全国大学生数学竞赛学习笔记（非数学专业组）

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0. 写在前面
: ^; r  O1 ~& m, p! q& u这次参加全国大学生数学竞赛（非数学专业组），本来是抱着重在参与的想法报名的。准备的过程大概不到一个月吧，挺仓促的，好在学校竞赛培训的老师很负责，做的辅导课件帮了我很大的忙。最后很幸运地获得了北京市数竞的二等奖和全国数竞的二等奖，算是一个不大不小的惊喜吧。在这里把我的学习笔记（参考我校培训老师的课件）分享出来，大家可以对照着查缺补漏，希望对参加数竞的小伙伴们有帮助。（文中截图出自我校数竞培训老师的课件）整体竞赛难度怎么说呢，还是看运气 年份，今年的题就比较简单。不过万变不离其宗吧，掌握好基础的知识点，才能应变越来越花里胡哨的题目。
8 \+ S7 E. u& P' G* s& W
: I2 C4 [  m! A# p! g
/ j* t; J  f. h4 j1. 求极限问题
1.1 洛必达
没啥好说的。
/ ?" ^5 Q/ |; J, L' a

1.2 等价无穷小
8 X2 x0 @+ @( v3 y: H% `: f& \
# P# j$ {3 W# K
1.3 Taylor公式
熟记公式~


1.4 两个重要极限
1 k6 y& E, x. f3 i; Z有关ln和e的极限，背下几个常见极限就好。
. a8 k$ {' i+ Q: l+ a; ?

0 w7 I! [& f# Q1.5 利用导数或微分定义
看到函数题干中有f’(a)的值（不为0常数）和f(a)的值（为0），就联想到是否可以联系导数定义解题。


1.6 微分中值定理
遇到求f(a)=a的a存在性证明，考虑零点定理

遇到形如求f’(b)=2bf(b)的存在性证明，考虑用前一问和题干中的零点构造出罗尔定理的两个相等点。构造函数往往带有e^x
! B' \0 }1 ^6 j  F5 Y# C# _) h
( v6 L+ s4 d! ^$ z9 z1.7 夹逼定理、单调有界原理证明存在性
# X3 L2 a* [2 [有这个思想就行。


1.8 利用积分
- A# z2 ~2 H$ `( r6 M( u8 k看到含f’(x) 的不等式，就要想到对两边积分，这样一边可以得到f(x)

+ S3 J- \* u! d3 d1 t把不等式的一边先等价无穷小化简，再不等式通过两边取积分，化简的一边化为这样的形式（另一边是导数积分完为f(x)），方便判断收敛性：
, K9 b; T* @0 D8 [, h4 I# W. f
9 }% O7 Y# m3 E  f8 a5 x4 ?
% S( E* J5 e3 J# `1 l8 R

2. 导数的计算
8 \" }- C( ^, s2.1 分段点或特殊点处求导：直接利用定义
如有x值使得函数f(x)=0，求该点导数。


; ^* h  G" L. E2.2 隐函数求导 对数求导
- d  |2 T9 f! ^. ~当幂数为f(x)等形式时考虑对数求导，消除幂数中的f(x)
4 v( j. ^5 F+ W7 Z) B" M
* r% H* ?* ~, l, I+ O6 L2 {9 q: s
2.3 参数方程确定的函数求导
理解过程。
6 `$ c- r7 G( r+ F$ L! ^( f
4 v$ \. U% s( L+ ^
/ G) N6 z7 m4 `3 E0 V8 c2.4 高阶函数
Leibniz公式
; O" x" b+ R7 _
' j8 `! h6 p! {7 l# K+ z5 E4 ]6 f' ]
常见高阶导数

% o% |" N/ c; h6 t

5 o( `% \1 q' K* u3 ?
& Y2 j$ ?- b, k3 Q9 N8 k3. 导数的应用3.1 一元函数应用3.1.1 函数单调性、极值、最值

没啥好说的。
. O, n! |2 v: b! m$ d3 |

3.1.2 不等式的证明

• 利用函数的单调性证明
  : a  K% y; p+ [, @+ a

3.1.3 确定方程实根个数

利用零点定理（至少有一个零点）+单调性（导数）（至多一个零点）来确定方程实根个数。

• 存在性：零点定理
• 唯一性：单调性/Rolle定理反证
  + ]( M3 n" m6 h$ S

8 Q' K2 d; q7 X: m7 a- ]* R( ]
/ U7 I/ z' l8 }# B




, b. i; E8 u2 K  M+ {% T9 {
! H2 g$ A; }& T0 A3 T- @
1 }7 _, o, r' d: s9 U
* T8 J! @8 E! t9 C  c$ b
# H9 Y) l) ]! {
3 X5 T+ ]' U- h! P; O* Q' C

: c/ Y! c3 K& n