一个乘法逆元的计算方法

songls

以下给出一个求乘法逆元的方法，主要是使用除数的积来求逆，供大家参考，如有不足，欢迎大家批评指正。
设 (a,n)=1  (ri,n)=1  (qi,n)=1  1≤i≤m
$ |/ R8 `# o# D! O3 `/ ^  a*r1≡q1 (mod n)
* R) a( K; b6 ]2 X( g4 a  q1*r2≡q2 (mod n)
, O! e! h) {! Y  q2*r3≡q3 (mod n)
   .
$ N, \4 o0 Q% F& O: t3 b6 G' x4 c: D   .
. J4 N* ~) ?: w9 H# U, E  .
  qm-1*rm≡qm (mod n)
上述等式相乘，得：
  a*(r1*r2*...*rm-1)*(q1*q2*...*qm)≡r1*r2*...*rm-1*rm (mod n) =>
* O3 J  H$ e+ `# y0 |2 k  a*(q1*q2*...*qm)≡rm (mod n)
  如果对qi(1≤i≤m)进行如下的限定:
* _! R/ I+ w3 w/ i   a>|q1|>|q2|>...>|qi|>...>|qm-1|>|qm|
   则 qm=±1
  即 a与q1*q2*...*qm互逆
  例 求28在299的逆
9 O$ N! ]- Q5 ~* ?     28*11≡9 （mod 299）
' @$ i7 X- j! p/ p, W     9*33≡-2  （mod 299）
5 k, y$ B  L  p: ?) b( y, r     -2*-150≡1 (mod 299)
/ J9 W' ^6 u6 _9 I  逆为:    11*33*-150≡-32 (mod 299)
  v: c, P0 p6 _/ i: I     28*-22≡-1 (mod 299)
' J' T1 L1 _# i$ y* \' Q+ P1 k  但该方法有个最大的问题，当(qi,n)>1时，该方法将无法继续往下计算逆。
. S" i1 M; y9 }. j 下面给出其中一个算法：
* K2 M7 n* D6 E% \& k  1    输入a,n  
% k5 C  B! \( \1 r  2   resulte = 1   ; 保存逆的结果
  3   r=n/a+1      ; 保证 r*a>n
! P2 P+ ~, [$ m1 v# I1 l+ _  4  q=r*a-n       ; 得到余数，该余数小于a
1 C9 l, T5 o4 |9 i( a4 Q  W  5  resulte=(resulte*r)%n   
2 `$ C# b% `' n. H& `  6  if q=1  then  print(逆为: resulte) return  resulte
  7  if q=0 or q=a then  print(存在因子: a)  return a ;
  8  a=q
  9  goto 3
6 K% F' @2 b; y1 c  ~4 B) F
2 h! P8 \8 x3 @( z5 y- i( J. A; ]