飞行计划安排问题

浅夏110

例题：这个问题是以第二次世界大战中的一个实际问题为背景，经过简化而提出来 的。在甲、乙双方的一场战争中，一部分甲方部队被乙方部队包围长达 4 个月。由于乙 方封锁了所有水陆交通要道，被包围的甲方部队只能依靠空中交通维持供给。运送 4 个月的供给分别需要 2，3，3，4 次飞行，每次飞行编队由 50 架飞机组成（每架飞机需 要 3 名飞行员），可以运送 10 万吨物质。每架飞机每个月只能飞行一次，每名飞行员每 个月也只能飞行一次。在执行完运输任务后的返回途中有 20％的飞机会被乙方部队击 落，相应的飞行员也因此牺牲或失踪。在第 1 个月开始时，甲方拥有 110 架飞机和 330 名熟练的飞行员。在每个月开始时，甲方可以招聘新飞行员和购买新飞机。新飞机必须 经过一个月的检查后才可以投入使用，新飞行员必须在熟练飞行员的指导下经过一个月 的训练才能投入飞行。每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导 20 名飞行员（包括他 自己在内）进行训练。每名飞行员在完成一个月的飞行任务后，必须有一个月的带薪假 期，假期结束后才能再投入飞行。
% K3 D/ ]- s" S/ ^
4 t, _: T" [/ _1 P% n& x' M已知各项费用（单位略去）如表 10 所示，请为甲方 安排一个飞行计划。

如果每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导不超过 20 名飞行员（包括他自己在 内）进行训练，模型和结果有哪些改变？

$ G5 F( r' A/ }5 U* z) V
2 ?8 a# Y1 a& ]8 D3 Y
（1）问题分析

这个问题看起来很复杂，但只要理解了这个例子中所描述的事实，其实建立优化 模型并不困难。首先可以看出，执行飞行任务以及执行飞行任务后休假的熟练飞行员数 量是常数，所以这部分费用（报酬）是固定的，在优化目标中可以不考虑。

! d3 S" k% {& [! U（2）决策变量

) S0 E' U" M2 h设 4 个月开始时甲方新购买的飞机数量分别为   （ i=1,2,3,4 ）架，闲置的飞机数量分别为  架。4 个月中，飞行员中教练和新飞行员数量分别为   （ i=1,2,3,4 ）人，闲置的熟练飞行员数量分别为  人。

% Z8 N1 b- I; Q8 p6 T（3）目标函数
# z, \- V3 I4 D' O8 K$ D# k0 U
3 T6 R5 i. _6 Q3 y7 g优化目标是



（4）约束条件
/ Q/ C% b( r  X7 W  z* f0 M: L
需要考虑的约束包括：

5 d( L. D4 y# Q. z# `& gi）飞机数量限制。4 个月中执行飞行任务的飞机分别为 100，150，150，200（架）， 但只有 80，120，120，160（架）能够返回供下个月使用。

- h  o! y" Q( W' s6 [" I* `! d
! _& Y- T/ _1 f
ii）飞行员数量限制。4 个月中执行飞行任务的熟练飞行员分别为 300，450，450， 600（人），但只有 240，360，360，480（人）能够返回（下个月一定休假）。
! S# H9 Z( |4 u0 A+ u% V


* H  G# z+ d% z0 k. R（5）求解 编写 LINGO 程序如下

: r1 y% v) l" ~; ~model:
sets:
2 a% x7 x+ m7 C6 O) _1 ecol/1..4/:c1,c2,c3,x,u,v,y;
  N9 J& v; n4 ?8 O/ U3 {row/1..3/:b1,b2;
# H- R" z, L: s3 @) ?' Q+ m" x, c' ^endsets
data:
" L( ]# G: u& v1 [' U! z$ @c1=200 195 190 185;
c2=10 9.9 9.8 9.7;
: `7 B8 w3 w0 x) H% e% Hc3=7 6.9 6.8 6.7;
$ \0 Y( Z; _9 q8 H3 F4 U# Sb1=70 30 80;
2 I( O4 e6 R4 p9 v4 ~b2=450 210 240;
! D- `+ ~: e9 n4 lenddata
) Y* e. k" z* p% D1 y/ Dmin=@sum(col:c1*x+c2*u+c3*v);
y(1)=10;
@for(col(i)|i#lt#4:y(i)+x(i)-y(i+1)=b1(i)); 0.05*u(1)+v(1)=30; @for(col(i)|i#lt#4:u(i)+v(i)-0.05*u(i+1)-v(i+1)=b2(i)); @for(colgin(x);@gin(u);@gin(v);@gin(y));
8 \  h+ r) I9 X/ Y! \" Qend
/ b7 s5 c8 _: w& Z3 L


, l! s6 K8 N, W: `4 P/ a6）问题讨论
6 @9 R" j! B7 h
如果每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导不超过 20 名飞行员(包括他自己在内）进行训练，则应将教练与新飞行员分开。设4个月飞行员中教练为 （人），新飞行员数量分别为  （人）。其它符号不变。飞行员的数量限制约束为
9 m& T2 E' a  P/ |


目标函数作相应修改，输入 LINGO 如下：

/ k- O$ [5 G" Z1 Kmodel:
) O' e/ m# W; \8 A6 osets:
: X: o& o* j/ Xcol/1..4/:
c1,c2,c3,x,u,v,w,y;
row/1..3/:b1,b2;
endsets
6 f6 O. e; d) z; Sdata:
! f  g- F/ E& e4 Ac1=200 195 190 185;
  ]7 ~0 @! W5 d* }# M3 Cc2=10 9.9 9.8 9.7;
c3=7 6.9 6.8 6.7;
b1=70 30 80;
5 s7 C$ b2 T& b9 y: S  {) x! db2=450 210 240;
enddata
# x+ k; Y$ j& kmin=@sum(col:c1*x+c2*(u+w)+c3*v);
y(1)=10;
' W+ C) q2 Y: I@for(col(i)|i#lt#4:y(i)+x(i)-y(i+1)=b1(i)); u(1)+v(1)=30;
9 {, [# `5 P% r@for(col(i)|i#lt#4:u(i)+v(i)+w(i)-u(i+1)-v(i+1)=b2(i));
@for(col(i)|i#lt#4:w(i)<20*u(i));
@for(colgin(x);@gin(u);@gin(v);@gin(w);@gin(y));
' ?- w& L5 Z! V" J; t  O7 D1 nend


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