全国大学生数学竞赛学习笔记（非数学专业组）

1440359316

0. 写在前面
) K7 z* l) z. w+ o6 ?5 W这次参加全国大学生数学竞赛（非数学专业组），本来是抱着重在参与的想法报名的。准备的过程大概不到一个月吧，挺仓促的，好在学校竞赛培训的老师很负责，做的辅导课件帮了我很大的忙。最后很幸运地获得了北京市数竞的二等奖和全国数竞的二等奖，算是一个不大不小的惊喜吧。在这里把我的学习笔记（参考我校培训老师的课件）分享出来，大家可以对照着查缺补漏，希望对参加数竞的小伙伴们有帮助。（文中截图出自我校数竞培训老师的课件）整体竞赛难度怎么说呢，还是看运气 年份，今年的题就比较简单。不过万变不离其宗吧，掌握好基础的知识点，才能应变越来越花里胡哨的题目。

& _8 t1 F/ s: K8 B7 a) `
% T6 P2 U" m  \: u) f1 M1. 求极限问题
% ?* ?) K6 n  T3 T' t2 K9 t7 f1.1 洛必达
0 I0 p2 Z2 v: e6 K( {$ b没啥好说的。

  k2 P3 h' b8 Z  f9 Z& H* k* m5 s
1.2 等价无穷小

# l. E' Q4 G( P$ G
% C# g! ^% O. r; k( }3 T1.3 Taylor公式
熟记公式~
, w. b% ]# W( k1 t- h
1 j! P9 M3 i; G. b2 @! R1 _/ m
1.4 两个重要极限
有关ln和e的极限，背下几个常见极限就好。


1.5 利用导数或微分定义
* Z1 G, O' ^0 W看到函数题干中有f’(a)的值（不为0常数）和f(a)的值（为0），就联想到是否可以联系导数定义解题。
7 h) s% S. ?" c$ h8 r! A
/ [7 F5 u0 I- n. q, P
1.6 微分中值定理
遇到求f(a)=a的a存在性证明，考虑零点定理
! P6 }* U+ C% n' I% _# C3 |
2 t& R- T" e4 r8 q. `: u7 u遇到形如求f’(b)=2bf(b)的存在性证明，考虑用前一问和题干中的零点构造出罗尔定理的两个相等点。构造函数往往带有e^x
0 m1 x: |3 }8 m0 ]+ l3 y
1.7 夹逼定理、单调有界原理证明存在性
有这个思想就行。
+ D3 W& i; _0 F: t6 _
" E; v& p2 n1 `2 v
' O, y2 V( f$ G( p  J! P, k1.8 利用积分
看到含f’(x) 的不等式，就要想到对两边积分，这样一边可以得到f(x)

) ~( A9 \1 v: r' f$ c/ s5 E. ~1 d( e: ~把不等式的一边先等价无穷小化简，再不等式通过两边取积分，化简的一边化为这样的形式（另一边是导数积分完为f(x)），方便判断收敛性：
" P) u1 U8 K. x: ~! A3 H9 }4 c* j& N& X

4 O0 V1 M2 W  A$ h5 U  z
- r& M, j+ U/ z7 t! [/ E2 Y9 {
6 n$ e9 d) W" J, _8 t3 i8 ~% o. F$ ?4 D2. 导数的计算
2.1 分段点或特殊点处求导：直接利用定义
9 Z" D( p* t6 K8 `7 L- \如有x值使得函数f(x)=0，求该点导数。


, _! i8 T* m  t! {2.2 隐函数求导 对数求导
% [1 f! w3 H; O当幂数为f(x)等形式时考虑对数求导，消除幂数中的f(x)


2.3 参数方程确定的函数求导
3 m# ^( z1 A9 D( a" U& P理解过程。
( }  {& J$ c  w3 {5 G  V2 k' t" E

2.4 高阶函数
Leibniz公式
9 l% j( o" `$ g6 g6 w

常见高阶导数

$ l: Z2 Q- d( d& [

% o, g9 {" Z$ U5 P8 \2 Q5 c1 p
3. 导数的应用3.1 一元函数应用3.1.1 函数单调性、极值、最值

没啥好说的。
0 G: E( L* X2 @3 d& `! p

3.1.2 不等式的证明

• 利用函数的单调性证明
  

3.1.3 确定方程实根个数

利用零点定理（至少有一个零点）+单调性（导数）（至多一个零点）来确定方程实根个数。

• 存在性：零点定理
• 唯一性：单调性/Rolle定理反证
  : p; z4 Y6 B5 h% j, _: l& r

5 N  d4 Q7 F! k  H
: p% @) N5 w; g9 q! k% v. m
! T# z9 }! a+ K4 N& }


" s9 \( k- q  `: n

* Q0 f) `5 r' }% I  n$ D/ v5 I