matlab 实现共轭梯度法

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这段代码是关于共轭梯度法（Conjugate Gradient Method）的实现，用于解决线性代数系统 (Ax = b)。具体而言，它使用了预条件共轭梯度法（Preconditioned Conjugate Gradient, PCG）来求解具有对称正定系数矩阵 (A) 的线性方程组。
以下是代码的一些关键部分的解释：
3 w6 ]1 `7 Y# |8 Q" c
1.(A) 和 (b)：给定的线性系统的系数矩阵和右侧向量。
! q# C: `- m+ c( |* o: l5 i2 S1 Z2.(w)：一个权重参数，用于调整共轭梯度法的收敛性。
3.(D)：(A) 的对角矩阵。
4.(CL) 和 (CLZ)：分别是 (A) 的严格下三角和严格上三角。
  V. q( l/ f& b! K$ x% B5.(L)：预条件矩阵，通过 (L = (D - w \cdot CL) \cdot D^{1/2} / \sqrt{w \cdot (2 - w)}) 计算得到。
6.(M)： (M = L \cdot L^T)，用于预条件化。
; f% d/ k- U: b7 h5 S7.(C)： (C = D^{-1} \cdot CL)。
8.(u)、(v)：初始的近似解和共轭梯度法中的辅助向量。
9.(rw)： (rw = g - B \cdot v)，其中 (B = L^{-1} \cdot A \cdot (L^{-1})^T)。
10.接下来是 PCG 的主要迭代过程，其中计算了共轭梯度法的一系列参数，如 (af)、(r1)、(zw)、(z1)、(bt)、(p)、(q) 等。
11.最终，通过迭代过程得到近似解 (u)。

1. A=[5,-4,1,0;-4,6,-4,1;1,-4,6,-4;0,1,-4,5];7 D6 ^8 [$ ?3 \9 H' F% D6 j
   
2. b=[2,-1,-1,2]';  y' e$ X+ n9 C7 b. P
   
3. n=length(b);
   9 n1 J6 [0 a& [! ]
4. w=10;: g2 \0 x# k5 ~' O  t
   
5. D=diag(diag(A));1 Q3 e) K$ G5 L5 u
   
6. CL=-triu(A,1);( \) [% B, D  R- i4 I
   
7. CLZ=CL';2 Q0 @0 t, {+ D# z. v* D. |
   
8. L=((D-w*CL)*D.^(1/2))/sqrt(w*(2-w));- r$ o! g6 j2 e% Q, Z\" G5 A8 N+ K2 `
   
9. M=L*L';
   ' F4 n3 W( Z9 S
10. C=inv(D)*CL;\" E1 J( s3 x' Z0 B' m8 a
    
11. u=[2,3,4,5]';
    ) q! j: e* K1 D; K
12. g=inv(L)*b;
    * [  ~! ^# Z4 a8 N' l
13. B=inv(L)*A*inv(L)';4 k. e5 ]% I# c3 g! x
    
14. v=L'*u;
    . I7 z- v/ W8 F0 \$ G\" F% k0 I+ _
15. rw=g-B*v;
    5 t$ C! S- B* V/ \2 h; ~$ S+ s
16. r=L*rw;
    ' u* o4 B. }: m7 d( c& c
17. p=inv(M)*r;( `/ g2 _: L/ o: }1 e
    
18. z=p;, b0 W2 E. G; N0 \) k
    
19. q=A*p;' u. u4 d9 {5 \2 {
    
20. for i=1:50
    - k% l( {9 G# z3 U5 k2 [0 C8 s' O
21.     af=r'*z/(p'*q);
    9 y/ O' U( Y8 S( ^( \% G4 a
22.     u=u+af*p
    # n4 a# P9 _9 Y) U; p. h\" a
23.     r1=r-af*q;
    7 y; s4 g! A( k+ c! o4 m
24.     zw=(eye(n)-w*C)*D.^(1/2)\(w*(w-2)*r1);
    \" ^; E' @. o4 \\" u1 L
25.     z1=D.^(1/2)*(eye(n)-w*C')\zw;( o: O/ D1 t1 M4 @4 e
    
26.     bt=r1'*z1/(r'*z);
    - U3 g8 ]! V4 D2 k! E4 y2 b6 F
27.     p=z1+bt*p;5 U! l# y% Q& p$ P2 i5 J
    
28.     q=A*p;
    & [, A7 N, X3 i\" T+ d) Y& G
29. end+ T\" }9 B* L2 C  Z5 O2 V; j
    
30.   % Boundary condition.+ T* U/ S5 h5 w/ n; d
    
31. % zw(:,1) = 0;
    6 Y7 {5 P' k8 e. F6 a
32.   %zw(:,n) = 0;
    / T* D; D' J1 G+ \) L8 g, E' @
33.   %z(:,1) = 0;
    9 J- W4 T* `- D* L
34.   %z(:,n) = 0;
    * d8 b; S7 y# d4 X* f5 A- n
35.   %for i=2:10
    + ?: t! p' f) n8 |6 f
36.    %   for j=2:10/ Y3 [: e! z8 n6 ^! W
    
37.     %  zw(i,j)=w*(zw(i,j-1)+z(i-1,j))/4+w*(2-w)*

复制代码

。

1 w$ ~0 w+ [' G2 K' ^" Z+ Y2 }3 J
% I" X# O# {* I8 k1 A- {