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[其他资源] 哈工大2022机器学习实验一:曲线拟合

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杨利霞        

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    [LV.4]偶尔看看III

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    自我介绍
    本人女,毕业于内蒙古科技大学,担任文职专业,毕业专业英语。

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    1#
    发表于 2022-9-14 16:40 |只看该作者 |倒序浏览
    |招呼Ta 关注Ta
    哈工大2022机器学习实验一:曲线拟合$ D  `. ~# i) `3 O2 l

    ( `) e7 O% m' F4 c) H- ]这个实验的要求写的还是挺清楚的(与上学期相比),本博客采用python实现,科学计算库采用numpy,作图采用matplotlib.pyplot,为了简便在文件开头import如下:: D9 K7 E% v; S, s  ~. e
    + E4 [5 \% X( e
    import numpy as np% [) i1 ^/ N# W1 x% o1 `. w
    import matplotlib.pyplot as plt
    $ W, J9 V' O% e9 r7 I- y& e1
    ' r8 y5 R- G# U* p/ }8 k2 ^$ w28 J0 ?3 K8 F+ o2 k
    本实验用到的numpy函数
    . q* ^3 B6 @/ ~" R9 @/ s# l% N一般把numpy简写为np(import numpy as np)。下面简单介绍一下实验中用到的numpy函数。下面的代码均需要在最前面加上import numpy as np。
    . V2 u4 n( c+ P: k9 |' |: G7 V9 {; G/ n7 i2 ~
    np.array, ~) b4 T- ^9 T5 i) {! b
    该函数返回一个numpy.ndarray对象,可以理解为一个多维数组(本实验中仅会用到一维(可以当作列向量)和二维(矩阵))。下面用小写的x \pmb x
    $ x/ N  M. D: s' Z, J, L# @- q  l4 `6 cx- x3 `1 Z* Z, c' l7 l* Y
    x表示列向量,大写的A AA表示矩阵。A.T表示A AA的转置。对ndarray的运算一般都是逐元素的。; [( W! u; _7 g! I
    $ r( j% j: P  x
    >>> x = np.array([1,2,3])
    $ E/ A" J  T# U8 q>>> x
    7 ]& R, P9 x2 k* z3 G( F/ Varray([1, 2, 3]), V6 c& v$ N- U+ X0 P! j: h0 d$ m
    >>> A = np.array([[2,3,4],[5,6,7]])
    0 V$ \- @6 c. k+ v>>> A
    ( [# C6 q0 u; o  ^. H" i* {array([[2, 3, 4],
    1 {: f0 l6 Q$ n0 F) h       [5, 6, 7]])
    . ]/ s2 H! C* B, ~# ?, J7 k>>> A.T # 转置( I& j: F2 }* G
    array([[2, 5],% n- E& C+ f% ?2 Y2 X4 J
           [3, 6],4 N' U* h! w. G0 F4 A! k0 ~9 A
           [4, 7]])% N; p6 T# z1 ~/ t# L, _
    >>> A + 1
    3 e2 W- d( G; ~3 b0 warray([[3, 4, 5],6 {' [( j- f* x
           [6, 7, 8]])
    9 j4 s( A# p5 A) K: M# w>>> A * 24 M1 I. o% X( a, k( R" a
    array([[ 4,  6,  8],
      |! W+ ?% X* W8 E       [10, 12, 14]])
    3 i& e. S1 r$ i5 ]9 t* L  l/ r$ ^" ]% @8 c3 U( P! T
    1
    - c$ X- w5 o1 o: F2
    0 @2 H* J5 X* T8 q3 C3
    ' T6 L1 l2 ~6 a1 C! U4
    4 v" |" a1 L% o# C5" Y6 [7 w- w* E" V! H2 v
    6
    : B! i% Q# ^& ^) O9 f7
    3 f3 m9 m5 K; s, `8
    ' }) Y  Z% @3 o4 f/ O$ s0 E1 l9) Y/ h! L# N/ @/ k6 S2 B# W6 \- X
    10
    - n1 A+ b6 j, @11/ Y0 S# d7 @9 J% \
    123 t. s+ }; D$ b2 T! i+ z, C
    13) R1 G8 s( M* X
    14
    $ c* T8 {, z7 @, K* f- o% i$ m15
    0 Q# n/ x# q8 I3 o, {  A166 u4 N4 F+ _) M2 X' \# w
    171 G, f9 l- p: {. T' }: }4 D
    np.random
    5 p3 A8 O5 c) y4 `np.random模块中包含几个生成随机数的函数。在本实验中用随机初始化参数(梯度下降法),给数据添加噪声。
    , u: t" l* m' I  ~0 D) m- S
    ) k* Y2 f( {. w& K2 [>>> np.random.rand(3, 3) # 生成3 * 3 随机矩阵,每个元素服从[0,1)均匀分布
    ' g! I+ j* ^, ]array([[8.18713933e-01, 5.46592778e-01, 1.36380542e-01],
    * V% H' z- j3 l) F% _1 Q8 S       [9.85514865e-01, 7.07323389e-01, 2.51858374e-04],
    * r) p& E, e- d. V/ u       [3.14683662e-01, 4.74980699e-02, 4.39658301e-01]])
    * D5 L3 d- m: g$ W8 z/ ^0 m! x  F8 q7 \; g' c, I5 e) w
    >>> np.random.rand(1) # 生成单个随机数/ u0 y# v. j1 I
    array([0.70944563])4 w9 T; P  }( u! b9 w$ v
    >>> np.random.rand(5) # 长为5的一维随机数组
    , b3 S8 e. r% Narray([0.03911319, 0.67572368, 0.98884287, 0.12501456, 0.39870096])
    7 @. r7 j2 M0 l/ y6 l  D& q>>> np.random.randn(3, 3) # 同上,但每个元素服从N(0, 1)(标准正态)" y; U7 u# l5 F/ `
    1
    $ ?% e( z7 |* P* c5 ^% K7 Z* w2- I1 l2 i7 d4 ~2 E# a/ H
    3; s5 o' b3 O1 ~5 w$ Z
    4
    ( k& o- F  d6 J7 Q1 |59 t1 p5 x. ~$ K  O* k' ?; L
    6
    , y, G/ E6 ~: M7" i; p! g2 P. E
    8
    $ U2 {; I" C, z* k/ ?8 @9
    , Z2 W6 X7 u/ W( m% H0 |& U10. f1 n" o+ }9 w! K
    数学函数* j2 v9 x0 W* b; T& _, Y, P
    本实验中只用到了np.sin。这些数学函数是对np.ndarray逐元素操作的:
      e4 C5 U2 e; l! _1 L9 n, ^
    0 u/ A' \( J. \>>> x = np.array([0, 3.1415, 3.1415 / 2]) # 0, pi, pi / 2
    5 z4 ]% b) c$ K+ u  D( t! E>>> np.round(np.sin(x)) # 先求sin再四舍五入: 0, 0, 1
    , T: I5 _0 D: @. Varray([0., 0., 1.]). C9 |0 k( ^  L
    1
    5 B* B, y8 q8 U  p3 [+ P29 v! A8 I, r; r# B3 w
    3
    ! T# v0 M' I8 _% C7 I" [% L7 T此外,还有np.log、np.exp等与python的math库相似的函数(只不过是对多维数组进行逐元素运算)。0 \1 F0 [9 y6 L% D$ n
    , d/ y) w9 E0 e( S
    np.dot2 z5 l; t  S, Q5 }' r  p' |
    返回两个矩阵的乘积。与线性代数中的矩阵乘法一致。要求第一个矩阵的列等于第二个矩阵的行数。特殊地,当其中一个为一维数组时,形状会自动适配为n × 1 n\times1n×1或1 × n . 1\times n.1×n.
    3 ^3 y" v4 _* G9 I; O, u2 D9 o/ B  r9 |, _
    >>> x = np.array([1,2,3]) # 一维数组
    $ G: ^' r, m6 j1 T6 A>>> A = np.array([[1,1,1],[2,2,2],[3,3,3]]) # 3 * 3矩阵8 d* M. E* P! @5 f3 H
    >>> np.dot(x,A)
    2 i) C6 f( b/ |array([14, 14, 14])
    " _# M! u8 |/ }# M/ y! L>>> np.dot(A,x)' c, e3 [3 O" p3 i- b& z! a% p
    array([ 6, 12, 18])
    & D" x. A- i2 F: ^2 y7 m1 l/ V  }
    6 u% @+ k4 w5 m+ h>>> x_2D = np.array([[1,2,3]]) # 这是一个二维数组(1 * 3矩阵)$ C9 y# b4 l$ N4 ^5 s9 f1 n# _3 I1 h
    >>> np.dot(x_2D, A) # 可以运算
    ! s1 ~9 g+ w: o& h- L/ Warray([[14, 14, 14]])2 c7 f, r, f8 l5 n. f  |: q
    >>> np.dot(A, x_2D) # 行列不匹配# O: v' s7 I2 U! W; P9 a" c+ Q/ c
    Traceback (most recent call last):  L) ^6 U0 u& L1 ^" F/ _8 H8 j
      File "<stdin>", line 1, in <module>4 d7 U4 J3 ^3 T/ \3 {- _: b
      File "<__array_function__ internals>", line 5, in dot
    , W5 u5 L" O$ i, [5 i$ W. MValueError: shapes (3,3) and (1,3) not aligned: 3 (dim 1) != 1 (dim 0)1 m8 r1 Z2 W# \/ G. m* Z5 _3 z$ K, W
    1
    " ~" r5 c2 X! E( ?2/ H2 z2 h( P2 _: |0 ^. @) `" C
    3. {: `$ ]9 N/ `) J6 r4 p/ U6 x
    4" Z1 l8 t& b) C: A: [# ]
    5
    : Z( H7 o$ B* t* t+ r61 f& g9 d+ r4 O/ J( F
    7
    0 O) Y# |9 q2 G* [8
    ( t7 d, t* a) p# h2 p7 s9
    # ^/ k: r. w2 W10: h/ w, ~9 Q+ C5 N6 n0 u3 E! d# _  S  S  r
    11
    7 n1 {7 ]4 q8 ~+ E* P3 Y12
    ' p( E" n! v- d6 G13( Z0 b" t. B( m: N/ J% {
    14
    6 `6 b/ x# t4 i* [: f15
    " K% D! W9 [- u/ a* [4 U' {8 @np.eye2 i8 A3 F* D: m5 x( _" h- K5 V
    np.eye(n)返回一个n阶单位阵。4 S  n) d# J3 A8 v; a- F
    8 }4 A9 r9 Y& A9 Z  t% I
    >>> A = np.eye(3)
    / V% J" k5 Z5 e. `4 R" V( P>>> A: I7 A) w, ^: y% ^2 J% m
    array([[1., 0., 0.],$ }% u4 t3 ]  ?4 k3 r! _
           [0., 1., 0.],
    8 w% n" i8 ]& I% y3 _! i       [0., 0., 1.]])2 s* Q  h$ x/ y& m6 W
    1
    + d7 t. D: F9 D( P2; c% Z+ _- P3 b; C; J
    3- M7 |! n9 h  f
    4
    # O; v: S- ^5 S! [7 ]) K8 y# `5
    " D  y# x  d8 l& k$ T% }线性代数相关* q5 }; P8 @+ N5 a8 q% j. @
    np.linalg是与线性代数有关的库。
    + Y# F$ h; ^0 t" B9 u( N$ v4 i7 w) s. ?: b/ R  B# v
    >>> A
    7 ?3 n" x/ B: S4 v% C; xarray([[1, 0, 0],+ A4 R* y4 S% ~' t+ W$ \
           [0, 2, 0],$ a$ j- w" c( F
           [0, 0, 3]])
    * h. M& f% }, p) Y: P' e>>> np.linalg.inv(A) # 求逆(本实验不考虑逆不存在)
    + M1 U( {# Q1 x+ Xarray([[1.        , 0.        , 0.        ],$ H; U7 U# g6 e7 W+ {- v
           [0.        , 0.5       , 0.        ],# R  m7 O  O8 ]9 `1 E* b3 v
           [0.        , 0.        , 0.33333333]])& N' ^; x) @/ o3 u
    >>> x = np.array([1,2,3])% Y- f+ f2 ?" q" S: J1 i9 ]* g
    >>> np.linalg.norm(x) # 返回向量x的模长(平方求和开根号)' q2 T" b5 B7 l5 e
    3.7416573867739413
    * n7 o, ^% m: p5 `7 ]& ~- g>>> np.linalg.eigvals(A) # A的特征值1 r; w$ {& {6 x7 s, Z6 V$ ?% C
    array([1., 2., 3.])
    # I* m  @( l# N/ M9 e, y3 J1
    % O4 ^2 `3 i8 P- x8 |7 J2
    # |9 _1 @) P/ R* l  W, h; ?3
    * N: L4 N. d. ]. W6 l4
    - a. s: |6 P6 O7 p59 N6 |) C" P# G  J/ F
    6
    , V$ U# b- w3 Z( Q7 Y0 P8 Y+ @7
    % w( ~; B  I9 n5 @8* j0 u" L0 g. T
    9
    & |  x( I6 u$ H; W. E10
    - r/ `# L: ?# y11" U& @4 X: i; I( F2 J+ C
    121 b$ C6 @+ v! e$ {0 o
    137 P, B3 N" n, V& H) @4 ]
    生成数据0 d- S/ V9 G1 P
    生成数据要求加入噪声(误差)。上课讲的时候举的例子就是正弦函数,我们这里也采用标准的正弦函数y = sin ⁡ x . y=\sin x.y=sinx.(加入噪声后即为y = sin ⁡ x + ϵ , y=\sin x+\epsilon,y=sinx+ϵ,其中ϵ ~ N ( 0 , σ 2 ) \epsilon\sim N(0, \sigma^2)ϵ~N(0,σ ( M5 m. J( ^. v
    2
    - Y. X9 ?0 O8 a$ y/ ^5 l ),由于sin ⁡ x \sin xsinx的最大值为1 11,我们把误差的方差设小一点,这里设成1 25 \frac{1}{25}
    9 \8 J3 r- d$ S2 b( L25% V- Y* }) @& L) r5 J
    1* y2 L& }) N7 g  k
    - m9 A3 l) v) a+ |/ V7 ^: @
    )。) A) N  n$ h( @, ~- c
    ( k  K$ w/ `. {  n* X$ v
    '''
    / {0 Z$ Q! E3 [返回数据集,形如[[x_1, y_1], [x_2, y_2], ..., [x_N, y_N]]0 e) R1 W3 H+ t, `3 M. b
    保证 bound[0] <= x_i < bound[1]." Z; Z0 L2 J3 e  L: i7 m/ p
    - N 数据集大小, 默认为 100
    , g: _4 Q+ y$ Y4 K# P* o- N, y- bound 产生数据横坐标的上下界, 应满足 bound[0] < bound[1], 默认为(0, 10)
    / O! d6 k! i: Q8 I8 D" x* U  H& T3 E'''7 {* X6 `! I1 A  B# m1 d; T$ O; p
    def get_dataset(N = 100, bound = (0, 10)):! p4 ^0 L3 j1 K! o4 e
        l, r = bound9 ?( z( f2 H+ x0 o/ m
        # np.random.rand 产生[0, 1)的均匀分布,再根据l, r缩放平移
    / f4 g4 D4 z: J+ r, b3 O    # 这里sort是为了画图时不会乱,可以去掉sorted试一试) X" k" h, i. I  a; P
        x = sorted(np.random.rand(N) * (r - l) + l)7 r6 M  w7 C- t
            % T3 p: r- Q& F% k
            # np.random.randn 产生N(0,1),除以5会变为N(0, 1 / 25)
    % y2 {. h' }1 M3 J4 i& Y    y = np.sin(x) + np.random.randn(N) / 53 }8 r# a5 t! e
        return np.array([x,y]).T% B5 w% \8 P* o, g3 s% [. g
    1
    * Y6 G9 i7 G+ v2% N* [+ G( b0 \4 |* N
    34 B9 i/ Q* ]$ i  s- X
    4
    , @* e3 |) S+ G4 ~5
    8 ^: w/ ]- B7 x  e% H% V5 J8 x6
    5 w3 |& h( z) U3 A: c75 m6 n/ L; Q. u3 k1 }. _9 t
    8& |3 w: a7 \: m! h( s0 A, |* `! [
    9, b( _( c6 A/ [9 X
    10: K0 |! @$ U7 o- b8 R7 L
    11( w" Q" j# t' l9 Y4 s: Y
    12; v/ ]  z7 x& I7 A; l
    131 ^3 u/ H! L* e5 ]
    146 }$ j0 S3 ~& R4 K$ ^* |  ^3 t
    15
    * O" P( A0 ~# ^0 _0 ?7 c( u' v; _/ H( e产生的数据集每行为一个平面上的点。产生的数据看起来像这样:
    * i7 k/ y* A$ t# t2 D
    5 I2 A$ {3 o% I4 @4 h隐隐约约能看出来是个正弦函数的形状。产生上面图像的代码如下:0 J% [0 _2 b# {" }; d
    5 e0 N7 Y  v7 H2 e: ]4 T
    dataset = get_dataset(bound = (-3, 3))
    $ V# w" b, d1 d% |# 绘制数据集散点图) f& ~% h  Q  _1 W: Z# D
    for [x, y] in dataset:
    5 W9 m& r8 V- h% E4 I( T    plt.scatter(x, y, color = 'red')
    2 K1 S8 C( L" i7 E% S5 S1 k$ Mplt.show()7 k: A: N( ]  n
    1
    . f* B0 ^1 N8 H  d, m2
    $ g; }+ x% p& V/ \0 q6 A2 X32 H) i  ~. m7 R: ]. k& ?
    4
    / b2 u2 D' o4 h3 B5
    ( w* b/ `% J$ `. t最小二乘法拟合
    ; ]% k' U+ \, Q$ m0 P, ~7 Z下面我们分别用四种方法(最小二乘,正则项/岭回归,梯度下降法,共轭梯度法)以用多项式拟合上述干扰过的正弦曲线。* G1 B) u# B. y: r9 {3 H% J
    $ a* u" D' z, \" H* x& l2 S
    解析解推导; L6 ~! q5 D/ j  m) r6 i5 f
    简单回忆一下最小二乘法的原理:现在我们想用一个m mm次多项式7 v) N; ?( M: W! s
    f ( x ) = w 0 + w 1 x + w 2 x 2 + . . . + w m x m f(x)=w_0+w_1x+w_2x^2+...+w_mx^m" e0 O3 B/ w0 w* u* }. l0 z
    f(x)=w 8 ^+ T2 i5 y; Z8 E& g1 M
    0
    ( q0 u8 d( g( O0 r, k+ q; Y, E, D8 i3 r
    +w
    ' n, x% e& R7 ~5 b% ]( _4 [- Z1) L/ V# s+ }4 l, ^. Y& c
    ; |  g9 a/ l+ e9 M' C
    x+w # t2 H( w3 r% P+ B* D. ]9 x
    2" p6 B9 y8 V3 x7 Q; ^7 N
    + ]8 T$ m$ P  f) B( r
    x
    ! @( r  y. [  y) F# p$ `  ?2; B: [' f7 ~( z; `% R6 {# ~0 d
    +...+w # D/ z* Z, u8 J3 f: o9 g4 H
    m
    0 s' D: l1 g1 L" }9 g* G! ]
    # E4 T* }3 N6 y& n( s+ H& v( i7 i1 Q5 U x
    4 ?- g6 C6 P7 q# w: j, L/ w0 Zm
    5 r3 P$ y; w3 R* u7 |* Q+ U+ O/ {- M: o3 `

    0 G' @. p# ^1 L, `6 H来近似真实函数y = sin ⁡ x . y=\sin x.y=sinx.我们的目标是最小化数据集( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , . . . , ( x N , y N ) (x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_N,y_N)(x , Z9 r+ q+ |. I) Z  d% c. K! U
    1
    6 \+ ]8 `+ V" i) y9 t: W9 ?# f
    8 M" R$ t6 M  S+ T2 O, X ,y
    & M; q& ^3 S9 y. f0 C1* g7 \, W2 L2 ?  Q
    # [$ u7 P# g0 w, g
    ),(x
    1 ]; ]: s( ^4 H2 L9 R7 F2
    2 L+ ~( E' H5 T. F, A7 l6 k! }3 U) {/ ]8 H5 R, a
    ,y 7 m+ U1 g2 x0 w$ H7 Z8 W) {4 u
    2, \( T+ G' p) |2 I  o
    ; N/ h4 H/ ?- m( g8 s& {- S  G
    ),...,(x
    4 i, N) v8 i2 y( T) Z/ }( ~$ JN3 u3 h; g$ I. w. k6 C( ~

    - X: j/ O# b- I& ?" A6 \: J% h ,y
    + Y' D6 T2 c9 E0 vN
    * ?) [- \5 b5 [
    0 |# H, }  u. d! e0 M  G )上的损失L LL(loss),这里损失函数采用平方误差:
    % A( \7 Y' c% ?L = ∑ i = 1 N [ y i − f ( x i ) ] 2 L=\sum\limits_{i=1}^N[y_i-f(x_i)]^2$ J! q" p/ F5 a3 D
    L=
    + x$ e% h% i: s- L$ f& w7 X# Z$ Gi=1% ^: X3 D+ Y' i5 V( D$ z- G

    + T0 d) x" V4 d, n2 h: HN
    ) a5 Y: l- G0 {8 u  `1 I
    ' _3 |: b" r4 ?' u3 Q [y $ c$ v+ r% b7 T1 o' y! Z" M4 X
    i* O2 g! i* I8 x7 N3 w- ]

    * ?6 T- k. T* E4 s −f(x
    , T: K( S1 A1 [! ^9 ~1 ~2 j# }i
    $ Q$ G# h0 ^8 G+ K9 t8 U7 @3 ^! M3 r/ j
    )] " Z: ]4 V/ i4 q2 U- s5 M
    2
    $ V( c2 ?" m' _" d8 R+ _; s* ?+ w% W$ X' ?. t" Q/ [2 T

    4 Y+ v# P$ W: W$ y. k0 d3 S( H- H5 F为了求得使均方误差最小(因此最贴合目标曲线)的参数w 0 , w 1 , . . . , w m , w_0,w_1,...,w_m,w ( k' x. T; W4 a9 _: h
    0
    # {/ ^8 y9 t+ L1 i8 ~" p: r2 P  r6 E! H9 [
    ,w
    3 V, E. W) H9 @( [6 U11 M- i8 }* d' t0 t

    6 ~! n3 ^- f2 j+ r  Y ,...,w
    9 y4 k5 L  t7 b2 D& C( D- `m
    * V( C/ d! `2 a% W6 u! Z+ `6 L% S7 S( g
    ,我们需要分别求损失L LL关于w 0 , w 1 , . . . , w m w_0,w_1,...,w_mw
    8 L: q2 s6 F7 F0 g0
    6 }& E+ S3 E6 A* v5 m: {; s% W$ I: b* p3 H$ o( `
    ,w 3 K$ }! Y+ n" Q: w3 M$ @
    1
    % x1 ?) s6 M, e) V
    8 o; N1 k! T) ^% W5 n; T4 W) o ,...,w
    ! ~$ \0 |2 d- n' V! D7 ]m# G) g  g, Y' y! I) a

    / F, ~8 r- U# B0 J9 ` 的导数。为了方便,我们采用线性代数的记法:% C8 ~5 G+ J9 @4 I6 l0 L
    X = ( 1 x 1 x 1 2 ⋯ x 1 m 1 x 2 x 2 2 ⋯ x 2 m ⋮ ⋮ 1 x N x N 2 ⋯ x N m ) N × ( m + 1 ) , Y = ( y 1 y 2 ⋮ y N ) N × 1 , W = ( w 0 w 1 ⋮ w m ) ( m + 1 ) × 1 . X=& C  y; o7 Q" E; L9 i" X6 V  _2 G
    ⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜11⋮1x1x2xNx21x22x2N⋯⋯⋯xm1xm2⋮xmN⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟
    + q4 E. m2 R4 U2 y1 F2 I+ p: U(1x1x12⋯x1m1x2x22⋯x2m⋮⋮1xNxN2⋯xNm)6 P' @) S) a) A
    _{N\times(m+1)},Y=- R- |4 Y4 J) t0 p1 H' w: Y' O
    ⎛⎝⎜⎜⎜⎜y1y2⋮yN⎞⎠⎟⎟⎟⎟' B9 d- K# I+ w- z" @/ }
    (y1y2⋮yN), |0 t; q8 l, D* O* `
    _{N\times1},W=
    : c8 I0 j5 Z. M+ J! F⎛⎝⎜⎜⎜⎜w0w1⋮wm⎞⎠⎟⎟⎟⎟
    * u1 C7 r; e) Z; g2 B8 }(w0w1⋮wm)
    ( Y9 t- s* d$ E_{(m+1)\times1}.! D) b3 k% d+ R! s
    X=
    ) r8 g( z! U5 s8 W
    / D1 K; S. w! ~3 V# P5 X, f
    4 C' m' O2 B+ C/ ?* }: F: l1 K9 \" P/ U

    1 K& J6 k) Y" F1  ~0 ~# l' W" F; b; g9 i, B
    16 t# T1 z+ E# M5 U+ O/ M
    ) R* v& w+ J& o; v4 p/ b3 }
    1
    ( K# `2 B- ~+ v& Q. ^6 E# v
    * y; M' D6 L- A0 M5 G" Y: U3 q$ v1 V0 A" {  n9 f4 N5 `) g% E+ N2 s  E' k% e
    x & G' l* |( P8 f/ p  T) ~
    1# Z! l% {+ x) c+ w

    3 m3 `/ `/ \' |. T7 j0 r5 k1 i: g7 V4 _" J; `
    x 2 M5 V4 g" W0 ~
    2
    " g3 p4 v  r1 V1 @; A
    2 r9 s6 t5 X, @  v3 t" C6 L6 s! H6 ~! j) y; j  B7 h- c3 Q) ^! L6 G/ K. e
    x : B& o* R0 N% [0 |7 D
    N$ Z0 U& N- [7 g
      Q, X: v6 P) ^) Y
    * u4 _) K" T: F) V; d* p

    ( p- G0 q: N! V3 }  K2 h& Q
    ' r( e$ J0 ?& F* v" L  m' Ex ( b1 C! M# I' f8 X% i
    1
    # G6 p2 P% I) O( ?4 T22 y- f/ X( P. X

    # K  {( [" O- @
    2 n4 _1 j0 D6 _7 K$ T6 lx " Q8 S1 [  G9 K3 |2 t
    2/ O9 v9 ^7 g& l! L$ P7 K
    2
      `" v! r5 `3 Y0 G
    . w1 _$ M- j5 [8 D) c* \  E) g9 e+ ]/ Z+ R- S  K; W5 U
    x
    , P2 \+ L7 Q5 Z$ w/ bN, t3 J: E- I( F9 ^
    2  d. J# v/ s4 k' _9 V
    " U1 \6 U8 v$ r" R0 `7 t

    3 H; j9 c  X) A9 A) u3 Q4 j% S' }. h- d
    $ E) x( t0 ~9 U" [) W' ~5 M% r

    2 I" F1 U1 |# K6 I$ N4 l1 B8 j# m& y2 Z) S; u1 |# x4 O6 D% M

    ) ~$ K' ^6 F  u' t
    8 G( k3 T% L" G' W
      v3 d$ Z& `( s, S% s! K7 ^x
    2 c" Q$ i$ m2 q9 c6 J9 [1
    ( E- ?5 [1 N) }m, _5 r3 z  k9 F3 L$ M# g& H- Z

    , {: G5 u  K) a
    % C% J) _- ?! z  E7 A( \' g3 wx   `/ l) D4 p. r7 u/ s' f
    2
    ; p. B+ T  b6 n( k. sm
    ' J" Y; _$ E2 i3 v/ s' O3 S% q% C4 D1 K4 p- x* G& ~" @5 r

    3 }; x9 t7 k) \) p4 M. k( o
    1 ?; M; A; Y$ `8 ~x 9 b' H, X) _" Z( y$ b2 e. X) ]5 N
    N
    : a) b0 N  I, M# j3 a3 c4 Om
    : L6 _5 `4 N- l* A' o' A3 S0 s; l$ F+ y& Z$ ]$ x# c! f3 ^

    : R; d3 H& B' y# {7 x+ d1 N- u& b* R& i9 n4 b

    $ a6 D9 }' \/ l; ]2 v0 `+ k8 {7 h8 s  p9 C! n0 y% i
    & ?, i! N* M  m  h& i. U
    3 q. t, p6 |. c. |: {8 R
    * G" Y" `. ^1 ]3 c* j- ]
    N×(m+1)) }: |' g6 H' ?& h5 w1 `) c0 h+ {

    3 s9 n$ K; B0 t: A) F6 Z" ~% Y3 w ,Y=
    5 W% ^' J2 s. P8 X5 e. }0 s- h( X
    ( S) O' {% e4 t
    8 q* K" `  O# I: n! O% F9 [; C
    ' N" S$ X9 P  w
    4 W7 b2 B( b0 Sy
    8 Q# b$ k, K; R. q2 F3 j1
    ; Z) B! Z& d0 s0 B
    2 K4 s; }: F4 H3 f6 Z: l/ x5 q6 `
    3 J: q) m, m3 k' m: ry
      |7 j2 [: e/ D( }* Q, s' c; F" [2
    ( ^( H( S0 i: ^
    8 Y1 n* b' z; w1 p! |9 t4 ?( c  v; J# B) u$ W

    8 a+ F& w' ]) a& P6 ?1 Oy ' f8 {9 k+ M) i% w" X2 v
    N1 V2 A/ h0 j  t) P/ g6 U
    - u. ?2 B! X) m- ^7 x3 X2 `

    0 G; L4 M0 g2 O, d, O# E$ M3 ]  e9 c- j3 K

    % e: S8 R( w- ~6 Z/ c- T
    9 L1 c' O3 @6 h. V; H
    . x  N# p9 `2 g7 ^7 b; U% e/ |8 a& ^0 }% r# N) u* P. ?
    : v4 ^1 L; Z) z& t+ I4 y* B
    N×15 v0 h  X+ L4 z# O# I2 K

    $ x! j$ g+ H- q3 G! [ ,W=
    ( b$ B, M+ S! p9 T. |  B
    ; k- m0 i& D0 }0 e9 |/ M0 B. N, x( _3 f
    - ]7 ^. {5 l& A6 P. K8 Y& o

    ! e4 g& s4 k6 J0 ^' [3 Sw 1 j# U" L& s. O0 N
    0" Z' \* r7 ~3 G. e

    $ T( ^6 _& e) n3 \6 M
    ( _5 g) s* g! Z- J5 E& A) Y5 gw
    & A& H4 C" c8 C2 k1 w/ m1
    $ x9 d9 @. {/ A# l; Z9 B1 a% d2 D6 f9 |9 {/ }5 C( a. ]

    " B7 G3 H: C2 Q2 U6 d; f7 U1 F0 s0 i/ O7 o6 y) F$ _
    w
    0 f7 ~+ Z. c" D: t. i, ]3 om
    / n4 p& y' \0 F
    5 Z1 }- ^1 r7 `* ^/ i9 t8 H+ Q* c
    7 g& u+ M4 l( r* I
    ( q5 ]  V; `* u+ e: g9 i) Q* }
    ! g$ v6 J$ o" }7 R( j
    ) S7 c; U8 U6 u! ^+ Q% Z; s5 Q6 B) i/ R

    7 A9 @! W! k6 K6 l4 b
    ; y# B0 c6 {; I; R% ](m+1)×13 \$ H5 Q4 E) d
      [4 W) H8 j) X$ _+ f8 P& c) V7 n9 R
    .. K+ |  a$ ?3 H7 k

    & \1 ]4 ?3 S( \6 L' Y" R在这种表示方法下,有: Q+ C- s& u5 I* {/ i9 g% K
    ( f ( x 1 ) f ( x 2 ) ⋮ f ( x N ) ) = X W .
    ( C! S& U4 y& R, ?) J" l⎛⎝⎜⎜⎜⎜f(x1)f(x2)⋮f(xN)⎞⎠⎟⎟⎟⎟2 p7 X( j: A4 a% u
    (f(x1)f(x2)⋮f(xN))7 e$ D; Y8 t2 _6 O/ m
    = XW.& @5 b( A$ H0 W8 q6 ~! {

    & m- P# \( Y  W. T3 I. D5 w4 Z! v/ E6 @/ |1 x
    , n+ w8 R& G# C7 ^9 |

    7 i( P/ z) U5 c$ Z0 H* B, Wf(x / i$ @/ |5 P) Z5 k7 q
    1
    5 @. K' T, Y9 X4 q, r1 w
    9 ?& K. V6 N2 q )
    ; k2 {4 |' \  cf(x % O) x+ P# c* {1 X
    2; I3 Z4 h. Q' ?- }
    , J7 x: S3 {9 J# a/ k
    )
    : g! i9 V8 S  _) r; J- F! a  N
    / j; I; b9 M  b* Of(x + h4 j& J$ k* Q1 c, L
    N
    + l' S# I. S  K/ T
    ' o. c+ `. t5 q' I )
    # g9 O  o/ B* J! ~- H( U+ K" h$ R  q5 t! m) r0 P0 I

    ) M$ c' h5 `3 l& c! H- s+ ~3 }' O6 a6 W7 ?4 x4 ~
    ' _2 z4 a8 k" D; r1 d! ?

    5 f; c0 e1 t' b3 m' U( ]: q" R/ i8 V: Z =XW.
    3 r" e% l) p! l" o& ^1 \% ~2 K9 U0 p' x" G
    如果有疑问可以自己拿矩阵乘法验证一下。继续,误差项之和可以表示为9 J/ ?- h4 s7 _2 w; Y! p- d
    ( f ( x 1 ) − y 1 f ( x 2 ) − y 2 ⋮ f ( x N ) − y N ) = X W − Y .  t% j2 m) ?+ C6 y! K: Q
    ⎛⎝⎜⎜⎜⎜f(x1)−y1f(x2)−y2⋮f(xN)−yN⎞⎠⎟⎟⎟⎟
    ; t8 B& o% E9 J# M(f(x1)−y1f(x2)−y2⋮f(xN)−yN)
    7 U2 b) {+ N% j0 E% i, D" l% g/ h=XW-Y.0 o7 S% G, K: J1 B- p% _: W

    # c; K# T! a5 n: q0 ^
    2 b# Z8 S& d9 E2 p
    : G5 G9 E0 \; d- S) R) |- B; ^4 w! j2 T$ j! g" Y. C5 e/ F+ t  P
    f(x , t! o9 _! F6 D$ ~8 a) p
    1
    8 L# M2 ]( M/ N+ q. @1 a$ T
    , i" V' J% K; P" R8 v )−y # T& p$ @4 A0 |
    1/ ~9 w# h, q/ X( D
    6 w% N# q, }1 J. T# I6 H
    4 G' M$ l* f, T
    f(x * I0 w+ {& j' c$ t' |+ A
    2
    2 [  b; {+ e: P9 _2 Z
    ! Q( f7 {( j* T )−y 8 F  C) q; S7 M2 M0 z% v
    29 R8 q7 D& @, ?# h" k  y1 n, Q
    6 k% m8 \/ o  [8 I

      S4 F  r: F+ z" i! F' {: C) e5 `  U. x) K9 W# I6 L/ O
    f(x
    9 w6 A! E" C% u7 g: z, j4 ~N3 ?9 j& a% |* n2 Z- I3 x
    ; z5 D6 e' Y, k1 N
    )−y
    2 u- ^4 s4 S' t( o& X5 AN
    , u  T) \, j3 k
    3 R% A! z) V2 t' u) z1 A7 z
    % {; I- p* j) }. W, g* U5 f
    . p" R7 W( N1 M8 f, G( J5 B' C7 G, U7 y8 z  [! Q) ^8 Q2 e' A- b' p& B
    8 v) E3 _5 d  F3 U9 j

    ! K+ e/ O! z, o5 J2 V; @
    ; R3 n  L0 C" v( _3 E0 c =XW−Y.# c4 J0 |/ R3 q& N/ p2 {
    % ]. [4 Q3 E  M* {& s
    因此,损失函数* g: b! r. U; e6 N# D1 Q
    L = ( X W − Y ) T ( X W − Y ) . L=(XW-Y)^T(XW-Y).
    : [7 p+ i; c# x2 gL=(XW−Y)
    5 w, F5 R. L0 \3 Z! m5 Y2 @8 gT
    7 b. u2 J5 G! }* `& Z (XW−Y).
    ( a( r" E: S2 q8 z$ J( I, v" O7 f7 r9 j$ l! n7 U6 h
    (为了求得向量x = ( x 1 , x 2 , . . . , x N ) T \pmb x=(x_1,x_2,...,x_N)^T& V+ p6 h( X  H& H' r
    x6 _+ P; y, D8 H& Q& q- V. |6 p
    x=(x
    ' t4 x4 U4 b* @& j; X# f1- s$ w; K* E5 R, k) D

    1 n+ y3 j0 X. y7 i ,x
    % z. D+ l/ \: e$ ?' _; d  }- D20 e  @5 }1 M1 C1 j: @
      z0 G, x2 y( r8 v- a/ i: d
    ,...,x 0 @: c& |/ G: \9 U$ \& I6 g( u
    N
    ! p3 |5 c4 }7 c% J; r$ V9 k/ y+ I1 I) H
    )
    # }, u" m  b0 q9 g0 ^, `+ FT
    4 t4 t" @9 {* k2 B- w 各分量的平方和,可以对x \pmb x
    2 y) @! a( H0 E! N& h" nx4 Z( i1 ~2 b+ d( M- R
    x作内积,即x T x . \pmb x^T \pmb x.6 P% G' C. }% w$ ~
    x! y4 X( z2 C4 ?9 A8 c
    x ' G- E7 Z0 L" Y1 y6 Y+ z) d% [
    T
    8 q9 \0 j# I: j6 D/ \, @) M4 v! H6 D0 F
    x4 M' ~; ^0 P$ a4 l
    x.)
    0 Q) K( h+ T* Z3 G/ L) d4 c) C; Y为了求得使L LL最小的W WW(这个W WW是一个列向量),我们需要对L LL求偏导数,并令其为0 : 0:0:* J! f3 j! R, b/ P' ~1 x
    ∂ L ∂ W = ∂ ∂ W [ ( X W − Y ) T ( X W − Y ) ] = ∂ ∂ W [ ( W T X T − Y T ) ( X W − Y ) ] = ∂ ∂ W ( W T X T X W − W T X T Y − Y T X W + Y T Y ) = ∂ ∂ W ( W T X T X W − 2 Y T X W + Y T Y ) ( 容易验证 , W T X T Y = Y T X W , 因而可以将其合并 ) = 2 X T X W − 2 X T Y( r1 S2 d# e3 E3 z0 A' n: w  p) U
    ∂L∂W=∂∂W[(XW−Y)T(XW−Y)]=∂∂W[(WTXT−YT)(XW−Y)]=∂∂W(WTXTXW−WTXTY−YTXW+YTY)=∂∂W(WTXTXW−2YTXW+YTY)(容易验证,WTXTY=YTXW,因而可以将其合并)=2XTXW−2XTY
      n, Y+ X. K) R/ |! {; y4 p" r∂L∂W=∂∂W[(XW−Y)T(XW−Y)]=∂∂W[(WTXT−YT)(XW−Y)]=∂∂W(WTXTXW−WTXTY−YTXW+YTY)=∂∂W(WTXTXW−2YTXW+YTY)(容易验证,WTXTY=YTXW,因而可以将其合并)=2XTXW−2XTY$ G' ^: R: u) r9 P6 X) L% P6 C7 l
    ∂W" l) v3 C, f$ C0 ?/ E0 a
    ∂L0 f6 j5 r6 m! W0 o0 E
    * {8 b! A  C) P# B! ~4 ]

    ) {+ t+ K1 O+ r  V8 o! I* f
    . `# }. a; {/ D5 ^0 \1 m3 Y" e  m5 n8 i4 C5 |5 b
    =
    1 H! h  z0 }7 S/ B3 @∂W% r, s9 A- q' o8 S2 `! q
    ' ]5 @5 F3 o" |

    ' k6 \( H2 A: C! h [(XW−Y) ( A: a; E3 w/ @% [* h
    T9 u" N1 Z/ X* U* v5 T4 y2 q
    (XW−Y)]
    4 b; O5 ?4 X. X! g. Y! e3 E=
    6 p* e$ I, }$ q3 U* z: e2 o5 D1 r∂W
    9 P/ d4 N! N: T9 y) i4 c4 A
    ; u- R* |# K# A2 V  y# Z
    ' U( m! v: P$ ]# y [(W
    ) y" ^" B/ l$ C. b+ tT5 z' a( ^5 p+ L  w( x  |/ ^
    X 1 [+ z& H  G- a$ `! C& E8 W
    T* j+ s5 q! k: G* I4 B
    −Y ' R8 ]0 s, l6 L  \) ^( p0 |
    T
      h) `, F. k! p( h3 H )(XW−Y)]
    % H. X! U  X' f+ s- k3 Q= + }+ e; a6 p5 J. y" C. q
    ∂W
    0 q& D+ {- a/ H8 o8 [0 F0 Z: a( O3 @9 F8 s2 _" s
    & S6 k6 F* \3 k) r. p9 o9 G
    (W
    . |5 z% g' S9 mT
      x0 M  x0 W0 R/ P6 p X
    + p: ~4 Z0 E9 [5 t3 D& kT9 k* @. u: J" ^. o
    XW−W # Q* o0 D- z  C7 |' G2 G3 M
    T
    2 p) k( l% e0 n, a: Q X 8 z# c8 Z: A* |! C  T1 F# c
    T( x0 b4 _, H7 o/ @  \
    Y−Y ! L$ q1 X) e; x4 l
    T
    ( u# h7 x2 M3 ^7 ?: z% `! R; o5 o XW+Y
    : l9 D# s, {( S% ]! JT& p3 V) I! ^! X, B
    Y)
    . T6 d9 v; i4 d. a0 Z! A7 g=
    - q  \9 B  M3 K) u* P, s∂W
    7 U" d, n4 Z8 p& G% S# M0 o/ D2 H. Q7 }- B* u4 m9 o+ C
    1 m4 ~9 @. j; t& ?
    (W $ |0 \/ Q: g% u/ Z+ {! V
    T
    ( K7 a! [7 u8 |( _ X
    1 W8 f' b- O5 i5 T/ FT8 ^! l+ d$ x8 Z: a& u# {* x, I  o# g
    XW−2Y
    . q  f  z/ v- }' j. i* Z3 kT
    6 _# w0 b" u5 W5 S; F% E: |1 G XW+Y   d4 g  `) I# g4 _$ a# b
    T0 q" N, @! q6 M+ j# A
    Y)(容易验证,W
    $ W/ j; K: E- X* F( [T* N, ?: `5 u) p
    X
    4 }* |' w( Z( t2 y( N, TT
    " @. ]  `* O2 X5 N Y=Y
      G4 X& D  _( nT" C1 C; ?7 C* p; }: M; p
    XW,因而可以将其合并)$ \/ j7 w. H8 c6 [2 ?0 T1 ^
    =2X
    3 |# U- Y: m5 V7 gT
    ; S" _% s# C% `* L; q XW−2X ' B: U6 U* t. _; H7 z$ N
    T6 \7 p$ J+ K4 k, ^. Y3 U
    Y
    ( y, e, \5 M9 Z( Y! A; M! B' q
    ' P$ V. P6 Z3 I% z3 u- |# d# L0 W0 J5 _# x7 b( Q0 Z9 y( V
    2 ^  O1 y! z9 D! L0 D' m8 d
    说明:" Y& ^& I8 j( U1 ]9 Z
    (1)从第3行到第4行,由于W T X T Y W^TX^TYW
    . j$ N$ m; @( ^( k4 rT
    ( i0 N4 ?6 x$ G! E" w! c: | X
    " J4 U% S0 G6 x( X2 y: FT
    ' @+ i% P  \* @; n- f, }2 A! T' E" R Y和Y T X W Y^TXWY
    6 \- S: f# a0 Y0 m. F3 PT
    2 E$ G7 d$ Z1 i$ Z2 Y$ ^$ U' e$ g XW都是数(或者说1 × 1 1\times11×1矩阵),二者互为转置,因此值相同,可以合并成一项。
    " X# T4 V* G8 `) R4 y/ l(2)从第4行到第5行的矩阵求导,第一项∂ ∂ W ( W T ( X T X ) W ) \frac{\partial}{\partial W}(W^T(X^TX)W) ! K: y0 x7 `+ ?. F; _3 p
    ∂W
    4 J+ m0 X8 Y7 h+ t0 u! L3 S$ k% t, M5 v6 M. V

    . G0 G/ c7 J. ?4 G1 d  f0 i (W
    - f/ k2 t! f- E5 U: o1 c7 tT$ A# ~& b/ `) O% R' m
    (X # g0 N  s0 j" N1 S, b3 Q6 q
    T
    / [* B! }: p2 T* h: Z X)W)是一个关于W WW的二次型,其导数就是2 X T X W . 2X^TXW.2X
    & C# k9 }) g' d8 z8 ~2 |2 _1 z* KT: Y" }4 D) e- W) a8 T
    XW.. u5 K3 D, H7 U( \' a
    (3)对于一次项− 2 Y T X W -2Y^TXW−2Y 4 ^/ `. |5 P( p; G/ K! a6 B
    T& P( R$ r7 s9 o5 E& E( [1 @
    XW的求导,如果按照实数域的求导应该得到− 2 Y T X . -2Y^TX.−2Y 4 q! Z1 N7 N* z. m
    T) y$ ?/ O" h4 u; |6 L9 h
    X.但检查一下发现矩阵的型对不上,需要做一下转置,变为− 2 X T Y . -2X^TY.−2X ) q, H3 {$ h5 z5 G7 N4 i
    T0 S1 V- W2 E1 L: B8 f
    Y.: R: T) g2 Q8 z

    " u( O+ q4 Z& Y: A矩阵求导线性代数课上也没有系统教过,只对这里出现的做一下说明。(多了我也不会 )
    - v6 t! A, K1 l2 `" j  F令偏导数为0,得到1 J# }9 u* y  H* j: q7 J: X1 ^
    X T X W = Y T X , X^TXW=Y^TX,! a8 w8 s( h- g
    X
      m, ^) q! R( }$ ^+ eT6 C6 Y9 y/ N* B1 Q# ?# ^
    XW=Y
    : @8 ^8 g7 ]3 G% f6 x7 H" l2 @T
    ; C# x( v- t( Y, ^' h X,  `8 J! K3 b0 j+ y+ z% M

    ! V% T4 T# {7 f4 t2 i* u8 I左乘( X T X ) − 1 (X^TX)^{-1}(X
    6 a, }: g9 o) J- u$ i0 i- @! G- M+ E; aT
    * w, y8 g; T2 b! {) ^ X)
      Q4 b) d: I1 S4 D% u3 S−1+ ]- }( S. \- m# z  ^# M
    (X T X X^TXX
    3 {' z% Y; H% s* MT6 c* l; n+ `  k$ ?: |' ]
    X的可逆性见下方的补充说明),得到9 h! J8 E. |& _1 I! c
    W = ( X T X ) − 1 X T Y . W=(X^TX)^{-1}X^TY.
    : x- I6 v2 M6 @W=(X
    # A$ C5 R7 ?8 I1 a1 ?T
    8 ^) d, P9 I9 ~- z X) - u, r0 O0 d; G
    −1
    " `! S+ ]& K2 v% I2 H X ; S: _* a$ s( A- E+ {
    T
    1 }  [5 q( u5 o9 H Y.& R. v. Z7 i, J, K

    " Y/ P( V, q, H. o" ]) C% h这就是我们想求的W WW的解析解,我们只需要调用函数算出这个值即可。( f8 S1 Q1 A* V

    & ~, ?5 g  W& D) h0 K'''
    2 W- v/ r  z# g" |3 J7 `  k# w最小二乘求出解析解, m 为多项式次数
    6 r2 V) o. v& W; k$ r最小二乘误差为 (XW - Y)^T*(XW - Y)) O) T' A5 \. P- Q; g; _8 N
    - dataset 数据集& J8 F3 t3 B. t4 T; I
    - m 多项式次数, 默认为 5
    ) \' l; `# i+ r" {''', v/ Q' I- ~* Y% t
    def fit(dataset, m = 5):
    & v' b0 w! M9 A6 y) C4 I5 _" f7 l    X = np.array([dataset[:, 0] ** i for i in range(m + 1)]).T
    * {- j, u  ?+ M  h* j    Y = dataset[:, 1]; q( J! v; X; \# B/ P
        return np.dot(np.dot(np.linalg.inv(np.dot(X.T, X)), X.T), Y)0 l3 k# a8 V) ^  `" _6 R
    1
    * I! a+ `) I! x) n8 Q2
    1 A" O" Q0 p! a4 G5 N' q3. S. R9 n* w4 R
    4
    $ E  t" p0 o9 D& M5$ {& `& |6 z, H* G' l. l& o6 B
    6
    6 q8 B0 v2 D: n/ B/ p. \6 K3 _0 ~7
    $ }% y' h* y9 P- Y; S4 _- q$ d0 Y8
    ' H* \/ w3 v" R0 \9( I9 h& W3 q9 e/ v: C' S
    10
    , ~/ I, \) s# F6 G稍微解释一下代码:第一行即生成上面约定的X XX矩阵,dataset[:,0]即数据集第0列( x 1 , x 2 , . . . , x N ) T (x_1,x_2,...,x_N)^T(x
    / D1 V3 A4 F- z; q4 k/ N19 E8 P9 O4 {9 w, u& P

    ) z0 W* O! r- Q ,x ( \6 r- ?: ^+ ?6 O) L, v. y
    2
    / K; X1 _) x1 G1 R0 E8 X' A. ]: I6 [. N+ V% u8 I
    ,...,x
    3 c9 ^1 P( B* y- EN  R- Z$ c& M% U5 }2 r

    & x" U7 E9 i3 e8 e4 @1 S# l0 ^ )
    1 {( l8 w1 H& oT- V; [8 s' ~5 b5 z" [
    ;第二行即Y YY矩阵;第三行返回上面的解析解。(如果不熟悉python语法或者numpy库还是挺不友好的)" D* a- k' @7 d

      a0 e/ {5 q& y9 a. Y  C! Y' I简单地验证一下我们已经完成的函数的结果:为此,我们先写一个draw函数,用于把求得的W WW对应的多项式f ( x ) f(x)f(x)画到pyplot库的图像上去:
    0 e  T% `& J% t/ [4 g+ R$ z7 @2 c6 ~, h+ m3 Q
    '''
    6 F! o- Y, X' t3 C$ ?3 S) N: X* a绘制给定系数W的, 在数据集上的多项式函数图像
    2 @4 A% q- W) f0 R6 O- dataset 数据集: X! V4 z- v0 S7 L6 u
    - w 通过上面四种方法求得的系数/ i' W% |. K# N5 {" W
    - color 绘制颜色, 默认为 red0 z0 m; O" U1 _/ `# n0 C
    - label 图像的标签
    2 w, G2 ~8 d$ Z- K'''
    - Y, f4 y2 B/ Q# L) U: j/ q- ydef draw(dataset, w, color = 'red', label = ''):
    5 \  ]) a( g8 f) ^6 a    X = np.array([dataset[:, 0] ** i for i in range(len(w))]).T
    1 g4 r  G! A' B7 Y2 i( W/ A8 p# ^    Y = np.dot(X, w)
    9 F6 a0 Y2 F6 G; R, G* u: I
    * O2 \/ d$ ^6 |/ R% l: b7 P! U    plt.plot(dataset[:, 0], Y, c = color, label = label)
    ( J) }, o3 g6 m& g+ h2 M- S6 H0 }+ h1
    ( p- O* d+ a( b2
      u8 R: x# T) \0 C7 f3* [3 r" r, X- u# l; {/ D* ]2 m
    4
    5 q  P) L5 C7 W: a8 b3 _" k5 j) B' d5
    $ z( j. K1 G# f9 b7 w& N& O, F$ w63 c+ r/ K# A4 ^. A; s. ]
    72 e+ X9 v( v0 a0 E0 ]& u5 e4 B) \& g
    8
    + U1 ~9 p; g0 |3 X' P98 s+ }* O: c4 x/ g" m/ j
    10
    * x" ?& \0 }& V; j112 Q% |$ _6 d3 Z
    12
    ; J; b9 i. Q% L2 k然后是主函数:) D. j+ G3 ?! g

    : t- z: E1 m; u+ _- Z9 kif __name__ == '__main__':
    + P# t. J' l3 s+ X( G3 N    dataset = get_dataset(bound = (-3, 3))1 X! y' k! C  r1 }
        # 绘制数据集散点图0 @! [( R/ W- g4 v# |& v
        for [x, y] in dataset:' D& f, N) e/ C$ s) N
            plt.scatter(x, y, color = 'red'); Q# s+ [0 n9 J" p0 s) T
        # 最小二乘8 U# t2 G8 f) U/ H
        coef1 = fit(dataset)
    ' y6 V) n& \5 P! c! ]    draw(dataset, coef1, color = 'black', label = 'OLS')! j$ c: m# H  l- Y- J$ f
    2 s! {1 d; i; c* u" ~8 y
            # 绘制图像" h7 \2 b" r, K" B: p1 ~* _
        plt.legend(); ]; Y9 K( J8 u& j
        plt.show()* t5 v6 W4 w4 e8 w* v' h
    1; }  n7 s  U/ c& b0 S0 O) N7 b4 X, y
    2
    3 ~) j/ l! `$ f37 m) f, ?0 o8 E7 ]* n
    47 _2 `# U3 P7 [6 I9 h
    5* @7 ^4 U) J; u# }1 X  ~) }3 A. O
    6, t1 I+ T: w5 |% {, w
    7
    2 V1 n' w( m* z: W4 v3 z8
    - R* K4 W) @2 Y2 `; M9
    : u( O! S5 N# P7 r( L) R0 j9 h10
    % Z7 H( G9 r" h5 a$ [0 m0 Y0 ~11
    ) o: |! e# D  B" c# d( u) I12
    ; |% I% W; F" L* [5 X% M( y6 \6 o& t4 l  _( z# p* R! G9 ^6 ~2 T
    可以看到5次多项式拟合的效果还是比较不错的(数据集每次随机生成,所以跟第一幅图不一样)。7 Z# z3 @5 _, J- I4 q# a  [. J

    / A$ O4 z  t. B) j2 n" b截至这部分全部的代码,后面同名函数不再给出说明:
    9 w, q  W9 [" \0 T* F1 K4 ~. P5 X+ W
    import numpy as np
    ( H/ X+ ?9 J+ M# K! a6 B  r; kimport matplotlib.pyplot as plt/ \- u7 Z  p$ W

    1 U+ J+ R2 ^- v8 V8 j'''
    5 n* q6 F# n  j$ @, R返回数据集,形如[[x_1, y_1], [x_2, y_2], ..., [x_N, y_N]]
    $ j9 u. g+ @8 O保证 bound[0] <= x_i < bound[1].
    8 s) [+ w$ i& C& C- N 数据集大小, 默认为 100: Q2 x2 j+ ?- [& r/ N
    - bound 产生数据横坐标的上下界, 应满足 bound[0] < bound[1]
    / X+ O/ r) R7 c! p7 x'''- [( {! V. R; f2 J* h0 N: T% q, o
    def get_dataset(N = 100, bound = (0, 10)):( u* R# }1 d8 W6 W# Z* v1 X3 p. T
        l, r = bound
    * h# r6 x  m0 c& S# z  n    x = sorted(np.random.rand(N) * (r - l) + l)  X8 ]( b7 ~" C6 w' x7 q
        y = np.sin(x) + np.random.randn(N) / 5
    + k, n9 q/ \! |; y' d    return np.array([x,y]).T
    8 I* Q# s% b8 M+ w
    4 r+ x# i- p+ N'''
    ( e! G6 E. r2 v4 Z最小二乘求出解析解, m 为多项式次数
    . P7 s, g3 J$ Q$ i最小二乘误差为 (XW - Y)^T*(XW - Y)
    - r  j6 W  l6 g- @( A" R- dataset 数据集
    ( M0 u8 E: ]: X: u7 Z$ U& z4 P- m 多项式次数, 默认为 5
    " x" X! I3 i8 K5 T6 c  q'''+ Q# x) b: M7 \, q# j
    def fit(dataset, m = 5):. c/ Y" a' ~/ T, j0 R! R1 C
        X = np.array([dataset[:, 0] ** i for i in range(m + 1)]).T
    , u$ [: u( q4 p5 w( T) B0 U    Y = dataset[:, 1]- ?4 H4 H0 n* Q6 u
        return np.dot(np.dot(np.linalg.inv(np.dot(X.T, X)), X.T), Y)# V: ]: x/ @" @0 n5 E: D$ D8 Y
    '''
    / Q% e: O' {4 P绘制给定系数W的, 在数据集上的多项式函数图像
    * S$ \! i& k- \/ u# x6 d- dataset 数据集% W9 y) B6 h+ d" y
    - w 通过上面四种方法求得的系数$ k0 A, O: ~1 _. L; F: P
    - color 绘制颜色, 默认为 red6 e4 P9 F3 Z8 a4 I# ]1 G
    - label 图像的标签
    # a/ S" ]6 _4 z  F" Z) y3 b'''
    5 l. I1 o  t; M; Bdef draw(dataset, w, color = 'red', label = ''):
    - m3 [0 v! P8 h4 V# w    X = np.array([dataset[:, 0] ** i for i in range(len(w))]).T: I" |- \  x5 G9 G
        Y = np.dot(X, w)
    " y5 E; u& p/ ^
    . R3 q( X9 Q3 s7 b8 W/ L    plt.plot(dataset[:, 0], Y, c = color, label = label)- k# P# I1 K0 m
    , v4 Q, C& m1 A
    if __name__ == '__main__':/ ^' `  C% c' p5 i3 M

    % O+ G* V6 ^4 Y$ ?) N  ~# i" L    dataset = get_dataset(bound = (-3, 3))/ ~- {! m3 w" [/ Z: G
        # 绘制数据集散点图
    1 O0 T2 c4 {% b5 I4 T. ?    for [x, y] in dataset:# j2 M( Y$ R( H7 t+ m% r
            plt.scatter(x, y, color = 'red')
    - A( Y9 N% g( y# C" K1 O4 ~% w9 K1 v; \; o! c4 s- S
        coef1 = fit(dataset)
    ( r+ D, K% Q) e. p# Q2 a1 I    draw(dataset, coef1, color = 'black', label = 'OLS')) L$ B. {6 f) p0 G% o# f! s

    " w& u6 m! }: d    plt.legend()
    , f6 P. {; ?( o0 A7 j    plt.show()2 j3 U1 G& I: g
    & S% }, o5 _1 d6 h
    1
      w, u* c# \% o$ V  j2
    3 G( f# H$ q" B6 D/ w  p3
    , f5 a; P2 d& f% f1 l0 X4+ W7 q6 p* c' ^' Q) y0 C) T8 M
    5
    ) P, r1 W4 W) ?) _) `2 |9 p! d6% y! u2 C$ a7 s5 @: W
    7
    8 K$ S- R/ @" _9 m) ?8 ~/ W8
    ; I& ~% F6 H8 r& r% _- ?* f9# v7 [) @1 b4 I; [9 H; i
    10
    0 T. p3 i& l( `: V  v' N$ V. m- c113 u& }, J6 w! d  g3 P; M* s
    12
    6 x0 w+ o! r6 g4 F; e13
    : h- P! G3 w9 A3 ^" [0 N14
    , G+ G- G) {0 ]+ K; L! n15. o- i% `( i! a6 `2 s
    16& [5 U& J& _0 `) _( a
    178 g* i+ s3 e" A9 B6 \5 z" k0 e
    18' ?/ g8 S+ M% X; l  q, L$ D
    19
    5 {; I  u) \) |" l$ Y' K20
    ; M! _9 ^) L% t) K: j- I; U# z219 Z9 o) z7 G! R. l3 T
    22
    4 K$ R9 d2 o% C9 G: E23
    8 b" U4 n6 x4 C( }& [. b* F24
    3 p  @; {/ g8 e) ]9 @3 ^. a25
    % d8 c7 k; L! @; H26. a$ t7 r$ y) g# u
    27$ o1 ~9 a) s7 W) Z0 G
    28
    & p% g# ~* U2 t; Y$ K29
    . s7 u* V7 S* P; M30
    $ B( V3 w3 j1 T& p+ P; E/ X31% _+ S+ M2 b! q- k8 V  k
    320 {+ X2 Z' K0 L9 d
    33
    5 n4 @3 _3 r8 y: ~34
    1 [# Y$ h+ D2 I, C1 H$ r35, a* l2 O& k* D+ c
    360 R; }" t; a( l+ x# k1 {
    37$ U2 z# r, N( Y  z
    38
    9 g8 W; M2 Z7 ~! Y1 v2 ]; g39
    9 D, y  k1 `6 B& a9 @' c  ]4 J4 a40
    ; h2 c& Z* V9 \! C41
    % S1 C4 a( `$ G5 I42
    : U( ^% x) l& M, O2 c+ h9 |43
    : t5 e* o- {7 u9 w4 `- G44
    2 s5 w- Z- \2 a0 d, t# o. I( S# O45
    2 \+ q! f1 z" U$ j) D46
    6 Q" H0 m8 A2 A; @& i6 Q+ x: S47
    6 b1 M5 y: L  n5 l2 [: m8 v48
    ! V8 x& L& l* b9 y1 P; Z49' N. m1 V# l6 H5 C
    50$ z: |1 B. ]. M7 s1 k* L
    补充说明) z: l8 n! i0 i: ~: Y* i
    上面有一块不太严谨:对于一个矩阵X XX而言,X T X X^TXX
    2 A8 y6 R+ Y4 ~" Y: L; N  t" iT1 M+ n* P6 H0 F. s5 K
    X不一定可逆。然而在本实验中,可以证明其为可逆矩阵。由于这门课不是线性代数课,我们就不费太多篇幅介绍这个了,仅作简单提示:
    - s. U8 M% g8 c2 l1 }7 y(1)X XX是一个N × ( m + 1 ) N\times(m+1)N×(m+1)的矩阵。其中数据数N NN远大于多项式次数m mm,有N > m + 1 ; N>m+1;N>m+1;* b+ @0 H; Q: L
    (2)为了说明X T X X^TXX ! F* f+ p5 C) z
    T
    / \+ I) A: g! v* y- n X可逆,需要说明( X T X ) ( m + 1 ) × ( m + 1 ) (X^TX)_{(m+1)\times(m+1)}(X % |0 N* V, j1 l' f* s1 g# o. H
    T) A2 C; o' i+ k
    X)
    8 p  {" z+ T& }6 e(m+1)×(m+1)
    $ P% G9 t% E1 ]
    $ W" T3 L4 s& `9 ]3 K# X9 B 满秩,即R ( X T X ) = m + 1 ; R(X^TX)=m+1;R(X $ q4 k; @) f% y2 ?  _
    T
    5 y& U1 }! s+ T* _" l% n# p X)=m+1;9 e" e2 a" ^% w: |" m9 Q( c* J
    (3)在线性代数中,我们证明过R ( X ) = R ( X T ) = R ( X T X ) = R ( X X T ) ; R(X)=R(X^T)=R(X^TX)=R(XX^T);R(X)=R(X 0 A; D8 y8 j! R" s! s
    T
    . k- W9 G2 n7 C3 L+ Z )=R(X
    , F' s8 G' _0 x% sT& L1 P/ O1 L" c/ G/ \+ a
    X)=R(XX
    # F# |+ C$ g& [3 [: N6 g( j: S! g& NT9 _2 n$ _7 K- I7 n3 \
    );6 k6 k; ~/ A1 P. Z
    (4)X XX是一个范德蒙矩阵,由其性质可知其秩等于m i n { N , m + 1 } = m + 1. min\{N,m+1\}=m+1.min{N,m+1}=m+1.
    ( ~1 C( U) r; j- |9 w
    3 t( X% r9 j6 h* M& ?3 B' o添加正则项(岭回归)
    # {8 b/ t6 j$ i& Y3 Y5 _: @% ^最小二乘法容易造成过拟合。为了说明这种缺陷,我们用所生成数据集的前50个点进行训练(这样抽样不够均匀,这里只是为了说明过拟合),得出参数,再画出整个函数图像,查看拟合效果:/ P! f2 Z. V5 P( I, [7 g* w$ w& d
    : ?% G* b% G8 n' `
    if __name__ == '__main__':
    7 j0 [4 J- P  B$ h* i    dataset = get_dataset(bound = (-3, 3))
    7 A0 d  S* W% K% z( }    # 绘制数据集散点图* A" `) t: ]4 ^; s
        for [x, y] in dataset:
    8 H) i; g" ^+ w7 V; h$ D- y        plt.scatter(x, y, color = 'red')
    % I5 H$ |7 |: K' C+ b) z    # 取前50个点进行训练
    * K, \. N8 T% }* ?7 F% H2 ?    coef1 = fit(dataset[:50], m = 3)
      b3 [  a  n7 M& y) V    # 再画出整个数据集上的图像% q, n, P7 Z5 G
        draw(dataset, coef1, color = 'black', label = 'OLS')
    9 D0 k/ Q' v9 |- p- }/ `* z1' b( c0 y% ^7 T) P1 M
    2+ n7 o( Y& n' @+ c7 r. O
    3
    7 B1 c: ~* _% A( B( W( d4
    4 k- V# q6 D' {5" G4 p$ c& d% w: o& [% A9 _" E
    6
    # R. J. q" m4 Q) Y( N! R2 i6 V4 y7
    $ B2 X# W) e8 c. a+ K8 v8
    + r6 s  o2 _* x! z; Q. m; @) L9. ~. \& H" f4 M" S* ?/ I) r3 W) `
    " N. a" s) u& y: H5 U
    过拟合在m mm较大时尤为严重(上面图像为m = 3 m=3m=3时)。当多项式次数升高时,为了尽可能贴近所给数据集,计算出来的系数的数量级将会越来越大,在未见样本上的表现也就越差。如上图,可以看到拟合在前50个点(大约在横坐标[ − 3 , 0 ] [-3,0][−3,0]处)表现很好;而在测试集上表现就很差([ 0 , 3 ] [0,3][0,3]处)。为了防止过拟合,可以引入正则化项。此时损失函数L LL变为
    # v$ Z+ U$ T8 M$ H6 j( i$ ML = ( X W − Y ) T ( X W − Y ) + λ ∣ ∣ W ∣ ∣ 2 2 L=(XW-Y)^T(XW-Y)+\lambda||W||_2^2) y* }2 W- A( o6 O& R% W+ O2 t0 ?9 Y, _
    L=(XW−Y)
    5 a0 b: k6 i4 u( y7 @+ \T
    5 Z: q' t* r+ S, B9 V3 j (XW−Y)+λ∣∣W∣∣
    ' B$ U; E1 {+ D2# K  T- h8 C1 G  ^; W8 j% k
    2# o( `, ?4 f- n- h4 c. r

    6 @" _! @+ `* T( k: C4 r. M) _/ H8 |6 ?; Y
    ( l) }7 C; Y2 V! `( v
    其中∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ 2 2 ||\cdot||_2^2∣∣⋅∣∣
    " ]+ Y$ }: ?, n3 h* n8 E23 ], f- H  O+ n: O) {- K
    2+ x  m2 Q& N) ]9 C! s+ p3 C3 I

    ! u& ~+ t* @4 j0 t9 B7 a' u0 v 表示L 2 L_2L
    2 {4 Q; j" B. h# k0 q1 E2
    ; H5 e" ?+ w2 X' k8 O
    5 w4 Z6 g; c3 O) b. l4 }- U; U2 x4 y 范数的平方,在这里即W T W ; λ W^TW;\lambdaW # ?9 I5 Z1 \2 z% e5 G
    T
    % r  Q; v5 A1 o3 R( A. Z3 g# [ W;λ为正则化系数。该式子也称岭回归(Ridge Regression)。它的思想是兼顾损失函数与所得参数W WW的模长(在L 2 L_2L & J0 I  `. @7 {# d( I2 S- I+ W* ^
    2% L9 w1 k. c* r. M+ e- ~
    , L8 R+ ^; |, H" |; u. _
    范数时),防止W WW内的参数过大。2 m6 U1 k5 A+ C) K7 c
      g7 r* f5 I% y. K$ K( u! `9 l
    举个例子(数是随便编的):当正则化系数为1 11,若方案1在数据集上的平方误差为0.5 , 0.5,0.5,此时W = ( 100 , − 200 , 300 , 150 ) T W=(100,-200,300,150)^TW=(100,−200,300,150)
    ) r: J/ h& s- \) }T0 v/ o& C5 A+ Z. P1 D
    ;方案2在数据集上的平方误差为10 , 10,10,此时W = ( 1 , − 3 , 2 , 1 ) W=(1,-3,2,1)W=(1,−3,2,1),那我们选择方案2的W . W.W.正则化系数λ \lambdaλ刻画了这种对于W WW模长的重视程度:λ \lambdaλ越大,说明W WW的模长升高带来的惩罚也就越大。当λ = 0 , \lambda=0,λ=0,岭回归即变为普通的最小二乘法。与岭回归相似的还有LASSO,就是将正则化项换为L 1 L_1L 4 _6 b) K, x) @: q" ?5 |) U( U2 F
    17 s5 I4 }1 t" D, C4 m( K: Q8 W

    , v+ \: S, S- \$ J) S  p 范数。* G+ ]1 x% t" r$ S  Q, _: M9 C

    ( i9 j) R9 p0 V' T重复上面的推导,我们可以得出解析解为
    $ ]' K0 Q3 h/ [# L6 Q6 e- vW = ( X T X + λ E m + 1 ) − 1 X T Y . W=(X^TX+\lambda E_{m+1})^{-1}X^TY.8 M5 F+ F# @  I, U
    W=(X
    / s8 |2 a) @: q& Z+ l7 R0 f# u& gT. M  O7 J% @  v$ {# n( l
    X+λE
    $ N$ z% P! |  R4 U+ Sm+1
    ; S0 F" S$ I3 g: t+ m
    ) h; W9 M" P% `. K$ { ) 0 w$ v3 o6 N8 r% t( {+ y
    −1+ f9 J# N. L% r+ i
    X
    8 S9 V- ?5 U# N* K9 @, G- RT
    3 e1 C+ n: M' l/ t Y.
    , J) L. m* M- M9 S, U! V% i7 i
    7 `: Z8 u9 e2 o" h, s其中E m + 1 E_{m+1}E
    ) }( Y/ v. c# m  l1 ^m+1  p" g$ p. _# I( M" S
    & X( m. @- T7 d% o
    为m + 1 m+1m+1阶单位阵。容易得到( X T X + λ E m + 1 ) (X^TX+\lambda E_{m+1})(X
    ( {* V$ M# f2 V6 V( h& ST
    9 ?4 X% H. N3 `4 u8 V. f7 Y* F X+λE
    3 t1 P  L; P9 J$ g( T6 b# Qm+1
    3 t5 V; ]" J+ j4 z7 W  M; J/ l& h  v8 f! H7 ?$ f
    )也是可逆的。
    6 U( u/ u7 f1 Q$ ^9 U  }3 t1 u/ K0 \1 j0 B
    该部分代码如下。
    2 _% G+ A, l$ a$ H/ A& J8 H) a
    1 p* U& i0 f( [7 h! Y" ]' f/ E: {'''
    8 D: e% |9 Z" ?' F4 B岭回归求解析解, m 为多项式次数, l 为 lambda 即正则项系数( k$ A" {: \0 s3 }$ ]: i# u! y! h
    岭回归误差为 (XW - Y)^T*(XW - Y) + λ(W^T)*W
    2 \0 @( F& p! T* a& u- dataset 数据集9 y- ?) W8 T% T# a3 h5 }, S
    - m 多项式次数, 默认为 5
    3 ~2 U( R, q8 B) b2 e+ T2 V( I- l 正则化参数 lambda, 默认为 0.5
    5 P( V9 V* c' \8 X& o) {'''8 {% e( ^, ^* A
    def ridge_regression(dataset, m = 5, l = 0.5):
    : I. Z, D6 g! F+ M, F, S    X = np.array([dataset[:, 0] ** i for i in range(m + 1)]).T
    / F3 {* \* I2 J& l$ v) p  u& D4 n/ G    Y = dataset[:, 1]# E7 q$ Q7 g1 q3 R7 ~
        return np.dot(np.dot(np.linalg.inv(np.dot(X.T, X) + l * np.eye(m + 1)), X.T), Y)
    0 T) Y' h4 T/ o" g! L" ^4 \% q+ s! \$ b15 l! A9 D7 F2 T# g# ]' ?, O
    2( }- ?2 s$ x8 k7 }0 `  ]
    3) d  Z5 W8 T" A! [" P8 I) R
    4
    2 T: F# B8 ?' o" [7 d53 e" f; L! t5 Y) r, p; w
    6; n3 }5 p0 v% a! l1 {& j( ]
    7
    6 D& _# ~$ x7 M, a. t8! f+ f( b9 k" @+ v8 B
    9
      s  r! i1 x' }/ L2 X10
    5 h* h9 b3 y+ e11
    6 A; G7 o9 Q$ z( J& P两种方法的对比如下:. |1 r. |9 O2 L) H& E
    3 {  f! I4 t0 k" B7 w% j8 e
    对比可以看出,岭回归显著减轻了过拟合(此时为m = 3 , λ = 0.3 m=3,\lambda=0.3m=3,λ=0.3)。, Z2 ], _3 A8 r9 V) ?' ^. J

    * f' \# V: M2 g( w# K& j梯度下降法
    / ~+ K( s+ r, Q3 i. u梯度下降法并不是求解该问题的最好方法,很容易就无法收敛。先简单介绍梯度下降法的基本思想:若我们想求取复杂函数f ( x ) f(x)f(x)的最小值(最值点)(这个x xx可能是向量等),即. j# V+ d$ P. y0 |; b0 c- S
    x m i n = arg min ⁡ x f ( x ) x_{min}=\argmin_{x}f(x)$ ?% M4 S1 ?# ?; ^
    x
    ) H* F1 J/ a% N4 `min
    5 q: M8 R) p1 ]! B9 B$ O# N
    7 R9 S9 l3 G* a, X = $ h: P/ e8 c& g8 P) j" W
    x
    8 ?' e& e: S; e7 R: @  Y( r% Xargmin8 [+ @! x. }% `" M' W

    , [- _6 s' I' T3 z, y f(x)
    + ?1 ]/ Y4 b! x# V6 M1 h
    * r$ p  e, I+ D( k6 ~' l" C; b梯度下降法重复如下操作:
    ( z& T( O( m( @  V* K1 H+ y(0)(随机)初始化x 0 ( t = 0 ) x_0(t=0)x   x  I5 w% k* a3 `5 W( D7 W
    0$ f( L8 A: Q; {) o) H+ {+ c' l# M$ a6 @& k

    - ]  v( o4 Y) E7 l (t=0);, y' p5 t, G5 X4 G1 E# x7 z
    (1)设f ( x ) f(x)f(x)在x t x_tx
    6 k# o6 J, {3 j# Bt& R" u) s$ Y! u; a5 t2 u' _
    ! D/ ]: {! d8 }- A& }. L
    处的梯度(当x xx为一维时,即导数)∇ f ( x t ) \nabla f(x_t)∇f(x
    " p* t# `) ~  X% M5 V# Q  u! i1 Gt
    7 [& @; X/ N, h' J1 f0 b# C* M/ J- J
    );. [& |% j( v' k, D, S
    (2)x t + 1 = x t − η ∇ f ( x t ) x_{t+1}=x_t-\eta\nabla f(x_t)x , l8 V6 U- i' E
    t+1
    # h9 s( |% Z$ H( Z- M( a- W0 x1 d: y3 D$ B% F( i# ]" z  w
    =x
    $ J# K. U% M/ M+ P& @$ R0 q( Z, s$ }t( H3 `7 W1 j: q1 q  S+ r

    3 v1 X/ s- P4 M$ M9 q% U −η∇f(x % R" ~2 U8 ?; `/ i& p
    t
    : ^- I: U4 M$ U& ?$ B) k9 Y  y
    " x5 m( ^- q- ]6 K* w0 M )
    1 A) Y8 l; d: W! Y(3)若x t + 1 x_{t+1}x / P' R$ b, S3 L4 W
    t+12 y+ Q" x3 E7 e, I; m! s& }2 a" c
    0 W4 o  F$ `& j
    与x t x_tx
    : w5 ]' j* R, z$ O8 `, U- ^t
    5 Y4 B0 T- B% y2 z' T+ {
    " `- X; u7 @6 q0 L- i 相差不大(达到预先设定的范围)或迭代次数达到预设上限,停止算法;否则重复(1)(2).! S2 ?3 U- Z* [$ F. `4 N0 k

    ' Q' ^, \# b# O; X8 n; ~+ y8 d其中η \etaη为学习率,它决定了梯度下降的步长。
    4 {$ x+ A  b# m" z) k2 s7 x, i1 Q下面是一个用梯度下降法求取y = x 2 y=x^2y=x , P" u+ |) [! m: K
    2
    / z: h) w0 t) K3 F: b 的最小值点的示例程序:" e) A# A* }" R. T1 G: I
    ' m4 {1 n, h# [, _) J
    import numpy as np. P* N: W7 o1 h6 m* @9 A
    import matplotlib.pyplot as plt
    0 P; E  l  a3 N. T8 [: T( x9 p2 s& d
    def f(x):
    1 S- f( G1 m4 q( O7 D7 d    return x ** 25 z' w4 F! d. @1 I0 P6 i  D
    1 N: I+ j; r: M4 n
    def draw():
    & D% Y7 q- C# A  g) Y    x = np.linspace(-3, 3). p  @1 L# B! Z$ `: ^. s. a
        y = f(x)
    3 n/ E5 G: A3 l9 P. v+ m    plt.plot(x, y, c = 'red')
    - m# L3 O8 b& e, x  I. X: d, R
    & Y7 Z. s& W/ n- u1 Wcnt = 0
    $ J0 S9 C: P4 t# 初始化 x
    $ e7 b7 R* G% e) v7 B- Q; Nx = np.random.rand(1) * 34 G6 w9 w) r2 Z# m# `
    learning_rate = 0.05
    / G" M7 d/ k5 V9 R2 p9 C
    9 j4 O/ R( _/ }: |6 T) i' lwhile True:
    ) ?( l, Q! J9 E: B9 u    grad = 2 * x
    - b, d( {8 ^5 m* j    # -----------作图用,非算法部分-----------* Q/ C$ L1 `' G- s0 u! D3 ^6 L
        plt.scatter(x, f(x), c = 'black')% B; O/ l! s$ E; _" L
        plt.text(x + 0.3, f(x) + 0.3, str(cnt))4 M: }' E# L9 g7 z: P+ K
        # -------------------------------------; N9 H+ y/ F( m8 a
        new_x = x - grad * learning_rate, ^6 K2 m+ |8 U# M
        # 判断收敛
    - p/ |; s4 e0 {1 L, S( S    if abs(new_x - x) < 1e-3:' t/ {( w7 I& v& p" e3 _7 O
            break3 p* i8 V  [8 `. x4 {" F' p
    1 ]/ Z. \7 P3 M5 R0 j7 z
        x = new_x
    9 J6 z' ]% m+ q$ q" \  N9 z; X    cnt += 19 A+ r  e! Z) P) d" s$ _
    * K  R9 M" s- G$ |2 u3 i
    draw()
    & h+ @# W  g7 ]' ^, D' k, y5 Vplt.show()
    8 y5 u* x, d+ u8 h* V* u; V0 l& N2 G3 \- h4 }
    1
    . |- @8 ?4 s. Y2
    % }2 Y$ s: j8 z8 n5 x3# h; R9 R2 ^  ~, ^0 b/ S
    4
    % l8 @- I2 N# p5 g- u# `7 Z54 f" C( D8 j, O) Y4 \" L
    6
    2 V3 G% ~* e% S7 I73 W9 y* @& @; u, t1 R4 E8 g9 b1 r( _
    8
    3 ]8 B7 D; M! T7 ?: z4 E9
    : Z$ B3 B# J  d, k- Q  U- r10
    / X/ Q4 z% R# d2 \: D0 G3 H7 {7 k# X112 F/ @$ \" @' g2 W
    121 [; J% v: R. W% q& r
    13" M# {6 c+ v+ Z4 Y
    14; ^( U% p3 Z8 H* u0 y( y) x
    15
    1 z5 q# K/ S( |) w: i! N16' h, T' J, Z8 q) |$ Y  S
    17
      @  O  F! k8 ~  A: Z' {" L18  K$ |4 w2 f# `6 J# \
    19
    ( R1 o: U7 d" {8 J' u9 y: K20' o* o! {; ?! ~4 v
    21
    $ `; G! h& j1 w/ y1 ~3 Y22  A0 {% P  i$ n  c9 h8 _$ M
    23% [6 V. T' Q: |  u: `
    24" e0 y! d  M! R3 G* T# D- }, X; J. A
    25
    - d( S1 p& a& E% {: \269 w. B; k5 D- r) @: m
    278 K) q' B/ V3 o' T$ B
    285 u& z5 ?1 ^, O: a
    29
    ' U2 `" u( q1 @$ ~7 c30
    / x) `7 a: I$ P/ P31
    . `# b1 N' P& Q( S: u( }32
    8 y0 p7 p8 w7 i1 `: L9 J1 x- @
      ]0 N) \8 D8 \( ^1 d7 m: G4 G上图标明了x xx随着迭代的演进,可以看到x xx不断沿着正半轴向零点靠近。需要注意的是,学习率不能过大(虽然在上面的程序中,学习率设置得有点小了),需要手动进行尝试调整,否则容易想象,x xx在正负半轴来回震荡,难以收敛。4 Y4 Z3 ^/ C+ k8 A1 J
    ) z9 f9 y/ w* M; w
    在最小二乘法中,我们需要优化的函数是损失函数( ^6 \2 K- h4 m% z% y3 A
    L = ( X W − Y ) T ( X W − Y ) . L=(XW-Y)^T(XW-Y).$ q' N( v5 o2 `, J( N
    L=(XW−Y) % \4 j+ \8 W+ ~4 J) J5 \
    T1 t7 ?& X7 E/ }7 z) t
    (XW−Y).
    . N0 L2 T# Z/ f: P
    ; \6 I. M( Z  I( f% P- K: u2 V+ {下面我们用梯度下降法求解该问题。在上面的推导中,
    & R: w& ~' F! z8 B1 D# [, }∂ L ∂ W = 2 X T X W − 2 X T Y ,1 F2 r: x* F6 I$ N: g% z' e
    ∂L∂W=2XTXW−2XTY
    ' f3 C4 J7 j3 S. {, q∂L∂W=2XTXW−2XTY
    " N8 ]5 Q/ _+ J5 h,0 O" }: y" a' H" S
    ∂W$ W7 z0 a8 o& o9 c6 v* B
    ∂L
    ; c4 T3 E% h/ y: d3 @, D
    2 M1 [, ^  O( L) Z) J =2X 2 x# z- Q, M+ e- {; U4 r
    T& b) c+ `) X# F1 \( y; d
    XW−2X ) G; u5 |% ]7 h# H  T
    T
    : B0 D0 j. @; H9 @. W Y9 I4 N- T/ E2 b( X! w) O0 G

    9 e7 `( {' v/ @2 W; y( U$ t ,8 w0 f- b% g* `5 Y0 X" ~/ Z
    ' k& X2 E7 q3 ]! e5 u8 K3 ~+ B8 d
    于是我们每次在迭代中对W WW减去该梯度,直到参数W WW收敛。不过经过实验,平方误差会使得梯度过大,过程无法收敛,因此采用均方误差(MSE)替换之,就是给原来的式子除以N NN:% }) a1 j2 E+ K: C9 K" k
      ~, J4 e1 D# H* N
    '''5 g2 A+ T' w( Y$ q+ K+ T" X
    梯度下降法(Gradient Descent, GD)求优化解, m 为多项式次数, max_iteration 为最大迭代次数, lr 为学习率9 z2 c9 b3 b* n5 G( T# |  R; A
    注: 此时拟合次数不宜太高(m <= 3), 且数据集的数据范围不能太大(这里设置为(-3, 3)), 否则很难收敛
    9 \' h+ Z- U+ ^% X5 Z; ?  T1 m! B- dataset 数据集
    * p: d6 f: D  I/ X9 ^* u& v- m 多项式次数, 默认为 3(太高会溢出, 无法收敛)( A: b! i2 i7 ~* A
    - max_iteration 最大迭代次数, 默认为 1000
    3 e; w- d4 M8 `- k. g7 r2 N& L- lr 梯度下降的学习率, 默认为 0.01; N) l) I! ^/ G6 ]: D6 o
    '''
    * W5 _5 L& Y. w% e9 @( Hdef GD(dataset, m = 3, max_iteration = 1000, lr = 0.01):
    # o0 |) ~0 T. p6 K# n    # 初始化参数! j/ Z/ c! D! s2 g/ e
        w = np.random.rand(m + 1)" ?: p% m7 ?# g2 W8 i, o
    ; G  S  r* f9 S- }& m) V
        N = len(dataset)5 P) z4 f3 r6 B
        X = np.array([dataset[:, 0] ** i for i in range(len(w))]).T* e/ w$ B: \0 U
        Y = dataset[:, 1]
    . n! V2 R8 ^& E" B9 c" d  n; R
    9 \/ @& o9 P2 Q2 W6 K, t    try:# m% F6 y4 v3 ~% ~; e6 q
            for i in range(max_iteration):' C, B- u( d6 d6 \* `7 {5 ^
                pred_Y = np.dot(X, w)+ J* Y9 w; Z; S
                # 均方误差(省略系数2), K, x; k( R+ n% x
                grad = np.dot(X.T, pred_Y - Y) / N
    , w  b% w/ p* r& U            w -= lr * grad
    8 D* d9 C: e# s+ \! q    ''': e5 z. {& i7 ?8 a8 }
        为了能捕获这个溢出的 Warning,需要import warnings并在主程序中加上:
    . ?% ]3 @' W% ^9 p    warnings.simplefilter('error')8 Y6 h- t  X& X" r; c9 x& b
        ''', T, @% m' B) {- R" g2 z- p
        except RuntimeWarning:
    3 Q4 M. v$ ]4 ~, e5 [- J& p        print('梯度下降法溢出, 无法收敛')
    3 g$ I# j# F5 x) e* [
    . U  }$ Q2 ~$ ?* q! X7 ^    return w
    9 B! Z  Q2 x% {  K; E: l6 z5 g( K* p6 s3 ^2 Y! A, V: j
    1: S0 n6 G# P4 c  B* u
    2* K( W- u8 L! [' c0 z8 `
    3% a: X, o; n6 h# B9 M. I3 N  k2 t8 j" W
    4" w  P3 N5 v8 d7 |+ |
    5( B0 B3 \# [3 [4 p9 w& B: H- E
    6
    " \' N' W9 z; w. B7
    * x; R7 i( \% F% e( r; P) b' _4 G8
    ; ~, \* d# S7 v, x9
    , `( ~: c8 |; E- v) _' {5 l10% F6 R* A. H' p  a' ]& `  z6 N
    11* J  I4 W0 k, K( F; j  l' z
    12) Z1 G+ \6 Y: ^+ w8 Y8 K# \2 C
    13  }8 g0 |1 Q9 @6 c: }- {: L
    14. o/ P% A& }3 i
    15
    4 b& o" y) e, L0 ^0 e+ o  G16- l/ g* u* @& t  V7 a( X) u
    17( p) u; G1 h7 ?$ _
    18! h" ?( C$ _/ m; X* A
    197 D( m" ^$ ]! ~* n
    20
    / j7 I  S. v% I  j21
      v- Y" m2 Y, ]# K! N! {# ^! V22) c3 C6 [6 l  Z2 O& h0 f& s: x
    231 U# A3 y8 Q3 y0 @3 S
    24
    * u" p2 I2 I& T$ @- Y251 P8 C5 @" E8 [# k* ?4 `! k1 e
    268 ^" v1 C! y7 A* \& @& T; T
    275 v: h& J$ v4 A* A+ Z2 a4 e$ M
    28
    & J3 G) {/ Y, L/ c. _! E29* k8 G: g5 A3 W0 A/ ~5 D
    30
    $ I4 c6 T# G$ F$ h, w  b, I+ B这时如果m mm设置得稍微大一点(比如4),在迭代过程中梯度就会溢出,使参数无法收敛。在收敛时,拟合效果还算可以:* x9 g5 L3 C' r5 I9 y: i

    ' q4 B  \2 m+ f* W% P# B$ F# ]$ A/ D. i" B! m* @' ~9 i
    共轭梯度法( F7 y, M* f1 j8 o9 d
    共轭梯度法(Conjugate Gradients)可以用来求解形如A x = b A\pmb x=\pmb bA
    4 R2 e0 [: l* r$ B6 w" m2 jx. C3 @8 v7 R% Q  d$ s4 C
    x=
    - T2 B% w1 {* r. [( e( Vb
    ! o3 X. Q2 f& W8 {8 S! r* E" \, ?b的方程组,或最小化二次型f ( x ) = 1 2 x T A x − b T x + c . f(\pmb x)=\frac12\pmb x^TA\pmb x-\pmb b^T \pmb x+c.f(
    ( y. N6 M% V* J1 Vx
    - |8 Y$ G/ V- B" jx)=
    : S( J( A, c9 G- L2* ~! v% V9 ]4 c, A( r
    1
    2 G8 \7 z5 B2 U6 v! A) L. k! g
    7 c$ N% p$ B' m& Y6 ?1 u) C" y& |' T# r
    x" x* m0 h. z- u2 F8 K6 k8 r
    x
    / _3 h5 F1 b% K% V$ K; yT2 i$ `+ ~& z2 \2 o7 E
    A8 S8 F! J' {0 m5 [  Y0 U
    x1 w/ p. I, o" J3 {0 o) g% U
    x−
    8 _9 D8 r. v' A4 L8 Q0 f; P( W, {b. N- }7 |- q7 v, C
    b
    , l5 [) u7 m7 e: w! h# @T
    8 p( l! f4 c. ]; h4 P  D' K
    7 Z9 Z( o* D  ?; r$ ]x
    : w3 Q2 A! @; n7 u3 hx+c.(可以证明对于正定的A AA,二者等价)其中A AA为正定矩阵。在本问题中,我们要求解, R5 }2 c! M% X4 g: H: @% _+ C( ~
    X T X W = Y T X , X^TXW=Y^TX,
    # S9 N  [! O- [/ |' m; R( UX
    : q1 ^* x' O3 E/ p2 |: cT& r, l( N7 f1 ^8 M6 f3 _( ?& G
    XW=Y
    . Y$ C  r, C5 i" Z9 U9 \8 WT
    7 ]5 B4 W9 h7 R9 I4 K X,7 g. Y4 j5 f7 K7 @
    : l( Z0 \; y3 K' R
    就有A ( m + 1 ) × ( m + 1 ) = X T X , b = Y T . A_{(m+1)\times(m+1)}=X^TX,\pmb b=Y^T.A
    ; ~1 O& A; \9 [: q# S" f(m+1)×(m+1)' V1 q% P5 s( h* z4 h

    0 M$ z0 `1 _  t) C$ @$ X =X
      E+ p0 D9 I0 {" Z8 YT$ k% }$ J5 \3 X9 v& _
    X,
    ( j  b/ }6 j3 b6 ~- Qb
    # @4 l' G6 A6 k, tb=Y
    4 L% O8 i' L; i) U, HT. q1 c: R- _7 T( R0 q) ?
    .若我们想加一个正则项,就变成求解$ _7 K- D( M3 n: B% a7 J, @- G
    ( X T X + λ E ) W = Y T X . (X^TX+\lambda E)W=Y^TX.
    $ v" n2 J$ }# V7 `(X ) ]. [6 m7 b4 {
    T% A5 j9 Q* s  R
    X+λE)W=Y # _( D/ C7 J# s$ R1 D  O( Z8 ~8 }3 `
    T! [- S& Z; M0 W' Z# t1 ^3 m
    X./ k0 {3 X7 K) t1 b
    1 ?- d4 h( k# c
    首先说明一点:X T X X^TXX 7 b, }/ G/ i4 a4 W4 }2 y# }, k
    T# b6 @  L# Q) }7 ]; h) L, D- x
    X不一定是正定的但一定是半正定的(证明见此)。但是在实验中我们基本不用担心这个问题,因为X T X X^TXX : [9 P0 k$ y+ R3 W6 X
    T
    8 q' r  ]3 s' m' I& ]+ a1 G; N. u X有极大可能是正定的,我们只在代码中加一个断言(assert),不多关注这个条件。$ t7 a2 [# Z- e# n! Z! X! A9 B
    共轭梯度法的思想来龙去脉和证明过程比较长,可以参考这个系列,这里只给出算法步骤(在上面链接的第三篇开头):  A  @$ f5 N9 d% o% e

    " O+ R8 b6 o/ k7 Z! K, G(0)初始化x ( 0 ) ; x_{(0)};x
    ' Q0 n6 h' d: [0 _$ g0 I(0)
    8 U$ F& k2 {  j; M5 l* R$ }2 D8 Y
    ;2 E) z4 _2 N+ y% y% C
    (1)初始化d ( 0 ) = r ( 0 ) = b − A x ( 0 ) ; d_{(0)}=r_{(0)}=b-Ax_{(0)};d . U% D9 c& P4 |1 g* a) T' C
    (0)
    # b' X( I9 i% y- D: b0 f; h" `" q1 [. Q' H1 i' V- Z
    =r
    ! d$ C" L9 e# ^- e8 x& Q7 [6 q(0)
    , ]+ Z$ n$ M# k  m$ w
    : V6 r7 R. V" E5 m/ H- K. Y =b−Ax 7 p& ~1 t- p5 o& Y2 P! F  m/ \+ C
    (0)
    ! B; @& c0 I8 e) V6 g
    4 Z9 `7 [$ c, L/ \' O2 A2 x ;* Y9 G' J/ b/ E. j9 V6 X
    (2)令5 x) q! t$ P7 p; ~- {
    α ( i ) = r ( i ) T r ( i ) d ( i ) T A d ( i ) ; \alpha_{(i)}=\frac{r_{(i)}^Tr_{(i)}}{d_{(i)}^TAd_{(i)}};
    . b( W" p% q" e3 [$ Rα
    , F/ F4 c$ u4 v* G(i)
    ) n3 S. b! @0 U0 y# O( Z  P. D  E" z' b" N0 U- `" _' j/ D
    =
    3 }# h# ^0 v+ l2 ld
    4 O8 `0 d9 Y1 f- k$ A3 J" X. Y# N(i): A' V6 g0 x6 u' P2 ?
    T) T5 Q# |& Q) G$ M) [4 y! }7 Q

    3 @* c  v8 `* o Ad
    0 i' |7 }9 A2 b3 t/ I  C9 T* {(i)5 m! o5 C6 o8 A$ C- h% E. `

    2 o6 @# A9 Y! v! m* F3 E2 X
    1 z) ~3 g! t' D0 fr
    : i3 ]2 t% ~4 G0 y1 s% h! q(i)
    8 w) d, J7 j& W% P5 s4 `T. {9 }: r- ?+ z/ F$ A! A3 `! j

    " J  _# m9 ~  S# u1 c/ g r
    . d5 ?$ B2 L# s7 b(i)* E% i, F' x$ @3 Y" P% J
    ; w, |2 _" ^' H+ W! c6 X/ b4 z
    ' x: D: Z) \& h. x0 |
    3 X) Y# r  r& L7 Q9 D
    ;
    5 @/ ]/ ]/ U! E$ g' {- |; z1 K1 B! v. I6 w% Q5 u
    (3)迭代x ( i + 1 ) = x ( i ) + α ( i ) d ( i ) ; x_{(i+1)}=x_{(i)}+\alpha_{(i)}d_{(i)};x " g* W7 H9 a* ^$ }! P* _0 }
    (i+1)% ^9 w  Y" f! X, ]9 Z  v
    * T, W1 o! g/ y: b. g: ~! f9 S/ _- ~
    =x
    - M1 m; l' w( n! N( L8 `! o/ V. P(i)8 `: |  o9 Y) Y
    3 @$ j% f) q9 d, }* b
    ( O0 \' l: \* q! ~; I
    (i)6 \' g4 Q1 q: ^- k9 K6 V7 n+ V

    * m0 D7 E2 N5 x. I9 e: s d   |/ k+ B: p+ [* G0 D& e
    (i)0 x$ e5 W& W8 d7 W' J

    4 I7 Z5 R- y: U) ^0 ]5 Z ;! @4 ]; I2 v  Y0 g2 T
    (4)令r ( i + 1 ) = r ( i ) − α ( i ) A d ( i ) ; r_{(i+1)}=r_{(i)}-\alpha_{(i)}Ad_{(i)};r - v: H9 z& C9 G9 z& L4 g
    (i+1)
    + f9 ?2 Y  e; ^6 [. I% d' }
    ' D1 u3 G$ _" `  V" l: H =r
    6 K8 q1 J0 U+ m(i)
    # ]# ^8 P2 K; e4 H0 u$ _
    . Q2 y. x* C) x: p −α
    * Z( b5 a% N% q(i)
    , _) |/ f+ f/ o! e) \) j2 A! x" i5 z; @5 d$ u1 L
    Ad 4 M9 B8 T& d+ K
    (i)
    3 H7 C" N8 u! j8 Z* |  K
    6 Y4 K& _3 H2 k0 u$ t- `1 { ;2 o/ B: M6 z; o2 O, B9 A& |+ c
    (5)令
    ) I  y3 L7 X6 w7 O4 |2 e- n; dβ ( i + 1 ) = r ( i + 1 ) T r ( i + 1 ) r ( i ) T r ( i ) , d ( i + 1 ) = r ( i + 1 ) + β ( i + 1 ) d ( i ) . \beta_{(i+1)}=\frac{r_{(i+1)}^Tr_{(i+1)}}{r_{(i)}^Tr_{(i)}},d_{(i+1)}=r_{(i+1)}+\beta_{(i+1)}d_{(i)}.) L$ h0 @/ P: G
    β
    8 r- j! w+ ]& z& Q+ T: I(i+1)/ Z4 b+ {( `% v
    - h1 Q' j9 \: c- G: p1 n; F
    = 8 ]& p/ p! K! a
    r
    % C. V4 U/ z& E1 a# [(i). w- u! R! X! q( {5 `$ v  q
    T
      C4 E7 [* y" O
    ' C. m; T6 c4 m9 L) D r - S+ _: R, B# |0 n: ^, E9 t- L
    (i)7 h; s; ?# l3 y. c4 Z; N+ n

    4 b0 J; O8 m- g$ p5 |
    0 j% M- T2 u  {8 H7 cr
    3 [& x2 R! t5 A0 I  z6 i+ d6 [& l(i+1)* Z5 C; ?7 M+ z/ h, w$ E" W
    T
    . m1 ?5 Q+ S5 u# K* L8 H6 o& I0 \0 K5 w% |( i1 f0 w
    r
    % Z; v: k/ L1 N3 z* \, z! A# a/ s(i+1)
    5 @" U  t9 K/ n; f
    / A* s/ P) ^6 X9 @  F' q1 `# M& k% e
    4 R4 e; k- d0 R+ J$ N6 [
    6 r) O/ ?! ^( X5 W& K) ~2 J ,d
    0 u" Z: A+ _, `! L0 G& q7 x(i+1)
    , _/ N' U$ @" q3 A3 n) e! v+ {# \& \4 V- v" _: u- F
    =r
    ) h8 s% W$ f- F9 J(i+1)0 r/ W  j' S* X% N6 [5 S3 J& S6 L/ _
    1 V! C8 ?. w6 w8 }8 p
    6 C' ?' N2 o" x5 f
    (i+1)+ ]# b# E" ]% E  F3 C
    * i& q) [9 p0 d, S2 f( ^1 Y3 L& [
    d 7 ^" l$ I8 ]) G4 V* E! h
    (i)2 {$ P' ]  w) Y  H, U& w& H

    3 Q: J% r/ ?8 w6 {6 U .
    & E7 j4 J* H7 t% |; n! K/ v( H: M0 N
    (6)当∣ ∣ r ( i ) ∣ ∣ ∣ ∣ r ( 0 ) ∣ ∣ < ϵ \frac{||r_{(i)}||}{||r_{(0)}||}<\epsilon
    & c" l7 V; C7 e) c  ~∣∣r
    ' b' X/ w' {- I4 W. ~(0), Z7 K9 a$ H6 d6 {) Y/ X$ J
    ) I4 k+ s- A( Q' V- P8 r0 Y
    ∣∣
    1 p/ @7 w3 w) P$ O∣∣r
    ! n7 |, Z) _2 `$ U( i  _(i)
    : x& s. }1 b$ `8 h( g: j! ]
    , b0 T; M- s6 D3 b' n( q ∣∣
    , y9 t8 z/ ^. V" s! A
    0 Q, ]" H5 w$ p$ k, c <ϵ时,停止算法;否则继续从(2)开始迭代。ϵ \epsilonϵ为预先设定好的很小的值,我这里取的是1 0 − 5 . 10^{-5}.10   w+ e+ F- r) t% _1 N2 P% T" m
    −5! R) @1 f0 T8 t, o; |) I4 ?+ f
    .- o0 u5 C3 N, e3 f$ i% f$ r
    下面我们按照这个过程实现代码:
    0 P: H6 Y% U& i, R3 e! @9 s% ]6 c- |) P, J5 H0 r
    '''
    ; g8 N) D6 d, D5 D共轭梯度法(Conjugate Gradients, CG)求优化解, m 为多项式次数* w# V7 I; b, q( T9 |6 X( M
    - dataset 数据集% o* \2 R; X7 W, y9 y
    - m 多项式次数, 默认为 5. f0 z: V4 U9 `+ ^+ F
    - regularize 正则化参数, 若为 0 则不进行正则化! \' V6 m- m- D  W1 Y' N3 c
    '''% P* [3 ^4 v; ^- _3 o* @
    def CG(dataset, m = 5, regularize = 0):2 i+ S1 ^+ K# R( k7 v3 G
        X = np.array([dataset[:, 0] ** i for i in range(m + 1)]).T
    6 @4 t" c( d) {( V! K    A = np.dot(X.T, X) + regularize * np.eye(m + 1)7 _) x' N9 S1 q1 [
        assert np.all(np.linalg.eigvals(A) > 0), '矩阵不满足正定!'
    0 N" b$ ?4 A! B+ n    b = np.dot(X.T, dataset[:, 1])
    * S1 y0 O9 f- h2 H: p    w = np.random.rand(m + 1)) f8 L9 M2 W: N* I  u
        epsilon = 1e-5$ f, k' B) X# y  Y

    6 W3 r# \1 V+ H  m" z    # 初始化参数3 F/ C0 v( x( a7 j+ V# z+ M2 Q1 L
        d = r = b - np.dot(A, w)- @1 M# O4 E3 a4 N" r
        r0 = r/ A( F* K) D. `
        while True:
    9 _- B7 n6 W5 {" b! Q        alpha = np.dot(r.T, r) / np.dot(np.dot(d, A), d)
    * a8 U& S$ D! k        w += alpha * d/ \8 D- T' M# N! z
            new_r = r - alpha * np.dot(A, d)
    ( l! v2 {8 J9 y) I6 X        beta = np.dot(new_r.T, new_r) / np.dot(r.T, r)2 s" I% M/ {. R5 T1 a" T% W
            d = beta * d + new_r0 D" n. y, w7 u
            r = new_r
    3 j7 l, C' I/ q1 E' ?2 _  ?        # 基本收敛,停止迭代( {! }+ T) K2 M% p; c) W9 K
            if np.linalg.norm(r) / np.linalg.norm(r0) < epsilon:
    4 \' |/ K3 Q. B5 f7 r. H4 `; ]6 y  Y            break
    ' H$ u$ i4 v, S$ g9 z) @4 ~, n    return w4 W  I0 P( u( C5 z: O% H- L

    6 A& T; S, Y+ T& ]1 N1* B- l1 D! [+ n; B6 z5 z8 o* N
    2# U7 |& a; p- v, L8 n$ n+ Q
    3
    " h# T4 D) |+ P4 E4% [. t3 j$ a4 K/ d$ n2 G0 n" V3 y
    52 W) Y$ G) s# S+ K! U
    6
    ' \2 _5 K: [6 r$ I: k5 ]" Q) r' y7( w5 L$ A5 G. }* ]0 }, [6 a
    84 u" O+ l1 w! i
    9
    ! ^! ~* d1 V5 u# M& I! Z$ X, Q9 Z106 @: {/ Y& U6 |; ^
    11
    ! ~; \! P7 O: h% W- D12
    / R1 Z, g7 M0 o) ~- M7 C13
    2 ?% Y8 L, f6 a% {8 A14
    , f1 w; P5 s# M7 w* [1 P# g156 p* I6 b) R: C2 k4 G/ g" q3 a
    169 `  b5 k# m! P# C! E7 j
    17
    + \7 f2 R4 H+ s  ?7 g' m6 h18( ?2 R% N5 @0 o# q4 v- x
    19& z+ N% i0 Z2 u$ b
    20
    ( R. G$ x3 {1 i0 e$ Z21& I( J8 Q# i# Q3 m; K
    22
    % {; C% x, z" k' e. Q. [9 J0 L23
    6 u* s/ E* h" J6 m0 t8 c24  [- \, A+ r# p
    259 P! M. h5 N7 o; Z* t, c& G
    265 q4 n0 ^& L6 T0 j! n- e3 Q
    277 P, C) G# f0 l+ R8 ?1 W
    28
    * X0 [* r/ E" w+ ^相比于朴素的梯度下降法,共轭梯度法收敛迅速且稳定。不过在多项式次数增加时拟合效果会变差:在m = 7 m=7m=7时,其与最小二乘法对比如下:
    % t. @8 m; {* ]4 o2 h6 q1 u; N* f- \% e5 `+ E, w: j
    此时,仍然可以通过正则项部分缓解(图为m = 7 , λ = 1 m=7,\lambda=1m=7,λ=1):8 E" O8 s9 D9 c! f, n( }, y4 g* |
    - ~# a% K9 g9 c; |" r
    最后附上四种方法的拟合图像(基本都一样)和主函数,可以根据实验要求调整参数:
    " [+ x$ Q, @, f4 q8 ?( @: i& a- ^  E/ x" K. V6 \8 s

    ( L  @( `% d# @) J+ k. Jif __name__ == '__main__':
    % {% q" q! r. Q    warnings.simplefilter('error')
    5 X8 |) X+ g. T. @* b" `7 o) t  a' R0 ]2 E/ ^5 h! z
        dataset = get_dataset(bound = (-3, 3))% [1 y* |/ p! C. M# l
        # 绘制数据集散点图
    $ J4 m" A$ a! B4 G, q) a    for [x, y] in dataset:
    6 F  s2 x) m: L: U. X# |        plt.scatter(x, y, color = 'red')
    * ^. c2 f5 q& C9 Y- P$ D# U0 t9 }% X# Q( K$ N+ A$ n
    ; ?7 Q# g! w4 V& h/ Y
        # 最小二乘法0 b; A5 P2 y9 O, r8 ~. y6 s( {
        coef1 = fit(dataset)
    2 t  F# j* q- [* d4 D' ^5 M    # 岭回归
    + k- k# P& K& U/ [    coef2 = ridge_regression(dataset)  l* P+ u$ @' J; N; ?% y. y" k
        # 梯度下降法
    9 E0 z) n) m+ K( q* b" Y5 \# ]* Y    coef3 = GD(dataset, m = 3)
    / K+ X' ^* ~. n    # 共轭梯度法
    / R; o- L2 G" m# V/ C4 ~    coef4 = CG(dataset)8 A( @$ O4 S  v& }/ y. x
    6 C& F9 i4 z5 I: {0 h
        # 绘制出四种方法的曲线
      C4 s6 x) w: Q4 {4 Z. y  P    draw(dataset, coef1, color = 'red', label = 'OLS')- w6 V6 _6 h3 K2 M2 h
        draw(dataset, coef2, color = 'black', label = 'Ridge')
    2 v1 w4 b3 P1 P2 Y, \    draw(dataset, coef3, color = 'purple', label = 'GD')  @* f0 S5 p, l( }
        draw(dataset, coef4, color = 'green', label = 'CG(lambda:0)')
    : {% j1 H3 b* Q* V+ H, u" j
    ! R: S" `: O5 I) S, b    # 绘制标签, 显示图像, I: J+ R+ E" F7 {0 D: r8 A' m* l
        plt.legend()' V" w5 N) \5 T; t, c# m& I* \
        plt.show(). O5 l. {" x, o% c; m- i" q( t

    1 _. ?- H* L, Y7 ?; k, {————————————————2 A6 R4 D/ J7 w+ j
    版权声明:本文为CSDN博主「Castria」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。" m( W1 m3 v% w7 S. z+ B  T# s
    原文链接:https://blog.csdn.net/wyn1564464568/article/details/126819062
    3 l) D/ D# A# Q: q5 u! f* A. q' J* V8 j0 X) ]
    0 G4 }* s8 e6 T2 W5 T: e
    zan
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