matlab 实现共轭梯度法

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这段代码是关于共轭梯度法（Conjugate Gradient Method）的实现，用于解决线性代数系统 (Ax = b)。具体而言，它使用了预条件共轭梯度法（Preconditioned Conjugate Gradient, PCG）来求解具有对称正定系数矩阵 (A) 的线性方程组。
. C; Y# j( S9 l" N以下是代码的一些关键部分的解释：
" R5 U3 d+ ^0 K9 ?0 T
1.(A) 和 (b)：给定的线性系统的系数矩阵和右侧向量。
9 |$ a3 s% J. H2.(w)：一个权重参数，用于调整共轭梯度法的收敛性。
3.(D)：(A) 的对角矩阵。
' P" s0 n/ s2 M9 Z0 w- I6 W$ P3 J- @7 V9 a+ @4.(CL) 和 (CLZ)：分别是 (A) 的严格下三角和严格上三角。
$ K1 n+ V4 A$ j9 z5.(L)：预条件矩阵，通过 (L = (D - w \cdot CL) \cdot D^{1/2} / \sqrt{w \cdot (2 - w)}) 计算得到。
6.(M)： (M = L \cdot L^T)，用于预条件化。
4 {- _4 g# i! v% G2 D7.(C)： (C = D^{-1} \cdot CL)。
2 [$ e: A# h! K, h& f8.(u)、(v)：初始的近似解和共轭梯度法中的辅助向量。
9.(rw)： (rw = g - B \cdot v)，其中 (B = L^{-1} \cdot A \cdot (L^{-1})^T)。
10.接下来是 PCG 的主要迭代过程，其中计算了共轭梯度法的一系列参数，如 (af)、(r1)、(zw)、(z1)、(bt)、(p)、(q) 等。
! n) _* X; s' I- D8 v$ _11.最终，通过迭代过程得到近似解 (u)。

1. A=[5,-4,1,0;-4,6,-4,1;1,-4,6,-4;0,1,-4,5];0 u) v1 d2 Q8 S* h( H\" e5 k# E4 d
   
2. b=[2,-1,-1,2]';/ p2 }# s9 s' G
   
3. n=length(b);
   # r$ C, K* o0 H; t% ]: w7 @
4. w=10;( p  d+ `$ u) V6 L\" V
   
5. D=diag(diag(A));
   \" w: ?& E3 C3 V8 {
6. CL=-triu(A,1);
   + Y9 f4 Q% r: d
7. CLZ=CL';5 H) W4 K. Q7 l/ R
   
8. L=((D-w*CL)*D.^(1/2))/sqrt(w*(2-w));
   1 |; |( ~6 J  @1 q# s# s$ h( N
9. M=L*L';/ I4 @% \# D& ^% P. \
   
10. C=inv(D)*CL;: r! T* s2 T& F) H3 f% ~$ D\" _
    
11. u=[2,3,4,5]';+ r* e4 ~* i1 s, T( h. G0 p$ U- k7 b
    
12. g=inv(L)*b;
    $ e; L- ~+ [2 n
13. B=inv(L)*A*inv(L)';, T/ B/ Z& ?/ g
    
14. v=L'*u;5 M! V4 t$ |5 q) ^4 q3 E. e: n
    
15. rw=g-B*v;
    * D7 N. t3 r4 \8 ]: c$ @  C. n
16. r=L*rw;
    2 o* W9 c0 i: _2 n% F7 \3 T) E
17. p=inv(M)*r;9 v0 h- n0 y2 ]( v. S
    
18. z=p;
    5 T0 E7 Y- X' u6 u
19. q=A*p;
    % J, C# Q0 e( R$ a- A
20. for i=1:501 t* k9 Q1 M& ~5 P1 K' Z7 B# i
    
21.     af=r'*z/(p'*q);
    . C\" t* j) E1 M# o$ r+ }
22.     u=u+af*p
    9 g* Q- ?5 r/ i6 t- s
23.     r1=r-af*q;# G: V* j+ b$ F1 r
    
24.     zw=(eye(n)-w*C)*D.^(1/2)\(w*(w-2)*r1);\" ]( C6 R# Z! `; m, U& ~\" j) }
    
25.     z1=D.^(1/2)*(eye(n)-w*C')\zw;
    \" d$ A8 q0 E/ @# n% \- _
26.     bt=r1'*z1/(r'*z);8 t' ?  E8 U+ z5 ^% o2 {9 A
    
27.     p=z1+bt*p;# Q: V; @5 m1 ^5 q9 G
    
28.     q=A*p;
    ; [. |; a1 s' Q: P# A2 Y, p
29. end
    * d7 W9 P9 r1 c
30.   % Boundary condition.
    . e/ f+ `! s' p& l- }
31. % zw(:,1) = 0;' O7 F5 ]; H& M' G% [/ B
    
32.   %zw(:,n) = 0;1 x# u\" {8 x$ @: c. `
    
33.   %z(:,1) = 0;, |+ O1 y- W* y7 `$ {0 g
    
34.   %z(:,n) = 0;
    ; P6 C8 k& y) u
35.   %for i=2:101 ?, |3 B4 ]  M\" B
    
36.    %   for j=2:10
    , I4 I6 j9 u, _! }$ L6 O  b
37.     %  zw(i,j)=w*(zw(i,j-1)+z(i-1,j))/4+w*(2-w)*

复制代码

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7 G0 Z* h; I, F  Z! a/ V% d1 i. W