全国大学生数学竞赛学习笔记（非数学专业组）

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0. 写在前面
这次参加全国大学生数学竞赛（非数学专业组），本来是抱着重在参与的想法报名的。准备的过程大概不到一个月吧，挺仓促的，好在学校竞赛培训的老师很负责，做的辅导课件帮了我很大的忙。最后很幸运地获得了北京市数竞的二等奖和全国数竞的二等奖，算是一个不大不小的惊喜吧。在这里把我的学习笔记（参考我校培训老师的课件）分享出来，大家可以对照着查缺补漏，希望对参加数竞的小伙伴们有帮助。（文中截图出自我校数竞培训老师的课件）整体竞赛难度怎么说呢，还是看运气 年份，今年的题就比较简单。不过万变不离其宗吧，掌握好基础的知识点，才能应变越来越花里胡哨的题目。

2 o8 v% l; }, B) _' Q% n
' H; \/ N# f, v3 z1. 求极限问题
: {0 T$ b7 a, j8 }$ C2 F1.1 洛必达
+ A. T4 D- N& ?没啥好说的。


2 Z" o. P  ^- h/ A1.2 等价无穷小
3 d  @! a/ x' n) G2 K* Q- R5 K
& F5 l5 Z) t8 n6 n+ z+ y, ^
0 G, ~  S' T7 P& \' P1.3 Taylor公式
熟记公式~
" K& Z- b$ F9 S" t' F" e

+ K' t2 L9 W1 A8 t: ~1.4 两个重要极限
- J* [  n) @9 p) T( b有关ln和e的极限，背下几个常见极限就好。

; \6 K0 ^0 V% o0 b
/ o( B; Y$ h, q" l" t; }1.5 利用导数或微分定义
4 t' t+ i( r( o$ B4 E2 \看到函数题干中有f’(a)的值（不为0常数）和f(a)的值（为0），就联想到是否可以联系导数定义解题。


/ {# g# s& t: O% h3 G8 |: o1.6 微分中值定理
遇到求f(a)=a的a存在性证明，考虑零点定理
2 V; f" h+ J6 r
. [5 v( k9 S$ o4 }# D, x遇到形如求f’(b)=2bf(b)的存在性证明，考虑用前一问和题干中的零点构造出罗尔定理的两个相等点。构造函数往往带有e^x

7 F/ S- k9 v- E& }/ \1.7 夹逼定理、单调有界原理证明存在性
' F" V; K2 H- G0 {5 i' H# n有这个思想就行。
! `, m; f# `/ |+ h5 w
" c( g6 G; u' |9 e4 n. a6 K# L
1.8 利用积分
7 }: b8 d8 [& h4 X, V; X看到含f’(x) 的不等式，就要想到对两边积分，这样一边可以得到f(x)

$ J( n5 r& m/ w; ?0 m+ P把不等式的一边先等价无穷小化简，再不等式通过两边取积分，化简的一边化为这样的形式（另一边是导数积分完为f(x)），方便判断收敛性：



# `+ B3 c& l  K* f' G6 E" `' _* {
2. 导数的计算
- m- f4 C5 d6 B& W2.1 分段点或特殊点处求导：直接利用定义
如有x值使得函数f(x)=0，求该点导数。


; Y# P2 d4 A3 {. U: V2.2 隐函数求导 对数求导
7 w. G, b) y3 z  q; w- v4 ^当幂数为f(x)等形式时考虑对数求导，消除幂数中的f(x)
& S8 s  h2 \) R" C; m/ l' }6 q

1 s, x* c5 v$ M7 p& R6 _  G0 S2.3 参数方程确定的函数求导
理解过程。

  g9 z  j  q" k- q5 Y7 e
2.4 高阶函数
0 Y  H: \( y, V3 B1 o* C+ pLeibniz公式


常见高阶导数
3 U* P2 O# r/ t. q9 K  Z

1 I( {1 \% \* z' C0 J& m" A$ i

: ~& J8 P$ V" U; N7 @3. 导数的应用3.1 一元函数应用3.1.1 函数单调性、极值、最值

没啥好说的。
; J( o8 M3 n! y5 q7 v- ^0 g4 q0 {2 `* ^
( M, S$ q2 r# z1 O2 u" _- f7 F7 C

3.1.2 不等式的证明

• 利用函数的单调性证明
  9 j0 @1 P* \  e+ n* o% m. h/ U

* |, g0 K' o9 ?; g1 `1 [
3.1.3 确定方程实根个数

利用零点定理（至少有一个零点）+单调性（导数）（至多一个零点）来确定方程实根个数。

• 存在性：零点定理
• 唯一性：单调性/Rolle定理反证
  * c, \; r# u' r) q0 n! {, b

* T- i; l3 [9 H3 E

' P  z% W* F% d8 F: ?
8 e8 u& `' J- i* ]9 g. |! A
5 c; c' O, W$ Y- u  P
! N$ h9 k" R+ j1 D( o

" W# [9 S- L. e

* H5 E6 ]$ y5 j' e2 H% _$ |


' I7 X, i1 q$ r
# K! T: n2 ?. Z4 n7 m# _+ j* z