市场营销问题 （一）：用马氏链进行新产品的市场预测

浅夏110

某公司开发了一种新产品，打算与目前市场上已有的三种同类产品竞争。 为了了解这种新产品在市场上的竞争力，在大规模投放市场 前，公司营销部门进行了广 泛的市场调查，得到了表8。四种产品分别记为 A 、B 、C、D ，其中 A为新产品，表 中的数据的含义是：近购买某种产品（用行表示）的顾客下次购买四种产品的机会（概 率）。例如：表中第一行数据表示当前购买产品 A的顾客，下次购买产品 A 、B 、C、D  的概率分别为75％，10％，5％，10％。请你根据这个调查结果，分析新产品 A未来 的市场份额大概是多少？



! |1 O6 L% k# t
7 n3 P# {  I& `+ M& X
（1）问题分析
$ ?  M" \! u! Z
0 v9 L; T7 j) X3 X, v新产品进入市场后，初期的市场份额将会不断发生变化，因此，本例中的问题是一 个离散动态随机过程，也就是马氏链（Markov chain）。很显然，上面给出的表实 际上是转移概率矩阵（注意每行元素的和肯定为1）。要分析新产品 A未来的市场份额， 就是要计算稳定状态下每种产品的概率。

（2）模型的建立
$ ~* p: Q  s0 p$ e+ P# E
2 ]' Y8 I  f2 z( m记 N 为产品种数。产品编号为i（ N i =1, 2,...1 L= ），转移概率矩阵的元素记为，稳定状态下产品i的市场份额记为 .  因为是稳定状态，所以应该有   
" U6 [: E7 y& f5 U  b' d+ ?
                                                              （1）
4 d$ l" D$ l3 R0 b$ J- t# f
不过，这N 个方程实际上并不独立，至少有一个是冗余的。好在我们还有另一个 约束，即 N 种产品的市场份额之和等于1

' E1 M/ ]0 R& I5 r, I& s
1 H& h& B$ b8 [& k3 f+ p                 （2）
; t9 N% f+ |& `# @# F  n
6 D& T2 [5 V8 S5 [可见，这个问题的模型实际上是一个非常简单的方程组（当然，还应该增加概率  非负的约束）。如果把这些看成约束条件，那就是一个特殊的优化模型（没有目标函数）。
( d% Z. P# U, j7 \
5 j# e$ h2 `2 m1 A9 q- H9 y4 H （3）模型的求解
3 \, T1 g% e  P/ O' z% c/ F3 J
- H7 v  |' l; a" `6 bLINGO程序如下：
+ P; f0 U- Y/ q- H$ _- H
MODEL:
TITLE 新产品的市场预测;
SETS:   
    PROD/ A B C D/: P;   
0 a* B1 A2 k" E1 b    LINK(PROD, PROD): T;
  ?# e" }6 g7 h+ P% RENDSETS
  Z2 Z+ e4 D0 f# GDATA: ! 转移概率矩阵;   
8 B8 d3 |+ n: ~: y/ h    T = .75  .1  .05  .1      
        .4   .2  .1   .3        
1 o5 U" k# }+ i2 z6 e        .1   .2  .4   .3        
        .2   .2  .3   .3;
' E4 j/ p/ O/ A$ H, i0 E0 l- ?ENDDATA
@FOR(PROD(I): P(I)=@SUM(LINK(J,I): P(J)* T(J,I)) );
: v+ q' F2 o% x/ C! @+ Q, h. v@SUM(PROD: P) = 1;
- t( L- b( a" f5 I6 ]( Q@FOR(PROD(I): @WARN( '输入矩阵的每行之和必须是1', @ABS( 1 - @SUM(LINK(I,J): T(I,J)))#GT# .000001));
END
可以指出的是，上面LINGO模型中后的语句@WARN只是为了验证输入矩阵的每行 之和必须是1，而且我们看到为了比较两个实数（如X和1）是否相等，一般不能直接用 “X#NE#1”，因为受计算机字长（精度）的限制，实数在计算机内存存储是有误差的。所 以，通常的方法是比较这两个实数之差的绝对值是否足够小。 求解结果为 A ,B ,C, D的市场份额分别是47.5％，15.25％，16.75％，20.5％。
% o4 ?* Z; X, h' A5 ^

0 g( `" x% p/ r# p; i4 \: z
3 f6 w" s; G0 X9 B9 I# H习题：假设某公司在银行有一个现金帐户和一个长期投资帐户，现金帐户利息很低， 而长期投资帐户利息较高。所有业务往来（收入和支出）只能通过现金帐户进行，如果 现金帐户中钱很多，就可能需要将一部分钱转入长期投资帐户；反之，需要将一部分钱从长期投资帐户转入现金帐户。为简单起见，假设以万元为单位，现金帐户的钱数只能 是－20，－10，0，…，40，50（万元）之一，分别记为状态1，2，…，7，8，它们 每个月分别导致的费用如表12所示。此外，根据统计，如果当月现金帐户的状态位于i （ 2 ≤i ≤7 ），下个月现金帐户的状态只可能位于 i-1，i，i+1 三者之一，并且概率分别为0.4，0.1，0.5；如果当月现金帐户的状态位于1，则下个月现金帐户的状态只可 能位于1和2，并且概率分别为0.5，0.5；如果当月现金帐户的状态位于8，则下个月 现金帐户的状态只可能位于7和8，并且概率分别为0.4，0.6。

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) H/ h$ j5 Z# {1 P 每月初你可以改变当前状态（即从长期投资帐户转入现金帐户，或从现金帐户转入 长期投资帐户），但假设每次状态的改变银行收取0.3万元的固定费用，此外还要收取 转帐金额5％的转帐手续费。请你建立优化模型，确定如果当月现金帐户的状态位于i， 是否应该改变当前状态，如何改变状态？
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