二次剩余值的关联计算(上)

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        二次剩余值的关联计算(上)

+ Q9 ]) K( V; U  c 一、 二次剩余中\frac{1}{2} 相关值的计算：
4 ^( |) Q8 {: `0 L1 w7 @   对于完全平方公式：
   (1/2 -m)^2  = 1/4 -m+m^2 = 1/4 +m(m-1)   (m≥1)  (1-1)

! Q! c. v8 L9 {! d8 w- L2 V) x    在n为奇数时, 上式的同余可以分为:
3 a/ f3 [' i) E# N  \9 Q9 Z* O1 X% T    ① 当n=4k-1时，对(1-1)求同余得:
( J# e" W  ]# V    (1/2-m)^2  ≡ (2k-m)^2 ≡ k+m(m-1) (mod n)    (1-2)
" l, \- j+ Q2 H    ② 当n=4k+1时, 对(1-1)求同余得:
( b5 O3 [6 l: m, C: }# T    (1/2 -m)^2  ≡ (2k+1-m)^2 ≡ -k+m(m-1) ≡ n-k+m(m-1) (mod n)    (1-3)
2 F& O  w) o$ Q; g
2 u5 \0 A2 S  Q  为以后叙述方便，我们对 1/2-1  1/2-2  ...  1/2-m (m >=1)  这类数称为二次剩余的后序序列, 即1/2  减小的方向的数列.

8 o2 Q& T  s' J& F  二次剩余后序序列的二次剩余值有个特点, 与k(k>0)值相关, 是k值与两个连续整数积的和，与k值同奇同偶。
+ H5 Q8 p- m4 B4 u0 Y2 D$ f4 o  如n=299=4*75-1    k=75    2k=150 , 二次剩余后序序列为:
( |& T- p% c8 n  o3 I. f! @+ A( Y   (150-1)^2 ≡ 75+1*(1-1) ≡ 75 +0 ≡ 75 (mod 299)  =>  149^2 ≡ 75 (mod 299)  
   (150-2)^2 ≡ 75+2*(2-1) ≡ 75 +2 ≡ 77 (mod 299)  =>  148^2 ≡ 77 (mod 299)  
   (150-3)^2 ≡ 75+3*(3-1) ≡ 75 +6 ≡ 81 (mod 299)  =>  147^2 ≡ 81 (mod 299)
2 m0 E- R% t0 v/ R  N
  .
  v$ N: }3 V' e0 C  .
   根据后序序列，可以得到一个分解整数的方法:
  X4 H. P# ~; F5 Z0 `+ L   设n为奇合数, 如果 c^2-k=m(m-1)  m>0  => (2k-m)^2 ≡ c^2 (mod n)  , 或者
* E5 h' \6 R0 a8 l; v    c^2-k=m(m-1) => 4c^2-4k+1=4m(m-1)+1 => (2c)^2 ≡ (2m-1)^2 (mod n)  
   上述等式，由费马分解即可得到n的因子, 不过效率较低.
    例1: n=299-4*75-1 ,  k=75
      根据后序序列，大于75且与75同奇同偶的完全平方：9^2-81
$ s; ^" c) C0 b7 Z( a      81-75=6=2*3 为连续两个整数积，在后序序列上
* {& K' k1 a$ P% I      ∴ (150-3)^2≡81 (mod 299)  => 147^2≡81 (mod 299)
      或者 (2*9)^2≡(2*2+1)^2 (mod 299) => 18^2≡5^2(mod 299)
% n( z1 R$ O, r5 Y* r+ [/ M
二、连续两个整数积的分解方法
+ t8 k. r8 v1 Q   1、分解方法介绍
   例2: n=299=4*75-1
9 f+ k4 N% I+ P( l/ I4 v8 F" ~      25^2 ≡ 27 (mod 299)   =>
     25^2 ≡ 25+2 (mod 299)  =>  
# \' H# i5 p) P4 c. t9 |2 D     25^2-25-2 ≡ 0 (mod 299) =>  
     (25-2)(25+1) ≡ 0 (mod 299) =>
     23*26 ≡ 0 (mod 299)   
     (23,299)=23   (26,299)=13      299=13*23

   分解方法:  设n为奇合数,  a^2 ≡ b (mod n)  , 如果 b=a+i(i+1) (i ≥ 0 )  , 则可得到:
      a^2 ≡ b (mod n)  =>
     a^2-b-i(i+1) ≡ 0 (mod n)  =>
6 o( V1 B$ E1 _     (a-(i+1))(a+i) ≡ 0 (mod n)
" k  W% R' Z% h) e$ p3 C4 w* [2 p3 E     (a-(i+1),n)>1   (a+i , n)>1    即可分解n

   2、分解方法的另一个解释
, X; P' i4 o, p$ F% D6 C6 h    设n为奇数, a^2 ≡ b(mod n),  如果m=a, 则由(1-1)公式得:
     (1/2 -a)^2  ≡ 1/4 +a^2-a (mod n)   =>
       (1/2 -a)^2  ≡ 1/4 +b-a (mod n)    (2-1)
     
     ① n=4k-1 , 2-1式得：
. W" I6 ^) C$ G) d: s$ H     (2k-a)^2 ≡ k+b-a(mod n)     (2-2)
% {- _1 Z! ?% L0 s) k8 j     ① n=4k+1 , 2-1式得：
     (2k+1-a)^2 ≡ n-k+b-a (mod n)   (2-3)
+ W% y' D& g/ I8 @/ f$ F2 P5 W
4 Y# _7 V: d4 B/ O, i0 G! s. s   从(2-1(式, 可知二次剩余的计算,  在[1,1/4]范围内, 计算出[1,n-1]的二次剩余值.
! o8 W7 b% |5 O( V" r0 Y   在例2中, 按(2-2)式的计算, 可得:
+ }$ }6 h0 H* L$ X8 ^1 M- z    (150-25)^2 ≡ 75+27-25 (mod 299) =>  125^2 ≡ 77 (mod 299)  
    所以, a^2 ≡ b (mod n)  ，如果b=a+i(i+1) ,其相对1/2的剩余值在后序序列上.
0 h! ?' J/ Q5 D
( r, D0 ~- f6 r 三、1/j (j >=3)的计算方法
  上面的是计算 1/2， 即j=2, 如果j>2时,  有如下的1/j计算方法:
3 R! K1 v& @. C7 I   (1/j ± ij)^2 = (ij)^2 ± 2i + (1/j)^2 (i >= 1 ) (j ≥3)   (3-1)
  d4 [9 J* Y- H7 `* S, b
% p* V) \5 L* K$ K5 O0 L- s) A   而对于\frac{1}{j}相邻, 有两种计算,
# z( m& B* a6 S' u; W: {% B( z$ q    1)  1/j    1+1/j  2+1/j ... t+1/j    (t<j)  
    2) t-1/j ... 1-1/j  1/j  1+1/j ...  t+1/j   (t < j/2)  
2 k2 n  ~6 }* y9 Y* T1 a8 a4 R/ y8 \    t+1/j= (1+tj)/j = m/j ,  m=1+tj

    按m/j , (3-1)式变成:
    (m/j± ij )^2 = (ij)^2 ± 2mi + (m/j )^2  (i≥ 1 ) (j ≥ 3)   (3-2)

" z& A- ?  K; r- x0 ]6 v+ n$ F   例3: n=299    \frac{1}{3} ≡ 100 (mod 299)   100^2 ≡ 133 (mod 299)  
   (100-3)^2 ≡ 3^2-2+133  (mod 299)    =>  97^2 ≡ 140  (mod 299)
6 H3 E  v+ C  d* s# ]4 u* }! @   (100+3)^2 ≡ 3^2+2+133  (mod 299)    =>  103^2 ≡ 144  (mod 299)
! b( j. R1 ]2 ~   1+1/3=4/3 ≡ 1+100=101 (mod 299)     101^2 ≡ 35 (mod 299)
   (101-3)^2 ≡ 3^2-2*4+35  (mod 299)    =>  98^2 ≡ 36  (mod 299)
   (101+3)^2 ≡ 3^2+2*4+35  (mod 299)    =>  104^2 ≡ 52  (mod 299)
   1-1/3=-2/3 ≡ 1-100=-99 (mod 299)     99^2 ≡ 233 (mod 299)  
, J& m% P( e1 a+ C( ], @) I! z   (99-3)^2 ≡ 3^2-2*(-2)+233  (mod 299)    =>  96^2 ≡ 246  (mod 299)
   (101+3)^2 ≡ 3^2+2*(-2)+233  (mod 299)    =>  102^2 ≡ 238  (mod 299)   
   按2+1/3也能得到相同结果，这里不在验证.

   当然如果j=2s, 即为偶数, 可以计算一半的值, (3-2)式得  :
    (m/j ± i*s)^2=(is)^2±mi+(m/j)^2   (i ≥ 1)   (j ≥ 3)   (3-3)
. R5 J7 J! t8 H2 j4 f& t- d  更一般的公式: 当为 g/j    g <j/2  , (g, j)=1, 这里就不再给出.

! k9 ^6 ^# H4 D( m" p* @