全国大学生数学竞赛学习笔记（非数学专业组）

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0. 写在前面
+ Q7 O) z: r$ H, J% M$ s4 Q这次参加全国大学生数学竞赛（非数学专业组），本来是抱着重在参与的想法报名的。准备的过程大概不到一个月吧，挺仓促的，好在学校竞赛培训的老师很负责，做的辅导课件帮了我很大的忙。最后很幸运地获得了北京市数竞的二等奖和全国数竞的二等奖，算是一个不大不小的惊喜吧。在这里把我的学习笔记（参考我校培训老师的课件）分享出来，大家可以对照着查缺补漏，希望对参加数竞的小伙伴们有帮助。（文中截图出自我校数竞培训老师的课件）整体竞赛难度怎么说呢，还是看运气 年份，今年的题就比较简单。不过万变不离其宗吧，掌握好基础的知识点，才能应变越来越花里胡哨的题目。

1 i& g) R9 \7 R
4 y* v7 E: e1 l: d1. 求极限问题
4 H9 ~7 D& E) y1.1 洛必达
没啥好说的。
( I1 m3 D# m( @

1.2 等价无穷小


1.3 Taylor公式
* }, V! Q+ n1 Z3 j1 ~+ s熟记公式~

, ]6 e( _2 E1 k. l
1.4 两个重要极限
* P* Z2 J! T2 Q& k) s有关ln和e的极限，背下几个常见极限就好。
# x. E4 n- j& O0 a" O

) |' T0 p- ~9 G4 w1.5 利用导数或微分定义
看到函数题干中有f’(a)的值（不为0常数）和f(a)的值（为0），就联想到是否可以联系导数定义解题。

9 c, }5 T: K) t
* U2 w; E  x% B4 F; O1.6 微分中值定理
遇到求f(a)=a的a存在性证明，考虑零点定理
; D" W( _) D+ K! Y
遇到形如求f’(b)=2bf(b)的存在性证明，考虑用前一问和题干中的零点构造出罗尔定理的两个相等点。构造函数往往带有e^x

; ]0 H& W. f3 T! `: O9 |# [1.7 夹逼定理、单调有界原理证明存在性
有这个思想就行。


7 d7 B5 N" v, t3 k* w. y5 D1.8 利用积分
看到含f’(x) 的不等式，就要想到对两边积分，这样一边可以得到f(x)
1 e2 `; }! U" `% [  d' c  ]9 _
把不等式的一边先等价无穷小化简，再不等式通过两边取积分，化简的一边化为这样的形式（另一边是导数积分完为f(x)），方便判断收敛性：

2 {( I9 G! _7 H: v. k* A* ]
6 I) ^3 d: A/ F& d0 F5 }# ^
3 \8 b$ w! J1 z9 u
, M6 R1 o* `1 T/ U2. 导数的计算
0 x& [4 p4 ~2 ^2.1 分段点或特殊点处求导：直接利用定义
3 j% p* z+ y; D) Y& F如有x值使得函数f(x)=0，求该点导数。


2.2 隐函数求导 对数求导
3 O; h% ~% C% s当幂数为f(x)等形式时考虑对数求导，消除幂数中的f(x)


" c$ E6 Z' X3 [; c4 y' v5 L: }2.3 参数方程确定的函数求导
; z9 _5 c7 `$ ~理解过程。

  S' k% w: N: A9 J( W* w1 c
; a+ ~, t. k1 ?# C0 ~: x' H2.4 高阶函数
6 y/ N- z# E; JLeibniz公式


常见高阶导数
) U; I* E+ G9 N$ _6 o0 E
" W9 Z) D4 q) A9 }) M. }

# n5 T7 D9 K1 r3 Q& H/ @! m2 ]
3. 导数的应用3.1 一元函数应用3.1.1 函数单调性、极值、最值

没啥好说的。

: I! W$ t. O$ _

3.1.2 不等式的证明

• 利用函数的单调性证明
  

' s: I5 \/ z5 p5 d; X9 F' |
3.1.3 确定方程实根个数

利用零点定理（至少有一个零点）+单调性（导数）（至多一个零点）来确定方程实根个数。

• 存在性：零点定理
• 唯一性：单调性/Rolle定理反证
  

! s. P  {) H1 O* A# u6 f/ G

4 {" k# I* L1 k# S! o5 B3 t: Y4 [

  `+ X0 g. W: S5 _
0 N7 V2 x' H  E( w+ h



* n* Z/ t  A  _( e


1 B3 D3 U2 P) S9 k
8 A2 y- o2 H2 K$ m5 ~) s# l' E