全国大学生数学竞赛学习笔记（非数学专业组）

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0. 写在前面
这次参加全国大学生数学竞赛（非数学专业组），本来是抱着重在参与的想法报名的。准备的过程大概不到一个月吧，挺仓促的，好在学校竞赛培训的老师很负责，做的辅导课件帮了我很大的忙。最后很幸运地获得了北京市数竞的二等奖和全国数竞的二等奖，算是一个不大不小的惊喜吧。在这里把我的学习笔记（参考我校培训老师的课件）分享出来，大家可以对照着查缺补漏，希望对参加数竞的小伙伴们有帮助。（文中截图出自我校数竞培训老师的课件）整体竞赛难度怎么说呢，还是看运气 年份，今年的题就比较简单。不过万变不离其宗吧，掌握好基础的知识点，才能应变越来越花里胡哨的题目。
4 H, I3 ^$ W+ S. B3 R0 V
: S4 y4 B. _4 K/ e
3 b& ]6 B& H' r; L1. 求极限问题
1.1 洛必达
没啥好说的。
. e, J" |. v5 e' M, h1 `! {
! n# t! ?, B$ m
' b1 b" @" k) l2 [2 K- f: k; u1.2 等价无穷小
- h' v0 D- _; r  ]/ i

1.3 Taylor公式
4 k- l2 J6 L, \; d$ j* }熟记公式~
% y6 I) v) X* n, t

1.4 两个重要极限
有关ln和e的极限，背下几个常见极限就好。
; Y: _' e5 w  s. a
. b  [/ |) m1 ?( ?( C5 [( o6 d
/ e; ~2 y, k8 h3 T& z- i( C1.5 利用导数或微分定义
看到函数题干中有f’(a)的值（不为0常数）和f(a)的值（为0），就联想到是否可以联系导数定义解题。

% x3 i0 h& U9 |: i, A
+ t& H$ O7 r' v% U' b7 h+ d' J1.6 微分中值定理
遇到求f(a)=a的a存在性证明，考虑零点定理

  S0 e; f$ m) ~0 [& y% I6 r遇到形如求f’(b)=2bf(b)的存在性证明，考虑用前一问和题干中的零点构造出罗尔定理的两个相等点。构造函数往往带有e^x

1.7 夹逼定理、单调有界原理证明存在性
有这个思想就行。
$ t) T1 y% Q8 d' R: h

* I0 b0 n$ M' G1.8 利用积分
+ b: s" K+ j+ a: `4 n* I3 L' Q$ ~看到含f’(x) 的不等式，就要想到对两边积分，这样一边可以得到f(x)

把不等式的一边先等价无穷小化简，再不等式通过两边取积分，化简的一边化为这样的形式（另一边是导数积分完为f(x)），方便判断收敛性：


# c+ D. e2 X, D$ O$ r+ X

  U0 G; Y: b) Z8 U& M# I+ C' S2. 导数的计算
- x) [* {( b: J5 T  _: g2.1 分段点或特殊点处求导：直接利用定义
% V3 o4 P, F2 d2 t! a7 E3 n' [4 N如有x值使得函数f(x)=0，求该点导数。

. h5 ~4 D" O! K) z9 v" a( e2 h
1 B5 r& x8 E6 w( M  f2.2 隐函数求导 对数求导
+ }  n! o0 M' L( S; [当幂数为f(x)等形式时考虑对数求导，消除幂数中的f(x)
. f+ `0 W( [0 ?8 A
# T# `# t9 g" v" m
2.3 参数方程确定的函数求导
理解过程。
1 T6 D  _: H1 u9 S6 c; K; e
, T9 s2 M" X# [) u
9 y0 o7 r+ U2 J+ n! @2.4 高阶函数
# F  o: A- A& m+ f% `1 ULeibniz公式


; k7 _3 T' k1 X! D# F, ^常见高阶导数
" T. y4 M% Q, t/ z. g( k



0 s4 P7 W- s8 F# f( Y1 c( W$ k3. 导数的应用3.1 一元函数应用3.1.1 函数单调性、极值、最值

没啥好说的。

3.1.2 不等式的证明

• 利用函数的单调性证明
  

3.1.3 确定方程实根个数

利用零点定理（至少有一个零点）+单调性（导数）（至多一个零点）来确定方程实根个数。

• 存在性：零点定理
• 唯一性：单调性/Rolle定理反证
  2 t5 l( b$ f7 g# o3 [$ ]# G& c

9 V, B. e: l% K7 ?) R8 e4 a  A
1 d' R) ?+ ~8 R

8 u3 {' R. X5 d& R. t: i


( p) h5 H2 E; M8 T' T


& p; W4 F) N4 D0 M" f% {6 X' r+ H
  v& P" H9 Q+ h( m
& C" K& `$ j6 S' x) }: r: K$ Q