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离散函数的数字特征及其R语言的应用

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杨利霞        

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    [LV.4]偶尔看看III

    网络挑战赛参赛者

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    自我介绍
    本人女,毕业于内蒙古科技大学,担任文职专业,毕业专业英语。

    群组2018美赛大象算法课程

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    群组2019年 数学中国站长建

    群组2019年数据分析师课程

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    1#
    发表于 2021-6-24 16:22 |只看该作者 |倒序浏览
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    . x+ Y# O& q; g" D* I, q
    离散函数的数字特征及其R语言的应用/ c! P. s% g* R/ f0 p% F# c/ P
    目录& Z" s* J: G* a* S
    0引言+ _  P% ?; n* T3 F; y# w* r: Q
    本文结构2 B: _: z8 q6 O
    理论公式" Q: v/ f& [& X4 u/ U
    1、几何分布
    + s) @: D( H" n% b: ^4 I2、负二项分布
    ; O7 O! }. g6 U3 l7 m, D& L0 C/ S3、帕斯卡分布* a& O( v1 ?3 k
    4、泊松分布
    5 B- w" p3 s' ~% K! t3 R5、 参考链接6 f" o2 J6 I' _& H' @1 o
    0引言# N" c1 [2 k3 a5 Y7 B
    本文结构
    * X8 N5 n' f9 v+ i  C" l在文章统计学基础——负二项分布的数字特征1中介绍了负二项分布,在博客2中介绍了离散分布的数字特征。
    5 }4 m2 \! h" }本文计算一些离散分布的:密度函数、分布函数、均值、方差、偏度、峰度、特征函数、矩母函数" f" T1 A5 I5 x9 l4 }: I3 V
    . T/ B. k/ ^' `1 c$ r2 z
    " A" U6 l8 v7 N( J" k4 I
    理论公式
    % u7 ?, h# _( M& r为了方便先给出计算公式:! k: o0 j8 W& g6 ^* Q2 Z

    ! M2 X- t7 n, y& L7 a) _
    ; Z7 z! E; r' n" z; i: z) S
    – 密度函数:f ( x ) f(x)f(x), n4 j6 ~/ z- B# ~
    - P* ?" ?- M1 i* y5 l3 _3 r) x
    6 W. }8 j" u5 Y) u& J8 C8 f+ q
    – 分布函数:F ( x ) = ∫ − ∞ x f ( x ) d x F(x) = \int_{- \infty }^x f(x)dxF(x)=∫
    7 a/ l6 B! U" B. S( Z3 p; ?" B, o−∞
    6 ^. ^0 {) _$ X* ]4 Mx; q7 C$ c- `, C: X7 ~& @
    ​        ; s! Y+ {3 l1 R1 s! \% q
    f(x)dx
    ! u/ b. n& f" q% d
    5 ^: e: ?6 A; k* L6 @
    5 r! w4 {5 p; @  S3 H- L
    – 期望:E ( X ) = k 1 E(X) = k_{1}E(X)=k
    7 r% @) Y) B: W1 i% W1
    $ H3 V: v- Q1 g. y' \  y. b​       
    5 D4 T) E2 }6 \$ C6 f6 n4 \
      I) M9 P- _7 a; o
    7 V7 }4 X& B. t. c: ^/ i( l4 s; o
    ) R' k1 G4 h( {$ Z( e/ e" d5 N
    – 方差:D ( X ) = k 2 − k 1 2 D(X) = k_{2}-k_{1}^2D(X)=k
    + d! y* Q5 O% z% O. F9 y1 F$ E4 B1 j2) ^2 p, S0 l' Z+ f
    ​       
    9 Y$ a8 i0 m) c* ` −k
    ) _- q: m% F( Z7 J0 r1
    & l1 S9 }" Y  P% O' ^25 d# Y3 i2 M, t
    ​        3 `% w6 v2 W; d7 L# N% J; |2 Y
    ' X3 Z: N  {4 k4 r; T9 c" q- l

    7 F& o8 B- D( D: |1 b# g# K" W

    - `! z- [7 o: z. C& U' `5 J; F– 特征函数:φ ( t ) = E ( e i t X ) \varphi(t) = E(e^{itX})φ(t)=E(e
      U! c1 L& O; H# H4 j% H# r) P( fitX, `/ a& w' V3 m6 j! L8 W0 C
    )
    # U' y; h" r& H. W, ^
    " W+ F, x# L+ E& V5 ~
    4 @: J" l& i% S# B, |
    – 矩母函数:M ( t ) = E ( e t X ) M(t) = E(e^{tX})M(t)=E(e . J0 N; |5 ^* t; _
    tX
    1 w$ j4 {+ h0 I' C7 t* B8 X5 T )
    3 b! A" X: V, r# a" }1 U) v
    7 L; p$ K' q+ E3 O2 v

    0 j) H" D  ~9 E0 T# j" n9 M, O– 中心矩的关系:E ( X k ) = i − k φ ( k ) ( 0 ) = M ( k ) ( 0 ) E(X^k) = i^{-k}\varphi^{(k)}(0) = M^{(k)}(0)E(X
    1 F$ K$ c% _' e# L% _8 ~" q7 C7 ck2 p. W  [% W- u7 p
    )=i
    ! y1 e4 I" t$ Y$ |5 F3 G9 P−k# i; a2 w6 ~, @: L
    φ
    , S$ C: [0 l9 }8 {7 g. {, o! `(k)
    # Y& i3 x) L* O6 b (0)=M % H) X8 H* {; k5 N% j
    (k)& s3 ^* n' V! f) R+ M7 [! \' X
    (0)( Z# H' i0 O8 P7 f, |7 }, D& T
    5 b1 _0 w8 Y1 Y2 L
    4 b" H$ A+ g; l# {" }
    – 偏度:S k e w ( X ) = k 3 k 2 3 / 2 Skew(X) = \frac{k_{3}}{k_{2}^{3/2}}Skew(X)= 0 ^4 v' d1 I, V9 L. u
    k
    & F! }9 Q2 e6 m, g. a2
    + x  g" u4 A$ ?; P& Y3/2, `* F8 j: W# W1 d3 f# l
    ​        ! S2 Q: r" o- n9 {- u8 ~# V
    " g, k5 y4 f8 z  V2 q% b
    k
    8 G( K& e( B! y0 v6 L: j3: V* Z7 |: V6 o) r9 d, s
    ​        & V" A$ d, e7 ]$ X6 e' |3 J
    % e$ ^! f4 Q( V% r1 |
    ​       
    9 R7 x3 {# T* r4 Z( ~! I' Q 31 l/ n. [% @' d# K! I
    $ X+ T4 Y& h) B" U& ?3 [3 y5 Q2 @
    * i# v% @% g' Z* c3 u7 G; T0 x
    – 峰度:k u r t ( X ) = k 4 k 2 2 kurt(X) = \frac{k_{4}}{k_{2}^{2}}kurt(X)=
      }; d' }7 _% J* {9 l- d  jk . w  O5 ]) T9 p& |% h$ A
    2- p+ `) y' l: b1 Z
    27 p% x! y4 F0 I# L2 ?9 `+ g
    ​        5 V+ M- M4 P2 k

    ! ~0 k8 d6 g9 H9 c. yk ' R$ f9 v9 h# W3 z% k
    4
    ! N7 _6 I' K8 g0 i6 o/ p& j​        - X/ b/ o" Q" ~% T8 P% k

    6 d. c9 L6 E3 z$ z  Q​        9 t# N6 A9 p- M# x/ U& E% x  I
    4
    & b# h; P5 O2 r, N1 G
    4 M9 E8 `6 a: K

    , h, B$ \) i, Z1、几何分布
    ; ^4 T3 D. M0 Q( a: ^  G– 密度函数:f ( x ) = ( 1 − p ) ( x − 1 ) p , f(x) = (1-p)^{(x-1)}p,f(x)=(1−p) , j  G: D7 U# B6 u& l
    (x−1)3 m/ ?) \/ G% B1 A* p( R" M, X
    p, x = 1 , 2 , 3 , . . . . . . x = 1,2,3, ... ...x=1,2,3,......
    1 Z! S! B% S8 F- W9 w3 B# a! e. W$ r9 O
    # U  [. R0 ?' U+ O: ?) N
    – 分布函数:F ( x ) = ∑ k = 1 x f ( k ) = 1 − ( 1 − p ) x F(x) = \sum_{k=1}^x f(k) = 1 - (1-p)^xF(x)=∑
    2 |( m3 \6 w5 R- r6 ~k=1: `( l8 u/ o& B& J
    x2 @7 s' {2 u8 @$ Z5 \# }4 {
    ​       
    7 X+ A, u/ l5 C: w& k! y f(k)=1−(1−p) 4 u' R* P; g9 a9 K# ]4 Z; e
    x  `& ~  G' V5 l& ~! S
    & o5 v7 x5 n+ Q* W5 Z
    0 G. Z$ E. y& t* [
    ; @7 \. j$ R4 ~; d# N% N
    – 期望:E ( X ) = ∑ k = 1 x k f ( k ) = 1 p E(X) = \sum_{k=1}^x kf(k) = \frac{1}{p}E(X)=∑
    " v9 A- E# E+ l# ?4 S+ |6 g% Gk=1
    4 h% |: V! B+ qx8 e5 N4 u5 u+ ~9 i$ l
    ​       
    & _: q/ Q1 H& ~0 d* B kf(k)= 9 x8 `/ d1 D! p
    p
    9 e3 C0 |  l3 z. C" h1 x0 u: ?; S18 T3 E1 {) P) h# r. o1 t
    ​       
    * z6 ?) h$ n9 z
    8 h7 P7 g8 r1 T4 t
    * m8 y9 f2 ~3 V9 w

    # S/ k+ m4 Q7 Q1 q– 方差:D ( X ) = ∑ k = 1 x k 2 f ( k ) − E ( X ) 2 = 1 − p p 2 D(X) = \sum_{k=1}^x k^2f(k) -E(X)^2= \frac{1-p}{p^2}D(X)=∑ : y8 }8 d: H6 c5 J
    k=1
    1 |; ]+ @6 l! h. @1 dx
    - }' n, z. V7 P, T$ q​       
    6 s4 T( c) O8 v8 F5 e, I4 f7 l k ! A" q7 C6 U0 w( `  g# B, m
    2
    + ?2 y4 u& T- U7 o! @' \" }) G f(k)−E(X)
    0 O  A8 ]1 R8 p; R# y( y25 I0 A6 O3 H% ]  O
    =
    ; E  u6 F. B" U7 pp
    , `# j" P* E) Q: q& G5 J0 x, s# }2
    3 r6 f* r  f+ U+ B, z: |# s - }5 D5 W- L' ]- B2 ~" D
    1−p
    9 E. L8 f. Y: q8 s​        & A; [/ }* Z! O  X

    0 j! P0 }  @( ?  N( N1 x; x" J, j2 }* e! L

    " i& Y2 M' }4 n0 o2 F% R– 矩母函数:M ( t ) = p e i t 1 − ( 1 − p ) e i t M(t) = \frac{pe^{it}}{1-(1-p)e^{it}}M(t)=
    / C4 C& E& ~. |) {' c% r1−(1−p)e
    . v" f2 G2 }' Rit
    ! h& R8 L: i# ?, D- g6 X. s0 b + r$ ]0 ]" t7 r  `- L
    pe 3 l' I! U' N4 ?& x$ i* C+ k0 k
    it
    + v* N0 K  H* R% @: e1 S1 O * J# v6 e  d- E# f3 N
    ​       
    3 n# S* y0 ^+ Z& K
    3 Z& @6 r1 ?( j/ d/ w/ p  n# _. c
    $ x) z! _* p5 i; }  Y; a4 ~

    ! ^0 R! n, \+ ~# l9 S4 ]! j& q– 偏度:S k e w ( X ) = 2 ( 1 − p ) 1 / 2 Skew(X) = 2(1-p)^{1/2}Skew(X)=2(1−p)
    # Y. R( {* ]* `4 O. n1/20 |  O. e7 p9 T+ L! {4 ^

    3 u5 x' M! R" ~8 c0 ]* G* v7 Q
    / P8 g7 J) S4 G8 P( O9 k
    – 峰度:k u r t ( X ) = 9 − 6 p kurt(X) = 9-6pkurt(X)=9−6p
    , ~& J1 ?8 f* d6 P
    ; c! c" }+ A" _0 U& |8 e% A
    " y. ~/ _: |# A
    函数        功能! Q6 |7 I' z5 e( m# L+ Z
    dgeom(x, prob, log = FALSE)        概率密度
    5 I# _/ o% V$ {. Ypgeom(q, prob, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)        累计密度! X9 F6 Q0 w' K+ S1 S: W
    qgeom(p, prob, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)        分位数
    : Z+ U. r8 f, e5 l' |rgeom(n, prob)        随机数
    & }+ O* P4 Z. \  X8 j. }- Z几何分布的各中心距来自5:
      Q0 o( X1 R* n! D1 g/ t
    ! d$ l7 [" K2 w! {6 U7 W6 ?- _
    ; {* l) @' c5 X+ T

    5 j5 R* ]" i% k; G+ ]1 o

    2 [. d1 R+ o# g" E2、负二项分布/ s% e9 A9 ~; J+ g. Y
    – 矩母函数:M ( t ) = ( 1 − p ) r ( 1 − p e t ) − r M(t) = (1-p)^r(1-pe^t)^{-r}M(t)=(1−p)
    $ S( {6 b" ^) [  I$ Q7 `r
    ( s0 F' i! ^( h. i) r (1−pe
    ! _/ s  I; W  I2 V- o$ ht/ |( S) }% U: S1 p# y6 J2 U
    )
    " X: h; Y, u: ^9 K−r' c1 m5 N. {: T" [8 x

      o: S# w5 W+ Z3 B0 B! j+ w; t$ @% |& T/ H0 X

    0 k. F/ D; A6 D2 Q4 Z; b3 }– 偏度:S k e w ( X ) = n 3 + 3 n 2 + 2 n − ( 3 n 2 + 3 n ) p + n p 2 ( n 2 + n ( 1 − p ) ) 3 / 2 Skew(X) = \frac{n^3+3n^2+2n-(3n^2+3n)p+np^2}{(n^2+n(1-p))^{3/2}}Skew(X)=
    * C1 ~. w/ d! Z2 I5 T! A% C(n ( o9 Z" M# v  ~/ e. p9 z0 X! Q; x: z
    2- m" V$ l  P! [' a
    +n(1−p)) 8 [; J/ O/ _$ I# W  i; ?
    3/2$ S( _  c& B, O6 Q# o/ ?$ N

    1 J9 i; Z3 o$ Mn : u" R$ M* l- `
    3. l( m$ s& P+ [) i8 D$ }
    +3n # N/ S& |+ H! M" F9 b6 `1 r
    2. _' }- d3 \+ Z" ~% p; w
    +2n−(3n
    8 Z- P+ T0 |# S3 i! Q+ y22 c& D/ I9 A  K% a( r4 N8 C  }4 w
    +3n)p+np
    + b$ C& z; L+ J2
    4 h8 v( c& c, j3 {5 V$ L  G2 t
    " d8 p# m9 ~' D. Y​       
    - h/ y" K% b- J, W& H; I
    % W. t- r! J& a" H  z/ `, S) V
    : A7 p9 h. Z! f; b
    " ^: q) {6 C- ~0 D/ U* W
    – 峰度:k u r t ( X ) = 略 kurt(X) = 略kurt(X)=略 (带入递推公式自行运算)  x% [* v/ V5 S5 Z- j

    , J( s4 d- P- ?6 ]; ]5 p* z) B

    ( u' c7 Z" }( k9 R函数        功能
    . L1 [/ N+ j) X, n2 [dnbinom(x, size, prob, mu, log = FALSE)        概率密度
    ! O/ ~4 u) w( A3 Q) s. `pnbinom(q, size, prob, mu, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)        累计密度/ J+ K5 ?/ |; o& l" f$ |* G: ~
    qnbinom (p, size, prob, mu, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)        分位数
    3 Y6 b! C9 Z0 ]3 F) H4 y& P8 crnbinom(n, size, prob, mu)        随机数
    & e2 F! Z! W% `/ {# _; c负二项分布的递推公式如下:6
    3 {! R( Q& ^( {0 l. d+ l% ~
    4 G; z$ V4 U0 n1 {1 e0 p; X8 U

    / g6 S" S% L9 o! \0 ]
    " w3 O: B; |" b3 {9 j! H& q
    % O2 i' H1 M  Q' i  m( ^
    0 t, T+ u& q0 H+ Z7 P8 o

    & j! m( E1 d) X' b! p; ~. g3 q* y! l1 a0 @: ~6 f5 |4 g' g

    : H' B8 J7 C; ^; c. O$ X8 M5 X3、帕斯卡分布
    4 y) ]/ l* e& V! ?) {* EX XX服从r , θ r,\thetar,θ的负二项分布,Y YY服从r , θ r,\thetar,θ的帕斯卡分布。有Y = X + r Y = X +rY=X+r。即:在同样的实验中,帕斯卡分布是成功r rr次后实验(成功+失败)的次数,负二项分布是成功r rr次后失败的次数。负二项分布的数字特征推到见博文1。故帕斯卡分布的数字特征可以由负二项分布推出。
    & a- n9 w* \: Y) @" I在R语言中我们仍可以使用下面负二项分布的函数做适当调整生成帕斯卡分布。
    3 w1 E# S' W8 p8 [' j+ y注:在百度百科7中还有另一种说法是:
    # \( n; \$ |4 J1 R8 l% Z* E
    # g# E0 ^7 h, e- I$ b
    8 S4 A3 @/ Q+ Z% [' k
    帕斯卡分布,负二项分布的正整数形式,描述第n次成功发生在第x次的概率。
    8 L9 _( |9 I: c3 e& E9 B7 N
    1 c+ a  K1 r6 {7 `# x
    + E9 [& Q5 Y' S- S7 u- u
    我们在课本中见的比较多的是负二项分布的整数形式,这时候课本会标注又称帕斯卡分布,类似于二项分布,负二项分布也可以推广到实数上去定义。大家感兴趣有的可以去自己找资料文献考察一下,这里就不过多的讨论其定义和数字特征的问题了。
    # y' P# Y5 v# x8 z; B! ~9 D1 j8 t5 Q! u. s4 W8 j/ ?0 j4 }! b( i

    " d6 E1 M7 P7 z' }函数        功能! w. A6 q4 V! ~5 w6 i" ]$ v
    dnbinom(x, size, prob, mu, log = FALSE)        概率密度
    : a' |' k: A5 A  w/ j5 E* `+ [7 Xpnbinom(q, size, prob, mu, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)        累计密度
    7 a+ g- C/ ~8 a+ e1 o! lqnbinom (p, size, prob, mu, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)        分位数
    9 B( c: }' f. M2 D1 E2 Arnbinom(n, size, prob, mu)        随机数- A: P$ a1 n; `' M
    4、泊松分布
    % u) ~2 W8 V$ |1 k– 矩母函数:M ( t ) = e λ ( e t − 1 ) M(t) = e^{\lambda(e^t-1)}M(t)=e
    ! u, b9 I4 j5 hλ(e 1 K! D/ j7 f: V/ y& \" C( f
    t
    0 G+ e& {6 P$ T$ e −1)
    0 Q/ z5 E0 \( M. ^/ S# H$ |8 j8 J/ M  c, a
    3 E% q0 L, R0 P  ]* |' Y; a9 z1 M7 D/ A# u

    , D0 ^- j! N: b! {; R0 x– 偏度:S k e w ( X ) = λ 3 + 3 λ 2 + λ ( λ 2 + λ ) 3 / 2 Skew(X) = \frac{\lambda^3+3\lambda^2+\lambda}{(\lambda^2+\lambda)^{3/2}}Skew(X)=
    5 v- w. _6 z* n; t8 f& {/ x" t& H* w
    / v# k/ w8 Z1 K0 A+ Y+ p# K/ b2: j: ~7 W! d; x2 `2 F$ \1 [
    +λ) : s* S5 A; j* g+ z
    3/2
    3 w9 g( g; ^& O0 n. W- S1 u& R
    5 N1 O5 y& L6 g1 N, cλ * \6 w* e" a# E: b3 M# U
    3
    " ~- w0 L8 C; B% f- Z8 ` +3λ 0 X7 U2 Y$ v8 ^1 [, _
    23 ?9 l* Q( L3 |7 U

    / @# v$ x) q( }; x​        % Z# b) d" j4 U7 O1 b1 h/ C6 d7 R9 [

    % A3 ]0 `. e$ K8 w2 `/ C, W2 ]- L4 L# ~+ ?, v

    ) j) y( p2 v$ k: [' ]9 f8 J+ O3 ?; Q– 峰度:k u r t ( X ) = λ 3 + 6 λ 2 + 7 λ + 1 λ ( λ + 1 ) 2 kurt(X) = \frac{\lambda^3+6\lambda^2+7\lambda+1}{\lambda(\lambda+1)^2}kurt(X)=
    / _: y) y" r3 u  o6 v& }λ(λ+1) : d8 i3 H; U8 }% u2 w+ P+ @
    23 B, O3 Z% m4 O  W2 v! T" F& o
    7 M2 Q4 v, S. M( n8 @
    λ
    ( t$ N5 _" j+ ~' O: X% [% K3( r; l$ h; D5 Z# z8 r! W% f
    +6λ
    ! L0 d  {3 z+ F& Z& C2
    2 i, Y4 X- N! Q4 \( F4 E$ t" _0 P +7λ+1
    ! U" r! N, }8 P5 @; w​        , x3 u" z4 _0 b3 G. D
    0 J9 O7 Y8 U) L: a( J, @

    ( m9 M9 w/ y( n
    % F# L4 y- E$ p. V. g  @9 q3 V- K
    函数        功能& t1 I; s4 ]3 N5 @( z
    dpois(x, lambda, log = FALSE)        概率密度
    + @7 w. B  }1 Y/ t% _( K3 Jppois(q, lambda, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)        累计密度
    ) g3 p7 w1 @, ]! {4 qqpois(p, lambda, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)        分位数7 _  u: L7 C( \
    rpois(n, lambda)        随机数
    % F' N) ^7 O+ j* F中心矩的递推公式来自8:1 P5 [, g" M0 z! ]$ s% P
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    版权声明:本文为CSDN博主「统计学小王子」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。+ F  S7 K# x: C/ B3 @
    原文链接:https://blog.csdn.net/weixin_46111814/article/details/115499487
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