matlab 实现共轭梯度法

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这段代码是关于共轭梯度法（Conjugate Gradient Method）的实现，用于解决线性代数系统 (Ax = b)。具体而言，它使用了预条件共轭梯度法（Preconditioned Conjugate Gradient, PCG）来求解具有对称正定系数矩阵 (A) 的线性方程组。
- w/ x, [& ?# Z: p3 M以下是代码的一些关键部分的解释：

$ V! t4 Y0 I' u( Z% K1 O$ C. t1.(A) 和 (b)：给定的线性系统的系数矩阵和右侧向量。
2.(w)：一个权重参数，用于调整共轭梯度法的收敛性。
  L! H  A7 f: h$ u, r. J9 ?( e* a3.(D)：(A) 的对角矩阵。
4.(CL) 和 (CLZ)：分别是 (A) 的严格下三角和严格上三角。
/ k+ b5 A# i( y0 P( w  p5.(L)：预条件矩阵，通过 (L = (D - w \cdot CL) \cdot D^{1/2} / \sqrt{w \cdot (2 - w)}) 计算得到。
# c: F1 {( `) G$ b6.(M)： (M = L \cdot L^T)，用于预条件化。
7.(C)： (C = D^{-1} \cdot CL)。
8.(u)、(v)：初始的近似解和共轭梯度法中的辅助向量。
9 O# A& _0 ]- q( G9.(rw)： (rw = g - B \cdot v)，其中 (B = L^{-1} \cdot A \cdot (L^{-1})^T)。
10.接下来是 PCG 的主要迭代过程，其中计算了共轭梯度法的一系列参数，如 (af)、(r1)、(zw)、(z1)、(bt)、(p)、(q) 等。
- E5 u  E0 C( T- x/ j& R/ s2 o& |11.最终，通过迭代过程得到近似解 (u)。

1. A=[5,-4,1,0;-4,6,-4,1;1,-4,6,-4;0,1,-4,5];
   ' {* Z7 H$ K- h# {1 I, O
2. b=[2,-1,-1,2]';
   ) B% _& x4 Z1 B' C1 G. `
3. n=length(b);+ a& [/ B9 f- t
   
4. w=10;\" \  ]* q# t3 t! W* d! c! P6 {
   
5. D=diag(diag(A));
   : S$ |6 R1 X% ]* @' k* c0 w
6. CL=-triu(A,1);' Z1 q1 v7 q! [* V* I
   
7. CLZ=CL';
   ) }$ q* B8 a) u# a
8. L=((D-w*CL)*D.^(1/2))/sqrt(w*(2-w));
   7 S! V% g\" s7 R/ A9 b
9. M=L*L';
   7 V) p% g/ G4 I\" C, M8 c. ^' a! o
10. C=inv(D)*CL;7 P3 f9 }  {9 G& v/ [\" h; O% l6 E/ ^
    
11. u=[2,3,4,5]';
    5 e: U4 w& {4 m0 \
12. g=inv(L)*b;
    2 Z; L/ L. o% Q\" j7 c) l+ w
13. B=inv(L)*A*inv(L)';
    ! ^$ J' y3 R6 p+ Y! O5 E8 _
14. v=L'*u;
    9 _1 }( C' ]1 t7 [+ |
15. rw=g-B*v;
    - W* R4 L& Q, o, V( e( m
16. r=L*rw;
    # T- Z\" R5 L7 y( v# J# J: R8 x8 S
17. p=inv(M)*r;
    $ |2 e( B% n! f% e
18. z=p;, P  e1 ~! v0 D\" o& x
    
19. q=A*p;
    # P0 K  v% O3 i$ i( G
20. for i=1:50$ ]) D) F' |+ m; k$ b; S
    
21.     af=r'*z/(p'*q);1 }; T! _1 Y\" v. y
    
22.     u=u+af*p
    ! X5 q\" P. z8 o) d5 u* j3 n
23.     r1=r-af*q;
    \" T# j# C4 ^% p3 m; D' `7 w
24.     zw=(eye(n)-w*C)*D.^(1/2)\(w*(w-2)*r1);
    8 s. c. u, v  y9 |; @
25.     z1=D.^(1/2)*(eye(n)-w*C')\zw;
    . K; U7 Z' F! q\" X' ~
26.     bt=r1'*z1/(r'*z);
    \" Y; j. V+ L/ M% P
27.     p=z1+bt*p;
    7 w+ m! }- S# d7 [/ ]$ M2 c5 e
28.     q=A*p;7 K2 S7 x* Y8 w  P! A; N0 @
    
29. end7 }+ ]! p5 g; I
    
30.   % Boundary condition.
      o. n. m3 I% N. O- A\" a
31. % zw(:,1) = 0;# F  Y& V& s1 G\" K, _5 V- v1 d
    
32.   %zw(:,n) = 0;
    & E+ u) [) Z+ ]5 R2 p- [2 O6 |
33.   %z(:,1) = 0;  p1 O  \- J2 |% k7 T) h5 B
    
34.   %z(:,n) = 0;
    ) W8 e* W/ W! ]0 l) @6 C
35.   %for i=2:10
    ! D0 p+ R3 ^9 z5 F& G\" ?. s
36.    %   for j=2:10
    0 g) X\" N: V( S: W' ^
37.     %  zw(i,j)=w*(zw(i,j-1)+z(i-1,j))/4+w*(2-w)*

复制代码

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4 W5 @" b' x0 |6 \8 S7 p
; O# g- a# c; U+ a8 |