一个乘法逆元的计算方法

songls

以下给出一个求乘法逆元的方法，主要是使用除数的积来求逆，供大家参考，如有不足，欢迎大家批评指正。
1 D& Q% m- s( b设 (a,n)=1  (ri,n)=1  (qi,n)=1  1≤i≤m
0 ?9 ^, c% i6 `: y* G" A* `  m- C  a*r1≡q1 (mod n)
- o* R- B/ s7 R. w& ^3 ~  q1*r2≡q2 (mod n)
  q2*r3≡q3 (mod n)
/ a4 l2 Z5 M8 W8 Z$ L* w   .
   .
8 C! s0 v7 G# a  .
1 \* T; K( P7 |' ?$ Q3 [0 d  qm-1*rm≡qm (mod n)
上述等式相乘，得：
  a*(r1*r2*...*rm-1)*(q1*q2*...*qm)≡r1*r2*...*rm-1*rm (mod n) =>
2 ^. P3 S4 a/ G$ q  a*(q1*q2*...*qm)≡rm (mod n)
% q4 {0 D7 m/ ^/ I% N* P/ Z  如果对qi(1≤i≤m)进行如下的限定:
   a>|q1|>|q2|>...>|qi|>...>|qm-1|>|qm|
. d6 t+ S, a! P3 g0 W3 d" J   则 qm=±1
  即 a与q1*q2*...*qm互逆
  例 求28在299的逆
  c! ^  b5 W$ D6 h# R, `5 v( O     28*11≡9 （mod 299）
! i$ f) U3 a% z+ ~+ }: N     9*33≡-2  （mod 299）
0 M% G; @  T4 \+ H; E, _     -2*-150≡1 (mod 299)
* O  |) T. N8 o1 h  逆为:    11*33*-150≡-32 (mod 299)
: I3 P. V+ _' C! H7 }, _" t! `     28*-22≡-1 (mod 299)
( ]7 c: w1 h7 j/ Q+ ?0 L  但该方法有个最大的问题，当(qi,n)>1时，该方法将无法继续往下计算逆。
下面给出其中一个算法：
  1    输入a,n  
# }" C3 P# \/ E) L, i: V  2   resulte = 1   ; 保存逆的结果
  3   r=n/a+1      ; 保证 r*a>n
7 N% G) |6 V: ^/ W% o' |# U) Y  4  q=r*a-n       ; 得到余数，该余数小于a
  5  resulte=(resulte*r)%n   
  6  if q=1  then  print(逆为: resulte) return  resulte
3 O8 d; L5 f( v  7  if q=0 or q=a then  print(存在因子: a)  return a ;
  8  a=q
% \1 @- ]- Z9 d- t, u  9  goto 3
4 I% }2 M' P% l4 P7 E