" z q0 {% f9 Q2 Z1 `(3)模型 2 及求解 ! h- a4 e4 M. |* `5 r1 ? % P+ d: P! U& P注意到这个问题中角度和距离的单位是不一致的(角度为弧度,距离为公里),因 此将这 4 个误差平方和同等对待(相加)不是很合适。并且,4 种设备测量的精度(误差限)不同,而上面的方法根本没有考虑测量误差问题。如何利用测量设备的精度信息? 这就需要看对例中给出的设备精度如何理解。 一种可能的理解是:设备的测量误差是均匀分布的。以 VOR1 为例,目前测得的角度为 ,测量精度为 ,所以实际的角度应该位于区间 内。对其它设备也可以类似理解。由于 很少,即测量精度很高,所以在相应区间内正切函数 tan 的单调性成立。于是可以得到一组不等式: 9 w" n% a0 `8 U2 V% L2 n$ s: q/ M , G: w5 ?+ {6 g: j9 b7 m5 q# Y7 J3 B( M) z8 M8 E
+ T9 b6 K% t# P- _; S 也就是说,飞机坐标应该位于上述不等式组成的区域内。 由于这里假设设备的测量误差是均匀分布的,所以飞机坐标在这个区域内的每个 点上的可能性应该也是一样的,我们最好应该给出这个区域的 x和 y 坐标的最大值和最小值。于是我们可以分别以 min x , max x , min y, max y为目标,以上面的区域限制条件为约束,求出x 和 y 坐标的最大值和最小值。 8 K; n. _: I6 ~
以 min x 为例,相应的 LINGO 程序为: 3 ] ~; {8 ? n3 B0 @
( b! @8 @3 n' s6 ^# Q9 Z5 M- yMODEL: . d2 G+ ?! y) A5 f8 B
TITLE 飞机定位模型2; - V2 N T4 P# r+ R! I tSETS: VOR/1..3/:x0,y0,cita,sigma; 8 a' P# W3 Q$ |" m" Q1 T
ENDSETS 7 L+ M4 ^- s% ]- c: s
INIT: 4 q3 ]4 e; w: P: S& P; L. m
x=1000; y=900; ; I2 I5 |+ k* m8 H
ENDINIT - e9 P8 c4 J0 t: Q4 R7 g! FDATA: / {" } r) K3 g! _" B5 q) ^# n
x0, y0, cita, sigma = ' r3 J8 b- f7 [746 1393 161.2 0.8 # K3 P1 p8 }- v629 375 45.1 0.6 ( ?' n$ ]& Z! i5 P3 ~& i6 J1571 259 309.0 1.3; % r7 y5 Y" K$ H- { yx4 y4 d4 sigma4=155,987,864.3,2.0; % i7 L! m7 J) w( N3 R' YENDDATA K. c+ T% k# ?- ]3 Q
calc: " C" }( H L) _@for(VOR:cita=cita*3.14159/180;sigma=sigma*3.14159/180); + j& p# a: L G& P
endcalc 0 p2 p9 k8 I. ?' w
min=x; 0 a$ N7 ?( N0 G B@for(VOR:(x-x0)/(y-y0)>@tan(cita-sigma)); ( t) a; H+ p( i5 W8 W3 X I@for(VOR:(x-x0)/(y-y0)<@tan(cita+sigma)); ) D3 ~& ]1 k* cd4-sigma4 <((x-x4)^2+(y-y4)^2)^.5 ; 2 z3 y; K6 l; H" O+ u; P4 E
d4+sigma4 >((x-x4)^2+(y-y4)^2)^.5 ; ; W, K* j) R8 n7 [ L7 A
END / X- Q0 n% | ^& Y9 A$ f2 F7 Q4 I注意:用 LINGO9 求解非线性问题,必须对决策变量进行初始化,否则 LINGO 可 能找不到可行解。决策变量的初值也有范围限制,取的不合适也可能找不到可行解。 求得的 x的最小值为 974. 8433。类似地(只需要换目标函数就可以了),可得 到 x的最大值为 982.2005, y 的最小值为 717.1614, y 的最大值为 733.1582。 因此,最后得到的解是一个比较大的矩形区域,大致为 . " S8 t2 M' I7 K9 p8 u& X2 l0 U; Y- T5 n; M: P
(4)模型 3 及求解3 T9 h8 c. d, O7 k# T
& g7 ^3 e/ o d
模型 2 得到的只是一个很大的矩形区域,仍不能令人满意。实际上,模型 2 假设 设备的测量误差是均匀分布的,这是很不合理的。一般来说,在多次测量中,应该假设设备的测量误差是正态分布的,而且均值为 0。本例中给出的精度 可以认为是测量 f. W2 {: j" E误差的标准差。 2 e2 @5 N, t1 Y' t
$ f4 D6 A) ^) X/ b
在这种理解下,用各自的误差限 对测量误差进行无量纲化(也可以看成是一种加权法)处理是合理的,即求解如下的无约束优化问题更合理。 3 S8 d) x) p6 @; b/ p8 q) O
2 I- G, d) N9 \* Y8 Y 5 x% E6 w7 n8 m, [6 M; J3 r1 A
# m: S7 j) {: P
由于目标函数是平方和的形式,因此这是一个非线性最小二乘拟合问题。相应的 LINGO 程序为: 7 b- i! c4 c# T - p( l# d0 j/ p8 HMODEL: + r- y7 I! c' ` z% x, C
TITLE 飞机定位模型3; # n! L, Q" e7 { C6 r
SETS: 8 S+ ^% N" Y' `1 L3 H' j/ }
VOR/1..3/:x0,y0,cita,sigma,alpha; & k+ ~: S+ L# q. b/ W! T# I3 h4 XENDSETS 5 |, M# q% q: F% u" d- w
INIT: # m: f+ s- B! B0 g0 @# B9 |x=1000; y=900; - L/ ?9 Y& M8 `9 M5 C) ?% q+ fENDINIT O6 r* P1 G5 @9 }$ h, q, B7 F
DATA: 9 \4 {2 r( X9 E* ^9 x
x0, y0, cita, sigma = 8 P, r! A* _$ {0 o( H+ a746 1393 161.2 0.8 ! {1 ]5 l6 Y0 m# a. C; F1 M3 k" T629 375 45.1 0.6 / u$ ?* x+ i, k1 C7 D3 A( S' r1571 259 309.0 1.3; 9 y1 O1 S0 e- W0 hx4 y4 d4 sigma4=155,987,864.3,2.0; ; I" p9 o9 X( c$ B. o# nENDDATA , F/ p& }' P% P qcalc: ! T8 { d7 _2 l2 W1 p
@for(VOR:cita=cita*3.14159/180;sigma=sigma*3.14159/180); # R0 i. t* E, U7 @1 z/ _endcalc 6 X- c b% T; F) X. b6 `min=@sum(VOR:((alpha-cita)/sigma)^2)+((d4-((x-x4)^2+(y-y4)^2)^.5 )/ sigma4 )^2; : o) x" x. x: k5 \% X7 q1 A( H@for(VOR: @tan(alpha)=(x-x0)/(y-y0) ); # m1 M; c- r2 [5 E: A
END 8 V0 U5 B" e% \5 N4 U 启动 LINGO 的全局最优求解程序求解,得到全局最优解 x=978.3071,y= 723.9841,对应的目标函数的值为 0.668035。 这里得到的误差比模型 1 的大,这是因为模型 1 中使用的是绝对误差,而这里使用的是相对于精度 的误差。对角度而言,分母 很少,所以相对误差比绝对误差大,这是可以理解的。 8 g6 p/ p( C4 ~1 S8 A- Z7 W
————————————————( G7 Z* _0 |; ? K+ d: }0 f1 F+ e
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