matlab 实现共轭梯度法

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这段代码是关于共轭梯度法（Conjugate Gradient Method）的实现，用于解决线性代数系统 (Ax = b)。具体而言，它使用了预条件共轭梯度法（Preconditioned Conjugate Gradient, PCG）来求解具有对称正定系数矩阵 (A) 的线性方程组。
6 a. X- K1 B) \& G以下是代码的一些关键部分的解释：
7 ^. I* d* S; E% l& T! ?* _
  C) R3 u1 C) J, S" k& v; X1.(A) 和 (b)：给定的线性系统的系数矩阵和右侧向量。
2.(w)：一个权重参数，用于调整共轭梯度法的收敛性。
/ {5 v6 U7 W3 ]3.(D)：(A) 的对角矩阵。
. ?5 K+ I3 `3 q1 Y4.(CL) 和 (CLZ)：分别是 (A) 的严格下三角和严格上三角。
5.(L)：预条件矩阵，通过 (L = (D - w \cdot CL) \cdot D^{1/2} / \sqrt{w \cdot (2 - w)}) 计算得到。
6.(M)： (M = L \cdot L^T)，用于预条件化。
7.(C)： (C = D^{-1} \cdot CL)。
. [) j1 f' I+ X* d8.(u)、(v)：初始的近似解和共轭梯度法中的辅助向量。
9.(rw)： (rw = g - B \cdot v)，其中 (B = L^{-1} \cdot A \cdot (L^{-1})^T)。
10.接下来是 PCG 的主要迭代过程，其中计算了共轭梯度法的一系列参数，如 (af)、(r1)、(zw)、(z1)、(bt)、(p)、(q) 等。
11.最终，通过迭代过程得到近似解 (u)。

1. A=[5,-4,1,0;-4,6,-4,1;1,-4,6,-4;0,1,-4,5];7 t& H4 x2 l& M+ J/ n2 a0 i
   
2. b=[2,-1,-1,2]';# o0 r: w3 e9 K  m4 z\" e% x1 s
   
3. n=length(b);# M/ M9 w+ \) s
   
4. w=10;+ Z+ l\" Z1 s6 p: q6 E. S
   
5. D=diag(diag(A));
   ) T6 A% i/ J; t\" J9 N
6. CL=-triu(A,1);$ k9 O! n\" M& [6 y9 a  A4 _/ m9 ~
   
7. CLZ=CL';; B# |\" _\" t7 D# }5 R) |
   
8. L=((D-w*CL)*D.^(1/2))/sqrt(w*(2-w));% A$ a* N2 W# q; |
   
9. M=L*L';
   + a( f% m; Y! f2 `\" S: C
10. C=inv(D)*CL;3 O9 N) G. d( G+ l/ U
    
11. u=[2,3,4,5]';
    2 y6 m0 k6 i) |; |
12. g=inv(L)*b;8 W- [9 J/ U( N! w
    
13. B=inv(L)*A*inv(L)';
    $ u; E6 y) ^3 t
14. v=L'*u;' E) g5 g% h; [/ x4 S
    
15. rw=g-B*v;* l& B  A& Y4 R' e- e* S
    
16. r=L*rw;  c0 W$ E; _3 M% e& W/ c
    
17. p=inv(M)*r;
    9 O% G. I3 Z# j
18. z=p;0 [\" i\" b8 w5 a, \% T5 r9 g
    
19. q=A*p;
    ' O\" k* j0 c' _
20. for i=1:50
    ) C7 j3 ^! p  x! U' t
21.     af=r'*z/(p'*q);! A3 }7 ?+ ~& w4 F* T0 \
    
22.     u=u+af*p
    # C) D' a2 Y9 H\" E( R
23.     r1=r-af*q;
    8 I2 W# [( q5 \% N! w+ r7 x2 L7 v
24.     zw=(eye(n)-w*C)*D.^(1/2)\(w*(w-2)*r1);\" ~& |# w4 ?* h- P% ?5 ]- {( M/ f
    
25.     z1=D.^(1/2)*(eye(n)-w*C')\zw;, ?- x8 H# M) T6 A- w
    
26.     bt=r1'*z1/(r'*z);$ E* Z. I6 B( V; J
    
27.     p=z1+bt*p;
    - v! c2 m% w) t
28.     q=A*p;
    - y0 K, M% Z4 |' u
29. end
    + s( ]; v# d( n0 o\" Q9 Z0 D& |
30.   % Boundary condition.+ g% Q$ I9 h& @# w  r' {: S! n
    
31. % zw(:,1) = 0;
    , c8 p9 i! u8 F) H4 c- C* L
32.   %zw(:,n) = 0;4 e5 g' @! I+ D5 _. s
    
33.   %z(:,1) = 0;+ j5 k7 t) y0 W9 f( r
    
34.   %z(:,n) = 0;4 [- g& f9 Y  d( _8 O0 M- S
    
35.   %for i=2:10
    \" `$ P; f\" D; L\" y7 _9 c4 u! [
36.    %   for j=2:10\" R/ d2 x+ D* {7 `/ G+ D
    
37.     %  zw(i,j)=w*(zw(i,j-1)+z(i-1,j))/4+w*(2-w)*

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* O3 ~" ~6 f  K: ~, Q9 p' D
$ c8 F, _6 B7 t