matlab 实现共轭梯度法

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这段代码是关于共轭梯度法（Conjugate Gradient Method）的实现，用于解决线性代数系统 (Ax = b)。具体而言，它使用了预条件共轭梯度法（Preconditioned Conjugate Gradient, PCG）来求解具有对称正定系数矩阵 (A) 的线性方程组。
以下是代码的一些关键部分的解释：
9 q( s: f! @. ~# p9 Y: k
1.(A) 和 (b)：给定的线性系统的系数矩阵和右侧向量。
" G. V' e/ U; F4 a7 e/ h2.(w)：一个权重参数，用于调整共轭梯度法的收敛性。
3.(D)：(A) 的对角矩阵。
, u8 n2 f, Z- @: e# K* S* n4.(CL) 和 (CLZ)：分别是 (A) 的严格下三角和严格上三角。
: v6 d7 J' c5 O, b# g: M3 N5.(L)：预条件矩阵，通过 (L = (D - w \cdot CL) \cdot D^{1/2} / \sqrt{w \cdot (2 - w)}) 计算得到。
6.(M)： (M = L \cdot L^T)，用于预条件化。
4 s) S1 h/ c. P7 f1 ]/ E7.(C)： (C = D^{-1} \cdot CL)。
( Q. v# |2 r( I* Y8 k8.(u)、(v)：初始的近似解和共轭梯度法中的辅助向量。
9.(rw)： (rw = g - B \cdot v)，其中 (B = L^{-1} \cdot A \cdot (L^{-1})^T)。
2 J5 E& C# _7 p& i1 P" y" @5 ]10.接下来是 PCG 的主要迭代过程，其中计算了共轭梯度法的一系列参数，如 (af)、(r1)、(zw)、(z1)、(bt)、(p)、(q) 等。
11.最终，通过迭代过程得到近似解 (u)。

1. A=[5,-4,1,0;-4,6,-4,1;1,-4,6,-4;0,1,-4,5];+ W+ a$ k3 T5 y6 R* k$ n% D7 v+ a
   
2. b=[2,-1,-1,2]';- s8 N3 G, R# s4 B
   
3. n=length(b);
   2 q: ]8 ^; u9 r/ [
4. w=10;
   ; F* ^# H/ \# L! P- q# n
5. D=diag(diag(A));9 K4 ~\" u, A( i6 s9 l
   
6. CL=-triu(A,1);
   % y5 ^# u3 S2 m2 R! Z\" W
7. CLZ=CL';2 {% q3 S: I; C- ^1 n4 q
   
8. L=((D-w*CL)*D.^(1/2))/sqrt(w*(2-w));! N) @! _- ^7 a& _& P: B& _
   
9. M=L*L';
   \" }2 g0 [: V& D- N0 ^. ]8 N
10. C=inv(D)*CL;7 ]\" W2 h\" y' D
    
11. u=[2,3,4,5]';
    % p% Z4 _' b$ s
12. g=inv(L)*b;
    ' h# x& H! U7 M( `
13. B=inv(L)*A*inv(L)';
    4 ?- ^& R! N2 G+ f2 N  H; q
14. v=L'*u;
    ! R! W; _& k4 o\" x- L
15. rw=g-B*v;9 E5 ?: S6 }, _9 x
    
16. r=L*rw;5 u0 T) y+ {4 m% c6 H& w
    
17. p=inv(M)*r;: C9 g* [# [- L\" ~) Z\" D. D
    
18. z=p;4 ~* w+ g\" _! p9 y
    
19. q=A*p;
    ( E. h9 l: j7 I- c
20. for i=1:50
    7 T' Q9 o8 e\" {7 c. G& M6 k
21.     af=r'*z/(p'*q);1 P/ O# G5 q( X$ @- U+ k0 ^
    
22.     u=u+af*p
    7 B  m3 D; T, ]' z# ?
23.     r1=r-af*q;
    & l# U9 {3 _/ y, e& k0 Q. X5 @$ D; j
24.     zw=(eye(n)-w*C)*D.^(1/2)\(w*(w-2)*r1);
    ) ?% F$ [/ a% P
25.     z1=D.^(1/2)*(eye(n)-w*C')\zw;
    0 d; s\" k6 f3 p2 `; X  L
26.     bt=r1'*z1/(r'*z);4 m0 e; _- L: G) ~
    
27.     p=z1+bt*p;
    # \+ z/ u8 ]' T
28.     q=A*p;
    * e& ~6 w$ [, G! v' W7 `
29. end  P1 G2 X5 P, K( z5 _5 \
    
30.   % Boundary condition.3 Q5 P- A, y0 ~3 c' _. Z( T! p
    
31. % zw(:,1) = 0;
    2 \  y+ D* |& u. i
32.   %zw(:,n) = 0;; R* b3 A9 O# }
    
33.   %z(:,1) = 0;
    8 ^: Q2 X# t' L  m8 N$ d, L7 v( _
34.   %z(:,n) = 0;7 a7 L2 R# ^3 [3 l4 z) b! S
    
35.   %for i=2:10
    * t7 \4 B+ A2 o. {; G+ j
36.    %   for j=2:10
    - e9 d& e% J& ?5 S. k- u' T
37.     %  zw(i,j)=w*(zw(i,j-1)+z(i-1,j))/4+w*(2-w)*

复制代码

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. ~0 b' c! ]3 Z; V7 Q0 @: b