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二维波动方程的差分解法

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发表于 2023-12-31 18:06 |只看该作者 |倒序浏览
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这段 MATLAB 代码实现了二维波动方程的差分解法,用于数值求解。主要使用了显式差分方法。以下是代码的主要解释:
, i7 J# Y5 [9 Zclose all;; t, f6 T" s+ M4 d2 M* w
clear all;
! |3 G/ a) S* x/ |6 O; T# ua = 0; b = 2; c = 0; d = 1;' e8 u  ?. ~# _+ G
n = 6; m = 5; TOL = 1e-10;8 u  }7 X! Y1 P  V5 u9 e
ITMAX = 100;% [* i5 W2 k# @0 C" |5 L( @
f = inline('x*exp(y)', 'x', 'y');- x' A0 ]" v2 z8 U5 i
ga = inline('0', 'x', 'y'); gb = inline('2*exp(y)', 'x', 'y');9 F5 ~0 Z! n/ f5 V4 G( i
gc = inline('x', 'x', 'y'); gd = inline('exp(1)*x', 'x', 'y');
" r* M' R; D, k: Oh = (b - a) / n;
) n9 ^8 ~' {4 a2 Z; ?k = (d - c) / m;" \7 k% H$ @+ J5 q' z9 z. @
x = linspace(a, b, n + 1);0 L8 E' \6 l$ ?) C; ~4 f" C" b
x = x(2:n);0 E. H+ i# T3 h
y = linspace(c, d, m + 1);
% T# g/ i+ T! m7 o. }% vy = y(2:m);7 m1 {; A/ r/ t0 K
u = zeros(n - 1, m - 1);0 ]  A6 k0 Z6 ^- S, Y
lmd = h^2 / k^2;
, I' D  q1 V: Z+ a$ H: W" Nmu = 2 * (1 + lmd);# ?# Z* l! S4 n% }' `
, C& r/ h3 Z; V  o3 p  g( ^
for k = 1:ITMAX/ ^' A# W) r8 b* v* v3 f
    z = (-h^2 * f(x(1), y(m - 1)) + ga(a, y(m - 1)) + lmd * gd(x(1), d) + ...
: ~: }: ~; o/ K1 S6 Q        lmd * u(1, m - 2) + u(2, m - 1)) / mu;
3 v3 m' e( o8 w: d# @1 w    u(1, m - 1) = z;; d/ d; ^# r+ z5 U$ G- Z

- X9 _, D+ C# n1 x    for i = 2:n - 2* T; D. \2 A! s3 T1 }
        z = (-h^2 * f(x(i), y(m - 1)) + lmd * gd(x(i), d) + u(i - 1, m - 1) + ...
- r. H8 r. O9 s- V3 C( c/ z            u(i + 1, m - 1) + lmd * u(i, m - 2)) / mu;+ L: K; e; x3 |# B
        u(i, m - 1) = z;0 d" }; O- s* Y1 ?
    end; q- n3 z7 t, `6 u& F

7 D2 K1 ?8 r5 K    z = (-h^2 * f(x(n - 1), y(m - 1)) + gb(b, y(m - 1)) + ...
& S4 k& H* i7 z) B* Y) w        lmd * gd(x(n - 1), d) + u(n - 2, m - 1) + lmd * u(n - 1, m - 2)) / mu;  x6 F- l% O+ U' U
    u(n - 1, m - 1) = z;& G/ |$ l* |: V! \0 d
2 b/ }5 i+ c7 K5 \- v
    for j = m - 2:-1:25 N' F- `( ?7 w9 v3 a4 v
        z = (-h^2 * f(x(1), y(j)) + ga(a, y(j)) + lmd * u(1, j + 1) + ...
' p* E: y' X8 M1 y            lmd * u(1, j - 1) + u(2, j)) / mu;
1 M8 P( I& |- t6 y$ [        u(1, j) = z;
' Z" |4 l9 `. W: `& F3 I5 o' K, v  T2 o) e
        for i = 2:n - 2$ l# C! x# W0 V
            z = (-h^2 * f(x(i), y(j)) + u(i - 1, j) + lmd * u(i, j + 1) + ...! s+ \6 H* ?# q7 `- U
                u(i + 1, j) + lmd * u(i, j - 1)) / mu;
1 v0 N0 b6 s* ^& q+ m            u(i, j) = z;. b+ g  e1 @/ p  v" S, H; _( O2 q( z
        end
, r' [% k& L+ y' ]: I5 y" i( q+ ]5 ]) K. ^9 V, J2 g) w; Q
        z = (-h^2 * f(x(n - 1), y(j)) + gb(b, y(j)) + u(n - 2, j) + ...2 ~; H0 F7 E& s* ?- \3 v
            lmd * u(n - 1, j + 1) + lmd * u(n - 1, j - 1)) / mu;: y0 c! I( ?0 {- J2 T+ Q# }( |3 J
        u(n - 1, j) = z;
; w5 s$ l9 W: V/ X' i+ k    end
5 ?9 V( `7 A- M! Q" k4 Y) q" ?; m9 s# b* k* p+ B
    z = (-h^2 * f(x(1), y(1)) + ga(a, y(1)) + lmd * gc(x(1), c) + ...4 \0 Q. J6 Q& i2 F
        lmd * u(1, 2) + u(2, 1)) / mu;, X' Q- ~1 o% a6 ^6 e( ?0 Q7 q
    u(1, 1) = z;
" T; h- ]  \+ y# \% v
; f' I8 {' a, Z- n9 H4 P$ ~    for i = 2:n - 2
  H1 |! e; U+ x2 }# E        z = (-h^2 * f(x(i), y(1)) + lmd * gc(x(i), c) + ...+ f3 V: b- K3 k) C' D/ g
            u(i - 1, 1) + lmd * u(i, 2) + u(i + 1, 1)) / mu;
! J$ w% }+ C4 ]7 t        u(i, 1) = z;
* f- X5 u6 y& j& H+ H; |8 [6 ?8 U    end2 f; a- M& `& Z" W/ d- ~

# Q4 v% f9 B" \+ Q$ V% ?; ^0 Y    z = (-h^2 * f(x(n - 1), y(1)) + gb(b, y(1)) + lmd * gc(x(n - 1), c) + ...
3 Y4 p% P. _4 t' n! x$ z        u(n - 2, 1) + lmd * u(n - 1, 2)) / mu;
- ]2 C* H2 R2 x0 Y    u(n - 1, 1) = z;
9 r+ g" b9 k3 x& B2 {# R
. v. ~7 G* v; Y- @# A! I2 {    x';6 u& x8 |% f& z! F% R! W
    y';5 L# e! j3 Q. |' v) u% R! H: O
    u';
; o2 u: h4 ~+ U2 uend
' k$ l3 `* m- _6 Y# w# ]: @+ e' z5 q! C( M
该代码通过显式差分方法逐步更新二维波动方程的数值解,直到达到最大迭代次数或误差小于指定的阈值。在每次迭代中,通过更新矩阵 u 中的元素来逼近方程的解。
& z. I( P% d" y" T& U6 b# [
2 G. Y" A& n. G1 w" g
& d; @4 W/ B- U5 h0 @0 c3 u, n$ ]% t
zan
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