一个乘法逆元的计算方法

songls

以下给出一个求乘法逆元的方法，主要是使用除数的积来求逆，供大家参考，如有不足，欢迎大家批评指正。
1 x) J' z# y3 B# W设 (a,n)=1  (ri,n)=1  (qi,n)=1  1≤i≤m
9 Q! i0 F* I, V: L+ A3 S  a*r1≡q1 (mod n)
  q1*r2≡q2 (mod n)
  q2*r3≡q3 (mod n)
   .
   .
  .
  h9 K5 }- ?0 N, }  qm-1*rm≡qm (mod n)
9 F1 B7 R, a: a9 R- K& e 上述等式相乘，得：
  a*(r1*r2*...*rm-1)*(q1*q2*...*qm)≡r1*r2*...*rm-1*rm (mod n) =>
  _9 M) a  N; W6 I2 A! a4 H  a*(q1*q2*...*qm)≡rm (mod n)
6 a" m( S- W8 c  如果对qi(1≤i≤m)进行如下的限定:
   a>|q1|>|q2|>...>|qi|>...>|qm-1|>|qm|
2 [  h1 o+ s7 C! m9 N0 w   则 qm=±1
  即 a与q1*q2*...*qm互逆
  例 求28在299的逆
  r, P' Q. B1 b. ]4 O     28*11≡9 （mod 299）
     9*33≡-2  （mod 299）
! l( y$ B3 i9 X! U0 o$ p" @     -2*-150≡1 (mod 299)
  逆为:    11*33*-150≡-32 (mod 299)
     28*-22≡-1 (mod 299)
" Y0 v. Q: V( D, o* P0 u* L  但该方法有个最大的问题，当(qi,n)>1时，该方法将无法继续往下计算逆。
% u6 z- C- X  n' l 下面给出其中一个算法：
$ [! x7 k2 @+ O; U( [/ i7 U9 _  1    输入a,n  
. _/ z8 S: h" U0 |- L  k1 G. g  2   resulte = 1   ; 保存逆的结果
  3   r=n/a+1      ; 保证 r*a>n
  4  q=r*a-n       ; 得到余数，该余数小于a
  5  resulte=(resulte*r)%n   
  6  if q=1  then  print(逆为: resulte) return  resulte
8 U' |5 D: L; c0 x! h& ^3 Y  7  if q=0 or q=a then  print(存在因子: a)  return a ;
$ e; E- D- k4 ~6 `5 w4 Z9 v  8  a=q
  9  goto 3
5 y" [& `0 k% c, v" m2 F1 L
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