全国大学生数学竞赛学习笔记（非数学专业组）

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0. 写在前面
这次参加全国大学生数学竞赛（非数学专业组），本来是抱着重在参与的想法报名的。准备的过程大概不到一个月吧，挺仓促的，好在学校竞赛培训的老师很负责，做的辅导课件帮了我很大的忙。最后很幸运地获得了北京市数竞的二等奖和全国数竞的二等奖，算是一个不大不小的惊喜吧。在这里把我的学习笔记（参考我校培训老师的课件）分享出来，大家可以对照着查缺补漏，希望对参加数竞的小伙伴们有帮助。（文中截图出自我校数竞培训老师的课件）整体竞赛难度怎么说呢，还是看运气 年份，今年的题就比较简单。不过万变不离其宗吧，掌握好基础的知识点，才能应变越来越花里胡哨的题目。

$ V7 S6 q7 [. |7 b& h
& C1 ^1 Z5 s% s8 N2 @1. 求极限问题
1.1 洛必达
! F- O& @$ Y! ]4 C: g* }. }1 {* ]& T没啥好说的。
( O' |0 ]3 H) p9 N( g' C

1.2 等价无穷小


1.3 Taylor公式
6 `+ {. X: @! }# N/ d2 H* E# L3 s熟记公式~


7 v6 V7 {. C+ Y& I# Z1.4 两个重要极限
* Q& f- B7 @2 j8 |+ ]+ D有关ln和e的极限，背下几个常见极限就好。
. A3 I! s$ l( h4 d& k' m$ e( M

1.5 利用导数或微分定义
. A4 d7 `9 z/ G! t* O/ {0 f: Y看到函数题干中有f’(a)的值（不为0常数）和f(a)的值（为0），就联想到是否可以联系导数定义解题。
. D7 B/ O0 L9 T/ l3 e. \1 i

% O0 \7 i% J% k1 z0 Y0 u- `' N/ |1.6 微分中值定理
0 }% r4 E' K9 G4 K0 f7 L/ X  O遇到求f(a)=a的a存在性证明，考虑零点定理

遇到形如求f’(b)=2bf(b)的存在性证明，考虑用前一问和题干中的零点构造出罗尔定理的两个相等点。构造函数往往带有e^x
( I4 |+ h* H! C! k
$ C" z3 Q, a+ U6 ?1.7 夹逼定理、单调有界原理证明存在性
有这个思想就行。
/ s$ J/ [/ v7 J* ]8 I
5 V1 x6 J7 e4 {2 _; Q
0 U) A8 d, u& I( [) ^- O1.8 利用积分
0 ^2 y9 G# O7 ]6 g看到含f’(x) 的不等式，就要想到对两边积分，这样一边可以得到f(x)

2 k, Q6 `8 \8 [( W3 x把不等式的一边先等价无穷小化简，再不等式通过两边取积分，化简的一边化为这样的形式（另一边是导数积分完为f(x)），方便判断收敛性：

: Z7 ?4 g+ B$ W) C3 q


# G6 g0 `' P) [0 e# D2. 导数的计算
) k% x: u+ H) L! J% }/ }2.1 分段点或特殊点处求导：直接利用定义
如有x值使得函数f(x)=0，求该点导数。
& P! t3 l5 `% Z: ~1 j. o
3 x9 D( M: i% y
( C% }9 J) }) _. i4 _. k8 X2.2 隐函数求导 对数求导
( Y% Q1 I( }$ U当幂数为f(x)等形式时考虑对数求导，消除幂数中的f(x)


" ^; h# c9 k0 A* G, t6 X6 F% d2.3 参数方程确定的函数求导
理解过程。


2.4 高阶函数
7 o: f7 B) L6 _4 i* ?7 @; w2 [Leibniz公式

& ?* ~. s7 u/ f' x4 @/ c
常见高阶导数
: {8 |) b; K& w5 F. g

  S- r8 F: Y2 ]% w! I
- t; T' I) n% r2 {
3. 导数的应用3.1 一元函数应用3.1.1 函数单调性、极值、最值

没啥好说的。

) [+ ?) X  g3 t$ x8 a

3.1.2 不等式的证明

• 利用函数的单调性证明
  + P8 G" ~9 J; l

) \) T8 _9 h/ i/ q% D3.1.3 确定方程实根个数

利用零点定理（至少有一个零点）+单调性（导数）（至多一个零点）来确定方程实根个数。

• 存在性：零点定理
• 唯一性：单调性/Rolle定理反证
  

$ m; Q& Q+ A1 d

( j3 o5 V& C: ~

+ |4 t8 u) _) e# z
1 k) a' l/ W5 `" Q


* Z) \- L( F8 |# F% ^