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最小费用最大流问题

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发表于 2023-12-20 12:04 |只看该作者 |倒序浏览
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最小费用最大流问题是网络流问题的一种扩展,旨在在网络中找到一条从源点到汇点的流,使得最大流量的同时总费用最小。这个问题在实际应用中有许多场景,例如在网络设计、流量优化、运输规划等方面。
: V  a6 q' [5 g& `- V问题可以形式化为一个带权有向图,其中每条边上有一个容量表示最大流量,还有一个费用表示单位流量通过该边所需的成本。目标是找到一条从源点到汇点的路径,使得流量最大化的同时总费用最小。
) W! [- g& s# G/ }! S一种常见的解决方法是使用最短增广路径算法,其中 Dijkstra 算法或 Bellman-Ford 算法用于寻找最短路径。以下是一个简单的 MATLAB 代码示例,演示了最小费用最大流问题的解决:+ w( y! M# w( L( ?+ j! A
function [maxFlow, minCost] = minCostMaxFlow(capacity, cost, source, sink)
# \( v: R  p( ^2 ]! [    n = size(capacity, 1);4 Z# y  ?8 p! W) v& s7 U; B
0 x. f. r8 b; ~& \4 r- |
    % 使用最短增广路径算法6 B, i3 k: {0 n+ `* H
    [path, minCost] = shortestAugmentingPath(capacity, cost, source, sink);' l- u% `, Z$ N% m

+ C6 X. \  }( u9 q. w) u    % 初始化流矩阵6 O* l" s" J; h& h7 E+ r
    flow = zeros(n, n);
3 A. q* h3 a1 g' \1 e8 T8 j* T8 `/ x( ?: i
    % 增广路径循环% K  Z6 o; e# k2 d
    while ~isempty(path)
$ B0 k" u  ?% C4 R0 M* {, j; u        % 寻找路径上的最小剩余容量
, H1 N  P9 |2 K" O        minCapacity = min(capacity(path(1:end-1), path(2:end)));
1 a) ~+ d% P1 q' Q) I
4 R# Z. X% w+ ~$ o1 p* J+ O5 k  u        % 更新流矩阵和剩余容量6 l- k+ ^; i) u# l
        flow(path(1:end-1), path(2:end)) = flow(path(1:end-1), path(2:end)) + minCapacity;
4 L9 x& S' N: Y! `9 `$ C5 y        capacity(path(1:end-1), path(2:end)) = capacity(path(1:end-1), path(2:end)) - minCapacity;
$ S3 a0 v: d8 r" _) n        capacity(path(2:end), path(1:end-1)) = capacity(path(2:end), path(1:end-1)) + minCapacity;
4 P8 G' N6 g* c- Q8 ~! H# W. k, ?% I+ t8 l, {
        % 重新寻找增广路径* }& v( P+ i6 E* o/ n
        [path, minCost] = shortestAugmentingPath(capacity, cost, source, sink);: `' b" p& B1 ?3 M( n: @: Y
    end
. Y2 r! e" a5 b% I4 {
( i' I0 g. D+ S; T    % 计算总流量; e7 \* y& S/ _+ O, B9 E1 A4 N/ h! {
    maxFlow = sum(flow(source, );, @: G! `! I- \  _
end
7 o3 ^4 c6 T! U+ H4 o" Z
- b# C1 G+ z, p1 E, \% B9 A) F9 _function [path, minCost] = shortestAugmentingPath(capacity, cost, source, sink)
3 ?; h+ K' L) q/ U    n = size(capacity, 1);: B: j8 k! v: T9 B
    distance = inf(1, n);6 e- }) Z7 ~3 ~# S2 E- v( t7 W
    parent = zeros(1, n);
5 u) N$ u3 i/ i% N+ h& a4 f1 R    distance(source) = 0;; z( x. u  u- |# W4 _4 y1 L
. |/ ?: U" Y1 A; Q2 k9 ^
    % 使用 Bellman-Ford 算法找到最短路径
% u  @* Q2 @4 |5 ?    for k = 1:n-16 M4 z1 U' ^7 u) w# Z( R' q
        for i = 1:n
. Q* m$ ?# c% Z, ]7 O, Z* N) R            for j = 1:n; e( _. p* ~: ]" J  k/ d
                if capacity(i, j) > 0 && distance(i) + cost(i, j) < distance(j)6 f3 M! v/ V2 z  l& y. Z7 F% T
                    distance(j) = distance(i) + cost(i, j);
' T" s; q1 n5 o( S                    parent(j) = i;) l) @7 U9 ]' d: N8 g) Y5 ]
                end3 s& @! A# y) B/ R1 |1 D
            end
7 H) a/ V5 E/ B6 i        end6 @5 ~* d  ~1 R: W# E' Y
    end1 a2 W$ B* t0 b- }2 i5 E5 g# f
$ G- {: B/ e2 X$ G) N& ^# k6 X) U
    % 通过 parent 数组构建增广路径
8 C3 ^) i8 m/ ^0 e  @    path = [];
0 _% A# o) y$ U  b* P" v    current = sink;. T1 ~! i; ]" S1 W
    while current ~= source
/ Q  ?, v" J9 t8 R        path = [parent(current), path];
5 U7 U8 P4 s) \& A        current = parent(current);  o2 m- X% J/ \0 c  d! X
    end1 z8 Z$ ^: `& H' |; g$ P4 f

* d3 F0 f3 Z; v    if isempty(path)
4 O5 h1 [: t. M: `        minCost = inf;
8 ?$ G8 Z2 D  {7 n1 \    else
" k& H8 u+ ?0 T; f3 l        % 计算增广路径上的最小费用, V; Z* w) A9 F: J- \5 V5 Z* j7 w( D
        minCost = min(cost(path(1:end-1), path(2:end)));8 o. K; @8 U  W( I! \
    end
" U$ T8 K7 l( ^9 s- U1 i6 Zend8 p4 C# a6 _( B( ]3 j! I
; I& N( _1 L) U# `4 R% r$ w; \
这个示例代码使用了 Bellman-Ford 算法找到最短路径,然后通过最小费用的边不断更新路径,直到找不到增广路径为止。请注意,这只是一个简单的示例,实际上,网络流问题中的最小费用最大流问题可能需要更复杂的算法,如 Zkw 算法或 Successive Shortest Path 算法。
# k$ o2 t3 Q  s. f3 ]6 {9 u' T
2 `& A/ n- E4 u+ k2 I' [5 A8 z- w* J) p1 q2 L8 z

最小费用最大流.rar

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