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这段代码是关于共轭梯度法(Conjugate Gradient Method)的实现,用于解决线性代数系统 (Ax = b)。具体而言,它使用了预条件共轭梯度法(Preconditioned Conjugate Gradient, PCG)来求解具有对称正定系数矩阵 (A) 的线性方程组。/ f8 s: w. R6 J$ w7 l$ [0 k0 Q: F
以下是代码的一些关键部分的解释:
9 q( s: f! @. ~# p9 Y: k+ T. o) d6 d# y: P, T5 L
1.(A) 和 (b):给定的线性系统的系数矩阵和右侧向量。
" G. V' e/ U; F4 a7 e/ h2.(w):一个权重参数,用于调整共轭梯度法的收敛性。; b' _3 j8 a6 V- S# e
3.(D):(A) 的对角矩阵。
, u8 n2 f, Z- @: e# K* S* n4.(CL) 和 (CLZ):分别是 (A) 的严格下三角和严格上三角。
: v6 d7 J' c5 O, b# g: M3 N5.(L):预条件矩阵,通过 (L = (D - w \cdot CL) \cdot D^{1/2} / \sqrt{w \cdot (2 - w)}) 计算得到。6 N$ u! c2 |0 o/ P0 b1 K& b4 i' D
6.(M): (M = L \cdot L^T),用于预条件化。
4 s) S1 h/ c. P7 f1 ]/ E7.(C): (C = D^{-1} \cdot CL)。
( Q. v# |2 r( I* Y8 k8.(u)、(v):初始的近似解和共轭梯度法中的辅助向量。: d8 L2 j# F' H# L R; ^0 o
9.(rw): (rw = g - B \cdot v),其中 (B = L^{-1} \cdot A \cdot (L^{-1})^T)。
2 J5 E& C# _7 p& i1 P" y" @5 ]10.接下来是 PCG 的主要迭代过程,其中计算了共轭梯度法的一系列参数,如 (af)、(r1)、(zw)、(z1)、(bt)、(p)、(q) 等。: \+ C) {# r) ~) n7 u5 e N+ Q1 h3 |' Z
11.最终,通过迭代过程得到近似解 (u)。- A=[5,-4,1,0;-4,6,-4,1;1,-4,6,-4;0,1,-4,5];+ W+ a$ k3 T5 y6 R* k$ n% D7 v+ a
- b=[2,-1,-1,2]';- s8 N3 G, R# s4 B
- n=length(b);
2 q: ]8 ^; u9 r/ [ - w=10;
; F* ^# H/ \# L! P- q# n - D=diag(diag(A));9 K4 ~\" u, A( i6 s9 l
- CL=-triu(A,1);
% y5 ^# u3 S2 m2 R! Z\" W - CLZ=CL';2 {% q3 S: I; C- ^1 n4 q
- L=((D-w*CL)*D.^(1/2))/sqrt(w*(2-w));! N) @! _- ^7 a& _& P: B& _
- M=L*L';
\" }2 g0 [: V& D- N0 ^. ]8 N - C=inv(D)*CL;7 ]\" W2 h\" y' D
- u=[2,3,4,5]';
% p% Z4 _' b$ s - g=inv(L)*b;
' h# x& H! U7 M( ` - B=inv(L)*A*inv(L)';
4 ?- ^& R! N2 G+ f2 N H; q - v=L'*u;
! R! W; _& k4 o\" x- L - rw=g-B*v;9 E5 ?: S6 }, _9 x
- r=L*rw;5 u0 T) y+ {4 m% c6 H& w
- p=inv(M)*r;: C9 g* [# [- L\" ~) Z\" D. D
- z=p;4 ~* w+ g\" _! p9 y
- q=A*p;
( E. h9 l: j7 I- c - for i=1:50
7 T' Q9 o8 e\" {7 c. G& M6 k - af=r'*z/(p'*q);1 P/ O# G5 q( X$ @- U+ k0 ^
- u=u+af*p
7 B m3 D; T, ]' z# ? - r1=r-af*q;
& l# U9 {3 _/ y, e& k0 Q. X5 @$ D; j - zw=(eye(n)-w*C)*D.^(1/2)\(w*(w-2)*r1);
) ?% F$ [/ a% P - z1=D.^(1/2)*(eye(n)-w*C')\zw;
0 d; s\" k6 f3 p2 `; X L - bt=r1'*z1/(r'*z);4 m0 e; _- L: G) ~
- p=z1+bt*p;
# \+ z/ u8 ]' T - q=A*p;
* e& ~6 w$ [, G! v' W7 ` - end P1 G2 X5 P, K( z5 _5 \
- % Boundary condition.3 Q5 P- A, y0 ~3 c' _. Z( T! p
- % zw(:,1) = 0;
2 \ y+ D* |& u. i - %zw(:,n) = 0;; R* b3 A9 O# }
- %z(:,1) = 0;
8 ^: Q2 X# t' L m8 N$ d, L7 v( _ - %z(:,n) = 0;7 a7 L2 R# ^3 [3 l4 z) b! S
- %for i=2:10
* t7 \4 B+ A2 o. {; G+ j - % for j=2:10
- e9 d& e% J& ?5 S. k- u' T - % zw(i,j)=w*(zw(i,j-1)+z(i-1,j))/4+w*(2-w)*
复制代码 。
. ~0 b' c! ]3 Z; V7 Q0 @: b7 T% F8 _4 i9 u
* K3 F. S7 I- ]7 F
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