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matlab实现解决空间上的温度分布

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发表于 2023-12-30 19:57 |只看该作者 |倒序浏览

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这段 MATLAB 代码实现了一个求解一维热传导方程的显式差分方法。该方程描述了空间上的温度分布随时间的演变。
以下是代码的主要部分解释：

1.a 和 b：空间区域的起始和结束点。
2.m：空间网格的数量。
3.T：模拟的总时间。
4.N：时间步数。
5.af：空间步长和时间步长的比率。
6.f：表示初始条件的匿名函数，这里是 (f(x) = \sin(\pi x))。
7.h 和 k：空间和时间步长。
8.lmd：数值参数，与差分方程中的空间和时间步长有关。
9.x：在区间 ([a, b]) 上生成的空间网格点。
10.初始化向量 u，用于存储每个空间点在不同时间步的温度。
11.使用初始条件 (f(x)) 给 u 赋初值。
12.空间差分的系数 l 和 v 的初始化。
13.时间步进循环，其中使用显式差分方法更新空间网格上的温度分布。
14.计算真实解 true，这是通过解析解公式 (e^{-\pi^2 T} \sin(\pi x)) 计算得到的。
15.计算数值解与真实解之间的误差，并将结果打印输出。

这段代码的目的是模拟热传导问题，并比较数值解与解析解之间的差异。输出包含每个空间点的位置 (x)，数值解 u，真实解 true 以及它们之间的误差。

close all;, T6 x3 F( ]! m W& a3 g! j: f8 C) p
clear all;
+ H# [' v( R2 i. J T9 A
a=0;b=1;m=10;T=0.5;N=50;af=1;9 Y Z& A1 @* P! T
f=inline('sin(pi*x)','x');
$ j. g0 q( A: w( j
h=(b-a)/m;% R7 |2 p5 G6 a4 z }7 K
k=T/N;2 o1 C* U- B0 d3 A\" g
lmd=af^2*k/h^2;
B, y; ]: G$ F' R
x=linspace(a,b,m+1);( j& P- t7 P0 i# a i; P
x=x(2:m+1);
1 l4 x/ ?4 D4 {- U. O8 J2 K+ d) y
u(m)=0;
0 B\" g6 V# H3 J
for i=1:m-1$ k1 n: b. j6 S1 T7 u2 M
u(i)=f(i*h);
8 t, |4 V6 k7 a& T6 X* _2 R$ g
end
1 |' [* c& z) m- f9 W
l(1)=1+lmd;
8 I' g\" ?\" g* h1 R8 w: K4 I
v(1)=-lmd/(2*l(1));) H% l- a! g3 }4 t2 T4 e0 H\" {7 D! a) y
for i=2:m-2
\" d' V0 g2 F9 }3 q, F
l(i)=1+lmd+lmd*v(i-1)/2;
/ X, B% N7 I1 L2 I$ c' x2 m' H
v(i)=-lmd/(2*l(i));7 ^. U) z. }2 V
end$ Z7 n% K& V. d- `9 b
l(m-1)=1+lmd+lmd*v(m-2)/2;: j- h0 l* T6 s, Q( Z, G8 S
for j=1:N
5 ?* _: ?+ e# S' L
t=j*k;4 s. x( s/ i8 z% x
z(1)=[(1-lmd)*u(1)+lmd*u(2)/2]/l(1);
, R: j% N0 P5 Z8 O
for i=2:m-1
: J3 B; x6 {9 {! L\" m
z(i)=((1-lmd)*u(i)+lmd*(u(i+1)+u(i-1)+z(i-1))/2)/l(i);
' a$ j7 s U9 `/ n( ?# _4 a
end1 V% B\" `8 P\" f, H9 y; m
u(m-1)=z(m-1);+ c+ Z, T4 m+ i
for i=m-2:-1:1# g3 S% c; B; q/ ]) t9 P
u(i)=z(i)-v(i)*u(i+1);
5 y( d\" c8 }- k
end
0 ~, \8 V4 G+ ?/ Y
end
/ k3 Q$ I; B$ B, P$ x5 ], k
true=exp(-pi^2*T).*sin(pi*x);
% j8 B1 U- |# K8 {
error=abs(u'-true');
5 k# a2 Q; ? ?% `' N
re=[x' u' true' error]
+ g, u5 p% X. V' u8 S
P3 o, i7 g1 M* Z: j( y
\" f: j$ P\" Y, a9 x1 U' W- K6 @\" ~