面试顺序问题：用数学建模优化生产与服务运作中的管理问题

浅夏110

例题： 有 4 名同学到一家公司参加三个阶段的面试：公司要求每个同学都必须首先 找公司秘书初试，然后到部门主管处复试，最后到经理处参加面试，并且不允许插队（即 在任何一个阶段 4 名同学的顺序是一样的）。由于 4 名同学的专业背景不同，所以每人 在三个阶段的面试时间也不同，如表 5 所示。这 4 名同学约定他们全部面试完以后一起离开公司。假定现在时间是早晨 8:00，请问他们最早何时能离开公司？
, w7 h8 Q7 S) z/ K( m
- A% V+ w- g. \8 i' h' Q
6 i$ }, |  @) S  v& h) k, r6 x
1 建立模型
: D) i3 S0 Q. A5 D2 v% h3 }   实际上，这个问题就是要安排 4 名同学的面试顺序，使完成全部面试所花费的时 间最少。
9 f2 Z$ \5 y/ ~$ Q
! V# B% ]1 C0 O记  为第i名同学参加第 j 阶段面试需要的时间（已知），令   表示第i名同学参加第 j 阶段面试的开始时间（不妨记早上 8:00 面试开始为 0 时刻） （i=1,2,3,4 ; j =1,2,3），T 为完成全部面试所花费的最少时间。

9 R3 }/ f7 l/ {' T 优化目标为                            （1）

, z( V; _# V) t, X7 @# E3 Y, u7 `约束条件：
) ^* r$ f& G0 q# `8 ^! N  P; w+ w2 {
1）时间先后次序约束（每人只有参加完前一个阶段的面试后才能进入下一个阶段）：                                （2）

+ p) x0 d6 c+ h( D! t" s2 ）每个阶段 j 同一时间只能面试 1 名同学：用  0− 1 变量  表示第k 名同学是否 排在第i名同学前面（1 表示“是”，0 表示“否”），则
' j: R% w: Y# ]$ w3 o
  b  E4 W  o5 V( P- o  a    （3）
0 ?& N7 \* G; e, ]0 [; C
! k6 w2 t- \0 Z# B8 n7 f可以将上述非线性的优化目标（1） 改写为如下线性优化目标：

3 s' P' P- i( f. R* |1 p$ `* t                   （4）
5 z! m3 f9 g' B9 O* ~
5 [( }# C) |- V  D+ n% w2 `: Q式（2）～（4）就是这个问题的  0−1  非线性规划模型（当然所有变量还有非负约束，变量   还有  0− 1约束）。
7 Q' d4 a1 K& S
1 Q  ]8 h$ u& F0 `3 D) I4 y2  求解模型
编写 LINGO 程序如下：
9 v2 _' q2 g2 v. N8 |0 K( f
model:
8 G$ p( V6 l* b* O+ D4 G0 zTitle 面试问题;
SETS: Person/1..4/;
Stage/1..3/;
* s4 ?/ @! a6 ^0 v/ cPXS(Person,Stage): T, X;
PXP(Person,Person)|&1 #LT# &2: Y;
7 c1 `, G3 S% u% ^# }2 E0 yENDSETS
& m! h# u& ^1 h  c0 CDATA:
T=13, 15, 20, 10 , 20 , 18, 20, 16, 10, 8, 10, 15;
ENDDATA
[obj] min=MAXT;
0 b+ Y4 B7 q* J+ R' ^! z9 o& s0 [MAXT>= @max(PXS(i,j)|j#EQ#@size(stage):x(i,j)+t(i,j));
2 L! c( g. {0 k# y! 只有参加完前一个阶段的面试后才能进入下一个阶段;
& a! X$ G; L3 Q9 G@for(PXS(i,j)|j#LT#@size(stage):[ORDER]x(i,j)+t(i,j)<x(i,j+1));
4 X+ g9 ?; Z) k2 X5 i+ q! 同一时间只能面试1名同学;
@for(Stage(j):   
    @for(PXP(i,k):[SORT1]x(i,j)+t(i,j)-x(k,j)<MAXT*Y(i,k));  
8 G0 G( g8 K  w0 f+ ^, y. d+ E    @for(PXP(i,k):[SORT2]x(k,j)+t(k,j)-x(i,j)<MAXT*(1-Y(i,k))));
@for(PXP: @bin(y));
end
计算结果为，所有面试完成至少需要 84min，面试顺序为 4－1－2－3（丁－甲－ 乙－丙）。早上 8:00 面试开始，最早 9:24 面试可以全部结束。
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