隐式差分法来解热传导方程

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这段代码使用了隐式差分法来解热传导方程，并与精确解进行比较。以下是对代码的解释：

2 `; R6 c! y1 Y7 \6 {1.初始化：
+ H) X" _* s# t8 M
   a = 0;
   b = 1;
   m = 10; % 空间划分
   T = 0.5; % 最终时间
   N = 50; % 时间划分
   af = 1; % 松弛因子
: y/ Y. E& d9 i$ [: g( b: m   f = inline('sin(pi*x)', 'x'); % 初始条件
   h = (b - a) / m;
   k = T / N;
   lmd = af^2 * k / h^2;
% ?9 S6 G% Y' q) f0 V! T5 g   x = linspace(a, b, m+1);
* R, p8 o4 h  A   x = x(2:m);
! ~3 |: W1 ]3 K: A9 E  T  b8 w   i = 1:m-1;
7 w! u  s7 R1 N$ W4 V   u = f(i.*h); % 初始时刻的温度分布

在这一部分，初始化了问题的各个参数，包括空间划分 m、最终时间 T、时间步长 k、松弛因子 af 等。
/ P& i2 w: T% n1 p
2.隐式差分法求解：
" `; H6 l- S7 Y" C% x, e
   for j = 1:N
       t = j * k;
% [7 O5 w# B* q+ O0 v       u = trisys(-lmd * ones(m-2,1), 1 + 2*lmd * ones(m-1,1), -lmd * ones(m-2,1), u);
* n- f$ J/ ?. D   end
: }' z/ }3 P" _$ ]9 ~" u
* A4 B2 Y, K( O( G( c这一部分使用了隐式差分法，通过求解三对角线系统 trisys 来更新温度分布 u。隐式方法具有稳定性，适用于热传导等偏微分方程问题。

6 ?) P, r9 g, {! i5 k3.计算精确解和误差：
- X8 p. ]: ^) k, I9 P: X
   true = exp(-pi^2 * T) .* sin(pi * x);
   error = abs(u - true);
   re = [x', u', true', error'];

8 R9 w# v! ^1 c/ R: a& i在最后，计算了精确解 true，并计算了数值解与精确解之间的误差。

4.输出结果：

   re

最后，输出结果包括空间点 x、数值解 u、精确解 true 以及它们之间的误差。
; V: P: `7 j, b这段代码主要用于演示隐式差分法在热传导方程问题中的应用，并通过输出结果进行验证。
( n, e1 r7 A! ?4 F/ ]. C
" Z1 ^) K' A! T8 Y
1 L  y0 j, B& t  Y6 T) K8 B