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matlab 实现共轭梯度法

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发表于 2023-12-30 19:54 |只看该作者 |倒序浏览
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这段代码是关于共轭梯度法(Conjugate Gradient Method)的实现,用于解决线性代数系统 (Ax = b)。具体而言,它使用了预条件共轭梯度法(Preconditioned Conjugate Gradient, PCG)来求解具有对称正定系数矩阵 (A) 的线性方程组。: @/ [8 T; @9 g6 |: U3 G, t1 P8 v8 _
以下是代码的一些关键部分的解释:: p5 p5 H: ^, m$ ?
, H5 i  w$ D( v' a
1.(A) 和 (b):给定的线性系统的系数矩阵和右侧向量。
' }6 ?$ x5 z) }7 F& q8 t2.(w):一个权重参数,用于调整共轭梯度法的收敛性。( t+ f& ~/ L9 H" h( |1 `8 R- [0 F+ j
3.(D):(A) 的对角矩阵。
- k" X4 w* M3 W# ~6 M  X* t4.(CL) 和 (CLZ):分别是 (A) 的严格下三角和严格上三角。. b; Q. B7 {; d; }) E
5.(L):预条件矩阵,通过 (L = (D - w \cdot CL) \cdot D^{1/2} / \sqrt{w \cdot (2 - w)}) 计算得到。( N) j: v; |) I1 W
6.(M): (M = L \cdot L^T),用于预条件化。% H: z5 ]4 {7 P. |* s6 T
7.(C): (C = D^{-1} \cdot CL)。- l5 y* n$ S' ^
8.(u)、(v):初始的近似解和共轭梯度法中的辅助向量。9 Z0 H  W8 |( o% T
9.(rw): (rw = g - B \cdot v),其中 (B = L^{-1} \cdot A \cdot (L^{-1})^T)。* K: b+ D" W4 h- w, q& D
10.接下来是 PCG 的主要迭代过程,其中计算了共轭梯度法的一系列参数,如 (af)、(r1)、(zw)、(z1)、(bt)、(p)、(q) 等。. g$ B, c2 U2 h. i5 `( I7 q$ @
11.最终,通过迭代过程得到近似解 (u)。
  1. A=[5,-4,1,0;-4,6,-4,1;1,-4,6,-4;0,1,-4,5];% |8 C8 Q. b. x& D1 ?
  2. b=[2,-1,-1,2]';. @: G. G0 T. G( e' n
  3. n=length(b);% b& B1 S( l. M: @3 l5 d9 }, L) m5 F& x
  4. w=10;
    5 [9 O+ w. _. J' J/ g/ O* w
  5. D=diag(diag(A));* {. C8 U\" O6 w- C; ^\" j
  6. CL=-triu(A,1);5 |# y5 Q+ u\" }3 @1 J
  7. CLZ=CL';
    % |$ z5 X/ I- g$ }6 l$ s' n  T
  8. L=((D-w*CL)*D.^(1/2))/sqrt(w*(2-w));
    # C% w: C' M! K/ W6 x1 {
  9. M=L*L';5 w5 l. }  }8 O* R9 Y
  10. C=inv(D)*CL;
    + Q+ V. z+ h, m% j+ u/ V: k
  11. u=[2,3,4,5]';' ]* @) R* }' u& X. w+ g
  12. g=inv(L)*b;% D2 C9 _1 Q9 y' \, |/ \8 M9 }5 Y
  13. B=inv(L)*A*inv(L)';
    ) ?; i/ q: B) i
  14. v=L'*u;
    \" s2 n) _7 u- U
  15. rw=g-B*v;
    3 A; Y5 I8 o) k& L. t9 J8 r
  16. r=L*rw;+ w* {! `- }8 I- d$ k7 M: j6 e7 A
  17. p=inv(M)*r;
    0 W2 K0 w  w9 l8 z0 `& D2 V9 s4 k
  18. z=p;
    2 m) @' c. r8 a6 P; r+ S
  19. q=A*p;, S. R/ L- f- v) u# _0 [
  20. for i=1:502 U; q, k1 z1 C$ l$ h, Q; j7 A5 U1 ]
  21.     af=r'*z/(p'*q);. ~0 t# H3 u+ |7 K: G, \
  22.     u=u+af*p% }4 B\" [. q3 r1 e( D2 B( ?
  23.     r1=r-af*q;
    / ]7 B; |0 E$ \/ ^+ |3 y
  24.     zw=(eye(n)-w*C)*D.^(1/2)\(w*(w-2)*r1);% t  W* P# L! e8 n( D
  25.     z1=D.^(1/2)*(eye(n)-w*C')\zw;
    ( K5 |7 J+ k4 e4 g$ }
  26.     bt=r1'*z1/(r'*z);
    : ~' j/ z/ y; `2 s
  27.     p=z1+bt*p;4 ?# t2 z7 a) _, ~: y0 f' E% _
  28.     q=A*p;
    - V& X# H6 R, v  y0 ]/ M) U# m
  29. end
    3 @# b6 t0 l! x' z6 f- Y
  30.   % Boundary condition.+ |2 q6 I  n8 N- i% v1 F8 l! x2 u
  31. % zw(:,1) = 0;$ A% S7 i0 G. W& P6 g* y: r
  32.   %zw(:,n) = 0;
    ! r) G, b2 z* y+ o9 h
  33.   %z(:,1) = 0;
    ) e; X, t9 h* h9 m, v
  34.   %z(:,n) = 0;3 G( l& [3 w; ]% E3 f\" d
  35.   %for i=2:10
    # c! n# @. m$ ~
  36.    %   for j=2:10& p( K  A( E5 P! s1 @2 ~
  37.     %  zw(i,j)=w*(zw(i,j-1)+z(i-1,j))/4+w*(2-w)*
复制代码
% v, f: g% l+ q! {
1 O7 E6 J3 `4 x
- f8 `0 E# \, i4 A& Z" u

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