一个乘法逆元的计算方法

songls

以下给出一个求乘法逆元的方法，主要是使用除数的积来求逆，供大家参考，如有不足，欢迎大家批评指正。
设 (a,n)=1  (ri,n)=1  (qi,n)=1  1≤i≤m
% d# ?7 u0 I' D2 |+ j$ j  a*r1≡q1 (mod n)
8 n$ k4 v  D- t9 ]7 ~  q1*r2≡q2 (mod n)
  q2*r3≡q3 (mod n)
   .
   .
# A2 a! {" X3 a- {6 F2 y  .
- i3 A. Y6 N! K+ Z. j% O% V1 P$ x4 S  qm-1*rm≡qm (mod n)
上述等式相乘，得：
  a*(r1*r2*...*rm-1)*(q1*q2*...*qm)≡r1*r2*...*rm-1*rm (mod n) =>
  a*(q1*q2*...*qm)≡rm (mod n)
  如果对qi(1≤i≤m)进行如下的限定:
   a>|q1|>|q2|>...>|qi|>...>|qm-1|>|qm|
8 U* m; |; p6 i/ r- V8 e- y   则 qm=±1
  即 a与q1*q2*...*qm互逆
+ L$ x, L1 H) O2 G1 o0 S: t1 w  例 求28在299的逆
     28*11≡9 （mod 299）
     9*33≡-2  （mod 299）
     -2*-150≡1 (mod 299)
0 w* p& g1 I  S' Y" z% V0 x0 l  逆为:    11*33*-150≡-32 (mod 299)
, f9 |( P# J3 ]' }( {  b     28*-22≡-1 (mod 299)
: b8 s( I% G. _3 I  但该方法有个最大的问题，当(qi,n)>1时，该方法将无法继续往下计算逆。
$ n: X% O- k' i' G4 f$ [ 下面给出其中一个算法：
8 m' M: H" P: Q( j  1    输入a,n  
  2   resulte = 1   ; 保存逆的结果
; P, \  ^, }% I/ e% b7 W' N& ^# z  3   r=n/a+1      ; 保证 r*a>n
- \1 A, d; @! g  4  q=r*a-n       ; 得到余数，该余数小于a
  n. T( S2 R) W5 t4 Y" s  5  resulte=(resulte*r)%n   
  6  if q=1  then  print(逆为: resulte) return  resulte
. Z0 J, l* @" ]: h/ R9 e! d% y, m5 w  7  if q=0 or q=a then  print(存在因子: a)  return a ;
& d. @! K- J* e" x) G& [; X2 t8 n  8  a=q
  9  goto 3
$ x! q, `1 f# f6 N) T