! 转移概率矩阵;   
( J5 S  }$ Y  g- }. f    T = .75  .1  .05  .1      
2 {$ L& D( O  _& i+ g        .4   .2  .1   .3        
# g* `3 R+ e7 T/ N: n' s        .1   .2  .4   .3        
3 ]& ^* \0 y1 m        .2   .2  .3   .3;
ENDDATA
2 ?- ]7 O# {3 m: E@FOR(PROD(I): P(I)=@SUM(LINK(J,I): P(J)* T(J,I)) );
' i! h0 H: _5 d' |$ W3 Z' |- p@SUM(PROD: P) = 1;
@FOR(PROD(I): @WARN( '输入矩阵的每行之和必须是1', @ABS( 1 - @SUM(LINK(I,J): T(I,J)))#GT# .000001));
END
可以指出的是，上面LINGO模型中后的语句@WARN只是为了验证输入矩阵的每行 之和必须是1，而且我们看到为了比较两个实数（如X和1）是否相等，一般不能直接用 “X#NE#1”，因为受计算机字长（精度）的限制，实数在计算机内存存储是有误差的。所 以，通常的方法是比较这两个实数之差的绝对值是否足够小。 求解结果为 A ,B ,C, D的市场份额分别是47.5％，15.25％，16.75％，20.5％。
5 ~* n2 o* Q( ~( |$ f, p9 o, O7 [1 P
# I8 ?1 |9 [6 p
# f+ a1 z  a9 A
0 H/ \! t* z, x6 m习题：假设某公司在银行有一个现金帐户和一个长期投资帐户，现金帐户利息很低， 而长期投资帐户利息较高。所有业务往来（收入和支出）只能通过现金帐户进行，如果 现金帐户中钱很多，就可能需要将一部分钱转入长期投资帐户；反之，需要将一部分钱从长期投资帐户转入现金帐户。为简单起见，假设以万元为单位，现金帐户的钱数只能 是－20，－10，0，…，40，50（万元）之一，分别记为状态1，2，…，7，8，它们 每个月分别导致的费用如表12所示。此外，根据统计，如果当月现金帐户的状态位于i （ 2 ≤i ≤7 ），下个月现金帐户的状态只可能位于 i-1，i，i+1 三者之一，并且概率分别为0.4，0.1，0.5；如果当月现金帐户的状态位于1，则下个月现金帐户的状态只可 能位于1和2，并且概率分别为0.5，0.5；如果当月现金帐户的状态位于8，则下个月 现金帐户的状态只可能位于7和8，并且概率分别为0.4，0.6。

/ M6 V8 u3 Q9 c1 R; p
0 k  d) a* T3 F3 V2 v
每月初你可以改变当前状态（即从长期投资帐户转入现金帐户，或从现金帐户转入 长期投资帐户），但假设每次状态的改变银行收取0.3万元的固定费用，此外还要收取 转帐金额5％的转帐手续费。请你建立优化模型，确定如果当月现金帐户的状态位于i， 是否应该改变当前状态，如何改变状态？
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4 @$ @* `$ E+ {! M) u* ?# M; c; f原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/java/article/details/89412812
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