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最小费用最大流问题

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发表于 2023-12-20 12:04 |只看该作者 |倒序浏览
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最小费用最大流问题是网络流问题的一种扩展,旨在在网络中找到一条从源点到汇点的流,使得最大流量的同时总费用最小。这个问题在实际应用中有许多场景,例如在网络设计、流量优化、运输规划等方面。
. F/ _  [* U. N' {* r# D问题可以形式化为一个带权有向图,其中每条边上有一个容量表示最大流量,还有一个费用表示单位流量通过该边所需的成本。目标是找到一条从源点到汇点的路径,使得流量最大化的同时总费用最小。
8 }" i9 }( K$ b6 G9 U5 U一种常见的解决方法是使用最短增广路径算法,其中 Dijkstra 算法或 Bellman-Ford 算法用于寻找最短路径。以下是一个简单的 MATLAB 代码示例,演示了最小费用最大流问题的解决:6 y# [9 ~2 L, d) N9 ^# B  g  I
function [maxFlow, minCost] = minCostMaxFlow(capacity, cost, source, sink)
+ t+ v5 W5 g' @6 M2 s    n = size(capacity, 1);- F, {- `" U$ x1 U8 x
& X- l. ?" V# b, m( J" i7 K' J2 Y" n
    % 使用最短增广路径算法. |  K8 {$ C. c: v& @- h  p7 ^
    [path, minCost] = shortestAugmentingPath(capacity, cost, source, sink);0 K" E+ c) s4 f' \

/ @7 s( n7 E+ V5 T5 j2 e    % 初始化流矩阵. u( C8 d- _* l% a' ?8 ?3 n$ b
    flow = zeros(n, n);* j0 e" k  S) E8 T9 o  {

# `7 O) r2 X" {' [; ~    % 增广路径循环
. ^( Z" q4 r  g  v( Q3 V0 T& z/ o% m    while ~isempty(path)$ x' z; c! |4 @0 Y
        % 寻找路径上的最小剩余容量
4 t3 N( Q) L! J' [0 d9 S        minCapacity = min(capacity(path(1:end-1), path(2:end)));
1 r& @- Y' R4 @; ?) Z: A/ {5 _/ u& q1 M# K9 e( e1 |. h1 R) i
        % 更新流矩阵和剩余容量
% B0 Z0 b# [5 |  Y( L% o! c2 L        flow(path(1:end-1), path(2:end)) = flow(path(1:end-1), path(2:end)) + minCapacity;
2 W% _; n* L# N: o        capacity(path(1:end-1), path(2:end)) = capacity(path(1:end-1), path(2:end)) - minCapacity;
) {  u8 \0 x0 T, k" h% m! q        capacity(path(2:end), path(1:end-1)) = capacity(path(2:end), path(1:end-1)) + minCapacity;
* _1 @! n8 w" m+ ?: t4 }, z4 h4 Z- f/ v3 u
        % 重新寻找增广路径, ^$ r+ l. j" j5 c( E
        [path, minCost] = shortestAugmentingPath(capacity, cost, source, sink);
0 W* m0 t8 O! T. F  s" E+ ^2 S    end
8 p% g1 @) m* b# g1 g
1 B4 ]# x3 l! _" [% i8 m    % 计算总流量) S' E" Z$ q. `
    maxFlow = sum(flow(source, );
" `( b. A# V+ E8 d  V% e& H# hend
, w( Z$ }* K6 c- y- `/ v8 x7 R; v
/ C+ t. q2 F! w1 r7 L5 C' l  c0 ?function [path, minCost] = shortestAugmentingPath(capacity, cost, source, sink)) F% i, g- }" J" l4 a! ]
    n = size(capacity, 1);
7 ^* Y, M2 |' G1 ?    distance = inf(1, n);
$ Z% m/ v( P" h' Z# y5 p+ O/ r    parent = zeros(1, n);
4 J& u2 _4 Q7 N* S" B; p    distance(source) = 0;
# n! K: s6 O6 J# N. h2 J3 }" s5 t7 G
    % 使用 Bellman-Ford 算法找到最短路径
  |* r6 e- `" N# n1 _, C) m6 S' F    for k = 1:n-1$ V' ?9 v& `, Z8 g+ n
        for i = 1:n
) [% c' f' F2 p8 _, Q( j            for j = 1:n( _' t) w. F3 w6 l5 F, ^
                if capacity(i, j) > 0 && distance(i) + cost(i, j) < distance(j)
% e4 V- V! l+ f5 I* s1 ^                    distance(j) = distance(i) + cost(i, j);- \5 {  }; a3 D+ d6 d8 O0 v4 s
                    parent(j) = i;4 P* b9 K# p+ y+ E& \( @( @" y
                end1 i  F  @) Y% I( J) m( ]
            end" B- U1 W; G+ C1 V( g$ X
        end
0 u3 t" L& M  V0 R    end9 D1 n1 o1 J1 E0 [4 X- i6 O
, }5 z! G! c7 @; Z" R* b
    % 通过 parent 数组构建增广路径, ?: G9 N6 y1 c& u  H8 D& b, p
    path = [];" j* U' s% O+ D% \
    current = sink;
! Y# @$ ]- A9 d7 b: a    while current ~= source
4 ?8 R2 X0 g, I( B! \" d5 u        path = [parent(current), path];: H( L8 r- g6 i$ Z
        current = parent(current);
" O% v& ]0 [# y. q1 _2 w    end$ J) {1 W% m1 a7 L
3 X, P5 x3 E& T1 n6 \# e5 z
    if isempty(path)
5 a( \" n% u) L) k        minCost = inf;
5 v( A! C9 s- [9 N' m    else
8 s4 d$ G' Z7 H3 z. e9 {4 m        % 计算增广路径上的最小费用0 H4 @" q8 e3 D. ?1 y
        minCost = min(cost(path(1:end-1), path(2:end)));
# H3 Y8 t6 v" B" `) f, h    end
% b+ T; Z0 J! w% U7 _. Pend( d: b: O' i' D2 ^
- ]: I4 G8 g# D3 v9 f. J+ d4 M
这个示例代码使用了 Bellman-Ford 算法找到最短路径,然后通过最小费用的边不断更新路径,直到找不到增广路径为止。请注意,这只是一个简单的示例,实际上,网络流问题中的最小费用最大流问题可能需要更复杂的算法,如 Zkw 算法或 Successive Shortest Path 算法。, U4 X6 {/ C3 g

! G* P& z' X) V4 F& a
" T& c, {: B) z9 s

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