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[建模教程] 飞行机的精确定位问题

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    1#
    发表于 2020-6-17 09:25 |只看该作者 |倒序浏览
    |招呼Ta 关注Ta |邮箱已经成功绑定
    问题描述:飞机在飞行过程中,能够收到地面上各个监控台发来的关于飞机当前位置的 信息,根据这些信息可以比较精确地确定飞机的位置。如图3所示,VOR 是高频多向导航设备的英文缩写,它能够得到飞机与该设备连线的角度信息;DME 是距离测量装 置的英文缩写,它能够得到飞机与该设备的举例信息。图中飞机接收到来自 3 个 VOR 给出的角度和 1 个 DME 给出的距离(括号内是测量误差限),并已知这 4 种设备的  x, y 坐标(假设飞机和这些设备在同一平面上)。如何根据这些信息精确地确定当前飞机的 位置? 7 w( f% h" r% J; l
    7 l5 U1 ?" \2 ~' M# x, h/ q
    : e, X6 L6 V4 k8 M- E

    / @% x. ^( b: ~$ H& g
    2 a1 X# @% r2 o/ I. n. m  (1)问题分析
    / j& f& x/ \# e5 `1 r- p9 U, y. j: l! ?
    记 4 种设备 VOR1、VOR2、VOR3、DME 的坐标为  (以 km 为单位),i=1,2,3,4 ;VOR1、VOR2、VOR3 测量得到的角度为 (从图中可以看出,按照航空飞行管理的惯例,该角度是从北开始,沿顺时针方向的角度,取值在  之间),角度的误差限为;DME 测量得到的距离为 (单位:km),距离的误差限为 4 σ。设飞机当前位置的坐标为 ,则问题就是在表 9 的已知数据下计算  . J" q6 F2 _; w2 ], t' N; d

    ; E' @, F# c: S% c( B" }- I( {/ ~) T9 r* ~! u
    . T8 `9 G- x1 r% k
    (2)模型 1 及求解 . o: ~, T! s4 B& V) N3 A# H! O# R
    0 T; w& X+ i6 j  p  {4 B( ]4 f
    图中角度  是点   和点 的连线与 y 轴的夹角(以 y 轴正向为基准,顺时针方向夹角为正,而不考虑逆时针方向的夹角),于是角度 的正切     ( 1 )
    - S! n0 W) h% `9 F1 P/ n  t2 _% U1 s2 S
    对 DME 测量得到的距离,显然有      ( 2 )
    ) X) U# i# P. f: f8 b# m* }
    8 E* w  z  g# ]- f: T1 d直接利用上面得到的 4 个等式确定飞机的坐标 y x, ,这是一个求解超定(非线性) 方程组的问题,在最小二乘准则下使计算值与测量值的误差平方和最小(越接近 0 越 好),则需要求解
    , @, G) e- K5 Q; q  H7 e3 ]) r- ]! s# r
    ( 3 )5 B; d" i6 a6 Q' w( r
    式(3)是一个非线性(无约束)最小二乘拟合问题。很容易写出其 LINGO 程序 如下:8 y  h9 ]3 C, X' v0 E8 A

    6 f* P5 n, u0 vMODEL: : r* v2 d5 R/ v( j+ x
    TITLE 飞机定位模型1;   d' g& t4 S1 ]" O
    SETS:
    ( a/ h- t: u& ?% V/ \5 @VOR/1..3/:x0,y0,cita,sigma;   O7 k" g2 N$ v0 V
    ENDSETS % D- U+ b3 N; Q1 N
    DATA:
    . [# C( x; Q0 z) ?$ [x0, y0, cita, sigma = 0 A$ y- u4 ?" c
    746  1393 161.2   0.8
    % G% J# r/ Y  |0 P2 F- ]629  375 45.1     0.6 5 r7 c$ [+ `9 B8 ]5 f
    1571 259 309.0    1.3; $ {6 y6 f1 F/ }: N( E9 h
    x4 y4 d4 sigma4=155,987,864.3,2.0;
    / i; m* G/ ^% F$ D0 X$ [ENDDATA 3 L7 W8 M% p0 Q) u2 _
    calc: : E1 ?" P3 j7 p# U
    @for(VOR:cita=cita*3.14159/180;sigma=sigma*3.14159/180); " S0 Q" j1 A. x/ A2 u- W$ Z3 c
    endcalc - P, E$ z. J3 A- O% l( f
    min=@sum(VOR:@sqr((x-x0)/(y-y0)-@tan(cita)))+@sqr(d4-@sqrt(@sqr(x -x4)+@sqr(y-y4))); , B5 r6 o  b4 U8 \2 P8 P2 _& i4 f# m
    END
    0 r7 ^2 w" _6 w上述程序必须使用全局求解器进行求解,否则求得的是一个局部最优解。用 “LINGO|OPTIONS”菜单命令启动“Global Solver”选项卡上的“Use Global Solver”选项,然后求解,可以得到全局最优解 x=1019.306 ,y= 987.2909  ,对应的目标函- ]0 g7 b2 }# B! r( u7 ~# j
    数值为 0.4729562,这里的解受π 的取值影响很大。 # h$ {+ Z" E6 V. W# b7 p
    : M# h1 x/ K9 X9 ]6 K
    (3)模型 2 及求解
    # D5 W/ w$ C- B8 }6 q+ \0 U( [; Y- S2 ~- I/ T
    注意到这个问题中角度和距离的单位是不一致的(角度为弧度,距离为公里),因 此将这 4 个误差平方和同等对待(相加)不是很合适。并且,4 种设备测量的精度(误差限)不同,而上面的方法根本没有考虑测量误差问题。如何利用测量设备的精度信息? 这就需要看对例中给出的设备精度如何理解。 一种可能的理解是:设备的测量误差是均匀分布的。以 VOR1 为例,目前测得的角度为  ,测量精度为 ,所以实际的角度应该位于区间   内。对其它设备也可以类似理解。由于 很少,即测量精度很高,所以在相应区间内正切函数 tan 的单调性成立。于是可以得到一组不等式:7 u6 J% x9 U$ w$ ~" C

    : K7 D" o) O% q) i1 q& M6 o& e9 ]

    " u# k0 Y* z+ P! h+ `  也就是说,飞机坐标应该位于上述不等式组成的区域内。 由于这里假设设备的测量误差是均匀分布的,所以飞机坐标在这个区域内的每个 点上的可能性应该也是一样的,我们最好应该给出这个区域的 x和 y 坐标的最大值和最小值。于是我们可以分别以 min x ,  max x ,  min y,  max y为目标,以上面的区域限制条件为约束,求出x 和 y 坐标的最大值和最小值。
    : i$ W9 V+ {8 [' A 以 min x 为例,相应的 LINGO 程序为:  
    5 i* F6 U, I3 x( w
    # n. Y. x( b0 T7 {9 g' X2 `# vMODEL: 2 \: t3 W/ `# Q7 |! W  s
    TITLE 飞机定位模型2; ' g" ]1 {1 d5 C& i: |2 Z$ k
    SETS: VOR/1..3/:x0,y0,cita,sigma;
    6 b3 l* m! x' f* j3 x3 p  r! N8 l: WENDSETS $ I7 Z( R# Z6 @$ u% c+ S
    INIT:
    ! m0 d( {- j6 mx=1000; y=900; ' g( U, V3 n* ]
    ENDINIT
    0 O" G: N9 D" B3 ^6 `+ PDATA: 7 C* B5 g- s$ j; E
    x0, y0, cita, sigma =
    & w" ]$ k5 ?, s- s; X746  1393 161.2   0.8 / w6 g8 q3 _* E. q
    629  375 45.1     0.6
    ) T8 G$ w" Z+ Y- q9 l8 U' l1571 259 309.0    1.3; " j, l$ l1 f7 T- Y+ T
    x4 y4 d4 sigma4=155,987,864.3,2.0; # d, O* s" x) V" h. e) v. r# }3 I
    ENDDATA
    # k* h! N; ]- E; g( n0 f$ v5 ?# \calc:
    + }+ \+ H1 @0 B) t  }7 e5 L, @@for(VOR:cita=cita*3.14159/180;sigma=sigma*3.14159/180);
    1 }9 O4 T& K1 @. O& @$ E. Pendcalc 2 l% v$ x* k% G- M- ~/ ~4 k
    min=x; / B# K/ g% D; ^3 ~
    @for(VOR:(x-x0)/(y-y0)>@tan(cita-sigma)); 4 v9 b" f& H! U: u2 m
    @for(VOR:(x-x0)/(y-y0)<@tan(cita+sigma)); 7 Z8 D$ M3 |5 S2 F
    d4-sigma4 <((x-x4)^2+(y-y4)^2)^.5 ;
    ! G! Q7 B8 o/ E6 P' e6 z- Ad4+sigma4 >((x-x4)^2+(y-y4)^2)^.5 ;
    , e& E% O: l& g. a( Q0 o; [END $ N6 x: d$ Y$ d3 G4 s
    注意:用 LINGO9 求解非线性问题,必须对决策变量进行初始化,否则 LINGO 可 能找不到可行解。决策变量的初值也有范围限制,取的不合适也可能找不到可行解。 求得的 x的最小值为 974. 8433。类似地(只需要换目标函数就可以了),可得 到 x的最大值为 982.2005, y 的最小值为 717.1614, y 的最大值为 733.1582。 因此,最后得到的解是一个比较大的矩形区域,大致为 . 9 W9 U) h$ q7 b1 p( @7 H

    & M3 A+ a  b( Z! k& k/ l3 l4 j  (4)模型 3 及求解6 P0 R& y+ O2 _# f" e1 f

    . C8 o6 L" L7 e  p+ n模型 2 得到的只是一个很大的矩形区域,仍不能令人满意。实际上,模型 2 假设 设备的测量误差是均匀分布的,这是很不合理的。一般来说,在多次测量中,应该假设设备的测量误差是正态分布的,而且均值为 0。本例中给出的精度 可以认为是测量9 A$ N* f! M  [! j2 r# D# E
    误差的标准差。
    7 h4 m. Z  c3 ?% Q* @$ O# K
    : R2 ?& W" M( j' K& b在这种理解下,用各自的误差限   对测量误差进行无量纲化(也可以看成是一种加权法)处理是合理的,即求解如下的无约束优化问题更合理。 & \. K9 A1 c1 h8 _/ y2 a& \

    : K" l& ?" r8 ^, n9 ]/ C; p( A) ^# U; |( Z2 \
    3 e! v/ x2 _" Z& k) p( V
    由于目标函数是平方和的形式,因此这是一个非线性最小二乘拟合问题。相应的 LINGO 程序为: 4 f1 H( L' M- V. ~3 \# p7 E  _7 t% F' i$ r

    3 J* g/ e. G8 q9 d' n/ b$ O! sMODEL:
      {. V1 E+ q4 g, }1 L2 BTITLE 飞机定位模型3; 3 w- r, l. y& u& V# t- N
    SETS: 9 M) a: {- ?( K4 W0 M
    VOR/1..3/:x0,y0,cita,sigma,alpha;
    ' F4 b0 o  q7 n3 X0 U& u! ?ENDSETS
    : u0 i: [9 H# j% {- jINIT: ( d, [4 j# r  q9 X# U" T- F) C
    x=1000; y=900;
    $ @" O/ s! b% v+ P9 \4 rENDINIT
    - Y2 D* }5 O3 U+ gDATA: * t/ V( }( R. z1 O! ?$ x
    x0, y0, cita, sigma =
    5 R, E3 h4 Q7 U% o  P746  1393 161.2   0.8
      u' }5 m% \7 J3 s- r$ `629  375 45.1     0.6 8 G% e2 i8 }( _! E  j' }2 F
    1571 259 309.0    1.3;
    . r& T0 s$ C. n& S7 T* S& _# fx4 y4 d4 sigma4=155,987,864.3,2.0; $ v5 b3 d0 M8 J: P7 _
    ENDDATA
    6 n1 h! ?3 S, ^6 D: xcalc:
    0 D) ^- |. ~) O; X@for(VOR:cita=cita*3.14159/180;sigma=sigma*3.14159/180); 1 o; W6 m  v: d0 [6 ~1 a+ q; e% Y
    endcalc # E, C& N) ?9 h/ z: G
    min=@sum(VOR:((alpha-cita)/sigma)^2)+((d4-((x-x4)^2+(y-y4)^2)^.5 )/ sigma4 )^2; , }. _: E# y4 d- I! b
    @for(VOR: @tan(alpha)=(x-x0)/(y-y0) );
    6 ?8 T- Q% E; h, B# e, hEND3 x9 H9 Y0 A9 ~  U
    启动 LINGO 的全局最优求解程序求解,得到全局最优解 x=978.3071,y= 723.9841,对应的目标函数的值为 0.668035。 这里得到的误差比模型 1 的大,这是因为模型 1 中使用的是绝对误差,而这里使用的是相对于精度 的误差。对角度而言,分母  很少,所以相对误差比绝对误差大,这是可以理解的。 ) W# b4 h+ N/ s
    ————————————————, k+ q" ^1 k  \9 A  r/ ^
    版权声明:本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。
    & ~* c3 J  S5 p" E3 b* r, ?  a原文链接:https://blog.csdn.net/qq_29831163/java/article/details/893890440 o0 P) Y% n8 o, R4 }* u- g  v
    0 C& k" Q4 c# f: w2 f
    ' ~+ g" f8 a. q' g0 i& x
    4 R, T, v0 A3 b# }
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