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[其他资源] 哈工大2022机器学习实验一:曲线拟合

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杨利霞        

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    [LV.4]偶尔看看III

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    本人女,毕业于内蒙古科技大学,担任文职专业,毕业专业英语。

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    发表于 2022-9-14 16:40 |只看该作者 |倒序浏览
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    哈工大2022机器学习实验一:曲线拟合
    3 y; b' g, w  F! i' Q. v
    ; a" I& `( n7 ?6 ]% c这个实验的要求写的还是挺清楚的(与上学期相比),本博客采用python实现,科学计算库采用numpy,作图采用matplotlib.pyplot,为了简便在文件开头import如下:* q' i5 s# ^9 g. u7 \
    9 N- k( U1 h  O, @5 Q
    import numpy as np
    8 X7 q8 q( p) x' i& Oimport matplotlib.pyplot as plt; Z; x7 p7 j) n8 X1 Z( f
    10 V# g7 _8 b: r3 z( I7 k$ M
    2- u' _* p9 I5 |  D1 M" q% Z7 o; z' u
    本实验用到的numpy函数* H/ K- t) y( J9 I; L/ u& X$ C. H  N
    一般把numpy简写为np(import numpy as np)。下面简单介绍一下实验中用到的numpy函数。下面的代码均需要在最前面加上import numpy as np。
      s) R+ \0 H  {5 ]
    + A) [! u' @6 q/ `- knp.array
    $ w% _) U. j* u& c0 D  P# J$ E该函数返回一个numpy.ndarray对象,可以理解为一个多维数组(本实验中仅会用到一维(可以当作列向量)和二维(矩阵))。下面用小写的x \pmb x
    % f& Q" f- w) b. Xx
    # D3 E9 l" G; _, {0 Q5 Y( g& f2 nx表示列向量,大写的A AA表示矩阵。A.T表示A AA的转置。对ndarray的运算一般都是逐元素的。  U1 p1 ^, q, l, `7 e) S9 {5 c
    ( D" {2 ~+ ~$ O0 t5 R) z1 c
    >>> x = np.array([1,2,3])
    + `9 t, A: f, i, g>>> x( v7 F) C2 S1 g# U3 `
    array([1, 2, 3])$ O+ m# m9 \7 Y( o5 V5 Z" Q
    >>> A = np.array([[2,3,4],[5,6,7]])( T0 n+ V. G- J
    >>> A9 U8 V  c- G! s$ Q5 ]# E3 J4 F
    array([[2, 3, 4],) `+ d7 R9 y3 x) T
           [5, 6, 7]])
    4 |0 _% K) w, \" M>>> A.T # 转置
    & P* V3 [. l# e7 I0 z( Earray([[2, 5],
    , g) _: A8 q, B- D       [3, 6],
    9 z/ m' h0 }1 j( Z8 J. m7 h       [4, 7]])1 B1 f0 o+ X7 s+ ~
    >>> A + 1
    ) F# u4 f) \7 X: L# x. _array([[3, 4, 5],
    9 t' a. Y- g. C6 h6 E: b5 g       [6, 7, 8]])
    # ?5 K/ ?. v; Z/ J1 F>>> A * 2
    3 f- B( i. G2 v4 {# Y0 aarray([[ 4,  6,  8],. b  S' w! L6 m, O$ `9 k5 M
           [10, 12, 14]])$ G9 h8 B4 c! t

    ) n$ S6 E! w' l: t1
    & v0 I6 C: b0 f& ]- o/ I2 k! u2  q, _" \! N  t5 r% M& Z
    3) `9 f: X5 m& V" J: g  s7 |+ d5 E
    46 l/ B0 t3 `( `, v
    5- F  E! c8 m6 M) l8 \" n
    6
    3 s+ P. J/ m. S) x7
    & P9 u  u7 o& e6 g- Z7 R8
    3 \4 d# _7 x2 S% M0 v9& t9 i  B6 b1 ~: {- Q- O
    101 K& K( z6 t% [8 V
    11  r" X- W7 Q9 a9 V8 O, Z
    12
    5 s  I" @8 s( v0 B6 k13
    ) K$ K$ h4 w6 ?" i3 }9 c4 ?( R3 E14
    ' [- F. \9 X% [, r6 |+ D15
    9 t! B+ |5 i5 }16
    * i0 Y# w5 o9 H) R17% H- m2 H; S2 Q2 w
    np.random
    7 R- r/ |' E9 R0 d6 {np.random模块中包含几个生成随机数的函数。在本实验中用随机初始化参数(梯度下降法),给数据添加噪声。
    " M, w& k8 V: @- K& V6 B
    9 g& d7 _+ R7 r# M>>> np.random.rand(3, 3) # 生成3 * 3 随机矩阵,每个元素服从[0,1)均匀分布
    ) l8 o0 R0 H# |% a  marray([[8.18713933e-01, 5.46592778e-01, 1.36380542e-01],
    5 P1 U' j8 P6 c1 T" k       [9.85514865e-01, 7.07323389e-01, 2.51858374e-04],1 D" @) I) y. p, X; Q7 x4 Z
           [3.14683662e-01, 4.74980699e-02, 4.39658301e-01]])* ~, i* u8 M! E7 O$ V( L" j

    ' ]% @% B7 `, X+ ~" E/ c>>> np.random.rand(1) # 生成单个随机数
    ' T; r' R" V- @array([0.70944563])" z5 [! q$ x' x; I
    >>> np.random.rand(5) # 长为5的一维随机数组! Y2 ^8 o6 w$ A  K9 H) x
    array([0.03911319, 0.67572368, 0.98884287, 0.12501456, 0.39870096])
    $ j. v0 Z* ~( Y4 T" D/ I. }6 \7 H>>> np.random.randn(3, 3) # 同上,但每个元素服从N(0, 1)(标准正态)
    . W4 G$ f5 L  }" [& Y1! C5 }) T" E; [- }
    2
    4 e4 M3 a0 e0 `: ^3 @( ^3& E4 l. Y  M4 ?! p$ j! o, N7 j
    4% k8 {! y  ]3 a8 _' D: z- f
    58 t  q- w# |* p5 C0 I
    64 O1 i% r# I& l: a
    7
    9 C9 _4 E) c7 t! m# n8( n- W& v3 n' O- e! E
    90 z; Y; V$ N1 a7 }1 o( e$ Y
    10
    , }7 \! O5 m% h/ _& B1 d数学函数7 ^/ `4 U. n/ a' c) @
    本实验中只用到了np.sin。这些数学函数是对np.ndarray逐元素操作的:# f$ D. f6 P7 {; o; g
    $ q9 S. O7 {0 m% ]: F* c
    >>> x = np.array([0, 3.1415, 3.1415 / 2]) # 0, pi, pi / 2& g8 C# G" X5 x3 m1 v4 B2 b
    >>> np.round(np.sin(x)) # 先求sin再四舍五入: 0, 0, 1% h( t/ f% E3 F, V3 S9 h( t7 y
    array([0., 0., 1.])4 @% f* P0 _, Q
    1, [6 {" i* k( g" H, m' x4 A
    22 @6 r: t9 Y+ D1 n/ `  j4 [' U, g
    3/ [. F! h; I" i# G( ?$ Y
    此外,还有np.log、np.exp等与python的math库相似的函数(只不过是对多维数组进行逐元素运算)。
    4 V2 {  |' U  R( |! ]2 v6 W7 S  T: }3 E. V$ x/ s
    np.dot  V! b3 |9 a1 s8 Z: {% p
    返回两个矩阵的乘积。与线性代数中的矩阵乘法一致。要求第一个矩阵的列等于第二个矩阵的行数。特殊地,当其中一个为一维数组时,形状会自动适配为n × 1 n\times1n×1或1 × n . 1\times n.1×n.
    . d" _6 }3 ~# S9 M  i- p" j
    / P* [. Y  ?/ Z3 U1 e>>> x = np.array([1,2,3]) # 一维数组. G3 b/ J5 w# Z
    >>> A = np.array([[1,1,1],[2,2,2],[3,3,3]]) # 3 * 3矩阵
    ' \" ^* P; o: s7 L+ _' g! V# [>>> np.dot(x,A)
    % h& N6 {+ p1 w4 c6 Barray([14, 14, 14])
    0 e% R! C5 L* F>>> np.dot(A,x)
    - [" l1 J( ?) t: j- p( z' Harray([ 6, 12, 18])
    6 K9 Q& e5 c. [( G( o* z" M; J5 N% U
    >>> x_2D = np.array([[1,2,3]]) # 这是一个二维数组(1 * 3矩阵)
    / p! U6 H- b/ k. \7 z% G- [2 U>>> np.dot(x_2D, A) # 可以运算
    6 G# v. f) {) m. `7 D& _) H8 g: karray([[14, 14, 14]]). W1 }; P/ d  z2 Y- g" v
    >>> np.dot(A, x_2D) # 行列不匹配- ?' }0 z) B6 W# s  F
    Traceback (most recent call last):
    8 _; u$ i+ _+ n' ]- N& V  File "<stdin>", line 1, in <module>& _% k! a, N. g% f# w
      File "<__array_function__ internals>", line 5, in dot
    2 L7 C9 u8 C1 R  U6 DValueError: shapes (3,3) and (1,3) not aligned: 3 (dim 1) != 1 (dim 0)( L$ G) O2 o& L. N. @6 Z6 U% M
    1
    : N7 X+ F  V% S/ j* e: u: l5 c2  q, \3 R0 [. q8 b! h
    3
    % B/ @4 p1 a0 _41 |4 ~+ A, y/ m6 U7 {# x
    5
    & d% T2 @) o4 f7 X6
    1 M9 B/ z7 f/ @, l0 c! \7
    % b2 k4 \% f1 {% C6 D0 d( C8# S1 h1 J7 Z- }* x- Z8 u
    9, ?7 y" _6 X" e2 U
    10
    7 k6 }, U; S3 Y! G/ i7 `' o( `5 u11& L0 o2 J% O8 _
    128 c8 I; L9 ?6 x! x+ B9 u6 b  c! [5 x7 u
    130 c; B  L: T' s5 t5 J
    14! H. n" v# [  u" u+ g) W- M
    15
    $ u7 n$ h+ I% tnp.eye
    2 N' j" i7 p% Znp.eye(n)返回一个n阶单位阵。
    * [0 c0 F  H8 ]8 E( H
    / d6 d8 r4 C) c2 T# ^>>> A = np.eye(3)" S  _9 g# D& X
    >>> A
    5 X) X& v7 a% C8 G1 E  harray([[1., 0., 0.],
    4 x  j% c+ E) ~' o: F1 z       [0., 1., 0.],; A0 @6 S; W0 g* J" E- q: y- B% N
           [0., 0., 1.]])
    6 k. v; g2 W# o. q( i& R1. p( z3 ~9 `6 _
    2
    1 x2 q5 s( q( ~  `) E% i* f5 u3
    * I! e, P) N  @2 [! e  B4
    ( w& [4 U- t' }4 a' Z' x54 Q# j  V, K* v  B7 {
    线性代数相关& F# Q. _1 c- G2 L7 c' n: T( g4 W( Z
    np.linalg是与线性代数有关的库。
    ; ^3 {6 W6 G  R0 e4 x+ P0 n- Z8 K  t( J/ V
    >>> A
    8 Y# p& C7 ?8 w' oarray([[1, 0, 0],$ F( s0 N2 n' h# ]. _" ]
           [0, 2, 0],1 e9 V1 e6 i! e- A$ z7 Y
           [0, 0, 3]])* L3 n+ B0 \* E% }0 j9 c4 N
    >>> np.linalg.inv(A) # 求逆(本实验不考虑逆不存在)
    + m% i: X& ?8 T, S0 O% K+ karray([[1.        , 0.        , 0.        ],
    ' H; h8 [, O  v9 `0 ~' f0 u       [0.        , 0.5       , 0.        ],* f+ f  q  u, T( e1 P8 C8 f" @& i
           [0.        , 0.        , 0.33333333]])" J) ]$ b, X. ^9 V8 w
    >>> x = np.array([1,2,3])! }, k( l: B* }4 {# Z8 N! J
    >>> np.linalg.norm(x) # 返回向量x的模长(平方求和开根号)1 F% ^; Q8 P" B; L! |- y' _# r  \0 S
    3.7416573867739413
    % ?) Z4 P; N4 f>>> np.linalg.eigvals(A) # A的特征值" `3 C6 W- T; n+ Y; B
    array([1., 2., 3.])+ r; }4 v$ K; h( x3 W
    1. c  p1 ?* Q8 f! T) K. q# U* C
    2
    & S" Z, w, P1 @+ @4 N; f: Y3% Z* O9 T2 T( W$ q* A
    4
    % Q% h  [1 Z1 c* u- ?" O) {5
    " `4 r' f6 K3 F0 M% `60 _  Y3 x3 ?9 R. y. r( _+ ~
    7
    5 F3 T( S4 P1 t3 C8
    : O5 E9 {" s( x8 A0 w5 y- U, v) H9
    5 |8 A  N7 d! J0 d# H. J; v10' H- h# \2 d, f8 C2 G' {7 z% Y
    11
    & g9 s5 t5 N/ {( {  M124 N! q1 ?  z# Z  g
    13
      Y  l% P8 n) U  Y' C8 P. ~& R生成数据
    & F# N  o$ Y. Y% s0 U生成数据要求加入噪声(误差)。上课讲的时候举的例子就是正弦函数,我们这里也采用标准的正弦函数y = sin ⁡ x . y=\sin x.y=sinx.(加入噪声后即为y = sin ⁡ x + ϵ , y=\sin x+\epsilon,y=sinx+ϵ,其中ϵ ~ N ( 0 , σ 2 ) \epsilon\sim N(0, \sigma^2)ϵ~N(0,σ
    * K$ u# C7 k( g- G7 O* i! L& ~28 x8 H9 h: C# Q* _" Z
    ),由于sin ⁡ x \sin xsinx的最大值为1 11,我们把误差的方差设小一点,这里设成1 25 \frac{1}{25}
    # G1 ]7 C3 n7 f: C: L8 J. t25
    5 X' x2 k! s2 ^" N5 M6 X3 I1
    0 h2 ~" A( s( s( O
    , ?3 Q* b% I8 Z4 P! F" a )。
    9 u3 l/ r$ c! ^, Y; Y$ T- K% o/ ~/ B! a4 z
    '''
    3 v+ E/ k9 k$ b/ U9 }' o2 \# I返回数据集,形如[[x_1, y_1], [x_2, y_2], ..., [x_N, y_N]]; l$ J- r! n' `2 f& ^) f2 |0 p
    保证 bound[0] <= x_i < bound[1].& k4 N- S" n( d4 q1 ~5 `6 y
    - N 数据集大小, 默认为 100
    ! ?+ Q* G" c% f2 w+ L+ ]- bound 产生数据横坐标的上下界, 应满足 bound[0] < bound[1], 默认为(0, 10)* ~$ R6 R7 i/ L
    '''7 \% t* C/ R: f  n/ u9 {( _2 w
    def get_dataset(N = 100, bound = (0, 10)):
    . B* [5 L+ B1 Y+ E/ U8 U    l, r = bound9 i" ^) R  [6 e) N! Y; Z
        # np.random.rand 产生[0, 1)的均匀分布,再根据l, r缩放平移5 Q2 A, a+ f% b% o' D- M
        # 这里sort是为了画图时不会乱,可以去掉sorted试一试
    % i& v& {1 @8 W  X7 ?9 B    x = sorted(np.random.rand(N) * (r - l) + l)
    " ]. w. o: {4 A       
    : s% O. |' X; [& p" F4 w8 Y1 x- P        # np.random.randn 产生N(0,1),除以5会变为N(0, 1 / 25)8 |  B0 g- c% Y0 A) ~, _4 S' n/ J
        y = np.sin(x) + np.random.randn(N) / 5- ]) i! j. n/ x7 |, ?9 S& Q
        return np.array([x,y]).T
    5 z# C/ T6 s2 L& R& d6 H1
    & s( U; H! O3 D+ d: s2
      d( W) Z3 x/ w& Z& V$ M3: l( j# @+ ?; V0 ~
    4
    0 n" S- I' e" Q1 K5
    , B7 q5 m7 M" `) r1 P! u9 @6& W& i9 c( R( A* s5 ?% o, y
    7' E5 H! E/ x( \3 c4 J* Y4 a
    82 [% O& I0 K9 u' g1 [4 C7 R
    9
    # Y$ _! }1 D8 t! \6 X' d% G3 `$ n10
    4 B  q4 p4 r0 p% i% r  f* ~5 k11
    ( g# ]% b' f$ [12: k3 ~8 Q6 x0 d- r5 _9 G
    13
    # q0 x3 S: w- l- Y& m14% ]0 k" o: n6 C
    153 E/ y) X+ X( }7 `; H
    产生的数据集每行为一个平面上的点。产生的数据看起来像这样:4 ~5 v2 r( B% a0 ?; [

    ) ?* }+ J5 R- t/ n9 J" P隐隐约约能看出来是个正弦函数的形状。产生上面图像的代码如下:4 n9 O2 t! f  Z  ~' P# g

    ) E* W5 o3 b# }+ _+ t: O/ |$ Ydataset = get_dataset(bound = (-3, 3)), R  [- W! ^: S
    # 绘制数据集散点图
    ! ], S7 b2 \" g/ H  Bfor [x, y] in dataset:
    2 V4 _6 y, c. |$ g! ?8 Y) g    plt.scatter(x, y, color = 'red')
    6 e9 u, {0 D+ J6 {) Fplt.show()
    ! a0 G! P+ q+ @" {! r2 O8 q! `& O: }13 ^8 b" k4 V7 x. d% k  X1 E  O
    2
    , m( J( |# G) `; i$ F9 r3
    / Y" _2 w; D; a+ ^! k4
    . K; j0 K8 X0 }9 q5 @5+ z' q9 F+ g% O6 ]9 A; W0 ^
    最小二乘法拟合% h) j; v4 o/ {3 Z
    下面我们分别用四种方法(最小二乘,正则项/岭回归,梯度下降法,共轭梯度法)以用多项式拟合上述干扰过的正弦曲线。
    / n: n- R/ A+ @6 g- a; }( `6 g; n" x& H- B9 R; ?8 {
    解析解推导/ e8 q/ o' y- m3 I# A& h: R
    简单回忆一下最小二乘法的原理:现在我们想用一个m mm次多项式' K1 k6 J$ @  W8 N# S
    f ( x ) = w 0 + w 1 x + w 2 x 2 + . . . + w m x m f(x)=w_0+w_1x+w_2x^2+...+w_mx^m
    $ u# y& `# \% G+ e. j2 lf(x)=w
    - z6 v3 m! e' F% C  M+ S- I0
    " i% U" X. h+ u3 Q4 B1 c" c; I' S' i( N( j! K6 K. `% L- e" L& ?' S  t
    +w
    ; P3 E) n3 h$ m" }8 ~& W* Z1) `) y  Q  @2 n
    + \- a1 L( V- Y1 k5 S
    x+w
    + D" V) Z4 R, |3 ~0 y0 b2
    - t2 r5 \1 p4 Z+ x" y
    & `  C' K' c( U! _ x
    : k2 W0 ^5 F$ U+ A" W& q4 r% H2
    : A8 J" A9 O# G0 \* [* i9 K6 B +...+w 1 I4 N! f6 Q. ]' ~1 d( Q
    m3 l5 \) N# Y& p" C7 S

    1 ^: M. W7 [( P2 w% H% [9 | x   x- p& }5 q. a% R1 |
    m" h# Y) d/ {+ H6 [$ {

    ! I% `3 b3 H  U8 u3 M8 O$ ~  ]
    % L; r; i, e- B# S) w6 g) z) O/ j, m来近似真实函数y = sin ⁡ x . y=\sin x.y=sinx.我们的目标是最小化数据集( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , . . . , ( x N , y N ) (x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_N,y_N)(x
    " w  w0 m( r; [8 U6 ^1
    / Q3 G' v# J7 |6 f" x; S3 d( s! e( k% \& |- ?+ A
    ,y
    " F1 f5 ~  a- W+ x+ V6 _2 R1
    ) z! \2 o6 Y" Y' C; W9 ]! r
    ! d( R& O4 J& D3 i$ x ),(x
    ' R# A2 q% e+ w  L- g1 N8 I2
    6 b3 w% T# M7 t3 W# g
    " ]' J# x7 u. J/ g( ` ,y
    & F- x; e" Q- p. C" y/ }2 x2
    # t* V! h) d# u5 f2 P5 U/ c5 G, n# i# h+ H, N7 a- |7 i
    ),...,(x
    8 m; w' w; S0 |  KN
    ! ?* G7 S( i# |0 n! Q* A; V1 R% Y& g0 M7 r
    ,y
    : F9 P! W/ o* h* y6 DN
    : u+ }! m) {  X  ~& |7 a, J
    ! k0 e3 ^1 z6 t/ I- C' B )上的损失L LL(loss),这里损失函数采用平方误差:% y* \" Y1 v. O: g% S
    L = ∑ i = 1 N [ y i − f ( x i ) ] 2 L=\sum\limits_{i=1}^N[y_i-f(x_i)]^2' p. h" z" \" X" W
    L= % F6 a5 |. m7 a/ a0 A
    i=1
    3 |! x% I' O3 U( _
    % K# |! ~; z; S3 L* d, FN) m! {. a1 F6 n, t8 K

    " }4 Y8 i# \8 ~) Z% h( {7 o [y
    + ]. [1 d; ^3 W7 E) @% U( H3 ^i7 s1 b2 [7 z; T5 j8 F$ b* L
    ' W% y9 Q/ g( k
    −f(x 3 m: R3 g5 ]- s7 M' K% {
    i
    % F9 h5 q2 ^; J- h4 w5 y5 v  S6 |
    / e  m* u7 \1 t" f( E )]
    ) I! x- j; \: D  c. R% V" n23 o7 O0 E# l- `- G; y' m
    ; g6 m3 v8 J0 h7 `

    / ]$ }" R9 e8 }1 Z: E5 f为了求得使均方误差最小(因此最贴合目标曲线)的参数w 0 , w 1 , . . . , w m , w_0,w_1,...,w_m,w . K" m( L3 j0 ^! R
    0, S' u; C" {0 ~& B1 s, B
    ! n+ N! {* u0 Y# ]
    ,w * H* Z6 X. K( h+ i0 e, [+ b
    1$ ]" C! \$ v' I
    3 E5 L+ X, }7 W
    ,...,w 6 |0 L. i; k. s+ J7 O" C$ m4 e
    m
    + m7 h" u- F6 I% w$ ]# [* k) ]6 y/ L8 W# g7 A5 Z
    ,我们需要分别求损失L LL关于w 0 , w 1 , . . . , w m w_0,w_1,...,w_mw
    4 `, E7 V! p% b: r% Q/ l  |2 i3 s0
    ! H/ P" a8 H3 b4 E( [  R' n  s& v, Q. R+ W  d2 k
    ,w
    - V: W; k0 D7 Y: e- N7 `/ h1$ F! A+ m) o$ ?$ n) [6 C; D- n8 q+ q

    / g+ }& g# h1 _: f! \; k; y' _  u ,...,w
    * h  @5 g& w. y# ^m
    & r) f4 {1 {* J" Z( z2 q7 @* a/ P) ~& E0 @) [. J$ U# J! W
    的导数。为了方便,我们采用线性代数的记法:4 a- b1 j# \+ d* c5 Y8 a& ~
    X = ( 1 x 1 x 1 2 ⋯ x 1 m 1 x 2 x 2 2 ⋯ x 2 m ⋮ ⋮ 1 x N x N 2 ⋯ x N m ) N × ( m + 1 ) , Y = ( y 1 y 2 ⋮ y N ) N × 1 , W = ( w 0 w 1 ⋮ w m ) ( m + 1 ) × 1 . X=
    5 T4 |" Z) S. ~- ]3 B⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜11⋮1x1x2xNx21x22x2N⋯⋯⋯xm1xm2⋮xmN⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟$ T, S! ^2 F4 G; _/ p* K
    (1x1x12⋯x1m1x2x22⋯x2m⋮⋮1xNxN2⋯xNm); K- q# j( h: [5 v- T7 c
    _{N\times(m+1)},Y=
    ! e7 k" q' v+ T0 I& K0 B3 u⎛⎝⎜⎜⎜⎜y1y2⋮yN⎞⎠⎟⎟⎟⎟
    * L$ J1 J7 a, K, Y3 l' ]1 b, Q- y1 C6 ~# |(y1y2⋮yN)( v' H. S: T$ e4 C4 u
    _{N\times1},W=
    . A: w; p# u! _( m6 f+ J/ a  G⎛⎝⎜⎜⎜⎜w0w1⋮wm⎞⎠⎟⎟⎟⎟7 ~( V3 E2 ~, a
    (w0w1⋮wm)* I2 w6 \7 D4 f* i, _+ L6 B
    _{(m+1)\times1}." d9 ^: u: ]/ C& {0 @
    X=
    - _" L5 I) b  V) ?: }" J7 }* y, _( ]

    0 h: g6 v: X5 G; M% F- Z6 _; b& D! O" W8 n% I  J
    ; O) r4 D" x( P! u% i& g$ Z+ I2 k
    1# J- H1 }! m$ V' G1 Y/ o0 d
    1
    ( T$ B3 p. F5 s( a- y1 [5 b  o! w; Q' W( m, l
    1
      H9 z' x; m+ t* x1 q. r& `0 k! ~( D9 M6 e
    * p, u8 Z& b, {1 o' g+ F
    x : C3 u; \3 c/ Q9 k8 u# P
    11 c- x# J! g5 T( a8 i! h

    . Z( c9 H- c8 g" B1 o" ^1 G: p$ I
    x
    6 m' y/ Q! c' M+ O22 P* X; [7 {8 w3 x# i; e9 F( z; X

    2 F% s  Z: `* A( k1 v: ^# s
    7 V! B. I! R* _x
    8 i; F9 q7 ]) ~7 E! Y3 |9 MN$ T: E- O: a. j/ p2 g
    6 T+ K* d8 l. W. q+ @9 H* ?, e9 h
    " g, ]4 C, c- d0 C8 ]
    # e7 U* b# _' m( D( d2 x

    5 d8 }- Q$ S# j7 j; Kx , }( Y% v( V" q
    1
    5 W4 _. b6 ^3 @7 s, b* l* f2
    $ E8 T" D- }; w! B# [, h# z! U3 r- T3 z, a4 {6 Q
    4 j0 e  n1 S: V% }* |1 H( ]
    x ! |7 b( x2 d' d4 F6 M
    2
    2 [; D2 x! f4 t& h2
    . k8 j/ r1 {4 d" ]: q7 b) U) a6 P2 y# Q2 D& p
    . `% _$ y8 W% C3 I) `" {
    x ; f, B, ^" @! N
    N( e. C) T5 n# k* ?# Y/ m* @
    2  f- Y# O, f  T. K  v, D7 ^7 A: j
    1 A2 }4 _/ y1 n5 b, D

    $ E! ~: `6 r8 Y) m: L" z
    7 ^8 z: b7 O. R, ?# b' Y3 N4 Y
    9 V, [8 _+ p( F$ f. B  |1 w) H3 ?% ^) e" Z) t1 V2 R
    ; U) ~" h8 q) F1 n

    9 \2 J( A1 w, h, u/ y: ]4 }
    # {7 V" o8 E7 `7 \; z  X6 Q- e) b# D8 H% _3 @' C5 H
    x ) k2 |6 L( g2 J0 h1 E
    1
    3 e& D" u& q  j1 P# s+ Jm
    . B# A" j# _+ h, |% h- V& Y: O0 o

    ; p: t0 `9 R* {0 u# V* ?9 J' B8 a$ ~x & y+ i# n5 t# b  e! z5 S/ W& u  D
    22 B# c0 [  R" D9 T, r! F
    m' U& Y# h% M) h

    ; I( Z8 T* X: e# l# t% G
      r$ c# `- ^& u7 u; v& |
    / P+ H0 g/ N" j& i7 Fx + a4 p/ o* g. O2 b( {1 e
    N7 d- O8 Q: P- a0 J7 ^5 ?; {
    m$ {) ^4 _; t- e0 y! H7 l8 q
    + x" B1 s$ R0 ]4 ^, X) I0 p. F3 B

    5 b+ ?& b6 a" g3 w- @7 j$ ^: J& l/ x
    , j# c. N% j  j% p! E* q
    , l7 S1 L2 B+ O: n5 @. ?$ l! w3 D" \+ P& G) y+ U. N0 A& X% n
    " h3 K( D8 C0 g2 R2 ^

    & s. Y" W* Z; \8 p  q: I, s0 a$ f. Q. h" J$ d( Y# }" M7 U
    N×(m+1)
    7 o' K( Y0 z9 M1 I% h: x' D) [: q" K5 o5 O' Q' {) r) \) E* l
    ,Y= " D6 T. L2 x' e9 X- @

    % Z2 E4 g. D: M  {9 c: i" U
    , g4 k2 L* D! h5 G
    - Q$ b* b1 b0 j% E! j/ K
    , U  N* Y# \6 Y# f6 Y+ p: O/ |y 1 P4 {+ v8 p6 d
    1
    ; j8 F; d; G% F. l. N3 I6 }7 T! x& T% |1 l! K- V: T
    6 b7 b; Y: x) E& Z( d. B
    y
    + R/ W0 m' E8 r) P4 ^20 L1 [) Z6 Z- v+ L; j- e

    ( ?. L3 u$ S! v/ ]7 O9 `, _" x1 r2 Z. F! Z, D7 d- z6 Y7 a+ ^% N$ R) f

    / N/ M. r, n3 ]2 Y  \3 E- \y
    1 \3 M( F$ @2 V# hN
    ' I) ]% x6 M4 }/ h5 `7 }: z
    $ ^0 u; i  w7 Q; {
    % N6 P  t, P# t! h4 P# H5 q6 _4 y$ o1 S
    0 [- C' Q( g+ Q4 m. m
    + y2 @6 O: [3 D. }. W) h7 a# h
    + k, @5 @! ?, }9 V* i* k- Y. e

    1 x5 N3 Z# w' h2 l. T* W5 F; A" _6 d& A' Z
    N×1
    ! S  S0 |7 q- t2 Y' p  H& C( R* W! p
    ,W=
    1 R9 Z. `& }7 r- I5 l/ ?' H, O
    " Q# n" w2 Q: U& s" y5 D. g
    8 t: E& G6 }7 T0 f, C. k
    , [1 C: o8 D. @6 Q
    9 g) @) \% X9 Vw
    9 z1 T/ ^+ M2 k: W01 K1 O, q' v! U3 e4 U: `# w
    . M; j7 k1 v- `9 `7 |
    3 x9 J+ d$ ~9 p6 E! m) ^1 V% d9 Z( _5 I
    w
    * \2 Q7 a) _6 H( i1 F% v$ o9 @1, T$ W( V7 D& m% ]- z& P

    8 X, I4 M; K" |4 U
    . K9 |# `# n5 O9 \0 j+ |* P- I% Y& K8 @, d1 q: l" k/ h: h+ `
    w : g/ w* I) t) n) ]# H% |
    m
    9 x& b7 C, _6 k$ t9 B3 n# ]. K
    ) V2 Q" o$ M, L/ f; n' M0 \! f' L. Y$ T* ]* v# w1 H  V" {* ^9 f

    % [  O  W* }% L4 `7 `4 O# N) @4 ]3 b2 d3 p4 U7 a

    3 J  n" m: G! \+ b) e% b8 j1 k) D
    / N2 |0 _- g+ L9 M8 u, ~/ z# c0 N: W. Z- g" R! k8 Q# Y# ^
    ! N' z" V2 Y7 ~' y8 d
    (m+1)×1$ C+ E( U  I: ^" P  Z% s
    " O, v1 x0 c8 G3 h6 Q' y
    .
    , O: b% S' a' ]8 H$ y2 g/ C% F2 n" }  b0 ]$ d4 g) p
    在这种表示方法下,有
    . S; ]9 D9 ]# L4 H8 h# _( f ( x 1 ) f ( x 2 ) ⋮ f ( x N ) ) = X W .3 w8 H. _7 k( x- w" F! ?! ?
    ⎛⎝⎜⎜⎜⎜f(x1)f(x2)⋮f(xN)⎞⎠⎟⎟⎟⎟* {0 b$ H' Q4 P  x( K/ I
    (f(x1)f(x2)⋮f(xN))2 _( Z5 M5 Z" R. E- a- d, a! y+ v  \
    = XW.$ D6 W  q6 m2 \* G
    ( a  d$ B1 @3 O! }% M
    : Z' g$ C& @' u2 I9 W" a
    / b6 t9 W) u7 X1 c7 g9 W- a1 |4 m/ W

    : U. r% H: o  Uf(x
    # a" I4 K( _9 M% D8 O1 B* E13 Z7 n  l- h0 \
    ) h  U' b4 @4 Y4 O! X
    )) ~3 ^" Y& s8 B* @( ^7 v$ e
    f(x & G6 C5 u) Z: @( @
    24 v0 L6 k! f6 ?( T; c: N

    3 K1 J# Y: _0 n$ F" i5 i! }+ P# t5 c )
    + {7 L' A( E# ?; O  u* [7 q) D$ M- H/ t  u
    f(x 8 {  m  g' A5 j4 \) x' _
    N
    % f5 H/ K: W. Z: }9 n  J2 o1 v4 V* o. \
    )
    4 Z/ G/ `: j- w! @- a4 n5 W, d" J" O7 E2 X! w+ o1 C

    9 t( e0 V4 R+ Z& v8 U
    * [7 D& o  D) M) v/ X3 ~7 ?6 \* C: x9 Z# K% g
    + G7 k& ~6 s+ c' ^8 A
    =XW.
    * @! D2 O$ r/ X  P' J
    * z& u  P! D# s+ c, c7 a如果有疑问可以自己拿矩阵乘法验证一下。继续,误差项之和可以表示为
    6 O/ p& L- m' o# B3 {( f ( x 1 ) − y 1 f ( x 2 ) − y 2 ⋮ f ( x N ) − y N ) = X W − Y .3 I8 w2 g6 m; I- {" `3 s
    ⎛⎝⎜⎜⎜⎜f(x1)−y1f(x2)−y2⋮f(xN)−yN⎞⎠⎟⎟⎟⎟( v7 U- u# h. @0 _  a
    (f(x1)−y1f(x2)−y2⋮f(xN)−yN)  A8 |% i! R7 r: S2 N6 g
    =XW-Y.# V% ]( R% I4 z) ~9 ?5 B; s' m4 Q9 j
    7 r: F( E4 v- k

    % m. h  y* b( m/ f  J8 _4 S( x0 y9 q9 Q* l( n+ l& D# C

    % V4 @0 Z% ?+ c& R0 |/ @" gf(x 3 e! O# a% p% k, r
    1
    ) y6 ]% I: z/ R6 H1 w" u9 [' I( p  E. |: E7 `
    )−y , w) Q5 T( q" S) [
    1
      a+ l: b3 ^5 F- U; D  U4 ?! [& l0 S' I) P3 z
    , q1 e, j/ Z5 z% c; X( z
    f(x
    ! r) j# K7 r2 p! m2 g# J22 W2 X9 H9 y/ D5 j

    0 o! e* H5 x% i+ U$ M1 M: q0 I )−y , x5 N1 U# Q3 v0 k6 U8 \/ g4 d. Q
    2
    " w, Y% ?: f' h/ Z( f- g' T" T+ D' m
    4 o% W: z- T+ t! z( D, n( S
    ; ]5 k4 Z- F3 @" b3 b/ ~- Q+ Q/ ^' l* o1 n# d+ o: c
    f(x
    , P" n* Q2 @) L. f& j; d% c# u$ h* p6 MN: l. c2 o9 z2 F9 I# h0 m, ~' X8 `6 H2 r

    + J0 P1 E7 n* K) J. M" G )−y
    # Y6 v3 z& Z3 t( yN
    8 l/ Z; X: W: H" x/ {; t/ b0 ?1 u  |- Q

    # P! d% Y& r( D
    8 X& L& L; x- W0 T+ i% ~: t$ \6 m! l9 W6 O% |/ `- f; x( t
    & R, B, S% v6 c4 x( i: h3 x( T0 t
    ; x6 R7 N/ S- ~+ t# R, o

    & u# K) R( n2 x- e. T =XW−Y.8 x7 N- n% P8 O6 ^

    / A( L; j' S& Q+ _因此,损失函数
    * r$ c$ V! p  W8 D# Q. Z2 YL = ( X W − Y ) T ( X W − Y ) . L=(XW-Y)^T(XW-Y).8 l% b0 `$ T% K2 d
    L=(XW−Y)
    1 N* [6 R* P  d1 d% P3 v9 ?2 [2 }T
    9 M; Y. M* d& @7 L% j (XW−Y).8 B* W/ e8 `/ }1 S6 r
    ! s& i7 B0 o0 k3 S, d
    (为了求得向量x = ( x 1 , x 2 , . . . , x N ) T \pmb x=(x_1,x_2,...,x_N)^T" w7 @$ E+ P8 m5 M( _% A
    x
    0 ?3 m2 X$ u; g8 N* b- Hx=(x : W8 n( Z0 S4 L6 i( V" D
    1$ S$ N- ^3 z( `1 T/ V# _' U- ?6 K

    ' r; x* L, l1 e# l7 H5 A ,x
    . i+ v. ?7 s/ [$ Q' `# g0 Q7 Y23 A" g9 g( C$ I0 r
    ( f  ~- g! ?+ E9 o7 M
    ,...,x
    0 F+ J$ X2 r& iN
      ^. u$ ?& B4 L3 W6 ~. o8 O
    " {5 ], f) ?1 z- D ) 7 b: H0 j, `2 ~* T$ o
    T
    ! j2 w) M5 u, P( M5 L 各分量的平方和,可以对x \pmb x
    9 Z7 v  w* r0 |' h  ]x/ L% A+ N, z; _' @/ [
    x作内积,即x T x . \pmb x^T \pmb x.
    ! ^. W2 D9 G  o, _1 k, Jx
    : F1 H7 t8 [; d4 qx : t9 l0 ^8 u: n5 w; {, l. y
    T
    2 S) `1 S% E, m% i6 I3 H! c, X, h: O0 J& {  @" S3 a3 l1 Y$ D' m, A
    x
    0 N6 b& Y. E7 px.): _" B  z- l9 b
    为了求得使L LL最小的W WW(这个W WW是一个列向量),我们需要对L LL求偏导数,并令其为0 : 0:0:% @+ M+ w: P* W- \8 X2 Z
    ∂ L ∂ W = ∂ ∂ W [ ( X W − Y ) T ( X W − Y ) ] = ∂ ∂ W [ ( W T X T − Y T ) ( X W − Y ) ] = ∂ ∂ W ( W T X T X W − W T X T Y − Y T X W + Y T Y ) = ∂ ∂ W ( W T X T X W − 2 Y T X W + Y T Y ) ( 容易验证 , W T X T Y = Y T X W , 因而可以将其合并 ) = 2 X T X W − 2 X T Y# B, h0 I. E+ M4 r  _: o
    ∂L∂W=∂∂W[(XW−Y)T(XW−Y)]=∂∂W[(WTXT−YT)(XW−Y)]=∂∂W(WTXTXW−WTXTY−YTXW+YTY)=∂∂W(WTXTXW−2YTXW+YTY)(容易验证,WTXTY=YTXW,因而可以将其合并)=2XTXW−2XTY
    : b0 A9 U  P/ ~9 S" v/ \. g∂L∂W=∂∂W[(XW−Y)T(XW−Y)]=∂∂W[(WTXT−YT)(XW−Y)]=∂∂W(WTXTXW−WTXTY−YTXW+YTY)=∂∂W(WTXTXW−2YTXW+YTY)(容易验证,WTXTY=YTXW,因而可以将其合并)=2XTXW−2XTY. b! P9 l5 V) ?2 O$ z0 c/ }- _; Q
    ∂W
    : `$ f( B5 n5 v0 H8 F1 b∂L
    ' m8 ?$ @- L7 H2 O. u5 r& h5 z7 x, w

    , c5 J$ ~) j% B0 t' A: W0 @: C6 _5 x4 F  H
    - y( y2 q# @  e) @7 e/ I6 E! \
    = : \- r  A: r8 x( m
    ∂W
    5 J; q' }5 T6 z/ P1 |. ?9 V
    , m: j0 ~; U  |& ?6 J: r
    & J! E7 P8 c5 G' u# c [(XW−Y)
      b' O5 o2 C5 y; Y7 WT. t  Z# g) M* y7 Z# J0 ]6 n' F+ E/ y
    (XW−Y)]
    ) L! N! x+ ~1 W0 R$ }8 T= : ]5 K2 D+ L3 g# X5 @
    ∂W9 y$ e) Z0 ]( P1 Z9 U: [9 H: L
    ( C: M9 h- W) j3 Z: A0 ?

    3 O- \! k& ^, ?1 Y% |. I  l7 a$ r [(W 8 V; p. _& A2 E+ U- a
    T% r! {5 W" _; }" X
    X
    7 s3 N& a0 c( U6 i: q5 ]% QT# Q! C/ z0 D( R0 Z
    −Y   `# n: N* i! u. D4 h  M3 C
    T
    / s* c6 l1 d/ p- |- T+ J6 Q )(XW−Y)]; h6 ~% R3 `* }6 s
    =
    6 w& j: \+ L9 j2 C∂W
    - O- [" k- b* R# B' u/ `; z( \% |6 m- Z0 k4 h  S$ I! N% G

    0 b7 ?" V3 v1 x- ? (W 3 V6 U$ `: ^2 o/ E2 [$ I
    T
    " E7 v9 v1 [3 O6 r1 a8 r X * d% g# I; e5 k$ I! q
    T. a! v) f7 }; S. K0 c& u
    XW−W . r# L' M: }* S5 d
    T
    $ w8 r( F" [* c X # f- `/ g2 w( N! P
    T
    : A2 g1 [( [9 v8 @ Y−Y
    8 }  o8 K* i' q5 B+ A" M# N: ^T
    - f" G0 T  L& O9 g XW+Y
    3 T0 Z5 I3 _7 M5 ZT
    ! r$ s5 \* x, I$ E& G" G Y)1 g/ B) o; O0 G" t0 k9 C& t$ `0 n
    =
    5 x: @0 L. P+ I. y∂W
    % Q" Z( p# x$ v  S  M7 V; `
    # [4 s4 s! ^( E7 G# f$ d- v6 T, j6 Y
    (W + j8 p* d2 S% g+ b: T
    T
    9 w7 w# k2 {7 w# K9 t) ` X 7 @& ^0 Q; n6 J& x4 W: b
    T! ]" y  \5 I- }7 J6 ?5 K7 u
    XW−2Y / I8 W, v2 v; l, w; _
    T
    1 L' F+ u( Q) e5 z$ d* `( u XW+Y 3 u* w# q+ H" f" ?& W  x
    T
    # H8 ]2 r  d( U! ]/ { Y)(容易验证,W
    2 @& w8 m0 f4 mT
    * t0 E+ T5 Z, r X 8 y$ S, l- t* P$ ^& V1 r; {
    T/ |1 i# Y, p2 b* Y: o; d
    Y=Y
      {/ `; i( }- P" c$ t% i, wT
    # _3 @, P8 h. I2 ?7 ^0 f* Z5 W+ g XW,因而可以将其合并)
    ( W! l0 D8 ?  g# {% T5 m2 [7 ]=2X
    " N1 w& ?2 ?; h4 X  a& q& b: ^T
    1 h: U/ g- J: z4 U7 s: X XW−2X
      S$ r, j7 U6 ]2 m4 m* ~# NT1 z$ v+ W7 G  Y
    Y
    8 M& |0 @% x4 p" @% x( N5 S6 l
    , y" c, `7 s( X0 v" |
    ) e* w2 `& N, h
    - l. `& F0 f. V- |9 t说明:( r4 {* S+ K6 S; H$ k1 {" V
    (1)从第3行到第4行,由于W T X T Y W^TX^TYW 2 ]" O8 q: O0 i, b5 u: y7 O
    T
    ! R) a- F! V& [! n X
    5 a0 z5 h: e8 N6 m  R; s6 ^T2 d# t/ f9 H! R* @
    Y和Y T X W Y^TXWY
    5 w3 V* I. @, @) m! ~% d2 {T
    " G) Y; I! ], Q8 F XW都是数(或者说1 × 1 1\times11×1矩阵),二者互为转置,因此值相同,可以合并成一项。
    % }4 d( g$ u* u, V' c(2)从第4行到第5行的矩阵求导,第一项∂ ∂ W ( W T ( X T X ) W ) \frac{\partial}{\partial W}(W^T(X^TX)W)
    % X) c# b1 @$ ]* ~" G- G∂W' ]* D* t+ Y% k0 q& V
    3 }5 l9 r: P$ h) Y1 _

    * ?8 y5 O4 x3 S7 R5 I) m (W + Z0 a5 U9 G0 B/ Y% P. ]4 `! n
    T! }0 z$ x& e" }2 R$ A) D7 ?
    (X ' U) A6 }8 `7 @/ E% ]" L3 r  I, a
    T' P* g( A7 t8 Z5 U) [% t
    X)W)是一个关于W WW的二次型,其导数就是2 X T X W . 2X^TXW.2X 4 D9 l5 O$ b- s$ t  S
    T
    3 x7 T' ^7 I3 Z, e1 j' B+ y8 p XW.
    ) m& Z8 J/ T6 Z* Z(3)对于一次项− 2 Y T X W -2Y^TXW−2Y
    % N4 O, O2 ]! r. P3 [, y( TT4 R, h  x* i0 X! Y, K
    XW的求导,如果按照实数域的求导应该得到− 2 Y T X . -2Y^TX.−2Y
    4 o9 ]# v) Z" I5 D4 g8 ~/ N3 q; }T* s" [* x$ D. E3 @4 {2 e4 T
    X.但检查一下发现矩阵的型对不上,需要做一下转置,变为− 2 X T Y . -2X^TY.−2X
      T- `; ], ~. }/ o8 j# p2 t' }4 A+ j4 @T4 Q, d# T8 R5 [% N/ G: H- A# E$ T
    Y.3 C' y- c- t9 }  D) U

    # G( Q' }3 N3 N" Z) W% y矩阵求导线性代数课上也没有系统教过,只对这里出现的做一下说明。(多了我也不会 ): I4 V4 k- i  H1 z' a# @
    令偏导数为0,得到
    ! t% p3 A. m* G( |X T X W = Y T X , X^TXW=Y^TX,( D/ n) N, ~: E
    X
    $ @$ u( a* @. C: f: C2 lT
    / U' G. Z' x; t0 b! G XW=Y
    : [5 |8 n. C& l7 o2 HT
    . B; H6 Q% l  }) b; p X,1 n! x3 B, d, M6 B  q

    8 C" m. S4 X( l6 U0 ]左乘( X T X ) − 1 (X^TX)^{-1}(X
    : H) H* k& N6 i- PT
    ; s% ~! [; ^  W( Y$ d0 p X) + ]! u& m! D) k' h/ |# o' U- x
    −1# J' c) d0 v8 c3 b4 h+ G6 z
    (X T X X^TXX
    ' ^3 B; n9 @: B+ A1 j' A$ D! dT& L+ T, Y$ B6 w5 P+ ]. X
    X的可逆性见下方的补充说明),得到
    6 ^+ x4 ?# B; L. j/ V9 ^* d, z" ]W = ( X T X ) − 1 X T Y . W=(X^TX)^{-1}X^TY." K" z" {7 a2 E* Q2 h" s
    W=(X
    . W) z* M' w" y. }3 M2 hT* s# w" D3 X/ k  H' q# S7 o4 p
    X) : a# Y* j: [# R$ ?( J
    −1
    5 c9 p( m( ?4 p3 p- Z( A X
    1 h4 X: u1 O/ N% h" }8 IT7 t4 J5 q* D2 Q; W
    Y.
    $ S) q3 b/ }" W( |0 O; ?1 @" N/ V+ E8 V& B
    这就是我们想求的W WW的解析解,我们只需要调用函数算出这个值即可。
    . i6 W7 I5 {) F2 A7 t3 k# N8 f! T& Z" j2 y
    '''" `! K& i( @  O" W: J& f. h
    最小二乘求出解析解, m 为多项式次数
    . K9 H, x' _0 O: o$ D最小二乘误差为 (XW - Y)^T*(XW - Y)
    & G* K1 H: g  e3 f% Q- dataset 数据集$ R- F8 K% v5 @
    - m 多项式次数, 默认为 5) [  T6 l$ Y6 w5 ?  `+ [5 L% w0 w9 C! m3 ?& |
    '''+ V$ m) _0 F! M  c6 b9 J" u  G
    def fit(dataset, m = 5):
    9 a! ^+ Y% d1 @6 ?7 `: ^    X = np.array([dataset[:, 0] ** i for i in range(m + 1)]).T
    $ g' v$ d. A+ n; d    Y = dataset[:, 1]
    # y4 ^  L6 {, a3 s    return np.dot(np.dot(np.linalg.inv(np.dot(X.T, X)), X.T), Y)
    9 o9 `; g0 G) ]) v  e1# P0 A6 \& ?) L$ a) m" m+ _
    2
    7 {+ B; L- o6 x+ U# @3 K32 I' E8 _! f2 U& O
    4& ?# b' z2 C3 x3 j0 E8 O9 T. _
    5
    / E; f8 l" k6 g( }6, m- b% }; }2 ]; c# p- d) ^8 }
    7
    4 K- U- s: s) O. G8
    ( ]6 {9 e& V# S; ?% ~2 [9: y" h4 }  L2 b+ w4 I
    10: [$ A" g- Q+ l* F- l
    稍微解释一下代码:第一行即生成上面约定的X XX矩阵,dataset[:,0]即数据集第0列( x 1 , x 2 , . . . , x N ) T (x_1,x_2,...,x_N)^T(x
    - [# c& h- g7 {: G7 N11 }/ D( j- K; F8 v, |3 @, \0 ^
    . A- ?, \" g1 W0 a
    ,x
    9 C/ ]9 u% u# K2 i- v7 T2
    3 m6 L1 V7 r3 Z" T; v6 M8 h2 S2 B+ n% D
    ,...,x $ V- K8 o, h" B: U
    N
    : r. D9 Y% ?  \* L0 f
    % i; m7 [" `; h* R& t ) : }4 T7 {+ G( w$ R
    T- C/ I; f! D. o# A+ B
    ;第二行即Y YY矩阵;第三行返回上面的解析解。(如果不熟悉python语法或者numpy库还是挺不友好的)
    % T6 A! S  [! b; I- Y+ S7 O
    ! I- A, S! s* b0 v9 H! v% N简单地验证一下我们已经完成的函数的结果:为此,我们先写一个draw函数,用于把求得的W WW对应的多项式f ( x ) f(x)f(x)画到pyplot库的图像上去:
    6 Q# t$ n6 D8 b& K7 m, I0 B$ @8 E0 [2 W5 S
    '''
    + m* T8 v% j- c0 g# ?6 u绘制给定系数W的, 在数据集上的多项式函数图像
    . H5 n/ z! ]+ }* P3 C% z, k( z- dataset 数据集$ Y- ]( T/ {- Y' x
    - w 通过上面四种方法求得的系数
      F: e; T' m& T9 Q+ d! z) a- color 绘制颜色, 默认为 red
    8 ^  V7 c4 w! t6 v; ?, t& Y- label 图像的标签
    8 L) j  E0 I. C( R6 L8 f; E' |'''
    ( E+ [5 z% R0 |4 X: }) i/ L2 ?! fdef draw(dataset, w, color = 'red', label = ''):' |( q4 B4 B! _; F9 ]. x6 w
        X = np.array([dataset[:, 0] ** i for i in range(len(w))]).T5 }9 c" x$ l3 A: q& [
        Y = np.dot(X, w)3 C% z, T. s7 `

      |& t5 }/ E; k  Q! S1 U    plt.plot(dataset[:, 0], Y, c = color, label = label)7 q) N- k' l8 A& w
    1& [" g4 ]# A  |
    26 A. u3 g, Q5 a) z8 X$ r
    3( Y- m$ Q- D; x' V) d
    4
    8 p$ Z2 Z; W* h7 u" p- c6 I50 X5 ]! I9 Q' Z. I7 f: X
    6
    7 f& Q! ]( M. y2 s% Q$ v' P" n7
    3 L5 V8 h; ^* D0 D8, d  n& N4 n; C, x3 Z2 W) n
    9' Z) i, T9 |2 i+ h& [7 R; {
    10
    7 A+ P3 T2 f' g, j: U11
    ) c% {! S$ }$ A4 ~; y12; O2 U& \" z& s( q9 g. r1 [  k
    然后是主函数:
    % B  c3 j) q7 P$ e7 k- a, @" R( B
    , n0 h( {2 `" b. E, v0 K* mif __name__ == '__main__':5 @# V$ }) W$ N2 ^0 S
        dataset = get_dataset(bound = (-3, 3))
    ' n5 E9 K, {2 f5 c# G6 r    # 绘制数据集散点图( B" n! f* `  F+ J/ z* U" k% C4 ^3 t
        for [x, y] in dataset:8 W9 Y8 m* r- D0 _2 V
            plt.scatter(x, y, color = 'red')( }6 C- }  R, _+ E% }
        # 最小二乘
    * m( C  v; \! ?1 i: [    coef1 = fit(dataset)) {! T% \( T& _* {+ Y5 C
        draw(dataset, coef1, color = 'black', label = 'OLS')
    * v" p% ?8 b. V8 o# s/ N  e; o) i5 b8 w
            # 绘制图像
    * a& S# G6 ~6 h, B: T( `4 E    plt.legend()8 c  O: O9 O2 m5 R% g4 Q# T$ J
        plt.show()
    . H2 }( o9 T9 T0 r9 x9 v0 g5 A1. v% D2 {) q1 O0 H" ]  J) G
    2
    $ M" C1 |- o+ }3 m# U3
    ! G0 t, P' U: v; ^4
    1 s5 F& \5 S/ b4 B) h) D# F- @5% n  T' a2 V& w/ S
    6
    % W  C6 C1 k4 U5 u/ U7
    # z2 _" @5 X/ u0 ^, D" B8" o, b9 ~# W+ P7 x: {
    9  [& t) c' I8 l$ y
    102 A1 p1 v2 z  B
    111 G2 c$ D( P6 a/ j5 j
    12
    , }( ^6 S, H  \3 K' c& K# v6 Z+ g
    可以看到5次多项式拟合的效果还是比较不错的(数据集每次随机生成,所以跟第一幅图不一样)。
    & B0 O+ l4 c" C* C! z, H4 @! Q3 e
      F, N( o# ]" `2 w截至这部分全部的代码,后面同名函数不再给出说明:/ q4 B  G* A. F4 A2 F. \' q( }
      ~# g3 `' {0 c2 O: z
    import numpy as np
    - Y! ~2 S  F6 J1 E5 l% G! m+ ~7 ximport matplotlib.pyplot as plt3 Q( U' z! P; u8 b

    : c7 o0 k) z) t/ T; o'''' F4 q) p4 p& w' A+ B! y% A
    返回数据集,形如[[x_1, y_1], [x_2, y_2], ..., [x_N, y_N]]
    ) \8 k4 [& g- K保证 bound[0] <= x_i < bound[1].
    3 W$ p$ h; d& }+ l; h  C5 U: g- N 数据集大小, 默认为 100* \# w! V' ?5 s
    - bound 产生数据横坐标的上下界, 应满足 bound[0] < bound[1]# G" K9 w0 j. F" T% |; g; D
    '''6 y6 {- w+ W' C* g0 m* h$ {5 {6 |
    def get_dataset(N = 100, bound = (0, 10)):7 b( p' o5 B; A( m; k4 f3 V
        l, r = bound- Z2 r6 Q! r! M' p4 n5 h& _
        x = sorted(np.random.rand(N) * (r - l) + l)2 X- l6 c7 @5 U0 m. z
        y = np.sin(x) + np.random.randn(N) / 5; H( ^. r# b0 h! a
        return np.array([x,y]).T( v$ j4 O8 ^4 k( y4 W7 m6 j
    4 N) L* l* \9 s0 t( h# a
    '''
    ; A' q$ a- T" s7 U0 N% U  ?" P1 V最小二乘求出解析解, m 为多项式次数
    - j. Q( M; C; F  H2 e最小二乘误差为 (XW - Y)^T*(XW - Y): d" i% p8 |* X( i& N5 E) A( [0 f
    - dataset 数据集6 F' u) d8 w  u# Y7 c
    - m 多项式次数, 默认为 55 L  G# S6 |: ], K2 a! ~$ H/ w3 N
    '''2 [' T. X0 p) o
    def fit(dataset, m = 5):' g9 s4 w, t. i8 x9 ?# e1 t& i8 k
        X = np.array([dataset[:, 0] ** i for i in range(m + 1)]).T
    1 H7 k3 b- J/ j) t8 p9 t3 J    Y = dataset[:, 1]
    7 {! H) ^$ \4 S+ u& p( ^4 [* l+ W    return np.dot(np.dot(np.linalg.inv(np.dot(X.T, X)), X.T), Y)
      u5 W1 P3 {9 U'''+ S; [5 p% P) ]; X5 \: W
    绘制给定系数W的, 在数据集上的多项式函数图像
    + ]/ \! {+ e6 W2 _5 U' i. i. o- dataset 数据集
    0 f1 k7 ?9 z0 F8 Z+ `1 p- w 通过上面四种方法求得的系数
    2 {5 n: A* z) E9 O; Q) W" @- i- color 绘制颜色, 默认为 red' I; ?5 q1 j' p/ x( L
    - label 图像的标签
    * s; ^% Q. O" l  w; I! R+ ['''/ C% n. q1 U4 p  ^. [
    def draw(dataset, w, color = 'red', label = ''):
    + x+ w& O' l2 \- |2 j  r& f; D& F    X = np.array([dataset[:, 0] ** i for i in range(len(w))]).T
    # N% {" k* B  |* w9 p$ [    Y = np.dot(X, w); }, X% \$ }( k. q) {* j' `
    ! X5 b+ ~7 J0 M5 e/ @
        plt.plot(dataset[:, 0], Y, c = color, label = label)
    $ [7 g. t" b+ D% w( d+ l" n3 ?: X: S; v/ S: T/ d
    if __name__ == '__main__':
    2 R) D( V) G" |) z8 I1 P5 \- X4 @0 b2 a* }1 k' q/ l( k
        dataset = get_dataset(bound = (-3, 3))0 G. P" b7 p! Q/ Q' y
        # 绘制数据集散点图
    ' X1 i2 b: F; n; {8 a    for [x, y] in dataset:
    ! {& Z0 M# u7 B  f/ X        plt.scatter(x, y, color = 'red')
    % T8 y/ E1 ?* |. h' H  I. L" N- l* Y* @2 L
        coef1 = fit(dataset)9 {, n/ ?9 r1 ?; Q
        draw(dataset, coef1, color = 'black', label = 'OLS')$ Z: o, A# m, P4 \
    1 }# x5 g6 p) ^2 @0 G% L% e
        plt.legend()
    0 G' K: z5 M1 V) b1 a6 y- M5 H5 u2 w    plt.show()
    ' V  S# y3 d* M& l) z
    8 }" ^- l9 c9 h" ]6 F% |, j& _1
    $ X" a8 G- a, K3 C7 v3 Y! t2
    5 ~) j% d: `& H; T9 v6 U/ u3
    7 L$ Y* e6 l% v' y+ w) K4
    * N4 w* i4 `0 n$ ~9 @0 `5! H# [+ P$ t) c# R0 I4 }3 l
    6
    2 w& k2 \1 U, ~- Y71 L; ~$ g: D3 w/ }
    8% x# a# S" i8 A# R- ~" m# Z/ \
    9
    4 V4 U" Y  M  ]10+ R: f; k. {: \) u% P
    119 X$ I+ [  i" x, c8 ~" V/ Z( Z
    129 A. u9 J  V. b. y8 H
    13
    4 F+ }! w. k9 l. f/ k  B. H6 P14
    # f# H5 D, E; f5 g9 S3 X' \15) c+ z! v6 @# _0 t5 b. @/ L
    16
    ) Z  d5 t% Y& [" S% l1 y17# D% q. n2 g( O3 e
    18; B, o& T7 ]3 C1 C: E3 b
    19
    0 _" ?! Q" B6 Z: X20
    $ g1 i. B( f, w0 F5 @21
    ' B  R! f/ _8 v& L: C8 E6 D' e22/ E2 n  D4 ?4 d) d/ r
    23
      @1 b9 B% k" K4 M  T24& d) Q2 o/ C, m" O0 B% Y
    25: a. c3 N: K% J+ H& U- m
    26
    ) @  p9 g0 Q  l5 H" [5 ~27: ?- }% a8 u! @- G( n
    28" E2 c+ @" U2 t$ z
    29
    7 M. C# o' Z* V8 L" J30
    0 p6 W. y6 i" u( w: J& r31) }& t; Y- Y+ G' p; t. u
    32
    / a7 O, I- N5 F& S; ~5 }5 g33
    ( ^, C# p( Y. X3 Q8 h34
    $ H+ R% [; _8 z/ u5 f35
    3 |' W7 F7 @% x  c' m  x4 h4 s36
    : g/ @" \$ ]  C- t) y4 x' j/ w6 a37
    0 M  o& E& U+ U0 g* g, [38
    7 ?. J- A' g: {' U: B" K39
    0 ~' o+ Y' C( B! M% a+ Q40" D3 E1 R8 F4 a  I5 s, {
    41
    " d" O/ H3 O7 k42
    , o: C, @+ A0 R) Z0 M8 k8 M438 x! j- i* h" P! j- A( h4 p* t: s; G
    44
    7 ?! {- k, |+ o- \% u' S45: y4 u- Q$ M" y) d9 d  b
    462 q. n  S. Q8 B; n
    47& N5 e7 \  e" p# Y
    48
    - y- @- S2 _" y! |1 f' k49* F' _) d3 |' @) \
    50
    - m( Z# _$ v- R( G: @补充说明
    ( R( W% n" G& Z上面有一块不太严谨:对于一个矩阵X XX而言,X T X X^TXX
    ' @  {) _& C! B* ?; U# {8 x3 w  gT6 i6 [8 \* f1 G  b+ ~& L
    X不一定可逆。然而在本实验中,可以证明其为可逆矩阵。由于这门课不是线性代数课,我们就不费太多篇幅介绍这个了,仅作简单提示:9 y# j) J( M2 U" u; q- c
    (1)X XX是一个N × ( m + 1 ) N\times(m+1)N×(m+1)的矩阵。其中数据数N NN远大于多项式次数m mm,有N > m + 1 ; N>m+1;N>m+1;
    8 ^+ U: v/ x; I' V& x. e1 w(2)为了说明X T X X^TXX
    2 ^6 v( x6 l) m9 b- x& yT; U- |/ d8 e" M( b( ]  [' N, ~
    X可逆,需要说明( X T X ) ( m + 1 ) × ( m + 1 ) (X^TX)_{(m+1)\times(m+1)}(X
    ) o: l" x4 p/ s4 F+ KT/ y& o+ q, o+ f
    X) $ r, r4 ~. b! ^* W" o/ g. P
    (m+1)×(m+1)* B# u1 W4 K7 {0 y( L

    $ Q" [4 g1 R7 Q3 W 满秩,即R ( X T X ) = m + 1 ; R(X^TX)=m+1;R(X & m  u2 S4 K7 |: t
    T
    $ |4 d' \4 K; S% d X)=m+1;
    + F2 e4 Q5 d; R' ~  a# H3 L5 s1 v(3)在线性代数中,我们证明过R ( X ) = R ( X T ) = R ( X T X ) = R ( X X T ) ; R(X)=R(X^T)=R(X^TX)=R(XX^T);R(X)=R(X
    , ~8 I2 O1 Q: Z) J7 s5 N# yT
    - Y% }, _9 n. g+ s, \7 Z )=R(X
    ; f; t  y4 S3 @# b, WT: }* n' z3 ?+ _$ }  l; x& r# R
    X)=R(XX # ~4 m# C7 E+ i$ g- `0 d
    T
    4 b" y9 }2 p9 |! ~3 G );
    & U( V8 J; Z  D& O# j(4)X XX是一个范德蒙矩阵,由其性质可知其秩等于m i n { N , m + 1 } = m + 1. min\{N,m+1\}=m+1.min{N,m+1}=m+1.. A. U% l7 G0 K% Z
    - y( ^' v; W1 U, P. L: {9 M, _+ O0 x
    添加正则项(岭回归)
    + Q5 h5 b: N! x5 `最小二乘法容易造成过拟合。为了说明这种缺陷,我们用所生成数据集的前50个点进行训练(这样抽样不够均匀,这里只是为了说明过拟合),得出参数,再画出整个函数图像,查看拟合效果:( ~9 J7 R3 s1 H/ }( H/ o
    $ m: A# G% i8 u2 }4 O
    if __name__ == '__main__':7 C  }& D6 W* Q3 w1 @) a" t- n& v
        dataset = get_dataset(bound = (-3, 3))
    / n* Y  n- Q, M8 s4 e    # 绘制数据集散点图! P* A" S, A+ c) m# _' A
        for [x, y] in dataset:
    ; C3 P6 T9 {' C1 R6 B# m; Y& m1 K4 q        plt.scatter(x, y, color = 'red')! ^  E; O! F4 }4 @' z+ ~
        # 取前50个点进行训练; |( k( c5 i; k. X
        coef1 = fit(dataset[:50], m = 3)
    " ]1 K# P$ k; T" J/ h" \4 x! y9 T8 w    # 再画出整个数据集上的图像
    7 Z4 Q$ E- T5 Y* b& a3 h4 v    draw(dataset, coef1, color = 'black', label = 'OLS')
    , }" _9 \& ?; `" `( h8 ^9 R1, C* P( F- y4 o
    22 H9 t  N8 i! K9 u' A
    3
    9 r" n% v3 J' x7 o6 r4
    ; ?5 l! C# f" l5
    8 [, I! V7 F8 O& H6
    % _! `) l7 i- p) o2 j7
    3 b; g6 |( O" q& Y- C0 i8
    : P$ e! {& d, L2 r: U9
    4 H2 P" n! q1 X; X( R4 H) L! a
    8 f. Q3 ?/ }+ O! b# v过拟合在m mm较大时尤为严重(上面图像为m = 3 m=3m=3时)。当多项式次数升高时,为了尽可能贴近所给数据集,计算出来的系数的数量级将会越来越大,在未见样本上的表现也就越差。如上图,可以看到拟合在前50个点(大约在横坐标[ − 3 , 0 ] [-3,0][−3,0]处)表现很好;而在测试集上表现就很差([ 0 , 3 ] [0,3][0,3]处)。为了防止过拟合,可以引入正则化项。此时损失函数L LL变为$ H/ R8 v2 g; f3 t( p! M6 c
    L = ( X W − Y ) T ( X W − Y ) + λ ∣ ∣ W ∣ ∣ 2 2 L=(XW-Y)^T(XW-Y)+\lambda||W||_2^22 D+ |$ W/ O0 Y  Y3 s$ c3 _
    L=(XW−Y) # i( K8 a9 w! f7 M$ }
    T
    7 c" a6 W& Y! Z. `$ h' X) p (XW−Y)+λ∣∣W∣∣ # E( {4 {# D* Y& z: ]( t9 F$ O
    29 s, h$ T* O  }# K- l2 F5 u
    2! R) c/ N. j2 k3 }2 c7 w- A

    9 p- d* o, t) G: {0 N
    6 N' c8 ]. M7 I6 h
    3 \( E6 d; T' \其中∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ 2 2 ||\cdot||_2^2∣∣⋅∣∣
    1 {! J, H/ N) J1 o/ p2
    ) B; B2 A5 B: G' D. M24 n8 {0 E- b9 n: J$ U: a( ]

    1 G: A4 N: q/ n5 \" b' X& u2 Q3 q! X 表示L 2 L_2L 3 {0 a* `" w5 C( e+ W
    29 \' @# G* q7 C7 `, B

    + q2 x- g. s: n" V+ H 范数的平方,在这里即W T W ; λ W^TW;\lambdaW
    7 \) R( P6 v' [5 f! d/ k( nT
    . a4 @2 ^1 T: i W;λ为正则化系数。该式子也称岭回归(Ridge Regression)。它的思想是兼顾损失函数与所得参数W WW的模长(在L 2 L_2L
    ! e0 i, i* T/ ]& H/ s. n, [, r5 g2
    8 W7 ~, J( a+ ^5 |- Z+ U( b8 i
    3 U+ x' f- C) B  H) k& d% j 范数时),防止W WW内的参数过大。- X% a: _# q5 _# @( s4 z4 v. u/ v7 P

    $ y& U4 [* S( l举个例子(数是随便编的):当正则化系数为1 11,若方案1在数据集上的平方误差为0.5 , 0.5,0.5,此时W = ( 100 , − 200 , 300 , 150 ) T W=(100,-200,300,150)^TW=(100,−200,300,150)
    ; Q2 @3 _$ T8 J: u* {( lT& C, L' x& d" u
    ;方案2在数据集上的平方误差为10 , 10,10,此时W = ( 1 , − 3 , 2 , 1 ) W=(1,-3,2,1)W=(1,−3,2,1),那我们选择方案2的W . W.W.正则化系数λ \lambdaλ刻画了这种对于W WW模长的重视程度:λ \lambdaλ越大,说明W WW的模长升高带来的惩罚也就越大。当λ = 0 , \lambda=0,λ=0,岭回归即变为普通的最小二乘法。与岭回归相似的还有LASSO,就是将正则化项换为L 1 L_1L 7 i- r5 n6 O. f. W4 E& k
    1  x2 X" q' ?9 @  Z4 S$ h

    : D4 ^1 F" |1 E" }% V" d0 F* T/ J 范数。
    + E! k! e: R4 I6 h2 ]/ k' w, Q0 I
    重复上面的推导,我们可以得出解析解为' D- s1 b  P" k8 G' \4 Q/ B
    W = ( X T X + λ E m + 1 ) − 1 X T Y . W=(X^TX+\lambda E_{m+1})^{-1}X^TY.3 j  b! I. X6 K: j- N
    W=(X ' n0 P/ c" D: y0 h: F+ `
    T) C: C: k9 s, T! v$ a; z0 ]7 M' t
    X+λE
    ( P, P6 S4 S, F6 @: h0 am+1
    9 x  }- e1 Q2 @4 Q4 Z4 K, z& @+ I" Z& n
    ) 4 R' m- e% [, Y
    −1
    % h' ~) B( T. j5 P' ` X   B" E: p% \' S' D9 ]
    T
    4 T0 ?, S2 _7 w( T: K! u" u( X Y.
    " C6 t4 g/ o( c5 ~
    , X* v, A- Z, P: e6 ^- H其中E m + 1 E_{m+1}E
    1 `4 u( L0 }( Vm+1
    ( p: `% \' I, H, ^) J+ M, X7 g
    0 J2 ^9 d$ V# o 为m + 1 m+1m+1阶单位阵。容易得到( X T X + λ E m + 1 ) (X^TX+\lambda E_{m+1})(X
    ! }% ?) y3 W) b3 ^$ {. aT! N0 O' a) S# M  l
    X+λE
    ) ?- u& s  s. h$ vm+1
    / x- L& ^; V' }9 {) F% |0 n5 A/ l. d) Q
    )也是可逆的。
    0 y0 v: O" u" E5 J0 O4 U8 P
    $ W" M4 @' [% g* c0 f* |+ m该部分代码如下。
    ) w3 t8 \+ R: S$ s4 }' J0 a
    8 l, _/ ?$ U6 X% }'''
    + ]0 i& \' n  z4 i岭回归求解析解, m 为多项式次数, l 为 lambda 即正则项系数& f8 G5 r  e* U0 v( C
    岭回归误差为 (XW - Y)^T*(XW - Y) + λ(W^T)*W  v9 y+ R+ Z" A( s' B* C. ~
    - dataset 数据集
    8 ?, Q, I% b8 w' d- m 多项式次数, 默认为 5! G- n. ~/ {/ N5 M' V
    - l 正则化参数 lambda, 默认为 0.5
    ! ~0 z  b+ u# j, ~' f'''
    + z0 A8 X- d0 ~+ V- Idef ridge_regression(dataset, m = 5, l = 0.5):% u0 X5 C" [. A7 Z9 e4 k
        X = np.array([dataset[:, 0] ** i for i in range(m + 1)]).T
    2 U' t, {0 S) k- Q! `& }    Y = dataset[:, 1]. ^$ o) H( y+ _1 z; C
        return np.dot(np.dot(np.linalg.inv(np.dot(X.T, X) + l * np.eye(m + 1)), X.T), Y)6 A( J+ Y0 V, b6 T" i
    1
    3 e" [5 |8 X( s4 o$ D2
    4 Q6 P3 t5 H% ?0 X3
    , r# {9 a9 t" j7 ~& X! q9 Q6 V4# v9 \' d" p- V% n
    5
    9 T  F. t/ _; k  _! O6
    " J$ h6 s2 a1 U3 U' ?0 k/ H7+ I- X; g+ g; F8 E0 T% V
    8
    3 p0 S. K( y* k8 U* a9
    : a) u+ ^3 n+ Y102 J, q6 r2 }, k: j. a1 U0 S/ B) ]
    11( q) E5 W, H! P& ?! |% t& z
    两种方法的对比如下:
    8 Z4 A- f! h) J0 c' Y8 l, H0 k- \
    对比可以看出,岭回归显著减轻了过拟合(此时为m = 3 , λ = 0.3 m=3,\lambda=0.3m=3,λ=0.3)。
    & d0 B; E1 ~4 J  Q" s  h, }1 S6 w, b1 B# ]$ Y+ a6 \' Q
    梯度下降法
    & L2 L2 h: U) [+ C梯度下降法并不是求解该问题的最好方法,很容易就无法收敛。先简单介绍梯度下降法的基本思想:若我们想求取复杂函数f ( x ) f(x)f(x)的最小值(最值点)(这个x xx可能是向量等),即1 |( G5 {: T( F7 @, h, G& h; v
    x m i n = arg min ⁡ x f ( x ) x_{min}=\argmin_{x}f(x)
    # n/ N. G) f) d; S9 D+ {6 o6 M2 Rx 3 {' `# J0 }' s
    min
    / k4 [8 ^) L% {' u( c$ u3 N) s: T8 f, A% {9 X$ R* t
    = 9 d5 G6 n( @& O& `' f
    x
    7 p, u+ a2 ~. p9 Q% V- ^& }argmin
    3 F1 a$ m" x" \$ j: q" i9 s) H; n; I5 u  m& ?
    f(x)" y' q7 v3 ?1 [, ~1 n# l  k
    0 X0 X1 V8 j$ n
    梯度下降法重复如下操作:
    ) g- t5 i" m$ @- u+ |2 U. i  J(0)(随机)初始化x 0 ( t = 0 ) x_0(t=0)x
    % _; s. @7 ~4 u! |* `  y" @0( J; n( V8 W3 c3 j7 s
    ! u; r2 p7 a/ M# c# l" B
    (t=0);$ N5 s# F% B( P/ ?2 N
    (1)设f ( x ) f(x)f(x)在x t x_tx ! `' E. _, [- y9 q
    t7 b% r) l. r% k2 Z- f
    * w, Q7 K& P3 z. ]. F
    处的梯度(当x xx为一维时,即导数)∇ f ( x t ) \nabla f(x_t)∇f(x 5 d# G% l4 W3 |9 u( Y
    t
    $ b" f" l0 r% s" Z
    $ ~$ y0 W+ H9 }, k );
      x9 t8 k: i( G& w) O. {+ C8 F(2)x t + 1 = x t − η ∇ f ( x t ) x_{t+1}=x_t-\eta\nabla f(x_t)x
    8 v$ q  {- a9 c+ \7 E; E/ et+1" ]3 o: ~1 f: Z9 S

    / \3 Q3 X" A; o. b) U0 U  u  _1 z =x ) d$ U2 ?6 u  W$ }: c8 a7 ]  I
    t
    " {% k5 w# R! @8 e/ c1 u* q% I
    + ]2 ^$ r0 d. Q1 D, y) Y/ g+ Q( U −η∇f(x ' h% W2 g' y$ K
    t
    7 _) x9 a" O6 B: c! G/ o; A' s, R2 ?+ u4 h9 Y& A! _/ \
    )* T7 ?  m) S" ]) C: J( a) ^9 r
    (3)若x t + 1 x_{t+1}x
    & I3 P4 _3 [9 I7 r0 y! t' `% ?# ht+1
      |* a9 [4 j, z
    / o) e7 P3 j+ H# Y 与x t x_tx
    * g, G! a" P  [$ J" d. R) mt
    4 F: S: {' k3 t. q! q: X
    4 H: C  i* ?' B' I' T+ [ 相差不大(达到预先设定的范围)或迭代次数达到预设上限,停止算法;否则重复(1)(2).' a; X* y! D3 i% r) n; n( t$ W

    ' m8 ^4 M$ E& Q, v2 J其中η \etaη为学习率,它决定了梯度下降的步长。
    # j7 @% ~" h7 N5 ]. e3 |+ U下面是一个用梯度下降法求取y = x 2 y=x^2y=x ( s- d) j) R9 [7 z7 A
    2
    8 D& ?) v/ M% W( ?$ C: p) K 的最小值点的示例程序:- d0 U  G1 J; G* Z8 p4 V! N
    ) v3 ?( l! ~9 J- D, z
    import numpy as np% l1 g- E& q1 O7 G" t
    import matplotlib.pyplot as plt
    7 r+ C# V% x/ b4 U9 |- S1 h" W( O4 _" {5 ~
    def f(x):9 O5 q3 q0 u/ Y% n2 y+ r- r: L
        return x ** 2
    - }9 E) e. H8 Y" _+ \
    7 A- c$ z) h" j. i  ]1 O) edef draw():
    ! R, _0 ]# M* Q# u, s( _) i2 E    x = np.linspace(-3, 3)
    $ P% H1 v" x# Q+ E& W6 t' n0 q    y = f(x)
    2 `" b$ r8 g! O/ s. @. C    plt.plot(x, y, c = 'red')
    1 O: G! {! m; G9 i5 {3 e7 X1 c- k
    2 g$ W+ z! U. D+ i4 O- Vcnt = 0
    ; }! y' A1 y4 T# 初始化 x7 h5 D' l; x% j5 {9 p( _7 k' L
    x = np.random.rand(1) * 3
    / l" X0 {. l- ilearning_rate = 0.05! M# X" U. m9 j6 M7 R( a

    ' J' B& x9 U& }- Uwhile True:0 Q7 j) g' N) e" B+ M; b) z
        grad = 2 * x
    , v& K( N8 K2 J# a' q    # -----------作图用,非算法部分-----------5 P* U% t1 m4 I3 Q$ L; _9 d( {
        plt.scatter(x, f(x), c = 'black')$ Z( Z& `* ?, d; g
        plt.text(x + 0.3, f(x) + 0.3, str(cnt))
    + @* C4 _$ K  z- t    # -------------------------------------
    ; g. w7 R% Y7 m9 Y7 q3 i3 q2 p    new_x = x - grad * learning_rate
    ' m0 L+ W" g# U    # 判断收敛/ G5 }$ H  n. T2 i) Y: ]
        if abs(new_x - x) < 1e-3:8 ]8 }* B1 `2 Q7 ~; w& P1 a: I
            break; g! _4 E$ `' m/ b5 w" f

    8 W* ~2 x! L9 w- L( E& Q+ t    x = new_x
    % A8 {, G0 O" K/ J2 B9 U! q! ]# i* }    cnt += 1
    $ j- O, S+ O( [9 A$ {5 _$ p, v' R0 Y5 a$ Z" b, Z
    draw()4 w! ^) Z6 k, U" d
    plt.show()& R5 q- k' j$ R/ v( ?, l- m/ h- b5 g

    ! c8 v/ v% G" M! R4 [  p1
    . L- @/ ^& p+ N9 R2! h( T9 \' |9 e
    3
    7 o* ~0 P# o! y4 d0 C- m4
    6 L1 R2 `2 a% i7 y- U% o) f+ @5 O5
    6 {( [2 ~4 j9 @0 S" b+ p* S6
    # \9 O* C3 w# P* `75 p8 f% v5 Z% ?! t6 j' |
    8
    # I$ f0 ]5 k- L$ w" h9
    7 z# b. V' l: T4 }( O10
      p& v. M" v# v4 ]8 l+ u9 u11
    + R  a! ^6 W! Z# j; o0 f, O: }12; w$ O( G+ R: u6 Z: M
    13, K* }) w/ d5 c
    14; Z3 U! r9 J% }& B% U
    15( ^* b" G+ H- Z$ D) b
    16: J0 Q$ M$ X+ w
    17" E0 n* X7 X0 k8 Z& j
    18
      I5 d$ e6 @/ f5 m+ E$ h( |19
    ) n% l) A3 M- z  L- _5 b20  X1 W5 B* E; H- Y" N" e8 ~6 U
    21& P2 f& e# r" G$ C* r2 p
    22
    7 g( B- ^% q/ Q" {/ N3 `+ y: k23# ]3 h. J8 `$ C$ \
    24
    6 O7 b( _1 Q; {; W25
    9 r+ r5 v( h; t0 [: O" H- Z- S264 F+ Y8 N8 |- ~5 L! L& @
    27" D; ]4 d+ K8 `' c
    280 A' }  q9 ^! X1 [0 h  c: ^0 c& L
    29
    1 n5 U" ^4 ?1 y30
    ( n- _7 k. O- a. u" u31
    # a/ N8 Q# g  Z# K+ U9 e32
    5 x2 Q( a+ J" R0 k" a
    + O# q+ G. L/ e1 Y: _上图标明了x xx随着迭代的演进,可以看到x xx不断沿着正半轴向零点靠近。需要注意的是,学习率不能过大(虽然在上面的程序中,学习率设置得有点小了),需要手动进行尝试调整,否则容易想象,x xx在正负半轴来回震荡,难以收敛。
    ) s. K) E  G: L( a5 o5 x
    % N- D" C0 t! Z: W7 G# B在最小二乘法中,我们需要优化的函数是损失函数2 F4 Z% W- W: ?7 ~  L9 R% w2 I
    L = ( X W − Y ) T ( X W − Y ) . L=(XW-Y)^T(XW-Y).
    ! H7 ]* i+ d# I# a  h$ ^1 IL=(XW−Y)
    ; ~9 u/ h- r/ T  V: I% p1 vT9 w# |- Y" T2 x6 V% t( S: o8 Y6 d* @
    (XW−Y).8 @- M- V0 {- i
    4 b: \" r5 u5 V0 {! W1 y
    下面我们用梯度下降法求解该问题。在上面的推导中,
    / s4 h) d4 c- _* M0 `∂ L ∂ W = 2 X T X W − 2 X T Y ,
    ! T3 F9 L. ]2 L' D∂L∂W=2XTXW−2XTY) Z4 i$ D3 l4 V7 \% C/ P7 o6 V
    ∂L∂W=2XTXW−2XTY/ a! W6 K; Z$ t3 s: o
    ,( s/ T3 a' e# C2 T
    ∂W
    # Q! c( r3 b6 [3 \- |9 U∂L
    : W# Q) N/ H( C) M
    $ k9 X9 ?: Q- V. {5 C3 R  |! [  i =2X
    3 ?2 q6 A. f7 E8 mT) K( W" X' ~% L! A
    XW−2X 5 V; r1 S) l, L6 ~! ]8 U: _! p- ]% o9 v( Q
    T
    & y* |, H2 v# ?9 f& }1 x& l/ q0 h Y5 o* |1 q, Z6 L* p
    ' \4 T) o& b$ g6 ~( j; R
    ,. P/ r- i7 J2 y4 m* U; ~
    . h! G# I6 S, T+ j6 J# y+ O) E% M
    于是我们每次在迭代中对W WW减去该梯度,直到参数W WW收敛。不过经过实验,平方误差会使得梯度过大,过程无法收敛,因此采用均方误差(MSE)替换之,就是给原来的式子除以N NN:6 W% k, ^! v6 L& ?) U+ G5 l
    3 A' o. N# |1 g0 g
    ''', u0 ?. e* {! \* B0 L7 w
    梯度下降法(Gradient Descent, GD)求优化解, m 为多项式次数, max_iteration 为最大迭代次数, lr 为学习率
    1 u& ~% u) `% B! M: `注: 此时拟合次数不宜太高(m <= 3), 且数据集的数据范围不能太大(这里设置为(-3, 3)), 否则很难收敛  p6 V+ D' D0 ]1 Y- K& v
    - dataset 数据集
    2 h  i/ r3 j) B& w- m 多项式次数, 默认为 3(太高会溢出, 无法收敛)
    * {+ b* b2 ~% r" L1 G- max_iteration 最大迭代次数, 默认为 1000
    9 ~* @9 F3 O1 j8 [0 C) ^# X- lr 梯度下降的学习率, 默认为 0.01+ A- i' i; V, i; C6 r
    '''' h4 ^8 i7 C- P7 P* g) S  v
    def GD(dataset, m = 3, max_iteration = 1000, lr = 0.01):
    * G3 y2 _  e5 S( ~6 S' [, v3 w    # 初始化参数& R1 D2 ^# p- W, A
        w = np.random.rand(m + 1)- d/ ?8 N' u4 M' ~3 ]
    + [% Q3 H7 F0 I' F: H
        N = len(dataset)7 K" @3 m0 K$ e
        X = np.array([dataset[:, 0] ** i for i in range(len(w))]).T! V* S/ E1 J) _
        Y = dataset[:, 1]; M+ r) f! |# }4 b3 {) G' a
    6 ^9 ?6 R$ J  U
        try:
    1 n* u. K( o3 z5 E4 D, x        for i in range(max_iteration):# p3 P! v, L0 k# u6 u
                pred_Y = np.dot(X, w)
    2 `8 z/ i, A. W& b& J" ^8 T            # 均方误差(省略系数2), `! G( z  Z1 i$ T# \6 d+ s
                grad = np.dot(X.T, pred_Y - Y) / N  z1 w, E3 s& E8 B$ R8 D- q
                w -= lr * grad$ S. l) b; q- S4 g
        '''4 h) T# g: M  V- m$ v; C
        为了能捕获这个溢出的 Warning,需要import warnings并在主程序中加上:
    + V. X2 v7 m' Z    warnings.simplefilter('error'), s& T$ r7 F0 C
        '''
    7 D+ f4 I  K3 `/ i0 \3 M    except RuntimeWarning:
    & `7 Y/ |! v6 [4 O        print('梯度下降法溢出, 无法收敛')
    4 p; ^9 F6 \: x
    9 z# J2 k9 x' q    return w3 K8 `5 U/ q5 ?' z9 V

    ; g) {6 s. R8 V, N6 k/ `# }& I' X  Z1/ l3 T) D+ S5 X+ U, b$ X& M
    2, ]) i) p  ]# [' ^7 d* P( Q
    3
    8 x. K2 F) H2 ?" ?8 G4
    * H2 [5 [- R( b; _! d5 L0 ]59 Q. S: r; C3 _( l" p8 }
    6* M3 \' t/ {- I' x* L. Y
    7
    ' k- w" K* p2 D3 R  N5 x. O87 i7 f" d7 M! \2 K! b
    9! L) T* \/ d# i6 y+ d
    10& c5 i! c+ \1 O
    11
    8 Z+ W6 w2 h$ r& d5 V129 x3 l  v5 w/ w+ d* L
    130 C% y$ g; Y1 f  N. x
    14
    * F/ v* f- I: g5 h2 A, \15) T: q% |7 [1 x6 B
    16% m& m  J9 U+ N! u4 q
    17
      k0 G) y$ b, T6 t3 x7 h! r, J* P18
    8 O& \# z4 V( [2 U, V9 q7 k2 ^0 ]195 }1 x- x0 {' Z3 U) p4 q- w, ^2 P
    20$ }- ]1 ]! n  l! c" o9 x
    21
    5 @5 i7 J( |; o+ P* c/ \" R) J226 _- ]4 [4 P' C
    23* m: p+ H+ w1 K8 l  j  z
    24
    - N! Y: }; k5 b- n25
    ' f3 [: g% Y; l3 ^26/ Z' m; w6 p1 k- `  N" b% l, `
    27" L6 G$ i+ w( f& @  ~% C
    28  z1 k( W  h. o1 ^
    29
    - f2 a! w  A& c: V, v30
    8 M2 j* Q+ s# A  D: {4 s这时如果m mm设置得稍微大一点(比如4),在迭代过程中梯度就会溢出,使参数无法收敛。在收敛时,拟合效果还算可以:
    ( Q( o3 W* ~. @' f6 @# s* _% _- n1 `1 ~" l) d0 p8 T
    $ i) L9 R. q( c2 a
    共轭梯度法& g- L* e0 P# o6 H# {# c- Q
    共轭梯度法(Conjugate Gradients)可以用来求解形如A x = b A\pmb x=\pmb bA
    4 i5 U8 @6 Z: _# |1 q, w! \x
    7 t$ O4 \6 N& a* M8 W6 ~( E- Q: tx=
    5 R# R' i1 |. E) F' Ib2 m) ~7 @4 u9 v: a0 X
    b的方程组,或最小化二次型f ( x ) = 1 2 x T A x − b T x + c . f(\pmb x)=\frac12\pmb x^TA\pmb x-\pmb b^T \pmb x+c.f(: o& I. ^/ ?6 V0 ^5 s& c
    x
    . s' ^3 a; H3 m8 x0 Fx)=
    / C5 B/ g+ R6 Y! @6 l& y) K. {2) Z) I2 f- T* E# P/ R' e+ T1 U
    1& F6 h7 a! r. a; v. j+ v9 w: Z
    , E9 f8 p/ j$ [/ l( v

    & ^0 ]! A$ q8 U# Ox
    0 o7 @. B7 H" I% n+ h0 s$ Vx 4 Y2 n1 L; K0 l
    T
    1 B8 x  v2 w+ P2 H& B4 N  T A; j; Q  ^# l7 ^, k+ n( j/ R% d
    x
    1 P; q& o0 ~+ o% E$ mx−, ?- h# d/ P+ k
    b
    8 h. W5 L" L; E" c$ N4 d# j1 P7 gb 5 w+ o& |3 N% i. Y# g  o: P% U
    T  e! \3 \( s1 X( X

    2 e: k+ \& \- e  ?  S: S& cx
    ' [" p9 r) m+ V( D$ m" Y. lx+c.(可以证明对于正定的A AA,二者等价)其中A AA为正定矩阵。在本问题中,我们要求解
    9 o  f( z- C0 p3 FX T X W = Y T X , X^TXW=Y^TX,; c4 a2 A. m; C
    X , V1 s% ?3 a- |' M
    T/ M/ v6 Q3 |: i, S. J; j
    XW=Y , \: T( f# u4 c: U" D
    T, S( `- W% M+ h) t( I
    X,
    2 M5 D/ f: A$ v' z: [  o$ M" _7 v8 S
    就有A ( m + 1 ) × ( m + 1 ) = X T X , b = Y T . A_{(m+1)\times(m+1)}=X^TX,\pmb b=Y^T.A 0 [+ H0 W$ Q% J/ Y
    (m+1)×(m+1)
    7 j- C2 I: z3 c& u) I
    & \$ J0 p/ i" Z& [: s% p9 Z' k& p =X
    $ d* V' k7 H9 `; T- T! y! hT
    + i0 N( l+ C5 \8 u; P( t/ r X,
    . }+ k0 u# Y1 r5 I# D: P/ y" vb
    5 T4 V+ y% i0 b! L+ W' n0 Ub=Y
      j. f7 W5 x& p5 u( i$ qT
    , z7 K, s* w( t" m3 Z/ @. T .若我们想加一个正则项,就变成求解
    & t0 x! _, J1 k! K) I8 J( X T X + λ E ) W = Y T X . (X^TX+\lambda E)W=Y^TX.7 W' j. [0 q* m0 m" M8 Q* K# E
    (X
    2 ~+ i" t, ~3 RT) Z. o4 B. \, t# ?, M
    X+λE)W=Y , O- _( ~9 G! T/ P- W9 d% Z
    T
    8 O7 |$ ]4 Q; Y X.
    & V' ^9 I5 }. L, I! q4 y' u( k- d$ D+ L3 l# p& A' `1 K* `
    首先说明一点:X T X X^TXX $ h) t9 i: S2 e, V
    T
    ; @  a# G6 t7 e# a. P X不一定是正定的但一定是半正定的(证明见此)。但是在实验中我们基本不用担心这个问题,因为X T X X^TXX ; h2 i4 J& r5 s6 q( @8 R* t5 s
    T$ c# x1 X4 \; x( d
    X有极大可能是正定的,我们只在代码中加一个断言(assert),不多关注这个条件。! m) i. G: V3 h  Y# j7 X
    共轭梯度法的思想来龙去脉和证明过程比较长,可以参考这个系列,这里只给出算法步骤(在上面链接的第三篇开头):
    1 \% L8 E/ Q$ a) ^- v. j  ^3 D/ R' J. t+ |7 U  n# V" ]
    (0)初始化x ( 0 ) ; x_{(0)};x ! r. B" w0 B: k
    (0)! l7 i+ E" x) X  a2 K  F: Y

    / @, I3 P8 Y% O  _: x: H ;
      Z8 P+ F' k/ E! q2 V/ k' Y(1)初始化d ( 0 ) = r ( 0 ) = b − A x ( 0 ) ; d_{(0)}=r_{(0)}=b-Ax_{(0)};d
    : }; {/ j7 Y% F* b4 E2 p(0)
    % F( c/ l; T  m" O# B
    7 S" [, X9 ]7 N) A* T =r
      N! N5 e; O) ~& _& b8 l(0)
    2 s3 S% Z7 A: v3 x9 c, ^8 g' u  I8 n0 l0 t
    =b−Ax
    & w% b2 D1 d. D% y# {(0)* U, j' D; O$ ?: o
    / [% [: b3 u  ^5 v/ S7 A" _7 V
    ;5 u( V0 B: y* }" I9 x
    (2)令- w$ w2 }% O8 N: K$ V
    α ( i ) = r ( i ) T r ( i ) d ( i ) T A d ( i ) ; \alpha_{(i)}=\frac{r_{(i)}^Tr_{(i)}}{d_{(i)}^TAd_{(i)}};
    8 a) a3 |5 _6 ?2 J2 n' Aα
    $ i% j9 W) Y' s4 B4 z9 p3 a% [(i). e4 \/ M2 x% H
    , l/ O9 }: [* Y1 p2 y0 a7 f" T+ M
    =   r% q: u9 r6 p, T& T' H
    d 8 }- c9 I) H/ @4 C: E
    (i)
    : b) H+ F7 N* Z; cT
    ; w* N' }: W( H2 K$ D. h! Z
    1 d% a7 |" w! O  I: i. R Ad
    $ o- Y; B, L( M" j" H(i)) Z6 ~8 E# o+ ?. q, H0 f

      c" r+ q0 ^7 F2 Z! t5 A' E/ W6 {
    % G. g; j5 s3 J4 @3 o' e1 g+ Wr ; _. U+ y# t: k
    (i)) z, N0 @7 U% }' \9 p! M
    T! Q$ t! }' k6 K. p' r

    ( W+ i+ P1 |* k* V r
    : W: n- g; E! p, a; n9 K% R(i)
    " P3 C6 c: y% C4 @) B
    - S3 {0 B8 Z9 w3 Z$ f( w' Z
      ?1 K1 ^: @& u* O/ L; a4 y2 h3 b4 I+ i4 M+ Y( _7 R+ a. e+ e% p
    ;
    " f8 B: \0 D# y& `- l: a! B/ e% N( R8 d7 r( a
    (3)迭代x ( i + 1 ) = x ( i ) + α ( i ) d ( i ) ; x_{(i+1)}=x_{(i)}+\alpha_{(i)}d_{(i)};x ) l* ?! ?% z8 L% `7 `! w
    (i+1)0 o( Y' H( f) Y1 `& S9 B

    ( t# p3 E# y4 W =x ' ]. ^' f' Q& X3 r' ]6 [' X. Y
    (i)
    " M3 g  [* Q/ Y7 G, d
    2 l5 j$ b$ ~! T4 e/ O3 U% g1 B* M! {+ P/ W: R9 {) ]
    (i)6 y. i0 A3 Z, t9 K

    3 _' w4 C$ p/ M0 h" m6 H" c d
    + w) @$ Q% @& d' n* G) a8 r) @6 k(i)
    4 r1 Y7 R' B# e" H8 P1 H% y( p; ~3 f8 }9 T, o) @3 N! o! v
    ;' O- q$ \% n5 ]& S! Q+ }; ~/ J" M
    (4)令r ( i + 1 ) = r ( i ) − α ( i ) A d ( i ) ; r_{(i+1)}=r_{(i)}-\alpha_{(i)}Ad_{(i)};r   C) }/ h' A, r) Y: `4 h8 O
    (i+1)
    & S  r4 k( v# q7 ]1 k+ F. G" f  T( Y, a% J
    =r ( o9 f: Q+ I- p4 [* B
    (i)- B& S) z0 U% y! |

    " j# o+ K; G7 r3 r6 P9 e" f −α
    : m1 X, p/ r. J. Z(i)+ _) D6 {' o( n
    6 F  p# E- D9 m6 [
    Ad   g* Y! L2 _9 I; {7 W! o0 k" T0 c9 i
    (i)2 Q3 Q/ t# _& B& L; J) S( V
    4 a% l. O6 Q' A* X
    ;
    5 I% N7 \2 C4 l1 s- s- j" A1 Y6 E(5)令8 N! h# e, q% h0 u% k* D; y
    β ( i + 1 ) = r ( i + 1 ) T r ( i + 1 ) r ( i ) T r ( i ) , d ( i + 1 ) = r ( i + 1 ) + β ( i + 1 ) d ( i ) . \beta_{(i+1)}=\frac{r_{(i+1)}^Tr_{(i+1)}}{r_{(i)}^Tr_{(i)}},d_{(i+1)}=r_{(i+1)}+\beta_{(i+1)}d_{(i)}.
    ( k( G. i/ _5 |9 a% iβ ! f- H3 e; E! g' k2 a( `! F" Z* M
    (i+1)7 R/ u# d, S& o* _' `2 [5 J

    : h6 S7 y9 {; }& M  w, a: k = 5 {, M1 x& g" w, ?+ F
    r
    " Q; b+ ?) W1 ?( Z; H( M(i)
    / f( Z3 ?. m. U) k, m+ x$ OT
    6 y9 e- ]- g1 x) A8 S$ a( j
    6 ^6 D! N+ z  G9 O/ W r
    3 t5 d0 J. e1 L+ M/ _(i)4 I2 w, G" K6 U9 Q! h# w0 E" w
    0 o9 z7 T4 |/ a# A/ D9 I7 y6 w

    5 Y( C6 f" I* U3 p2 l: Qr ; f( p) W7 z# ?' w7 |
    (i+1)+ P6 |1 e0 W" L9 J4 u1 F7 D" u- f
    T; k: N/ \: d4 `. \9 T

    ' o6 l: g  M+ k5 h, U( b' p" M r
    * Q8 A# W* m9 J, x/ H& _(i+1)0 p' v, q8 b% ^8 q) d% I9 P
    ( \3 B, c" L1 k/ k
    4 a4 B' P7 A" @( {' D& F

    / S$ h6 W& s: j8 x& z6 \ ,d
    ) ~" P3 P7 K; \$ H- H(i+1)) q; B0 K$ y& k$ g( }

    4 h( U, c0 Q! K% \ =r ( C3 f9 B4 p, Y8 J0 S3 r1 k
    (i+1)8 c8 ]$ {/ I& B! `* v- r0 l
      x0 c. q# z9 y' M% V; c
    * @: t) i5 V1 H$ p# w
    (i+1)
    : z* Q/ r5 F- g% N
    , ]; H) v6 d, ?) {0 N+ X0 S5 l d
    ; X& N- G7 c1 t3 m(i)
    $ A# R5 l" ~. J
    / c# M4 v) ?9 V$ r: ]8 | .; t. ~+ @2 L7 @
    ) d+ D; R) @1 w- h' Z" X1 K8 O6 `6 _  [
    (6)当∣ ∣ r ( i ) ∣ ∣ ∣ ∣ r ( 0 ) ∣ ∣ < ϵ \frac{||r_{(i)}||}{||r_{(0)}||}<\epsilon
    $ G% a( s; B& D+ r, z* Q# O% ^∣∣r - B" Z& d! v& I" |, E8 j0 ?
    (0)1 t* U8 K' v$ _
    ( [' j2 I9 L$ d. t/ y( @, ~
    ∣∣
    / G4 J- [% S& J8 K5 |∣∣r 9 a3 R/ j2 u$ A* d1 H9 ~; V& q4 }7 i
    (i)3 I3 S3 ]9 g% d' U2 t

    " _" X8 u/ [: y, Y6 d3 L6 p ∣∣; N+ T9 R2 K7 t) N. h

    ' t5 e9 j9 \& p$ N <ϵ时,停止算法;否则继续从(2)开始迭代。ϵ \epsilonϵ为预先设定好的很小的值,我这里取的是1 0 − 5 . 10^{-5}.10
    # @0 H/ ?" P1 P, `" ]. L−5
    6 h; S  ^) u9 x" G: X; T/ i .
      E; p! g1 j! i% c  P# Q下面我们按照这个过程实现代码:- a- V' N7 h: K6 N
    1 F: a! b: g  E4 Y" \
    '''
    ' r: E6 C& O4 ]; ^$ h9 t! o共轭梯度法(Conjugate Gradients, CG)求优化解, m 为多项式次数; [' H; q, Z+ Q& s
    - dataset 数据集
    5 z7 Q% X5 Z4 M- m 多项式次数, 默认为 52 c- |2 @$ F: d5 {. ?
    - regularize 正则化参数, 若为 0 则不进行正则化! V1 j. `1 _# N8 J
    ''': W5 |: p' t$ g# t9 p
    def CG(dataset, m = 5, regularize = 0):) I0 J- M: G7 D. @
        X = np.array([dataset[:, 0] ** i for i in range(m + 1)]).T
    * ]- G5 d, f1 M8 N    A = np.dot(X.T, X) + regularize * np.eye(m + 1)
    1 G( V' _0 f/ c6 T) r! a8 \    assert np.all(np.linalg.eigvals(A) > 0), '矩阵不满足正定!'
    3 \7 I) V0 c& N) E* Z    b = np.dot(X.T, dataset[:, 1])! Y$ u2 p& |& h7 b
        w = np.random.rand(m + 1)
    8 d! P4 K# K- A" ~2 m3 p, M% L    epsilon = 1e-5
    & |/ }2 H+ `- [1 z7 }9 V
    : ^+ \2 g6 z" \3 V0 B    # 初始化参数
    % K4 Z* x' u5 w( j    d = r = b - np.dot(A, w)
    0 o4 {0 q) V7 a: `/ b3 M1 ~. z    r0 = r; Z) O/ `* t) E) z# @
        while True:8 M1 W2 h- x  X/ d! ^5 b
            alpha = np.dot(r.T, r) / np.dot(np.dot(d, A), d)
    & F/ P0 H/ P7 z/ h; u% I        w += alpha * d# B. B: x( a6 j4 n: H) R/ n: {$ _
            new_r = r - alpha * np.dot(A, d)1 @6 [) ]/ O4 Q1 z% p+ ?+ N+ m+ p2 z
            beta = np.dot(new_r.T, new_r) / np.dot(r.T, r)" |; ~! G) q0 a0 u; T
            d = beta * d + new_r+ p7 K; k& \$ g! v5 v
            r = new_r
    * O0 u# g/ b" a7 x5 @        # 基本收敛,停止迭代
    - t7 u4 c1 _  G4 u6 T; G0 Q        if np.linalg.norm(r) / np.linalg.norm(r0) < epsilon:
    ! U  E- s, Z3 @2 u- X: B            break6 C" y6 s. y* {0 W- P
        return w2 {! `; l/ m+ v$ `* ^9 J
    " [9 X* v! }+ S& f, c7 f& ?7 }6 ~
    1
    ; X9 K5 z+ F2 e8 z3 r& M2' `( ]7 }2 I$ R
    3# T4 I5 m/ r: X: P$ k& l
    4! Y4 K% G$ n6 w$ j
    5
    : [; `5 S; k$ v( ?6# I: e3 s- o" P6 E6 G
    7$ x  T! ?! n, n' o9 o
    80 \" t( R, e: X7 f) s0 J0 C
    9/ u7 X9 _; f& t* E$ j5 {
    10- ?8 n5 N% J6 B0 }6 F  I
    11# G! U  P7 X5 p- q& p/ k
    12
    3 F5 b" A; ?2 k! m( C13, I/ o7 E' i3 |9 y& f
    14
    # |; D" |0 Z. @8 M2 n9 t15$ y$ S4 L- f+ `, C; k4 e) L
    16! _% r( E2 Q# d8 ~3 ~& n$ ?) F
    17) i- U2 w  J, S% _8 D2 I. ~
    18" D( F- j5 H# r% C5 ~) _
    19
    " p% ?/ g. l" G" D/ I20+ n' U( B! r9 `7 o
    21
    - H+ ^0 G. t! V221 a( w% k' I! P7 Q4 m. ?+ {9 T
    23+ `& e/ K0 q( ?9 z' l: ?0 V. E3 k% E8 a
    24
    3 Q  P% U: b# e1 B: ?25
    2 h$ F+ p- @7 F; ^, F8 D  K! Z26
    ' S% x7 v9 _6 _; [5 M' U/ s27
    " E3 S* S, {4 [; w! G28/ Y; w7 A" y( V0 {
    相比于朴素的梯度下降法,共轭梯度法收敛迅速且稳定。不过在多项式次数增加时拟合效果会变差:在m = 7 m=7m=7时,其与最小二乘法对比如下:
    ' c% k& z% c# Z( x5 o7 z; ]  `$ W0 V0 V3 z4 s  Y# L# U
    此时,仍然可以通过正则项部分缓解(图为m = 7 , λ = 1 m=7,\lambda=1m=7,λ=1):3 y* }4 r/ B/ i! x" U
    9 r" A' j$ v  b$ M: c7 {
    最后附上四种方法的拟合图像(基本都一样)和主函数,可以根据实验要求调整参数:
      b# ?% _/ e  m: `" g! ^1 x8 M8 b; T

    % O+ P3 p% K, n4 d3 W% H2 kif __name__ == '__main__':" \* o2 O1 W. B0 r& ?; o% z
        warnings.simplefilter('error'): w7 D4 }! h6 m0 {  G# Z
    # S, [3 J5 l0 a$ i8 v
        dataset = get_dataset(bound = (-3, 3))
    4 d5 b6 {. C7 j( v- @' Q7 K- l! |    # 绘制数据集散点图
    2 O; {( P3 Z& v3 D: E2 x    for [x, y] in dataset:2 t! R4 C# w" r6 y9 a6 r
            plt.scatter(x, y, color = 'red')
    ) ^3 _# k+ U/ v) O4 J6 o. Z, g. S% K3 D$ U

      O1 v8 o. h3 @- N- O. c1 K    # 最小二乘法  I7 o  `! p! u
        coef1 = fit(dataset)
    / A, v/ e9 c5 q. V; g* f) r6 P    # 岭回归9 t) a' m) _1 y) C' j
        coef2 = ridge_regression(dataset)
    , G" X4 n" A7 w" Y& P    # 梯度下降法
    $ Q$ G/ _" b! s  |% g4 e) }    coef3 = GD(dataset, m = 3)7 b' L0 N- o' k  X  [
        # 共轭梯度法# k8 l' e6 M! H& |" E7 V
        coef4 = CG(dataset)+ U" B' l5 Y# z7 ]2 L$ b& p. z

    0 s6 I  {5 S: r& [    # 绘制出四种方法的曲线( ~6 o" l5 L; }9 [' R; k* Y
        draw(dataset, coef1, color = 'red', label = 'OLS')
    # K1 a  ~! ^# J    draw(dataset, coef2, color = 'black', label = 'Ridge')
    1 w% G5 f" I5 j9 G0 C    draw(dataset, coef3, color = 'purple', label = 'GD')
    9 l% ^* D+ u( O% G# a1 c    draw(dataset, coef4, color = 'green', label = 'CG(lambda:0)')% t1 @1 A. M1 j6 A: [* ]6 d
    & x, x: L5 w- o  y( k5 \9 m) e
        # 绘制标签, 显示图像" I# N& N% ?9 h4 @7 \' o
        plt.legend()2 I' _- k: ^7 [  J7 U/ i3 Y' S
        plt.show()
    " ?9 B; q. c1 d& Y2 P+ [* B* _$ J: T1 r$ m$ Y( c, j
    ————————————————
    ; m! F' K/ _" M# d! Q% P, Q& j/ u2 D版权声明:本文为CSDN博主「Castria」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。
    % {1 N9 }6 }. w% m2 v8 _2 m原文链接:https://blog.csdn.net/wyn1564464568/article/details/126819062/ L7 F& P) Z& ]4 f

    ) X0 M7 W! h6 u- }! [; M2 W0 \) ]- x
    zan
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