二次剩余值的关联计算(上)

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        二次剩余值的关联计算(上)
( q! Q/ Q2 v5 ^% U" h6 H, x
6 t0 S$ z2 n& u; o 一、 二次剩余中\frac{1}{2} 相关值的计算：
   对于完全平方公式：
! Y. F; T# L; P. @( V5 d  I- p& f; v   (1/2 -m)^2  = 1/4 -m+m^2 = 1/4 +m(m-1)   (m≥1)  (1-1)

    在n为奇数时, 上式的同余可以分为:
2 V+ B. u# u0 w3 P- Q    ① 当n=4k-1时，对(1-1)求同余得:
9 F; Z! s) O* q$ x+ c9 o  V$ m) b0 t    (1/2-m)^2  ≡ (2k-m)^2 ≡ k+m(m-1) (mod n)    (1-2)
0 q# V- O' d: a! r    ② 当n=4k+1时, 对(1-1)求同余得:
    (1/2 -m)^2  ≡ (2k+1-m)^2 ≡ -k+m(m-1) ≡ n-k+m(m-1) (mod n)    (1-3)
$ J1 b8 g* @9 \8 \
  为以后叙述方便，我们对 1/2-1  1/2-2  ...  1/2-m (m >=1)  这类数称为二次剩余的后序序列, 即1/2  减小的方向的数列.

& r" h1 l0 v' f! @; j  二次剩余后序序列的二次剩余值有个特点, 与k(k>0)值相关, 是k值与两个连续整数积的和，与k值同奇同偶。
) _' o9 x  y! d" G  如n=299=4*75-1    k=75    2k=150 , 二次剩余后序序列为:
, Q* Z0 {9 p2 u: Z( `8 ~   (150-1)^2 ≡ 75+1*(1-1) ≡ 75 +0 ≡ 75 (mod 299)  =>  149^2 ≡ 75 (mod 299)  
* M5 B/ [2 L1 v5 z   (150-2)^2 ≡ 75+2*(2-1) ≡ 75 +2 ≡ 77 (mod 299)  =>  148^2 ≡ 77 (mod 299)  
   (150-3)^2 ≡ 75+3*(3-1) ≡ 75 +6 ≡ 81 (mod 299)  =>  147^2 ≡ 81 (mod 299)

% L" J( U' p0 J2 p& J  |) C# u  .
- |' Y& b/ C1 y# n2 Y$ h/ ]  .
% }: }% s  r: q! y- t   根据后序序列，可以得到一个分解整数的方法:
8 L+ z* S2 g4 \5 o6 {   设n为奇合数, 如果 c^2-k=m(m-1)  m>0  => (2k-m)^2 ≡ c^2 (mod n)  , 或者
  Z+ `4 L  J( j; E    c^2-k=m(m-1) => 4c^2-4k+1=4m(m-1)+1 => (2c)^2 ≡ (2m-1)^2 (mod n)  
   上述等式，由费马分解即可得到n的因子, 不过效率较低.
    例1: n=299-4*75-1 ,  k=75
      根据后序序列，大于75且与75同奇同偶的完全平方：9^2-81
) o" H( |9 [; R      81-75=6=2*3 为连续两个整数积，在后序序列上
      ∴ (150-3)^2≡81 (mod 299)  => 147^2≡81 (mod 299)
' G! }8 i3 b7 [: i/ W0 ?      或者 (2*9)^2≡(2*2+1)^2 (mod 299) => 18^2≡5^2(mod 299)
; D# p2 o2 z4 B! L' n
+ |) u* f, c% f3 {/ ?3 ` 二、连续两个整数积的分解方法
   1、分解方法介绍
! W3 C/ z  o# T: s6 s% O* T   例2: n=299=4*75-1
/ Y. A3 }. K( V* c/ i; T      25^2 ≡ 27 (mod 299)   =>
+ U% T  i/ B. q3 t' i! W     25^2 ≡ 25+2 (mod 299)  =>  
  G/ n3 v. I' d& y     25^2-25-2 ≡ 0 (mod 299) =>  
     (25-2)(25+1) ≡ 0 (mod 299) =>
     23*26 ≡ 0 (mod 299)   
$ m0 P/ S$ [& \& `0 c; Q! n# V     (23,299)=23   (26,299)=13      299=13*23

   分解方法:  设n为奇合数,  a^2 ≡ b (mod n)  , 如果 b=a+i(i+1) (i ≥ 0 )  , 则可得到:
      a^2 ≡ b (mod n)  =>
     a^2-b-i(i+1) ≡ 0 (mod n)  =>
     (a-(i+1))(a+i) ≡ 0 (mod n)
     (a-(i+1),n)>1   (a+i , n)>1    即可分解n

2 U) T0 y& q+ M9 j5 y4 e( d/ t/ Y   2、分解方法的另一个解释
    设n为奇数, a^2 ≡ b(mod n),  如果m=a, 则由(1-1)公式得:
     (1/2 -a)^2  ≡ 1/4 +a^2-a (mod n)   =>
+ v( @! X- k1 _" K0 Z1 J# I       (1/2 -a)^2  ≡ 1/4 +b-a (mod n)    (2-1)
" @7 r2 D; v# ?2 U( A' t3 ^     
3 P* K1 S& E3 u5 H# Z, w; t" g     ① n=4k-1 , 2-1式得：
! z% R* }. W4 a( u- c% @: u8 Y( U     (2k-a)^2 ≡ k+b-a(mod n)     (2-2)
' L9 M0 W7 x7 x* s  D0 }     ① n=4k+1 , 2-1式得：
8 c* R9 T: r# w1 k  r3 ?+ ?7 V     (2k+1-a)^2 ≡ n-k+b-a (mod n)   (2-3)

1 W! B7 s+ i" v) f$ p   从(2-1(式, 可知二次剩余的计算,  在[1,1/4]范围内, 计算出[1,n-1]的二次剩余值.
   在例2中, 按(2-2)式的计算, 可得:
" e9 G( B! O1 J! @3 `0 ?    (150-25)^2 ≡ 75+27-25 (mod 299) =>  125^2 ≡ 77 (mod 299)  
    所以, a^2 ≡ b (mod n)  ，如果b=a+i(i+1) ,其相对1/2的剩余值在后序序列上.

$ C: Z' I" T' H1 Q' [# l 三、1/j (j >=3)的计算方法
# }" a" {+ ?, W6 G: m/ ]  上面的是计算 1/2， 即j=2, 如果j>2时,  有如下的1/j计算方法:
   (1/j ± ij)^2 = (ij)^2 ± 2i + (1/j)^2 (i >= 1 ) (j ≥3)   (3-1)

   而对于\frac{1}{j}相邻, 有两种计算,
    1)  1/j    1+1/j  2+1/j ... t+1/j    (t<j)  
    2) t-1/j ... 1-1/j  1/j  1+1/j ...  t+1/j   (t < j/2)  
    t+1/j= (1+tj)/j = m/j ,  m=1+tj

    按m/j , (3-1)式变成:
    (m/j± ij )^2 = (ij)^2 ± 2mi + (m/j )^2  (i≥ 1 ) (j ≥ 3)   (3-2)

/ Q. e: u/ K8 |$ X5 L1 `3 k   例3: n=299    \frac{1}{3} ≡ 100 (mod 299)   100^2 ≡ 133 (mod 299)  
/ l, P3 v+ B0 S, _* D0 P   (100-3)^2 ≡ 3^2-2+133  (mod 299)    =>  97^2 ≡ 140  (mod 299)
) r5 e( @" b+ d0 U% k( t   (100+3)^2 ≡ 3^2+2+133  (mod 299)    =>  103^2 ≡ 144  (mod 299)
+ j, P: B% x6 e: g# @2 q$ J   1+1/3=4/3 ≡ 1+100=101 (mod 299)     101^2 ≡ 35 (mod 299)
   (101-3)^2 ≡ 3^2-2*4+35  (mod 299)    =>  98^2 ≡ 36  (mod 299)
   (101+3)^2 ≡ 3^2+2*4+35  (mod 299)    =>  104^2 ≡ 52  (mod 299)
6 r) a: c, s9 K  v  {   1-1/3=-2/3 ≡ 1-100=-99 (mod 299)     99^2 ≡ 233 (mod 299)  
   (99-3)^2 ≡ 3^2-2*(-2)+233  (mod 299)    =>  96^2 ≡ 246  (mod 299)
   (101+3)^2 ≡ 3^2+2*(-2)+233  (mod 299)    =>  102^2 ≡ 238  (mod 299)   
   按2+1/3也能得到相同结果，这里不在验证.
8 G" O' i! j, S
# ?1 K" Y& [6 E4 J+ |0 Z   当然如果j=2s, 即为偶数, 可以计算一半的值, (3-2)式得  :
" f) i4 d( ~* U    (m/j ± i*s)^2=(is)^2±mi+(m/j)^2   (i ≥ 1)   (j ≥ 3)   (3-3)
0 ^0 o2 n/ ~3 C: x4 o7 i% _, R1 X" ~  更一般的公式: 当为 g/j    g <j/2  , (g, j)=1, 这里就不再给出.
1 d; V) }" I+ p2 ^5 Q! K
% ]8 b  Y! C' [