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一个乘法逆元的计算方法

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songls        

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  • TA的每日心情
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    2023-12-11 09:00
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    [LV.3]偶尔看看II

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    1#
    发表于 2023-12-10 20:02 |只看该作者 |倒序浏览
    |招呼Ta 关注Ta
    以下给出一个求乘法逆元的方法,主要是使用除数的积来求逆,供大家参考,如有不足,欢迎大家批评指正。
    1 D& Q% m- s( b设 (a,n)=1  (ri,n)=1  (qi,n)=1  1≤i≤m
    0 ?9 ^, c% i6 `: y* G" A* `  m- C  a*r1≡q1 (mod n)
    - o* R- B/ s7 R. w& ^3 ~  q1*r2≡q2 (mod n)% i  z" }! j3 L6 k
      q2*r3≡q3 (mod n)
    / a4 l2 Z5 M8 W8 Z$ L* w   .2 Y4 {& u% K7 f
       .
    8 C! s0 v7 G# a  .
    1 \* T; K( P7 |' ?$ Q3 [0 d  qm-1*rm≡qm (mod n)8 ], ?! v$ b9 {& V# a5 ]+ a" T
    上述等式相乘,得:6 G0 [& n1 R0 T6 l/ j/ g. E1 ?% a
      a*(r1*r2*...*rm-1)*(q1*q2*...*qm)≡r1*r2*...*rm-1*rm (mod n) =>
    2 ^. P3 S4 a/ G$ q  a*(q1*q2*...*qm)≡rm (mod n)
    % q4 {0 D7 m/ ^/ I% N* P/ Z  如果对qi(1≤i≤m)进行如下的限定:3 \, Z" d1 r' d' Y4 e. E. i
       a>|q1|>|q2|>...>|qi|>...>|qm-1|>|qm|
    . d6 t+ S, a! P3 g0 W3 d" J   则 qm=±18 d! p! Y( n5 h5 d
      即 a与q1*q2*...*qm互逆! {* x, c/ ?. }% z9 E, ~
      例 求28在299的逆
      c! ^  b5 W$ D6 h# R, `5 v( O     28*11≡9 (mod 299)
    ! i$ f) U3 a% z+ ~+ }: N     9*33≡-2  (mod 299)
    0 M% G; @  T4 \+ H; E, _     -2*-150≡1 (mod 299)
    * O  |) T. N8 o1 h  逆为:    11*33*-150≡-32 (mod 299)
    : I3 P. V+ _' C! H7 }, _" t! `     28*-22≡-1 (mod 299)
    ( ]7 c: w1 h7 j/ Q+ ?0 L  但该方法有个最大的问题,当(qi,n)>1时,该方法将无法继续往下计算逆。/ O/ @2 Y9 w1 v% k" W' x6 J
    下面给出其中一个算法:" y3 A) a  J, u: c3 \# A; w
      1    输入a,n  
    # }" C3 P# \/ E) L, i: V  2   resulte = 1   ; 保存逆的结果   e, B3 r, Q) ?* J
      3   r=n/a+1      ; 保证 r*a>n
    7 N% G) |6 V: ^/ W% o' |# U) Y  4  q=r*a-n       ; 得到余数,该余数小于a0 V* f, N4 ?0 r0 V" a
      5  resulte=(resulte*r)%n   ' q5 o* @7 U% z8 j  Z0 i$ n% n6 Y
      6  if q=1  then  print(逆为: resulte) return  resulte
    3 O8 d; L5 f( v  7  if q=0 or q=a then  print(存在因子: a)  return a ;; P- C3 G: G' c$ a/ F
      8  a=q
    % \1 @- ]- Z9 d- t, u  9  goto 3
    4 I% }2 M' P% l4 P7 E1 p" o. n9 i% N4 }1 V

    一个求乘法逆元的方法.pdf

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    zan
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