一个乘法逆元的计算方法

songls

以下给出一个求乘法逆元的方法，主要是使用除数的积来求逆，供大家参考，如有不足，欢迎大家批评指正。
设 (a,n)=1  (ri,n)=1  (qi,n)=1  1≤i≤m
/ r7 ^2 Y& |' B; z  a*r1≡q1 (mod n)
  q1*r2≡q2 (mod n)
  q2*r3≡q3 (mod n)
% L2 U6 O+ E$ H0 C* j4 ?3 |   .
   .
  .
1 x+ U  e5 ?/ n( ~( {- d* o  qm-1*rm≡qm (mod n)
上述等式相乘，得：
  a*(r1*r2*...*rm-1)*(q1*q2*...*qm)≡r1*r2*...*rm-1*rm (mod n) =>
  a*(q1*q2*...*qm)≡rm (mod n)
( A( E6 g% U* \8 \( I+ H, b5 O  如果对qi(1≤i≤m)进行如下的限定:
   a>|q1|>|q2|>...>|qi|>...>|qm-1|>|qm|
/ B! F! u3 k0 F# D0 E  L   则 qm=±1
) \. H, Q. ?9 c; t" a! c/ g  即 a与q1*q2*...*qm互逆
  例 求28在299的逆
     28*11≡9 （mod 299）
     9*33≡-2  （mod 299）
7 k: k9 y" Q: Q; h     -2*-150≡1 (mod 299)
  逆为:    11*33*-150≡-32 (mod 299)
     28*-22≡-1 (mod 299)
) w8 v% y  e- ]7 ?; t' w  但该方法有个最大的问题，当(qi,n)>1时，该方法将无法继续往下计算逆。
& U0 k& N# D* Y6 T, _$ p9 A3 [6 N6 h% x 下面给出其中一个算法：
  1    输入a,n  
( U9 g& W4 h9 y! |  2   resulte = 1   ; 保存逆的结果
( P! F( Y# s; b8 g, d+ s. z/ P' r  3   r=n/a+1      ; 保证 r*a>n
+ e$ l( S: \' r  4  q=r*a-n       ; 得到余数，该余数小于a
  5  resulte=(resulte*r)%n   
  G7 Z! M4 D/ L  6  if q=1  then  print(逆为: resulte) return  resulte
9 z, t  J4 j: |& V$ M5 ?  7  if q=0 or q=a then  print(存在因子: a)  return a ;
& i% |/ v, G/ y- _  8  a=q
) x# I( {3 h4 K- `1 e  9  goto 3
/ h: a7 }5 [& a8 u$ u
  @2 {) A& l* a( H