飞行计划安排问题

浅夏110

例题：这个问题是以第二次世界大战中的一个实际问题为背景，经过简化而提出来 的。在甲、乙双方的一场战争中，一部分甲方部队被乙方部队包围长达 4 个月。由于乙 方封锁了所有水陆交通要道，被包围的甲方部队只能依靠空中交通维持供给。运送 4 个月的供给分别需要 2，3，3，4 次飞行，每次飞行编队由 50 架飞机组成（每架飞机需 要 3 名飞行员），可以运送 10 万吨物质。每架飞机每个月只能飞行一次，每名飞行员每 个月也只能飞行一次。在执行完运输任务后的返回途中有 20％的飞机会被乙方部队击 落，相应的飞行员也因此牺牲或失踪。在第 1 个月开始时，甲方拥有 110 架飞机和 330 名熟练的飞行员。在每个月开始时，甲方可以招聘新飞行员和购买新飞机。新飞机必须 经过一个月的检查后才可以投入使用，新飞行员必须在熟练飞行员的指导下经过一个月 的训练才能投入飞行。每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导 20 名飞行员（包括他 自己在内）进行训练。每名飞行员在完成一个月的飞行任务后，必须有一个月的带薪假 期，假期结束后才能再投入飞行。
$ D+ A. ~. \4 l# u; w; v2 E( i. W8 }
已知各项费用（单位略去）如表 10 所示，请为甲方 安排一个飞行计划。

如果每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导不超过 20 名飞行员（包括他自己在 内）进行训练，模型和结果有哪些改变？
* H9 k2 _1 F2 w7 @- `

6 c- c3 N: p) W$ Z
（1）问题分析

这个问题看起来很复杂，但只要理解了这个例子中所描述的事实，其实建立优化 模型并不困难。首先可以看出，执行飞行任务以及执行飞行任务后休假的熟练飞行员数 量是常数，所以这部分费用（报酬）是固定的，在优化目标中可以不考虑。
; @& q% F$ o4 o
* K$ w/ e+ L5 W8 h（2）决策变量
7 E! y. v1 k3 z. b- E8 X
, t* e3 U9 ]3 l' ]( N& |$ N, q设 4 个月开始时甲方新购买的飞机数量分别为   （ i=1,2,3,4 ）架，闲置的飞机数量分别为  架。4 个月中，飞行员中教练和新飞行员数量分别为   （ i=1,2,3,4 ）人，闲置的熟练飞行员数量分别为  人。
" l0 c9 b: S' Z" q. q+ {7 P
0 C6 w5 P0 b  _9 U  Q" m% |; B（3）目标函数
5 R: a/ k- k3 |) B4 I
优化目标是
. L7 r4 ^% v% F

4 a3 K! j& l7 s! A0 z* t
（4）约束条件
* O3 }2 C! K5 z6 B
需要考虑的约束包括：
* X, }% c  f! P" ^7 ]1 |
9 o  f4 w8 |* |  l+ Vi）飞机数量限制。4 个月中执行飞行任务的飞机分别为 100，150，150，200（架）， 但只有 80，120，120，160（架）能够返回供下个月使用。
/ z- B: q, I) v- n6 S

+ J, i0 p( \+ L- d( H
ii）飞行员数量限制。4 个月中执行飞行任务的熟练飞行员分别为 300，450，450， 600（人），但只有 240，360，360，480（人）能够返回（下个月一定休假）。
! N1 u8 ?' |: B0 y- X  c
* c- \5 s$ d! P$ b

（5）求解 编写 LINGO 程序如下

model:
sets:
9 i& \. v4 T3 G- }( V; h& xcol/1..4/:c1,c2,c3,x,u,v,y;
6 g1 L1 F$ D( }' e* K& y8 R1 j  U  _0 `row/1..3/:b1,b2;
  j2 M. J9 q$ A7 I, B4 U/ Yendsets
data:
( s3 e$ O) W. A9 c! {c1=200 195 190 185;
6 L1 J1 m# Y! k) Dc2=10 9.9 9.8 9.7;
c3=7 6.9 6.8 6.7;
8 p0 q0 v! l) u3 u! C$ J; pb1=70 30 80;
5 h$ Q4 c$ f2 N+ l  ib2=450 210 240;
! O; j0 {/ e& C9 {% U3 jenddata
( G. K4 Y$ R- V( kmin=@sum(col:c1*x+c2*u+c3*v);
y(1)=10;
@for(col(i)|i#lt#4:y(i)+x(i)-y(i+1)=b1(i)); 0.05*u(1)+v(1)=30; @for(col(i)|i#lt#4:u(i)+v(i)-0.05*u(i+1)-v(i+1)=b2(i)); @for(colgin(x);@gin(u);@gin(v);@gin(y));
: ]) g: \/ m& \/ p; n, hend


6 J5 {; p3 l" }3 B" a8 o
6）问题讨论
& C/ `0 x! d, g- v- ?: o, J
1 z- S" U9 M+ H0 k* k3 V( H' @0 \4 B7 v. S如果每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导不超过 20 名飞行员(包括他自己在内）进行训练，则应将教练与新飞行员分开。设4个月飞行员中教练为 （人），新飞行员数量分别为  （人）。其它符号不变。飞行员的数量限制约束为


; ^0 M" P) y5 ~) F" t
目标函数作相应修改，输入 LINGO 如下：

% w5 R  b. }7 w, a( k" b0 u9 Hmodel:
4 d3 S. y7 f6 F/ \* t  hsets:
col/1..4/:
c1,c2,c3,x,u,v,w,y;
row/1..3/:b1,b2;
endsets
& U0 Z. `6 `3 w: J& Odata:
- d+ h: u' w/ @; J; w1 C0 v5 dc1=200 195 190 185;
c2=10 9.9 9.8 9.7;
" x$ f7 q6 C( A6 g( \7 C+ Uc3=7 6.9 6.8 6.7;
b1=70 30 80;
b2=450 210 240;
enddata
min=@sum(col:c1*x+c2*(u+w)+c3*v);
y(1)=10;
" l" w) }1 @% @) w@for(col(i)|i#lt#4:y(i)+x(i)-y(i+1)=b1(i)); u(1)+v(1)=30;
8 D; K5 _0 g8 y; T/ B9 B@for(col(i)|i#lt#4:u(i)+v(i)+w(i)-u(i+1)-v(i+1)=b2(i));
; s! g7 f& G6 ?7 X@for(col(i)|i#lt#4:w(i)<20*u(i));
6 T6 h. {' P2 J8 r! W@for(colgin(x);@gin(u);@gin(v);@gin(w);@gin(y));
; N5 O0 z/ A; D# I2 e$ |end
! M) [7 K# [/ z/ c- l; [* G, y
) U* k& y6 H: u% ^; X8 }5 z
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$ W8 v! b4 F  P7 d3 N