二次剩余值的关联计算(上)

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        二次剩余值的关联计算(上)
" b  x4 i0 [8 N( m' y
9 c2 s$ H' t7 G 一、 二次剩余中\frac{1}{2} 相关值的计算：
! Z$ V2 H7 I, h0 `; e   对于完全平方公式：
   (1/2 -m)^2  = 1/4 -m+m^2 = 1/4 +m(m-1)   (m≥1)  (1-1)

& c* v# }; z8 |8 D9 X    在n为奇数时, 上式的同余可以分为:
    ① 当n=4k-1时，对(1-1)求同余得:
    (1/2-m)^2  ≡ (2k-m)^2 ≡ k+m(m-1) (mod n)    (1-2)
    ② 当n=4k+1时, 对(1-1)求同余得:
0 P4 j) U( P2 {- {5 g' L    (1/2 -m)^2  ≡ (2k+1-m)^2 ≡ -k+m(m-1) ≡ n-k+m(m-1) (mod n)    (1-3)
; m! U: m: g$ \) [- R
  为以后叙述方便，我们对 1/2-1  1/2-2  ...  1/2-m (m >=1)  这类数称为二次剩余的后序序列, 即1/2  减小的方向的数列.

$ a" j% i* t% V7 t2 X+ r3 V1 u. Y( s  二次剩余后序序列的二次剩余值有个特点, 与k(k>0)值相关, 是k值与两个连续整数积的和，与k值同奇同偶。
  如n=299=4*75-1    k=75    2k=150 , 二次剩余后序序列为:
' ]7 h  s7 I! T% v! l% Y- z6 K   (150-1)^2 ≡ 75+1*(1-1) ≡ 75 +0 ≡ 75 (mod 299)  =>  149^2 ≡ 75 (mod 299)  
   (150-2)^2 ≡ 75+2*(2-1) ≡ 75 +2 ≡ 77 (mod 299)  =>  148^2 ≡ 77 (mod 299)  
9 A: \0 r6 {3 H( G/ o$ r, d   (150-3)^2 ≡ 75+3*(3-1) ≡ 75 +6 ≡ 81 (mod 299)  =>  147^2 ≡ 81 (mod 299)

  .
  .
   根据后序序列，可以得到一个分解整数的方法:
2 O4 s# A8 K' ?4 {; f) q6 h  @8 `   设n为奇合数, 如果 c^2-k=m(m-1)  m>0  => (2k-m)^2 ≡ c^2 (mod n)  , 或者
! q$ S) K5 ]+ ]( S$ h    c^2-k=m(m-1) => 4c^2-4k+1=4m(m-1)+1 => (2c)^2 ≡ (2m-1)^2 (mod n)  
4 `. m* S* u% ]  b   上述等式，由费马分解即可得到n的因子, 不过效率较低.
    例1: n=299-4*75-1 ,  k=75
      根据后序序列，大于75且与75同奇同偶的完全平方：9^2-81
( f# W" Q0 g' l1 n( t; M+ E      81-75=6=2*3 为连续两个整数积，在后序序列上
3 A  |/ J2 m0 ^0 i) f$ w" K      ∴ (150-3)^2≡81 (mod 299)  => 147^2≡81 (mod 299)
      或者 (2*9)^2≡(2*2+1)^2 (mod 299) => 18^2≡5^2(mod 299)
* {8 S+ K% O' ]' U9 J
二、连续两个整数积的分解方法
   1、分解方法介绍
( S: g! z8 t4 l   例2: n=299=4*75-1
      25^2 ≡ 27 (mod 299)   =>
- a; @% T, }8 A9 [0 `6 ]& s& V     25^2 ≡ 25+2 (mod 299)  =>  
; m" _. F4 z) p: y3 x     25^2-25-2 ≡ 0 (mod 299) =>  
     (25-2)(25+1) ≡ 0 (mod 299) =>
, l5 I( X% Q! P5 d( s% P6 j) I7 X     23*26 ≡ 0 (mod 299)   
0 w' ^  N9 {: [) g5 U, z     (23,299)=23   (26,299)=13      299=13*23
9 d5 h- Z* ]6 C, l" P3 q
/ Q* T! f4 C7 m+ a" p  Z) S9 R   分解方法:  设n为奇合数,  a^2 ≡ b (mod n)  , 如果 b=a+i(i+1) (i ≥ 0 )  , 则可得到:
! Z6 ~; r& A" O      a^2 ≡ b (mod n)  =>
     a^2-b-i(i+1) ≡ 0 (mod n)  =>
     (a-(i+1))(a+i) ≡ 0 (mod n)
     (a-(i+1),n)>1   (a+i , n)>1    即可分解n
9 ^% w5 W3 E/ H. z# T7 I
7 k, m- c% I$ ^* x; a   2、分解方法的另一个解释
$ g3 y0 G0 d7 z; r    设n为奇数, a^2 ≡ b(mod n),  如果m=a, 则由(1-1)公式得:
     (1/2 -a)^2  ≡ 1/4 +a^2-a (mod n)   =>
       (1/2 -a)^2  ≡ 1/4 +b-a (mod n)    (2-1)
$ x/ e. N# u/ X! U2 h3 q$ p1 ]     
6 q( b; Z3 Q: r" [- L# j& E     ① n=4k-1 , 2-1式得：
) f  ]' k% J7 [2 a, d: T     (2k-a)^2 ≡ k+b-a(mod n)     (2-2)
7 B3 X0 c( z) d* d% X) j/ o     ① n=4k+1 , 2-1式得：
     (2k+1-a)^2 ≡ n-k+b-a (mod n)   (2-3)
2 P; K4 X" k% b' u* y) I
- i4 t) Q" x+ O$ _   从(2-1(式, 可知二次剩余的计算,  在[1,1/4]范围内, 计算出[1,n-1]的二次剩余值.
   在例2中, 按(2-2)式的计算, 可得:
    (150-25)^2 ≡ 75+27-25 (mod 299) =>  125^2 ≡ 77 (mod 299)  
5 e# S1 h2 Q6 F) ]% B    所以, a^2 ≡ b (mod n)  ，如果b=a+i(i+1) ,其相对1/2的剩余值在后序序列上.
9 P! o! W. q7 k* h
6 S4 e5 {1 w6 @- A) m. d 三、1/j (j >=3)的计算方法
  上面的是计算 1/2， 即j=2, 如果j>2时,  有如下的1/j计算方法:
( m6 P8 \8 ^9 [& v% G  J   (1/j ± ij)^2 = (ij)^2 ± 2i + (1/j)^2 (i >= 1 ) (j ≥3)   (3-1)
# u' s. P' @, h  }1 m
   而对于\frac{1}{j}相邻, 有两种计算,
1 D/ T6 m: T( }* M) C4 k    1)  1/j    1+1/j  2+1/j ... t+1/j    (t<j)  
3 Y5 |/ O/ {0 a, {& z    2) t-1/j ... 1-1/j  1/j  1+1/j ...  t+1/j   (t < j/2)  
$ k- o* y1 d1 c- P; ^( p8 \2 O) r2 x    t+1/j= (1+tj)/j = m/j ,  m=1+tj
2 S, h9 Y" \8 I% n& {+ p4 c
    按m/j , (3-1)式变成:
    (m/j± ij )^2 = (ij)^2 ± 2mi + (m/j )^2  (i≥ 1 ) (j ≥ 3)   (3-2)

   例3: n=299    \frac{1}{3} ≡ 100 (mod 299)   100^2 ≡ 133 (mod 299)  
6 M% N0 i4 c, }" k; ~# |   (100-3)^2 ≡ 3^2-2+133  (mod 299)    =>  97^2 ≡ 140  (mod 299)
   (100+3)^2 ≡ 3^2+2+133  (mod 299)    =>  103^2 ≡ 144  (mod 299)
4 ~# Z" y. Q# ^   1+1/3=4/3 ≡ 1+100=101 (mod 299)     101^2 ≡ 35 (mod 299)
   (101-3)^2 ≡ 3^2-2*4+35  (mod 299)    =>  98^2 ≡ 36  (mod 299)
; s& ]3 c6 r8 m: c   (101+3)^2 ≡ 3^2+2*4+35  (mod 299)    =>  104^2 ≡ 52  (mod 299)
   1-1/3=-2/3 ≡ 1-100=-99 (mod 299)     99^2 ≡ 233 (mod 299)  
* Y- |: A! s6 }9 }% x/ b   (99-3)^2 ≡ 3^2-2*(-2)+233  (mod 299)    =>  96^2 ≡ 246  (mod 299)
   (101+3)^2 ≡ 3^2+2*(-2)+233  (mod 299)    =>  102^2 ≡ 238  (mod 299)   
   按2+1/3也能得到相同结果，这里不在验证.
5 g0 O! r* k( P& Y% K$ Z
   当然如果j=2s, 即为偶数, 可以计算一半的值, (3-2)式得  :
, O  N) d! b( `    (m/j ± i*s)^2=(is)^2±mi+(m/j)^2   (i ≥ 1)   (j ≥ 3)   (3-3)
! _6 s6 e+ q$ N  更一般的公式: 当为 g/j    g <j/2  , (g, j)=1, 这里就不再给出.