面试顺序问题：用数学建模优化生产与服务运作中的管理问题

浅夏110

例题： 有 4 名同学到一家公司参加三个阶段的面试：公司要求每个同学都必须首先 找公司秘书初试，然后到部门主管处复试，最后到经理处参加面试，并且不允许插队（即 在任何一个阶段 4 名同学的顺序是一样的）。由于 4 名同学的专业背景不同，所以每人 在三个阶段的面试时间也不同，如表 5 所示。这 4 名同学约定他们全部面试完以后一起离开公司。假定现在时间是早晨 8:00，请问他们最早何时能离开公司？
* s" s- u+ F0 V9 e) K' c

, {6 V7 {, y8 C/ X2 U% {* v# a
1 建立模型
+ F) l5 Q! c4 \   实际上，这个问题就是要安排 4 名同学的面试顺序，使完成全部面试所花费的时 间最少。

2 i4 |$ N: v; |8 ^' k" l: d记  为第i名同学参加第 j 阶段面试需要的时间（已知），令   表示第i名同学参加第 j 阶段面试的开始时间（不妨记早上 8:00 面试开始为 0 时刻） （i=1,2,3,4 ; j =1,2,3），T 为完成全部面试所花费的最少时间。

, k: h6 F/ \& a 优化目标为                            （1）

# t3 N4 d2 C. d& S约束条件：
" b& y+ T/ c- Q% A, `
1）时间先后次序约束（每人只有参加完前一个阶段的面试后才能进入下一个阶段）：                                （2）
& U0 W1 l9 Z9 I4 V7 F% G
' U. H4 [1 b3 z3 z$ y2 H) V! v* ~2 ）每个阶段 j 同一时间只能面试 1 名同学：用  0− 1 变量  表示第k 名同学是否 排在第i名同学前面（1 表示“是”，0 表示“否”），则
9 |4 c/ m6 m% u5 Q+ C3 R, d
6 d# @  n- c6 F" z! \* R    （3）

可以将上述非线性的优化目标（1） 改写为如下线性优化目标：

4 S$ G* A* I! h# c# e" R                   （4）
1 X" I3 ]7 y6 x8 Y0 ~9 C
式（2）～（4）就是这个问题的  0−1  非线性规划模型（当然所有变量还有非负约束，变量   还有  0− 1约束）。
1 Z& I7 \6 m6 c" S: V  P1 I1 R
. Q% d* R0 S' n) `; E2  求解模型
' h1 B+ S" g; e- a8 ~编写 LINGO 程序如下：

, B7 a, w( Z! `8 fmodel:
Title 面试问题;
3 I! T0 i& |$ l: T5 u; `  xSETS: Person/1..4/;
' Y8 s& R! G1 X' u+ L& QStage/1..3/;
PXS(Person,Stage): T, X;
+ o1 L& q" z1 {8 Y  {7 x1 A' APXP(Person,Person)|&1 #LT# &2: Y;
ENDSETS
6 B( J8 m1 v5 G  N% K' k' T3 dDATA:
T=13, 15, 20, 10 , 20 , 18, 20, 16, 10, 8, 10, 15;
ENDDATA
[obj] min=MAXT;
MAXT>= @max(PXS(i,j)|j#EQ#@size(stage):x(i,j)+t(i,j));
! 只有参加完前一个阶段的面试后才能进入下一个阶段;
@for(PXS(i,j)|j#LT#@size(stage):[ORDER]x(i,j)+t(i,j)<x(i,j+1));
! 同一时间只能面试1名同学;
/ Y/ T- y9 L- ?% t! k@for(Stage(j):   
    @for(PXP(i,k):[SORT1]x(i,j)+t(i,j)-x(k,j)<MAXT*Y(i,k));  
. p6 T9 t+ N+ u. L    @for(PXP(i,k):[SORT2]x(k,j)+t(k,j)-x(i,j)<MAXT*(1-Y(i,k))));
@for(PXP: @bin(y));
, b) y7 e* }1 f- K3 w5 k$ Mend
计算结果为，所有面试完成至少需要 84min，面试顺序为 4－1－2－3（丁－甲－ 乙－丙）。早上 8:00 面试开始，最早 9:24 面试可以全部结束。
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