二次剩余值的关联计算(上)

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        二次剩余值的关联计算(上)

一、 二次剩余中\frac{1}{2} 相关值的计算：
- b0 _5 q  i+ ~& Q   对于完全平方公式：
* j, ?; d# B: ?/ V0 a8 b/ I! ~   (1/2 -m)^2  = 1/4 -m+m^2 = 1/4 +m(m-1)   (m≥1)  (1-1)
+ }8 K: W: |" @5 z
0 C4 j4 r7 r) o# m    在n为奇数时, 上式的同余可以分为:
    ① 当n=4k-1时，对(1-1)求同余得:
+ ]4 c4 K; L# N1 n! v2 K    (1/2-m)^2  ≡ (2k-m)^2 ≡ k+m(m-1) (mod n)    (1-2)
' S' ?) R9 G& o% `8 Q    ② 当n=4k+1时, 对(1-1)求同余得:
    (1/2 -m)^2  ≡ (2k+1-m)^2 ≡ -k+m(m-1) ≡ n-k+m(m-1) (mod n)    (1-3)
2 \/ ]. v6 A. o/ p( r
7 Z, {6 n7 h- \7 O; ^/ n  为以后叙述方便，我们对 1/2-1  1/2-2  ...  1/2-m (m >=1)  这类数称为二次剩余的后序序列, 即1/2  减小的方向的数列.

* a+ d' o" R% D2 y  二次剩余后序序列的二次剩余值有个特点, 与k(k>0)值相关, 是k值与两个连续整数积的和，与k值同奇同偶。
  如n=299=4*75-1    k=75    2k=150 , 二次剩余后序序列为:
% d9 S: ~: L0 W# h6 C" O% T& _7 Q0 b   (150-1)^2 ≡ 75+1*(1-1) ≡ 75 +0 ≡ 75 (mod 299)  =>  149^2 ≡ 75 (mod 299)  
7 R. ~; A7 S! f, z) N1 J3 H' |3 K   (150-2)^2 ≡ 75+2*(2-1) ≡ 75 +2 ≡ 77 (mod 299)  =>  148^2 ≡ 77 (mod 299)  
   (150-3)^2 ≡ 75+3*(3-1) ≡ 75 +6 ≡ 81 (mod 299)  =>  147^2 ≡ 81 (mod 299)
3 u- A1 `' n  [. g" b$ e
  .
  .
   根据后序序列，可以得到一个分解整数的方法:
! q  k- f: f( e3 b2 I5 [   设n为奇合数, 如果 c^2-k=m(m-1)  m>0  => (2k-m)^2 ≡ c^2 (mod n)  , 或者
    c^2-k=m(m-1) => 4c^2-4k+1=4m(m-1)+1 => (2c)^2 ≡ (2m-1)^2 (mod n)  
- l6 n( _# O6 E/ [! g9 {   上述等式，由费马分解即可得到n的因子, 不过效率较低.
5 L; ^( b# [7 ^& i0 w    例1: n=299-4*75-1 ,  k=75
      根据后序序列，大于75且与75同奇同偶的完全平方：9^2-81
      81-75=6=2*3 为连续两个整数积，在后序序列上
* X: N# y9 u: V% @9 u9 H! w      ∴ (150-3)^2≡81 (mod 299)  => 147^2≡81 (mod 299)
      或者 (2*9)^2≡(2*2+1)^2 (mod 299) => 18^2≡5^2(mod 299)
: t' t! k" m$ {" q. |& {
二、连续两个整数积的分解方法
   1、分解方法介绍
" c! x7 c: Q' g$ A, M   例2: n=299=4*75-1
      25^2 ≡ 27 (mod 299)   =>
/ C+ g. k/ U* Z& c3 T     25^2 ≡ 25+2 (mod 299)  =>  
     25^2-25-2 ≡ 0 (mod 299) =>  
, a- f0 M& u( h) K7 t: j2 n     (25-2)(25+1) ≡ 0 (mod 299) =>
     23*26 ≡ 0 (mod 299)   
  p, M$ Y6 N  u8 V     (23,299)=23   (26,299)=13      299=13*23

   分解方法:  设n为奇合数,  a^2 ≡ b (mod n)  , 如果 b=a+i(i+1) (i ≥ 0 )  , 则可得到:
      a^2 ≡ b (mod n)  =>
     a^2-b-i(i+1) ≡ 0 (mod n)  =>
     (a-(i+1))(a+i) ≡ 0 (mod n)
     (a-(i+1),n)>1   (a+i , n)>1    即可分解n
4 x4 [- ^  |: X2 H. g6 i1 P4 Y# n
7 Z' n+ e4 N- L, G. Y$ `   2、分解方法的另一个解释
! I! Y& Z! e- ~) V  o) `& _6 E    设n为奇数, a^2 ≡ b(mod n),  如果m=a, 则由(1-1)公式得:
! V- U& K, g, l' \1 Q4 W     (1/2 -a)^2  ≡ 1/4 +a^2-a (mod n)   =>
/ N, P0 T) N5 q8 r       (1/2 -a)^2  ≡ 1/4 +b-a (mod n)    (2-1)
     
     ① n=4k-1 , 2-1式得：
     (2k-a)^2 ≡ k+b-a(mod n)     (2-2)
6 a! ~" J- L0 e# r) k  Z5 I2 \( ~     ① n=4k+1 , 2-1式得：
     (2k+1-a)^2 ≡ n-k+b-a (mod n)   (2-3)

8 o1 U: {" J$ b4 }   从(2-1(式, 可知二次剩余的计算,  在[1,1/4]范围内, 计算出[1,n-1]的二次剩余值.
; M3 |$ }  ?& [/ R: u   在例2中, 按(2-2)式的计算, 可得:
, Z# T) F3 R0 A3 c! e. ~9 Q    (150-25)^2 ≡ 75+27-25 (mod 299) =>  125^2 ≡ 77 (mod 299)  
    所以, a^2 ≡ b (mod n)  ，如果b=a+i(i+1) ,其相对1/2的剩余值在后序序列上.
9 [) h1 F2 ?' l3 p! b) Y; J
. Q2 S0 O0 x; `: j# y 三、1/j (j >=3)的计算方法
) L9 e8 W4 L" j" s; z( J. S  上面的是计算 1/2， 即j=2, 如果j>2时,  有如下的1/j计算方法:
   (1/j ± ij)^2 = (ij)^2 ± 2i + (1/j)^2 (i >= 1 ) (j ≥3)   (3-1)

   而对于\frac{1}{j}相邻, 有两种计算,
: U  e; I* b( \" D' o    1)  1/j    1+1/j  2+1/j ... t+1/j    (t<j)  
" H' m4 p! h7 S$ K7 l4 [    2) t-1/j ... 1-1/j  1/j  1+1/j ...  t+1/j   (t < j/2)  
    t+1/j= (1+tj)/j = m/j ,  m=1+tj
! Q9 \/ l) V+ ?/ ^# I& X' P
    按m/j , (3-1)式变成:
    (m/j± ij )^2 = (ij)^2 ± 2mi + (m/j )^2  (i≥ 1 ) (j ≥ 3)   (3-2)

   例3: n=299    \frac{1}{3} ≡ 100 (mod 299)   100^2 ≡ 133 (mod 299)  
$ g1 K( `- c; b6 G7 A& L   (100-3)^2 ≡ 3^2-2+133  (mod 299)    =>  97^2 ≡ 140  (mod 299)
   (100+3)^2 ≡ 3^2+2+133  (mod 299)    =>  103^2 ≡ 144  (mod 299)
8 z- q4 g6 ^* w6 Z1 r) W   1+1/3=4/3 ≡ 1+100=101 (mod 299)     101^2 ≡ 35 (mod 299)
   (101-3)^2 ≡ 3^2-2*4+35  (mod 299)    =>  98^2 ≡ 36  (mod 299)
   (101+3)^2 ≡ 3^2+2*4+35  (mod 299)    =>  104^2 ≡ 52  (mod 299)
: z2 M% X; C" A. X% d2 ]5 ]7 X! C5 s# @   1-1/3=-2/3 ≡ 1-100=-99 (mod 299)     99^2 ≡ 233 (mod 299)  
0 n' l  }* @9 A7 L. F   (99-3)^2 ≡ 3^2-2*(-2)+233  (mod 299)    =>  96^2 ≡ 246  (mod 299)
   (101+3)^2 ≡ 3^2+2*(-2)+233  (mod 299)    =>  102^2 ≡ 238  (mod 299)   
   按2+1/3也能得到相同结果，这里不在验证.
. M. _, z, U6 |; X% c9 W- T( ^
   当然如果j=2s, 即为偶数, 可以计算一半的值, (3-2)式得  :
    (m/j ± i*s)^2=(is)^2±mi+(m/j)^2   (i ≥ 1)   (j ≥ 3)   (3-3)
  更一般的公式: 当为 g/j    g <j/2  , (g, j)=1, 这里就不再给出.
' D1 M& V+ F4 Q1 \9 A
) j/ B9 n+ p$ R5 Y% `