二次剩余值的关联计算(上)

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        二次剩余值的关联计算(上)

一、 二次剩余中\frac{1}{2} 相关值的计算：
7 m1 z9 ^! \1 h7 y* o  q   对于完全平方公式：
/ `0 k4 s3 S7 P) ^1 I5 C+ g$ @0 k* G   (1/2 -m)^2  = 1/4 -m+m^2 = 1/4 +m(m-1)   (m≥1)  (1-1)

# P+ Y1 f( t, J$ x, ?1 k5 K    在n为奇数时, 上式的同余可以分为:
    ① 当n=4k-1时，对(1-1)求同余得:
: F9 _" |2 g; ~) y$ A    (1/2-m)^2  ≡ (2k-m)^2 ≡ k+m(m-1) (mod n)    (1-2)
8 I( a& h: o2 H2 `    ② 当n=4k+1时, 对(1-1)求同余得:
/ w( c# ~) X7 u# S& u6 I    (1/2 -m)^2  ≡ (2k+1-m)^2 ≡ -k+m(m-1) ≡ n-k+m(m-1) (mod n)    (1-3)

3 `* D' w5 s& I% B4 O  为以后叙述方便，我们对 1/2-1  1/2-2  ...  1/2-m (m >=1)  这类数称为二次剩余的后序序列, 即1/2  减小的方向的数列.

+ q# }. F% e9 l  二次剩余后序序列的二次剩余值有个特点, 与k(k>0)值相关, 是k值与两个连续整数积的和，与k值同奇同偶。
  如n=299=4*75-1    k=75    2k=150 , 二次剩余后序序列为:
   (150-1)^2 ≡ 75+1*(1-1) ≡ 75 +0 ≡ 75 (mod 299)  =>  149^2 ≡ 75 (mod 299)  
* c! }) ^! ^1 }* M. z( y; L0 u* \/ n   (150-2)^2 ≡ 75+2*(2-1) ≡ 75 +2 ≡ 77 (mod 299)  =>  148^2 ≡ 77 (mod 299)  
1 y) v' d7 R! s2 D, F7 w   (150-3)^2 ≡ 75+3*(3-1) ≡ 75 +6 ≡ 81 (mod 299)  =>  147^2 ≡ 81 (mod 299)

  .
' p  L) t& T9 r# V# k  .
   根据后序序列，可以得到一个分解整数的方法:
7 Y7 w/ {3 e; ?! m6 a1 S$ t8 ?   设n为奇合数, 如果 c^2-k=m(m-1)  m>0  => (2k-m)^2 ≡ c^2 (mod n)  , 或者
    c^2-k=m(m-1) => 4c^2-4k+1=4m(m-1)+1 => (2c)^2 ≡ (2m-1)^2 (mod n)  
% u* [1 Q, ^0 J! F2 g1 {   上述等式，由费马分解即可得到n的因子, 不过效率较低.
    例1: n=299-4*75-1 ,  k=75
1 Q1 i2 _3 l& ~  ]/ D0 f      根据后序序列，大于75且与75同奇同偶的完全平方：9^2-81
      81-75=6=2*3 为连续两个整数积，在后序序列上
" P5 i2 i: \9 i# b      ∴ (150-3)^2≡81 (mod 299)  => 147^2≡81 (mod 299)
& _* z9 D. Q& ~6 c) a      或者 (2*9)^2≡(2*2+1)^2 (mod 299) => 18^2≡5^2(mod 299)
# i6 u9 [9 m( u
$ h) x2 a6 j8 D! v/ l# u 二、连续两个整数积的分解方法
, o) V0 i( p  R$ i5 x   1、分解方法介绍
) a7 G" V" N! b6 c% x$ V1 [2 G   例2: n=299=4*75-1
      25^2 ≡ 27 (mod 299)   =>
* }1 R# W& R" w" k7 Q9 p     25^2 ≡ 25+2 (mod 299)  =>  
* f3 c1 l" b, e) k. ?0 f- g     25^2-25-2 ≡ 0 (mod 299) =>  
     (25-2)(25+1) ≡ 0 (mod 299) =>
     23*26 ≡ 0 (mod 299)   
% K  X3 Y: ]# j# V, }7 _     (23,299)=23   (26,299)=13      299=13*23
1 g. [1 D* j. j( g
6 \4 ?. E" j8 x. ^1 Z   分解方法:  设n为奇合数,  a^2 ≡ b (mod n)  , 如果 b=a+i(i+1) (i ≥ 0 )  , 则可得到:
      a^2 ≡ b (mod n)  =>
     a^2-b-i(i+1) ≡ 0 (mod n)  =>
     (a-(i+1))(a+i) ≡ 0 (mod n)
! ~+ I6 R/ l/ B1 ?     (a-(i+1),n)>1   (a+i , n)>1    即可分解n

   2、分解方法的另一个解释
    设n为奇数, a^2 ≡ b(mod n),  如果m=a, 则由(1-1)公式得:
: b* T" J6 `' y     (1/2 -a)^2  ≡ 1/4 +a^2-a (mod n)   =>
       (1/2 -a)^2  ≡ 1/4 +b-a (mod n)    (2-1)
2 M, e5 M6 s" W& R     
     ① n=4k-1 , 2-1式得：
# j- X+ B% T. A8 }     (2k-a)^2 ≡ k+b-a(mod n)     (2-2)
+ a( B4 b2 b0 V+ H& h! e( F     ① n=4k+1 , 2-1式得：
' i( U! h7 l- M7 a     (2k+1-a)^2 ≡ n-k+b-a (mod n)   (2-3)

# t( y3 \) _, ?2 B2 Z/ `   从(2-1(式, 可知二次剩余的计算,  在[1,1/4]范围内, 计算出[1,n-1]的二次剩余值.
. l; G- p9 B9 o   在例2中, 按(2-2)式的计算, 可得:
! _% `7 C" I9 M. W    (150-25)^2 ≡ 75+27-25 (mod 299) =>  125^2 ≡ 77 (mod 299)  
# d" Y; Q) A0 D- C: J    所以, a^2 ≡ b (mod n)  ，如果b=a+i(i+1) ,其相对1/2的剩余值在后序序列上.

三、1/j (j >=3)的计算方法
  上面的是计算 1/2， 即j=2, 如果j>2时,  有如下的1/j计算方法:
   (1/j ± ij)^2 = (ij)^2 ± 2i + (1/j)^2 (i >= 1 ) (j ≥3)   (3-1)

  q. J2 `) g3 s. L2 n3 A   而对于\frac{1}{j}相邻, 有两种计算,
2 B5 z! P4 F, _7 O) M    1)  1/j    1+1/j  2+1/j ... t+1/j    (t<j)  
    2) t-1/j ... 1-1/j  1/j  1+1/j ...  t+1/j   (t < j/2)  
/ N6 S) A" }3 E    t+1/j= (1+tj)/j = m/j ,  m=1+tj

    按m/j , (3-1)式变成:
$ R) B1 a4 W  w8 {. Q8 S6 l    (m/j± ij )^2 = (ij)^2 ± 2mi + (m/j )^2  (i≥ 1 ) (j ≥ 3)   (3-2)

   例3: n=299    \frac{1}{3} ≡ 100 (mod 299)   100^2 ≡ 133 (mod 299)  
$ f' [8 ~! i3 m% R# i9 D* m   (100-3)^2 ≡ 3^2-2+133  (mod 299)    =>  97^2 ≡ 140  (mod 299)
$ h7 _. W& X% g! F9 Q6 \   (100+3)^2 ≡ 3^2+2+133  (mod 299)    =>  103^2 ≡ 144  (mod 299)
8 z- |" u% z2 G0 C1 [# \   1+1/3=4/3 ≡ 1+100=101 (mod 299)     101^2 ≡ 35 (mod 299)
   (101-3)^2 ≡ 3^2-2*4+35  (mod 299)    =>  98^2 ≡ 36  (mod 299)
. `- h" A3 U4 L1 ?9 f   (101+3)^2 ≡ 3^2+2*4+35  (mod 299)    =>  104^2 ≡ 52  (mod 299)
% @+ J5 w# F6 }9 }; `   1-1/3=-2/3 ≡ 1-100=-99 (mod 299)     99^2 ≡ 233 (mod 299)  
# n& ?% ]+ ?4 V% }2 }( k* Q   (99-3)^2 ≡ 3^2-2*(-2)+233  (mod 299)    =>  96^2 ≡ 246  (mod 299)
   (101+3)^2 ≡ 3^2+2*(-2)+233  (mod 299)    =>  102^2 ≡ 238  (mod 299)   
   按2+1/3也能得到相同结果，这里不在验证.
6 Y8 l  i6 S# w7 _% F5 f7 q& C
   当然如果j=2s, 即为偶数, 可以计算一半的值, (3-2)式得  :
    (m/j ± i*s)^2=(is)^2±mi+(m/j)^2   (i ≥ 1)   (j ≥ 3)   (3-3)
2 `; t. _/ v6 T8 H" Z) j1 h  更一般的公式: 当为 g/j    g <j/2  , (g, j)=1, 这里就不再给出.

' ^; T6 P8 T% w7 _; f