matlab 实现共轭梯度法

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这段代码是关于共轭梯度法（Conjugate Gradient Method）的实现，用于解决线性代数系统 (Ax = b)。具体而言，它使用了预条件共轭梯度法（Preconditioned Conjugate Gradient, PCG）来求解具有对称正定系数矩阵 (A) 的线性方程组。
以下是代码的一些关键部分的解释：

1.(A) 和 (b)：给定的线性系统的系数矩阵和右侧向量。
' }6 ?$ x5 z) }7 F& q8 t2.(w)：一个权重参数，用于调整共轭梯度法的收敛性。
3.(D)：(A) 的对角矩阵。
- k" X4 w* M3 W# ~6 M  X* t4.(CL) 和 (CLZ)：分别是 (A) 的严格下三角和严格上三角。
5.(L)：预条件矩阵，通过 (L = (D - w \cdot CL) \cdot D^{1/2} / \sqrt{w \cdot (2 - w)}) 计算得到。
6.(M)： (M = L \cdot L^T)，用于预条件化。
7.(C)： (C = D^{-1} \cdot CL)。
8.(u)、(v)：初始的近似解和共轭梯度法中的辅助向量。
9.(rw)： (rw = g - B \cdot v)，其中 (B = L^{-1} \cdot A \cdot (L^{-1})^T)。
10.接下来是 PCG 的主要迭代过程，其中计算了共轭梯度法的一系列参数，如 (af)、(r1)、(zw)、(z1)、(bt)、(p)、(q) 等。
11.最终，通过迭代过程得到近似解 (u)。

1. A=[5,-4,1,0;-4,6,-4,1;1,-4,6,-4;0,1,-4,5];% |8 C8 Q. b. x& D1 ?
   
2. b=[2,-1,-1,2]';. @: G. G0 T. G( e' n
   
3. n=length(b);% b& B1 S( l. M: @3 l5 d9 }, L) m5 F& x
   
4. w=10;
   5 [9 O+ w. _. J' J/ g/ O* w
5. D=diag(diag(A));* {. C8 U\" O6 w- C; ^\" j
   
6. CL=-triu(A,1);5 |# y5 Q+ u\" }3 @1 J
   
7. CLZ=CL';
   % |$ z5 X/ I- g$ }6 l$ s' n  T
8. L=((D-w*CL)*D.^(1/2))/sqrt(w*(2-w));
   # C% w: C' M! K/ W6 x1 {
9. M=L*L';5 w5 l. }  }8 O* R9 Y
   
10. C=inv(D)*CL;
    + Q+ V. z+ h, m% j+ u/ V: k
11. u=[2,3,4,5]';' ]* @) R* }' u& X. w+ g
    
12. g=inv(L)*b;% D2 C9 _1 Q9 y' \, |/ \8 M9 }5 Y
    
13. B=inv(L)*A*inv(L)';
    ) ?; i/ q: B) i
14. v=L'*u;
    \" s2 n) _7 u- U
15. rw=g-B*v;
    3 A; Y5 I8 o) k& L. t9 J8 r
16. r=L*rw;+ w* {! `- }8 I- d$ k7 M: j6 e7 A
    
17. p=inv(M)*r;
    0 W2 K0 w  w9 l8 z0 `& D2 V9 s4 k
18. z=p;
    2 m) @' c. r8 a6 P; r+ S
19. q=A*p;, S. R/ L- f- v) u# _0 [
    
20. for i=1:502 U; q, k1 z1 C$ l$ h, Q; j7 A5 U1 ]
    
21.     af=r'*z/(p'*q);. ~0 t# H3 u+ |7 K: G, \
    
22.     u=u+af*p% }4 B\" [. q3 r1 e( D2 B( ?
    
23.     r1=r-af*q;
    / ]7 B; |0 E$ \/ ^+ |3 y
24.     zw=(eye(n)-w*C)*D.^(1/2)\(w*(w-2)*r1);% t  W* P# L! e8 n( D
    
25.     z1=D.^(1/2)*(eye(n)-w*C')\zw;
    ( K5 |7 J+ k4 e4 g$ }
26.     bt=r1'*z1/(r'*z);
    : ~' j/ z/ y; `2 s
27.     p=z1+bt*p;4 ?# t2 z7 a) _, ~: y0 f' E% _
    
28.     q=A*p;
    - V& X# H6 R, v  y0 ]/ M) U# m
29. end
    3 @# b6 t0 l! x' z6 f- Y
30.   % Boundary condition.+ |2 q6 I  n8 N- i% v1 F8 l! x2 u
    
31. % zw(:,1) = 0;$ A% S7 i0 G. W& P6 g* y: r
    
32.   %zw(:,n) = 0;
    ! r) G, b2 z* y+ o9 h
33.   %z(:,1) = 0;
    ) e; X, t9 h* h9 m, v
34.   %z(:,n) = 0;3 G( l& [3 w; ]% E3 f\" d
    
35.   %for i=2:10
    # c! n# @. m$ ~
36.    %   for j=2:10& p( K  A( E5 P! s1 @2 ~
    
37.     %  zw(i,j)=w*(zw(i,j-1)+z(i-1,j))/4+w*(2-w)*

复制代码

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