动态模型的基本理论

普大帝

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在大学数学学习中，一门重要的课程就是微积分，微积分是分析事物变化过程的有力工具.事实上，我们的世界是一个变化的世界，在很多实际问题中，我们可以通过物理原理、经验公式和实际推导得到事物变化率和其他量的一些关系式，我们把这样包含位置函数变化率的等式称为微分方程.而建立、求解和研究动态过程就是数学建模的微分方程方法.如果我们讨论的对象是一个变化的事物，并且其变化率和其他量有一定的关系，那么找出这个关系的过程中可考虑建立微分方程模型.

微分方程一般根据自变量是单个或多个分为常微分方程和偏微分方程.未知函数的导数阶数一般不会超过二阶.由未知函数的个数是单个或是多个分别称为方程或方程组.基础的偏微分方程根据其性质分为椭圆方程、抛物方程和双曲方程，它们对应的物理方程分别是位势、热传导和波动方程，反映了自然界能量、热扩散和波动的物理现象.实际中，方程描述的规律已远远超过简单的物理现象.

在实际中，微分方程被大量地应用.这个方法一般应用于两个方面：第一，通过研究事物的变化规律，列出研究对象所满足的微分方程及其边界或初值条件，然后通过求解或对解的定性研究来解模.第二，已知研究对象所满足的一般微分方程，但其中的参数不确定.但我们有大量的实际数据，利用这些实际数据，用统计的方法来确定系数，并进一步通过精确或数值的方法来求解，从而得到一般规律.这个过程也被称为反问题.

微分方程的求解比较难，只有一些线性方程和少量的非线性方程有解析解.大量的问题的解无法解析地表达出来.不过现在我们的计算工具很强大，绝大多数微分方程问题可以通过计算机解决.解决的方法一般是在微积分极限思想的基础上，用差分近似微分，然后将微分方程转化成代数方程或代数方程组求解.一些标准的解法甚至做成了固定的软件包.但我们在学习过程中不能过度依赖软件包，而应明白计算方法，才可以应对各类微分方程问题.

微分方程建模也是一个极富挑战的过程.首先要求我们对研究对象的变化规律有深刻的理解并可以合理地简化假设.一般的建模过程也是从微积分的思想入手，将其变化过程分成许多小段，对每一小段时间进行“固化”，然后讨论这个固化段上研究对象所依赖的量，最后让这些小段的长度趋于零而得到连续变化的微分方程.

我们先来看一场魔术表演.舞台上有一个水箱，魔术师往水箱里注入了粉红色的液体，非常浪漫.魔术师说这是青春的颜色，青春要成功，要发红.魔术师在红色的舞台背景下，唱起了励志的歌曲.和别的魔术不一样，魔术师并没有遮挡水箱，只是在远离水箱的地方唱着歌.忽然，唱到高潮结尾，他手一指水箱，观众们惊奇地发现，水箱的水变成了紫红色.魔术师说，这就像一个人追求成功的过程一样，如果他不激流勇退，就会红得发紫.他在五彩缤纷的背景画面中接着唱起忧郁的歌，唱毕再指水箱，这时水箱的水已变成了紫色.魔术师说真正的宁静在于经过惊涛骇浪后看透人生，回归自然，如同回到大海的怀抱.这时舞台背景换成了大海的景象，魔术师又唱起关于海洋的歌曲，唱毕观众们发现水箱中的水变成了蓝色.在观众们的惊奇尖叫和欢呼声中，魔术师谢了幕.

这个表演乍一看令人难以置信，好像魔术师的歌声使水箱的水改变了颜色，其实是化学变化的结果，只是魔术师是如何控制变色的时间的?要搞清楚这个问题，就要用到数学工具，具体地讲，就是要用微分方程模型解决动态问题.

动态模型的基本理论

1.1 微分方程

处理动态问题，一般用微分方程（有时简称为方程）作为工具，更详细的内容参见参考文献[13][14].

① 微分方程（组）：凡含有参数、未知函数和未知函数导数（或微分）的方程（组）.

② 差分方程：微分方程的离散形式.

③ 常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程.

④ 微分方程的阶：微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数.

⑤ 偏微分方程：未知函数是多元函数的微分方程.

⑥ 二阶偏微分方程：一般分为双曲型方程、抛物型方程和椭圆型方程.

方程的求解还要根据其性质要求有初值/边值条件.加了初（边）值条件后，我们往往把该问题称为某方程的初（边）值问题.

方程的解，则指能满足方程和初（边）值条件的函数.如果这个函数能解析地表达，我们把该解称为解析解.如果找不到解析解，我们可以通过数值的方法，即微分用差分取代通过计算机求解近似解，这个近似解叫数值解.它们的简单关系大体如图3.1所示.

图3.1 动态模型结构关系图

1.2 定性分析

研究动态过程，建立微分方程或方程组模型后，主要的问题就是求解问题.可以得到解析解的方程或方程组并不多.幸好现在计算机可以帮助我们进行数值计算.不过在很多时候，我们更关心的是解的性质，所以定性分析也是解模的一个重要手段.

对一般的微分方程（组）

如果方程右端与时间t无关，我们称方程为自治方程，而让上式左端为零，即所求函数随时间的变化为零，即有

这个问题解的实根[插图]我们称为平衡点.它也是原微分方程的一个特解.如果在平衡点的一个小领域内的任何一点

出发，随着时间最终解趋于平衡点，我们称为这个平衡点是稳定的，否则就是不稳定的.在应用中，找到平衡点并分析其稳定性，这样的分析是非常有意义的.

平衡点的稳定性判定有许多方法.这里只介绍最简单的.

对一维问题：如果右端函数f（x）足够光滑，那么当f′（x0）＞0时，x=x0不稳定，当f′（x0）＜0时，x=x0稳定.

当p＜0或q＜0时，（x1,x2）=（x10,x20）不稳定，当p＞0,q＞0时，（x1,x2）=（x10,x20）稳定.

相应抛物型方程与时间无关的解叫作平衡解.

1.3 数值解

满足方程和其初边值条件的函数称为方程问题的解。然而除了极少数的方程问题有公式解（也称为解析解），绝大多数问题只能通过计算机求数值解。解微分方程数值解的基本思想是通过差分离散近似微分，然后解相应的代数方程或方程组，方法有显式差分格式、隐式差分格式、有限元等。数值分析包括误差分析、收敛性、稳定性以及各种算法，是一门很大的学科。

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