matlab 实现共轭梯度法

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这段代码是关于共轭梯度法（Conjugate Gradient Method）的实现，用于解决线性代数系统 (Ax = b)。具体而言，它使用了预条件共轭梯度法（Preconditioned Conjugate Gradient, PCG）来求解具有对称正定系数矩阵 (A) 的线性方程组。
1 x% y3 F2 E1 @8 ]- I* H% _# @* A以下是代码的一些关键部分的解释：
- N/ y, R8 @( Q! j% ^+ W
3 |: M- Y0 P, V3 E1.(A) 和 (b)：给定的线性系统的系数矩阵和右侧向量。
2.(w)：一个权重参数，用于调整共轭梯度法的收敛性。
9 c0 Y" J! r; J! R1 H8 |3.(D)：(A) 的对角矩阵。
4.(CL) 和 (CLZ)：分别是 (A) 的严格下三角和严格上三角。
5.(L)：预条件矩阵，通过 (L = (D - w \cdot CL) \cdot D^{1/2} / \sqrt{w \cdot (2 - w)}) 计算得到。
6.(M)： (M = L \cdot L^T)，用于预条件化。
7.(C)： (C = D^{-1} \cdot CL)。
8.(u)、(v)：初始的近似解和共轭梯度法中的辅助向量。
9.(rw)： (rw = g - B \cdot v)，其中 (B = L^{-1} \cdot A \cdot (L^{-1})^T)。
10.接下来是 PCG 的主要迭代过程，其中计算了共轭梯度法的一系列参数，如 (af)、(r1)、(zw)、(z1)、(bt)、(p)、(q) 等。
" _  _7 G" ]; v$ M% o" ]& r9 W0 n11.最终，通过迭代过程得到近似解 (u)。

1. A=[5,-4,1,0;-4,6,-4,1;1,-4,6,-4;0,1,-4,5];+ E0 ]. M$ }% o2 y\" _  Y
   
2. b=[2,-1,-1,2]';7 m% v3 R; z8 ]
   
3. n=length(b);( `( n\" P6 C; I6 Q( p/ D\" E
   
4. w=10;
   - C7 ?  {# _' v- ]; r6 x7 _- n+ C
5. D=diag(diag(A));  j. G, \3 S0 N
   
6. CL=-triu(A,1);
   % Q& A. C+ r( n% I) f& f( V. Z
7. CLZ=CL';) }$ `  k) X/ ~
   
8. L=((D-w*CL)*D.^(1/2))/sqrt(w*(2-w));
   ( N. ]5 H4 v6 J; N/ L4 [
9. M=L*L';
   1 ?8 F( w8 v; w/ ?
10. C=inv(D)*CL;$ y4 J- a$ Y3 I* U! j
    
11. u=[2,3,4,5]';/ J+ Q# M7 Q! a, Y2 z; Y5 @) k
    
12. g=inv(L)*b;  d3 C/ d% {6 `# v
    
13. B=inv(L)*A*inv(L)';
    - R8 S  Z% j7 E3 M% O
14. v=L'*u;% P6 ^( @( a# v* ^
    
15. rw=g-B*v;\" X. n- ^8 _% ^8 ]+ E8 X
    
16. r=L*rw;+ U, f) h0 B  H) I- Q* @
    
17. p=inv(M)*r;
    # _* Z( A; H3 ]: K
18. z=p;
    ( p5 i/ L) x! l6 g6 ?2 Q
19. q=A*p;; s\" q' d& Z5 ~* y' B' K  j
    
20. for i=1:50
    2 {0 K- o$ Z1 G& o\" T' D2 Z# W- d
21.     af=r'*z/(p'*q);5 R, B& g0 b1 B& f) E1 ], G3 w9 c, H
    
22.     u=u+af*p9 M6 J9 c3 \9 f, p7 L
    
23.     r1=r-af*q;/ W* f7 F- H9 }: K4 h9 f
    
24.     zw=(eye(n)-w*C)*D.^(1/2)\(w*(w-2)*r1);: ], z  E) X4 X/ @# q4 f
    
25.     z1=D.^(1/2)*(eye(n)-w*C')\zw;
    2 k4 l8 Y1 ^8 R7 Y' b: B, H
26.     bt=r1'*z1/(r'*z);2 y  S# O' \  _2 @
    
27.     p=z1+bt*p;
    * Z1 a0 m; z# o+ F; v9 J\" i( |
28.     q=A*p;) ?, h% M/ O1 Z' J! {2 ?
    
29. end
    7 N% s. N! ]* L6 w9 {) m5 p
30.   % Boundary condition.
    5 J$ R, c' t& h2 C5 F1 s3 c9 {
31. % zw(:,1) = 0;( q9 J  y* b% [8 M- J5 i9 e
    
32.   %zw(:,n) = 0;: Q  q$ |2 z' N$ \+ J  m& Y
    
33.   %z(:,1) = 0;
    * p2 t& \7 n: p\" \\" J
34.   %z(:,n) = 0;
    ! u1 K* B+ v  D9 l
35.   %for i=2:10
    : ^. |% n. a. e2 }& l6 H* t
36.    %   for j=2:10
    / M* Y2 T1 B7 u$ }4 p; M6 I
37.     %  zw(i,j)=w*(zw(i,j-1)+z(i-1,j))/4+w*(2-w)*

复制代码

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# R2 V: X1 P7 J/ _! |