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离散函数的数字特征及其R语言的应用

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杨利霞        

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    [LV.4]偶尔看看III

    网络挑战赛参赛者

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    自我介绍
    本人女,毕业于内蒙古科技大学,担任文职专业,毕业专业英语。

    群组2018美赛大象算法课程

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    群组2019年 数学中国站长建

    群组2019年数据分析师课程

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    1#
    发表于 2021-6-24 16:22 |只看该作者 |倒序浏览
    |招呼Ta 关注Ta

    ( x: j" \# B- |离散函数的数字特征及其R语言的应用
    * p4 X4 k) C% `3 Y& |0 }1 U% P6 Q目录: a7 z! Q* a# a) u! R: e
    0引言
    / i) E6 [  ]* c本文结构- l! y0 Y9 }) p8 `" f9 W
    理论公式5 k2 A0 M* [$ f% x2 b" F: r1 A
    1、几何分布
    ; A1 o5 E3 B$ s$ ?) s* Z2、负二项分布
    * L3 V7 H5 V- u  Z6 |/ \) ^: I3、帕斯卡分布/ O8 S+ P+ X# z, ^2 B) w1 A' e
    4、泊松分布) T2 |; r% }4 A& P  P. i# Q8 }+ T. C
    5、 参考链接- [: |+ r+ K! m5 s
    0引言2 J( P# Q0 m3 `! o6 O8 i$ a2 l
    本文结构1 V0 }9 B4 W. M  H5 @$ ?
    在文章统计学基础——负二项分布的数字特征1中介绍了负二项分布,在博客2中介绍了离散分布的数字特征。6 D& F- m8 ~4 y+ }
    本文计算一些离散分布的:密度函数、分布函数、均值、方差、偏度、峰度、特征函数、矩母函数
    8 |! G. r! W6 w9 |
    : v; l% \+ m' R. y
    * ]; y8 X% C7 r8 K: l) B
    理论公式% S) p7 t8 b$ s
    为了方便先给出计算公式:" Y8 v6 T8 o, x6 u3 p5 e9 X

    3 Z% X# D8 ~' t1 u% z8 ~/ j
    & G0 o9 H. L$ U# R- R! }
    – 密度函数:f ( x ) f(x)f(x)
    / t' g8 r, z+ ^  h# J) Z6 e! d/ I, ]& Y. k; [
    ! @* [: ]- c5 o0 I5 L
    – 分布函数:F ( x ) = ∫ − ∞ x f ( x ) d x F(x) = \int_{- \infty }^x f(x)dxF(x)=∫
    + ?  W$ I1 Q( ^) K  S- ~- \−∞
      S' B0 k* Q/ Q: |1 T) |: _! Bx
    " S0 H5 V/ q$ o6 \​        ; G/ E! K" L# w9 w- _7 r6 J8 ?5 [
    f(x)dx9 w8 M: X$ m6 r
    5 t0 n, u$ [9 n; r6 f( H

    4 \9 i- `) t3 s! j$ U0 G+ o5 J* X– 期望:E ( X ) = k 1 E(X) = k_{1}E(X)=k & G& i) p( T. W* Y
    1
    % R. l% v$ P. {* r​       
    4 I* m" v8 F8 m/ S. p$ i0 }% {
    1 Z- _7 R  j- o' Y5 @7 D! o8 U8 R4 {* n

    9 d7 j: g2 a% z9 f3 z– 方差:D ( X ) = k 2 − k 1 2 D(X) = k_{2}-k_{1}^2D(X)=k * c- Z* E# }0 K1 r. V, G& c) K; i
    2
    0 u: c! t) d5 w: C5 j, H" f​        * N4 w% @3 ^( W6 a
    −k
    6 A" J( \* x6 `3 J1 g% y18 N# o' x$ t9 t
    2
    ; y2 u+ R1 i3 k% e" p  K* a! i​        - y2 H4 z& m: a5 _; Z. y
    3 w( y/ c3 u/ e* w+ F# K

    ; I# v* b: O9 w
    - \% O9 L, [) a: c7 K0 F& }
    – 特征函数:φ ( t ) = E ( e i t X ) \varphi(t) = E(e^{itX})φ(t)=E(e 9 {7 z) q% Q/ ^" \4 ]/ d& Z
    itX
      @) r) }& J# o" F3 }+ t% @; w- g ), i! W7 O" ^9 ^3 i8 g0 [
    ' v6 ?" {8 ^2 Q: y% O3 C3 g
    + z/ S' [. S1 \+ M4 z0 _# s$ F
    – 矩母函数:M ( t ) = E ( e t X ) M(t) = E(e^{tX})M(t)=E(e , U0 [% V2 \. g: V
    tX
    8 G& @1 O$ e' Q  Y9 X )! c9 I. s" [) W
    % w. n! ~* I. }2 n) S
    4 I: i# n3 z! I  {) B% o
    – 中心矩的关系:E ( X k ) = i − k φ ( k ) ( 0 ) = M ( k ) ( 0 ) E(X^k) = i^{-k}\varphi^{(k)}(0) = M^{(k)}(0)E(X
    7 a& x) A3 N. ek
    3 X$ g4 O, X  ?7 {$ @. [; ? )=i ' Y" Y9 I$ M+ C8 J
    −k
    ; H# g8 U' ^3 ^% W. I φ
    * ?3 ^' G4 i$ l3 D1 H1 I(k)
    , J4 g. F7 o$ I& z$ U& _ (0)=M
    # l8 H' k1 |% A1 M8 q( y4 I% P# B(k)
    $ Y2 y1 w2 ]2 j& F (0)" p% F5 M4 ?) u) w
    3 _* B( J4 M% W, y7 w3 l5 D% z0 V( I
    8 D2 s) H# x1 u1 S9 u0 {
    – 偏度:S k e w ( X ) = k 3 k 2 3 / 2 Skew(X) = \frac{k_{3}}{k_{2}^{3/2}}Skew(X)=
    8 {/ F' V% ?6 I3 F9 H; r$ dk ; D+ c# N+ J; k3 |1 F' F
    2
    7 E" {+ }% ~6 T0 h" G# |# z9 \3/2
    : l# k2 f8 v' T4 z​        $ ~; k% f6 Z( t' f1 w
    + B; O; J# X7 ~" R. H& G9 z2 n+ {
    k 9 J; |- J3 h+ M' N; i/ S/ L8 {
    3+ _* A" |! T: U! t
    ​       
    & l0 u5 M: d. ]+ h, H9 ` - n/ K# o- ?) Y
    ​       
    & Q, C  `  F+ z 3$ }! v+ X) E7 e. f, x2 z2 ~
    # j" I9 {% q/ D' d
    * N9 u/ E- r8 ]7 q6 }
    – 峰度:k u r t ( X ) = k 4 k 2 2 kurt(X) = \frac{k_{4}}{k_{2}^{2}}kurt(X)= ( O; }, Q- R& j8 @. G7 S' ]8 u
    k
    1 S) t6 S3 V% e4 c' O" G# E' L2
    4 ~" R  s8 U+ L1 l: P6 w2 X" L2
    * k& @3 w* t& C; _) Q​       
    ! I+ _* y2 \) A/ }! }
    1 I* C/ l( b* W2 K9 mk
    $ Z0 ]& |+ W7 u* i$ _) }+ F# Z8 m# L) T4- m  y1 z1 `- `6 X$ f' e" z
    ​        - {' D$ ]6 p4 ]  B

    2 \) h0 s- j- ]* h9 ?​        ' g1 i) g2 h0 C* Z% E
    4
    ) y9 _; [( z$ i4 M( h; c8 V/ ]& c/ w6 a/ }9 }
    0 U2 R# ]- X* p
    1、几何分布
    , P# i3 [  z" h; d– 密度函数:f ( x ) = ( 1 − p ) ( x − 1 ) p , f(x) = (1-p)^{(x-1)}p,f(x)=(1−p) , u0 A+ @' B4 K) Z8 C! k& t
    (x−1)5 e# m9 m/ u/ a: k2 U# C) R
    p, x = 1 , 2 , 3 , . . . . . . x = 1,2,3, ... ...x=1,2,3,......
    " N/ w" {  j  X' [, Q3 k. v" s0 K# W9 E6 k

    . m% _% s* J- E5 g% }( d7 {3 p4 p– 分布函数:F ( x ) = ∑ k = 1 x f ( k ) = 1 − ( 1 − p ) x F(x) = \sum_{k=1}^x f(k) = 1 - (1-p)^xF(x)=∑ ' G) f! _& x* h" k
    k=1
    0 o( t* y% f$ g( j  Ex$ I  _) M6 S# _+ ?) s  }) R! e
    ​       
    ! X' F; U2 |: s, ^9 a3 X# |3 W& c f(k)=1−(1−p) 4 s1 S) [/ U9 Z+ l2 Z: h4 R% Q
    x$ o8 M; u) i% }& O9 r

    & t8 O& u( A' v* w: B& l% D) Q& v: x: ~8 B+ Z# \7 S8 }
    ; N; `* ]% \3 M
    – 期望:E ( X ) = ∑ k = 1 x k f ( k ) = 1 p E(X) = \sum_{k=1}^x kf(k) = \frac{1}{p}E(X)=∑
    ! K6 z- m6 B# F" O4 Wk=1
    $ A7 ?0 L! L! L( Ex
    5 [3 g( O! }' ?​        ' i6 z0 \) `6 p% [2 g& P
    kf(k)= 8 b0 M% j. a$ K. {
    p
    ( _" x7 C  d6 |/ C$ H17 G! \0 k; o  j  I, T  ?5 _! V
    ​        - ]6 u7 A9 }% q( q4 k6 R/ D
    ( k4 S: I/ ~3 V/ n
    , m* A7 \( K: Y1 A5 M& b1 s, j3 n, o

    2 c% Y: Y7 o& ]– 方差:D ( X ) = ∑ k = 1 x k 2 f ( k ) − E ( X ) 2 = 1 − p p 2 D(X) = \sum_{k=1}^x k^2f(k) -E(X)^2= \frac{1-p}{p^2}D(X)=∑
      w! S, D8 [+ V( {$ \k=12 e& Q7 ~% E9 }) f& }( e2 ^) @
    x5 X) u+ \; f8 W: N
    ​        6 R6 x0 w; {7 d# e
    k
    % B: y/ Z2 I, q5 A$ u# g- w$ W2. |- G: k1 C4 U# W% S
    f(k)−E(X)
    3 {: z0 u+ V: I3 F& f26 V1 B" V( G+ f  e8 r/ \7 C1 H
    =
    , q& z* ^3 q! j5 @6 C  [5 V4 Y) Tp 9 v! A5 G+ |- e# G
    2
    , p( a  i1 k* {  J$ a* T ' }1 L7 z- B5 B
    1−p* S2 L6 p. L% X. X/ G3 m1 [
    ​       
    - Q( ~$ _5 V, s# Q+ E( m
    + [1 ]& @3 _6 ^0 L0 l& V3 E* d1 O) {6 v  V) X1 P6 h& A- G- x

    / ~' L+ s& q4 X! ]/ Y- s– 矩母函数:M ( t ) = p e i t 1 − ( 1 − p ) e i t M(t) = \frac{pe^{it}}{1-(1-p)e^{it}}M(t)=
    9 j& z0 q) [3 e- C1 S8 m6 N+ E1−(1−p)e 6 k, D- X) B; K) [
    it
    # z& u  H, P% f! e1 X% O
    : b% D# I9 Q. G4 w8 Lpe
    $ n* v' Y0 U3 m' fit0 k0 @) A4 s2 k5 ~# K: f- T

    # H4 H' t7 L, I9 b( I​       
    6 e: d1 _* Z' j0 P* r . i$ ^! p* [' }* p8 P0 n8 S

    2 A5 ^7 E+ C/ _4 \$ R/ o

    & w8 c. H/ l0 G) y% h* {  D, S& c– 偏度:S k e w ( X ) = 2 ( 1 − p ) 1 / 2 Skew(X) = 2(1-p)^{1/2}Skew(X)=2(1−p)
    4 a  f- c3 O0 P2 H  p4 C+ D# e) M1/23 f6 [* u+ b3 h% P/ T
    ! k3 X# g; M$ y

    3 \& K  w4 \; n/ z  z
    + s1 B+ f+ P, i2 I1 ~* b
    – 峰度:k u r t ( X ) = 9 − 6 p kurt(X) = 9-6pkurt(X)=9−6p9 @" F4 ]5 V* `* \

    & }; e' Q/ I: I

      y: r4 A& b% o- b函数        功能" q3 O7 @' R" D3 D8 Q- \
    dgeom(x, prob, log = FALSE)        概率密度
    - x8 G. L0 o9 z" A/ Rpgeom(q, prob, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)        累计密度9 p* M% z; q# Q  U3 ]; q
    qgeom(p, prob, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)        分位数
    & u: N* x) R9 A% D/ R5 }; {0 Nrgeom(n, prob)        随机数+ I: I8 M5 P! v) ~, o# {
    几何分布的各中心距来自5:, E  [. ]! J! L# j" O- |5 g

    9 C9 X1 `# D0 h# P- T. r
    0 [/ Y! L, V4 L& e; r

    $ u$ u7 b, A: {% {: D" u: l: m
      ~: z! [& n- ?" K* a9 k2 f
    2、负二项分布
    & S5 H' n  |7 j& T, \– 矩母函数:M ( t ) = ( 1 − p ) r ( 1 − p e t ) − r M(t) = (1-p)^r(1-pe^t)^{-r}M(t)=(1−p)
    - N+ V' U5 K1 f- C: xr
    . V4 M4 D! v- {9 P (1−pe ; H, r3 [0 J- u  ~. }: u) h8 [/ d! H
    t/ k& w% y% u; P8 v  M6 t
    ) " V7 O7 _( e5 m+ ~
    −r
    ; g0 W1 n9 O* b0 u6 P1 `
    ! U5 v' b2 ^8 _+ \5 N* `) U  ?3 y" @+ g4 s
    ! p" C8 y, r" T- V* L  g* n  O" Q
    – 偏度:S k e w ( X ) = n 3 + 3 n 2 + 2 n − ( 3 n 2 + 3 n ) p + n p 2 ( n 2 + n ( 1 − p ) ) 3 / 2 Skew(X) = \frac{n^3+3n^2+2n-(3n^2+3n)p+np^2}{(n^2+n(1-p))^{3/2}}Skew(X)= " p7 X4 ~* W; Z. [, C
    (n
    % }5 S- ]" V; v7 Q8 J20 V! S4 n( T1 g2 J+ \6 D
    +n(1−p)) ( A8 f. r0 F/ @! q# h5 n' ]1 c
    3/2
    ' v8 V8 x) r; L) B; C% b  K % f. z7 j2 q$ v% m# z& b
    n
    0 Z' ~; n6 V& t; M  r3
    0 u% l3 Z& W0 t+ g; z5 ] +3n
    : h7 z7 f7 k7 F) ^" Q9 s2
    2 T- x0 v. [) t& m; F. F, M! V& K7 G +2n−(3n $ @* ~* f( A" I
    2
    7 k- c% v) F& Z  Y% c/ [ +3n)p+np ! Q* _, v) I* r7 Y$ R
    2
    * k0 W; _1 M9 R  n* C: d) w " W! g& O7 y% q, D5 [; }; m" v2 c
    ​        8 S/ N' p& {7 ^; T' g4 J; L

    , K6 s1 x! H' u% z" H9 k- T+ [/ P8 r4 s  ]6 H" |

    % L& u4 M* G) P7 s( h1 J4 h' d– 峰度:k u r t ( X ) = 略 kurt(X) = 略kurt(X)=略 (带入递推公式自行运算)
    5 ^' t2 n1 B% b5 `/ P; J5 l2 [' f

    ' w+ b, K9 c7 B8 p9 v/ D函数        功能' t' k$ {. [( d; @  d2 Q0 Y" |
    dnbinom(x, size, prob, mu, log = FALSE)        概率密度
    ' Q/ n2 {* w" @5 t; A/ G& {# {  Ppnbinom(q, size, prob, mu, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)        累计密度2 m( ?5 h8 j! [5 @# @
    qnbinom (p, size, prob, mu, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)        分位数
    4 v& K' b; |: e* g& grnbinom(n, size, prob, mu)        随机数
    3 z. I) @! Z- T8 ], h/ w: S负二项分布的递推公式如下:6) ^6 O8 O9 @6 i) d- F

    . h- H- I2 ]& S  S$ d9 a
    6 G9 F$ A% `: H7 Q0 i- I& B
    6 [. v1 ?. k6 p# Y
      p3 [. y  g7 b& H$ @
    / m- t( c: T8 F- E9 R
    ( J  K" c/ w- @

    9 @  A* X8 A/ D+ m, S3 \

    2 I2 b! q# w0 p7 F2 r% Y1 ~3、帕斯卡分布
    : v& B. j( B0 {8 T( x6 lX XX服从r , θ r,\thetar,θ的负二项分布,Y YY服从r , θ r,\thetar,θ的帕斯卡分布。有Y = X + r Y = X +rY=X+r。即:在同样的实验中,帕斯卡分布是成功r rr次后实验(成功+失败)的次数,负二项分布是成功r rr次后失败的次数。负二项分布的数字特征推到见博文1。故帕斯卡分布的数字特征可以由负二项分布推出。0 N* o7 f3 O) b& [% V
    在R语言中我们仍可以使用下面负二项分布的函数做适当调整生成帕斯卡分布。
    7 V* W0 y# }0 R5 [注:在百度百科7中还有另一种说法是:
    7 |5 ]# U. g9 C; T0 |- A$ l; z8 U( S  C
    8 E5 y& x7 y- u( E. H
    帕斯卡分布,负二项分布的正整数形式,描述第n次成功发生在第x次的概率。3 B  L; l( w) _
    / X- S2 k7 o0 R7 b, m
    ! s3 c9 p5 |8 C- L. R3 |/ I4 K
    我们在课本中见的比较多的是负二项分布的整数形式,这时候课本会标注又称帕斯卡分布,类似于二项分布,负二项分布也可以推广到实数上去定义。大家感兴趣有的可以去自己找资料文献考察一下,这里就不过多的讨论其定义和数字特征的问题了。' ]- N5 D  C. q& a

    ' u6 f6 _, U0 \! C- f

    . U5 L- ^( H2 t! e函数        功能9 i- w6 y" T* i& D% J% Y
    dnbinom(x, size, prob, mu, log = FALSE)        概率密度6 H" v( E4 Q! p4 o4 C
    pnbinom(q, size, prob, mu, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)        累计密度
    ! w) f# T& J2 {. S& vqnbinom (p, size, prob, mu, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)        分位数
    8 F% F! I/ m  U. L# Drnbinom(n, size, prob, mu)        随机数
    " i& s$ _3 ^) Z4、泊松分布9 F! |( _9 _. N6 e3 i" m
    – 矩母函数:M ( t ) = e λ ( e t − 1 ) M(t) = e^{\lambda(e^t-1)}M(t)=e 3 ]* |, e/ m/ Y; j( @
    λ(e 2 r5 p: J+ c/ h6 T5 z2 J
    t
    ) e3 q6 P& W, E( [7 I7 }% A −1)
    9 \4 n$ w* M5 `8 w6 Y - v6 `" Z5 P4 v9 [
    " T0 X+ s* u, C
    7 x4 |( ~; _! V1 M7 C  G0 D
    – 偏度:S k e w ( X ) = λ 3 + 3 λ 2 + λ ( λ 2 + λ ) 3 / 2 Skew(X) = \frac{\lambda^3+3\lambda^2+\lambda}{(\lambda^2+\lambda)^{3/2}}Skew(X)=
    * L, l4 i' N$ M1 n
    - _6 S- _% D2 L& o( ?24 M% t& i& I  G9 V/ i& Q' c
    +λ)
    ( G. \' @/ M7 [- j! ]- h3/2
    ; U) z' S( K7 q6 ~& U" A* M
    4 p, T% y$ {& bλ 1 o! |; j! g0 ]. U
    3
    ) f: T; {; c% N- r# d6 G +3λ 1 @5 E& {. y) H2 [0 U
    2( O3 @  A- U0 z* Q. f
    8 {) \  }% _# `  X) u0 \1 m
    ​       
    - q; y( V6 O( U5 N$ N# }
    # y' `# k; i$ d& g. Q, }
    2 D' A9 _! i0 H8 H! e( E

    % [/ ]" \  a+ |2 q; n% g+ R– 峰度:k u r t ( X ) = λ 3 + 6 λ 2 + 7 λ + 1 λ ( λ + 1 ) 2 kurt(X) = \frac{\lambda^3+6\lambda^2+7\lambda+1}{\lambda(\lambda+1)^2}kurt(X)= ( C, s& y0 t% |
    λ(λ+1)
    7 u7 {1 t  U) P6 d8 r- i: @' V2
    & u% k7 |  d& l
    / S6 x: K/ j- Aλ 4 u6 X3 o. U) n# T: j
    3* n5 O2 o2 c# z$ |+ t
    +6λ
    $ v9 k! c% C5 z5 E. F2
    9 N3 e& v4 ?  E6 \6 d0 } +7λ+1
    5 D" ?6 G% K" u: \​       
    . A+ H1 o' {$ [5 c% m : z  {9 }6 K( v5 o
    8 K7 t& L* D3 B# A( C& c- h9 e
    1 ?, X' q( y. C8 }% H- A
    函数        功能  I  S9 y( f! n; u$ X4 K  R
    dpois(x, lambda, log = FALSE)        概率密度7 G0 W/ q2 }& Y* W& M# C
    ppois(q, lambda, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)        累计密度9 r1 f: E- h1 n7 }
    qpois(p, lambda, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)        分位数9 d8 H& i7 R( \; }
    rpois(n, lambda)        随机数
    ! [9 n  Q% w" L. G+ g中心矩的递推公式来自8:
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    9 C: ~4 K5 m4 ]+ E" Shttps://wenku.baidu.com/view/7f8328c10c22590102029d83.html ↩︎
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    ; r* M* U! n8 x版权声明:本文为CSDN博主「统计学小王子」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。
    $ I8 X! q$ R: n! p1 C原文链接:https://blog.csdn.net/weixin_46111814/article/details/115499487% @! R# V3 e' d, G  R
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