二次剩余值的关联计算(上)

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        二次剩余值的关联计算(上)
( D4 L* D( b. D5 [$ o) u
一、 二次剩余中\frac{1}{2} 相关值的计算：
   对于完全平方公式：
   (1/2 -m)^2  = 1/4 -m+m^2 = 1/4 +m(m-1)   (m≥1)  (1-1)
5 A$ n1 c! y" ^  e
    在n为奇数时, 上式的同余可以分为:
    ① 当n=4k-1时，对(1-1)求同余得:
    (1/2-m)^2  ≡ (2k-m)^2 ≡ k+m(m-1) (mod n)    (1-2)
    ② 当n=4k+1时, 对(1-1)求同余得:
    (1/2 -m)^2  ≡ (2k+1-m)^2 ≡ -k+m(m-1) ≡ n-k+m(m-1) (mod n)    (1-3)

  b2 w2 A; S" T: g  为以后叙述方便，我们对 1/2-1  1/2-2  ...  1/2-m (m >=1)  这类数称为二次剩余的后序序列, 即1/2  减小的方向的数列.

  二次剩余后序序列的二次剩余值有个特点, 与k(k>0)值相关, 是k值与两个连续整数积的和，与k值同奇同偶。
  如n=299=4*75-1    k=75    2k=150 , 二次剩余后序序列为:
   (150-1)^2 ≡ 75+1*(1-1) ≡ 75 +0 ≡ 75 (mod 299)  =>  149^2 ≡ 75 (mod 299)  
; o- V6 [; j" @* a   (150-2)^2 ≡ 75+2*(2-1) ≡ 75 +2 ≡ 77 (mod 299)  =>  148^2 ≡ 77 (mod 299)  
& h% t7 Q6 D5 V8 n   (150-3)^2 ≡ 75+3*(3-1) ≡ 75 +6 ≡ 81 (mod 299)  =>  147^2 ≡ 81 (mod 299)
$ c# G2 r# D0 L4 K8 }/ z0 E4 W
/ |* K0 V( m+ Z1 I' P  .
$ L5 D8 c" w3 T- F* y  .
0 F/ [5 G% B/ `& d3 a' F- Z0 w   根据后序序列，可以得到一个分解整数的方法:
   设n为奇合数, 如果 c^2-k=m(m-1)  m>0  => (2k-m)^2 ≡ c^2 (mod n)  , 或者
    c^2-k=m(m-1) => 4c^2-4k+1=4m(m-1)+1 => (2c)^2 ≡ (2m-1)^2 (mod n)  
. O6 K0 L( [2 C. a' Q+ v9 j+ G   上述等式，由费马分解即可得到n的因子, 不过效率较低.
5 C- @4 W- P, Q: y* }: N    例1: n=299-4*75-1 ,  k=75
      根据后序序列，大于75且与75同奇同偶的完全平方：9^2-81
$ Y0 A4 e* K3 E* J  h      81-75=6=2*3 为连续两个整数积，在后序序列上
      ∴ (150-3)^2≡81 (mod 299)  => 147^2≡81 (mod 299)
. j( W/ J1 c9 n; T      或者 (2*9)^2≡(2*2+1)^2 (mod 299) => 18^2≡5^2(mod 299)
$ l8 _- F" W* n5 e' M0 W# y- v' }
二、连续两个整数积的分解方法
9 h3 p4 `7 G: y0 |   1、分解方法介绍
7 q  z) f- h4 t. M: F2 ?; R' ?   例2: n=299=4*75-1
1 H+ c1 D7 r% B      25^2 ≡ 27 (mod 299)   =>
8 O( `* ]8 B- Q; `     25^2 ≡ 25+2 (mod 299)  =>  
     25^2-25-2 ≡ 0 (mod 299) =>  
. ~8 Y4 _4 b6 e7 O     (25-2)(25+1) ≡ 0 (mod 299) =>
) ]& {& J9 p/ B7 o4 `+ }% i' a( P     23*26 ≡ 0 (mod 299)   
2 @" i& k9 V) L' S% i# m     (23,299)=23   (26,299)=13      299=13*23
7 u) L) R3 {4 o) u2 o0 u0 x* ~
- [4 q! r7 |. I+ `/ ]% u" c   分解方法:  设n为奇合数,  a^2 ≡ b (mod n)  , 如果 b=a+i(i+1) (i ≥ 0 )  , 则可得到:
5 {! k8 b9 I, y. l; j# D      a^2 ≡ b (mod n)  =>
8 K8 ?. a- ~& s3 M     a^2-b-i(i+1) ≡ 0 (mod n)  =>
& w# |* F, L2 L8 A     (a-(i+1))(a+i) ≡ 0 (mod n)
     (a-(i+1),n)>1   (a+i , n)>1    即可分解n
2 U/ h6 G: V7 ~4 C6 s
   2、分解方法的另一个解释
% h0 R  x' p0 c9 T3 f& R    设n为奇数, a^2 ≡ b(mod n),  如果m=a, 则由(1-1)公式得:
     (1/2 -a)^2  ≡ 1/4 +a^2-a (mod n)   =>
       (1/2 -a)^2  ≡ 1/4 +b-a (mod n)    (2-1)
     
     ① n=4k-1 , 2-1式得：
     (2k-a)^2 ≡ k+b-a(mod n)     (2-2)
" [' }3 a6 _. i7 ^9 h     ① n=4k+1 , 2-1式得：
* c, M0 Z- T$ j     (2k+1-a)^2 ≡ n-k+b-a (mod n)   (2-3)

$ p" p! h% w- V  w9 F8 v( m4 v   从(2-1(式, 可知二次剩余的计算,  在[1,1/4]范围内, 计算出[1,n-1]的二次剩余值.
5 K0 {; F6 ?0 B( Q   在例2中, 按(2-2)式的计算, 可得:
    (150-25)^2 ≡ 75+27-25 (mod 299) =>  125^2 ≡ 77 (mod 299)  
4 N1 p: x9 C) T    所以, a^2 ≡ b (mod n)  ，如果b=a+i(i+1) ,其相对1/2的剩余值在后序序列上.
  }9 M# _' E( J3 @1 Z
7 @$ p+ N' P4 R  X7 W  u- F 三、1/j (j >=3)的计算方法
  V( b3 A# P+ C/ L- d1 _  上面的是计算 1/2， 即j=2, 如果j>2时,  有如下的1/j计算方法:
   (1/j ± ij)^2 = (ij)^2 ± 2i + (1/j)^2 (i >= 1 ) (j ≥3)   (3-1)

, l- s6 J7 {! q! o   而对于\frac{1}{j}相邻, 有两种计算,
    1)  1/j    1+1/j  2+1/j ... t+1/j    (t<j)  
    2) t-1/j ... 1-1/j  1/j  1+1/j ...  t+1/j   (t < j/2)  
    t+1/j= (1+tj)/j = m/j ,  m=1+tj
+ U  S& p# a( }$ Z! q
    按m/j , (3-1)式变成:
    (m/j± ij )^2 = (ij)^2 ± 2mi + (m/j )^2  (i≥ 1 ) (j ≥ 3)   (3-2)
+ k7 y9 q9 j/ ~
- i$ \; n1 p6 X% Z5 d- e   例3: n=299    \frac{1}{3} ≡ 100 (mod 299)   100^2 ≡ 133 (mod 299)  
   (100-3)^2 ≡ 3^2-2+133  (mod 299)    =>  97^2 ≡ 140  (mod 299)
3 T* Q( C6 a( F$ [  R! @   (100+3)^2 ≡ 3^2+2+133  (mod 299)    =>  103^2 ≡ 144  (mod 299)
' W# t. N5 q+ e( n" _0 U$ a   1+1/3=4/3 ≡ 1+100=101 (mod 299)     101^2 ≡ 35 (mod 299)
   (101-3)^2 ≡ 3^2-2*4+35  (mod 299)    =>  98^2 ≡ 36  (mod 299)
1 w" c- v4 ?$ D   (101+3)^2 ≡ 3^2+2*4+35  (mod 299)    =>  104^2 ≡ 52  (mod 299)
   1-1/3=-2/3 ≡ 1-100=-99 (mod 299)     99^2 ≡ 233 (mod 299)  
7 Z8 e# B( x8 \4 R" n) G+ Y9 B   (99-3)^2 ≡ 3^2-2*(-2)+233  (mod 299)    =>  96^2 ≡ 246  (mod 299)
   (101+3)^2 ≡ 3^2+2*(-2)+233  (mod 299)    =>  102^2 ≡ 238  (mod 299)   
   按2+1/3也能得到相同结果，这里不在验证.

   当然如果j=2s, 即为偶数, 可以计算一半的值, (3-2)式得  :
9 D5 Y1 s$ T# i* A- s2 o# Z    (m/j ± i*s)^2=(is)^2±mi+(m/j)^2   (i ≥ 1)   (j ≥ 3)   (3-3)
+ ^  m! P& W; e% L/ S3 ^  更一般的公式: 当为 g/j    g <j/2  , (g, j)=1, 这里就不再给出.

6 N  u3 Y* \9 w8 ^- w