飞行计划安排问题

浅夏110

例题：这个问题是以第二次世界大战中的一个实际问题为背景，经过简化而提出来 的。在甲、乙双方的一场战争中，一部分甲方部队被乙方部队包围长达 4 个月。由于乙 方封锁了所有水陆交通要道，被包围的甲方部队只能依靠空中交通维持供给。运送 4 个月的供给分别需要 2，3，3，4 次飞行，每次飞行编队由 50 架飞机组成（每架飞机需 要 3 名飞行员），可以运送 10 万吨物质。每架飞机每个月只能飞行一次，每名飞行员每 个月也只能飞行一次。在执行完运输任务后的返回途中有 20％的飞机会被乙方部队击 落，相应的飞行员也因此牺牲或失踪。在第 1 个月开始时，甲方拥有 110 架飞机和 330 名熟练的飞行员。在每个月开始时，甲方可以招聘新飞行员和购买新飞机。新飞机必须 经过一个月的检查后才可以投入使用，新飞行员必须在熟练飞行员的指导下经过一个月 的训练才能投入飞行。每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导 20 名飞行员（包括他 自己在内）进行训练。每名飞行员在完成一个月的飞行任务后，必须有一个月的带薪假 期，假期结束后才能再投入飞行。

已知各项费用（单位略去）如表 10 所示，请为甲方 安排一个飞行计划。

如果每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导不超过 20 名飞行员（包括他自己在 内）进行训练，模型和结果有哪些改变？
4 {& ~$ o) l1 V6 b0 `/ f+ c, e9 T
" {/ r6 L& ]3 S& W; i/ a# \
9 @4 N% `3 t# V; D! \* N
（1）问题分析
) o3 h0 D7 G1 z$ p
' S' N+ m7 l1 a( v9 x5 d) ?这个问题看起来很复杂，但只要理解了这个例子中所描述的事实，其实建立优化 模型并不困难。首先可以看出，执行飞行任务以及执行飞行任务后休假的熟练飞行员数 量是常数，所以这部分费用（报酬）是固定的，在优化目标中可以不考虑。
/ e6 l+ d: o1 |% y8 R/ A
（2）决策变量
8 {( {" w' ?+ W; H. Q
设 4 个月开始时甲方新购买的飞机数量分别为   （ i=1,2,3,4 ）架，闲置的飞机数量分别为  架。4 个月中，飞行员中教练和新飞行员数量分别为   （ i=1,2,3,4 ）人，闲置的熟练飞行员数量分别为  人。
( B* x; q$ z) [+ J; a/ @& F
+ Y( W/ p# g) P, d# q$ [（3）目标函数

- K" L' H# |. S/ z  F+ y优化目标是
% Z' p* S+ x2 F9 |- ^
6 a$ m6 Q- @5 k/ ?& }8 f8 }

8 B2 o0 q* d# ~: E（4）约束条件
- h* t3 @% c8 @2 N5 o4 X
. W5 d4 S9 L9 |7 L需要考虑的约束包括：
- f" c5 ^5 I1 K0 c/ j, j8 m
+ ~3 C8 u1 r% l; \8 ]i）飞机数量限制。4 个月中执行飞行任务的飞机分别为 100，150，150，200（架）， 但只有 80，120，120，160（架）能够返回供下个月使用。
* d" j- e. }1 p' y, p
1 U2 A3 ~. n, M: t9 t, Z" Y

ii）飞行员数量限制。4 个月中执行飞行任务的熟练飞行员分别为 300，450，450， 600（人），但只有 240，360，360，480（人）能够返回（下个月一定休假）。

) r7 J" e; U! g, x% S0 f2 ?
# z  N0 b5 o% D% z
（5）求解 编写 LINGO 程序如下
6 C+ Z* z, }9 |
/ w* `* U" u9 W8 H3 g/ [: L' h  i5 Qmodel:
sets:
8 Q" s+ Q& R2 [1 c& z0 pcol/1..4/:c1,c2,c3,x,u,v,y;
row/1..3/:b1,b2;
. H3 f0 T# }5 o  oendsets
data:
c1=200 195 190 185;
+ R$ |( Z( \2 I2 jc2=10 9.9 9.8 9.7;
c3=7 6.9 6.8 6.7;
+ o+ {1 a/ r& A! ]+ xb1=70 30 80;
b2=450 210 240;
# w1 \! a% _) t- C  Benddata
* r4 X" g0 \4 @/ N3 A% Zmin=@sum(col:c1*x+c2*u+c3*v);
y(1)=10;
@for(col(i)|i#lt#4:y(i)+x(i)-y(i+1)=b1(i)); 0.05*u(1)+v(1)=30; @for(col(i)|i#lt#4:u(i)+v(i)-0.05*u(i+1)-v(i+1)=b2(i)); @for(colgin(x);@gin(u);@gin(v);@gin(y));
end

! l+ M! w/ p  N% M

+ e- p! e2 e& |; q6）问题讨论

) \2 H8 K5 B3 q" I& n7 R如果每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导不超过 20 名飞行员(包括他自己在内）进行训练，则应将教练与新飞行员分开。设4个月飞行员中教练为 （人），新飞行员数量分别为  （人）。其它符号不变。飞行员的数量限制约束为
$ H4 Y  F) Z! l5 I3 @: {4 k
, @6 ~* x" [/ u) u: o8 X& ?
( N! g: y+ ^$ l" Z
目标函数作相应修改，输入 LINGO 如下：
9 P7 ~6 L/ [6 M1 J7 ~8 ?" J; }
model:
sets:
col/1..4/:
c1,c2,c3,x,u,v,w,y;
row/1..3/:b1,b2;
endsets
* E, Q- u! T8 ]data:
c1=200 195 190 185;
' z4 q' ?  k5 h5 w/ z, pc2=10 9.9 9.8 9.7;
* m. T$ p; S0 V, j& D+ Ic3=7 6.9 6.8 6.7;
b1=70 30 80;
b2=450 210 240;
enddata
min=@sum(col:c1*x+c2*(u+w)+c3*v);
y(1)=10;
@for(col(i)|i#lt#4:y(i)+x(i)-y(i+1)=b1(i)); u(1)+v(1)=30;
" Q3 y/ d; O6 m5 t' H( i5 I1 C@for(col(i)|i#lt#4:u(i)+v(i)+w(i)-u(i+1)-v(i+1)=b2(i));
@for(col(i)|i#lt#4:w(i)<20*u(i));
@for(colgin(x);@gin(u);@gin(v);@gin(w);@gin(y));
, j4 C1 J) i" r8 W6 dend


  n) X5 Y* Q7 ]8 \8 `3 n————————————————
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