二次剩余值的关联计算(上)

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        二次剩余值的关联计算(上)
9 }" E' F. M' B0 z4 s
2 o- p! [; ^9 c7 z# ?; D; T6 o6 f 一、 二次剩余中\frac{1}{2} 相关值的计算：
- W+ [: V- t; G  W   对于完全平方公式：
& i' Y7 v- c# A  g   (1/2 -m)^2  = 1/4 -m+m^2 = 1/4 +m(m-1)   (m≥1)  (1-1)

3 Q' J& V: b. t0 B. H% F* K    在n为奇数时, 上式的同余可以分为:
    ① 当n=4k-1时，对(1-1)求同余得:
    (1/2-m)^2  ≡ (2k-m)^2 ≡ k+m(m-1) (mod n)    (1-2)
; m: ~& V4 {( D' z) j    ② 当n=4k+1时, 对(1-1)求同余得:
    (1/2 -m)^2  ≡ (2k+1-m)^2 ≡ -k+m(m-1) ≡ n-k+m(m-1) (mod n)    (1-3)
/ {# b; P1 I8 m
  为以后叙述方便，我们对 1/2-1  1/2-2  ...  1/2-m (m >=1)  这类数称为二次剩余的后序序列, 即1/2  减小的方向的数列.

  二次剩余后序序列的二次剩余值有个特点, 与k(k>0)值相关, 是k值与两个连续整数积的和，与k值同奇同偶。
  如n=299=4*75-1    k=75    2k=150 , 二次剩余后序序列为:
2 k* F$ t7 B& {# @" m6 U. A   (150-1)^2 ≡ 75+1*(1-1) ≡ 75 +0 ≡ 75 (mod 299)  =>  149^2 ≡ 75 (mod 299)  
$ z8 `0 k6 J/ o+ b) ^   (150-2)^2 ≡ 75+2*(2-1) ≡ 75 +2 ≡ 77 (mod 299)  =>  148^2 ≡ 77 (mod 299)  
   (150-3)^2 ≡ 75+3*(3-1) ≡ 75 +6 ≡ 81 (mod 299)  =>  147^2 ≡ 81 (mod 299)
0 ~# _- ]- I! w4 S8 c/ X6 T
  .
  .
   根据后序序列，可以得到一个分解整数的方法:
   设n为奇合数, 如果 c^2-k=m(m-1)  m>0  => (2k-m)^2 ≡ c^2 (mod n)  , 或者
    c^2-k=m(m-1) => 4c^2-4k+1=4m(m-1)+1 => (2c)^2 ≡ (2m-1)^2 (mod n)  
   上述等式，由费马分解即可得到n的因子, 不过效率较低.
    例1: n=299-4*75-1 ,  k=75
% Z( n8 U) ~9 O& d' v/ H/ A      根据后序序列，大于75且与75同奇同偶的完全平方：9^2-81
' H$ N# Z- Q( x7 L4 f      81-75=6=2*3 为连续两个整数积，在后序序列上
      ∴ (150-3)^2≡81 (mod 299)  => 147^2≡81 (mod 299)
      或者 (2*9)^2≡(2*2+1)^2 (mod 299) => 18^2≡5^2(mod 299)

) M( W; c3 ^* C 二、连续两个整数积的分解方法
   1、分解方法介绍
. `- P/ q- M, Y3 p2 J   例2: n=299=4*75-1
! r+ T# ?1 U& r+ |% V% g* S      25^2 ≡ 27 (mod 299)   =>
+ G! i& ~% W5 s$ ~1 J) R     25^2 ≡ 25+2 (mod 299)  =>  
     25^2-25-2 ≡ 0 (mod 299) =>  
% K3 Z5 s) n' ^" ]; j( t     (25-2)(25+1) ≡ 0 (mod 299) =>
! d" p( D( X, H1 z$ Z" H: l     23*26 ≡ 0 (mod 299)   
     (23,299)=23   (26,299)=13      299=13*23

9 e6 c) ~2 Z5 ?! \: Z8 _$ ]* P   分解方法:  设n为奇合数,  a^2 ≡ b (mod n)  , 如果 b=a+i(i+1) (i ≥ 0 )  , 则可得到:
6 d( n/ e  M6 V9 r) Q      a^2 ≡ b (mod n)  =>
     a^2-b-i(i+1) ≡ 0 (mod n)  =>
3 N- ?7 J  [+ Q     (a-(i+1))(a+i) ≡ 0 (mod n)
     (a-(i+1),n)>1   (a+i , n)>1    即可分解n
4 S4 j3 n9 ~" z5 f5 H' J
& N2 n( T5 J3 a* Q+ W, h   2、分解方法的另一个解释
    设n为奇数, a^2 ≡ b(mod n),  如果m=a, 则由(1-1)公式得:
8 R% a- E* y& y+ F1 T     (1/2 -a)^2  ≡ 1/4 +a^2-a (mod n)   =>
       (1/2 -a)^2  ≡ 1/4 +b-a (mod n)    (2-1)
     
0 E  @" z6 V, y     ① n=4k-1 , 2-1式得：
0 j$ M' B" c- Q& O1 k* }3 {2 h     (2k-a)^2 ≡ k+b-a(mod n)     (2-2)
7 V/ D. G/ I* d4 R% X' F- g/ a     ① n=4k+1 , 2-1式得：
; X/ P) ^' x3 ^     (2k+1-a)^2 ≡ n-k+b-a (mod n)   (2-3)

   从(2-1(式, 可知二次剩余的计算,  在[1,1/4]范围内, 计算出[1,n-1]的二次剩余值.
   在例2中, 按(2-2)式的计算, 可得:
* ?: n3 G" `8 P( e* T. r    (150-25)^2 ≡ 75+27-25 (mod 299) =>  125^2 ≡ 77 (mod 299)  
* C0 V# t; B, ]: g, H    所以, a^2 ≡ b (mod n)  ，如果b=a+i(i+1) ,其相对1/2的剩余值在后序序列上.

- r6 q2 j5 V. \ 三、1/j (j >=3)的计算方法
! [5 S1 y: N: b6 \  上面的是计算 1/2， 即j=2, 如果j>2时,  有如下的1/j计算方法:
   (1/j ± ij)^2 = (ij)^2 ± 2i + (1/j)^2 (i >= 1 ) (j ≥3)   (3-1)
2 b* B% k* S. |$ m% `% k. R& R
3 t, S; f6 Q1 s( R   而对于\frac{1}{j}相邻, 有两种计算,
# |. n! I) {9 K$ D8 |" r/ O    1)  1/j    1+1/j  2+1/j ... t+1/j    (t<j)  
    2) t-1/j ... 1-1/j  1/j  1+1/j ...  t+1/j   (t < j/2)  
    t+1/j= (1+tj)/j = m/j ,  m=1+tj

0 N: E: m( r# A: B/ ^8 F    按m/j , (3-1)式变成:
9 C, B2 H" _  {    (m/j± ij )^2 = (ij)^2 ± 2mi + (m/j )^2  (i≥ 1 ) (j ≥ 3)   (3-2)

   例3: n=299    \frac{1}{3} ≡ 100 (mod 299)   100^2 ≡ 133 (mod 299)  
/ g( T/ g8 K3 w9 Z   (100-3)^2 ≡ 3^2-2+133  (mod 299)    =>  97^2 ≡ 140  (mod 299)
   (100+3)^2 ≡ 3^2+2+133  (mod 299)    =>  103^2 ≡ 144  (mod 299)
% P1 O$ S) X3 c, ?* W+ p   1+1/3=4/3 ≡ 1+100=101 (mod 299)     101^2 ≡ 35 (mod 299)
   (101-3)^2 ≡ 3^2-2*4+35  (mod 299)    =>  98^2 ≡ 36  (mod 299)
   (101+3)^2 ≡ 3^2+2*4+35  (mod 299)    =>  104^2 ≡ 52  (mod 299)
   1-1/3=-2/3 ≡ 1-100=-99 (mod 299)     99^2 ≡ 233 (mod 299)  
   (99-3)^2 ≡ 3^2-2*(-2)+233  (mod 299)    =>  96^2 ≡ 246  (mod 299)
" ?8 r4 j' e9 S1 j6 o3 ^7 }% ]   (101+3)^2 ≡ 3^2+2*(-2)+233  (mod 299)    =>  102^2 ≡ 238  (mod 299)   
   按2+1/3也能得到相同结果，这里不在验证.
8 i( X  h: S0 v( j( n
8 }- m; f: q9 }7 I3 p6 R0 N7 B6 w* G   当然如果j=2s, 即为偶数, 可以计算一半的值, (3-2)式得  :
* c% E7 j; O: ?$ i4 p    (m/j ± i*s)^2=(is)^2±mi+(m/j)^2   (i ≥ 1)   (j ≥ 3)   (3-3)
2 _2 P. u. y( o5 S  更一般的公式: 当为 g/j    g <j/2  , (g, j)=1, 这里就不再给出.

" ~' B$ o  G. K6 k: u