二维波动方程的差分解法

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这段 MATLAB 代码实现了二维波动方程的差分解法，用于数值求解。主要使用了显式差分方法。以下是代码的主要解释：
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# i% d, K* ~: y6 da = 0; b = 2; c = 0; d = 1;
n = 6; m = 5; TOL = 1e-10;
ITMAX = 100;
0 K& U* X" z. Kf = inline('x*exp(y)', 'x', 'y');
+ I9 o& x& r* a1 \6 `! ^ga = inline('0', 'x', 'y'); gb = inline('2*exp(y)', 'x', 'y');
gc = inline('x', 'x', 'y'); gd = inline('exp(1)*x', 'x', 'y');
* n* y9 A4 _7 E. O' e5 Z  m+ ih = (b - a) / n;
3 |* y3 Q( a: b  T* Q( {) }k = (d - c) / m;
x = linspace(a, b, n + 1);
/ I- o8 G$ y+ j( v, F3 s, ^x = x(2:n);
2 E) Z. ]9 h8 Y9 b# d) Y# {+ g- Z- Yy = linspace(c, d, m + 1);
5 ^/ |( u. x; O: ~3 n" s' V  \" ^4 Ry = y(2:m);
" ^& k8 |: M$ v: Vu = zeros(n - 1, m - 1);
, }; T- x9 }6 Z4 G% Blmd = h^2 / k^2;
% F5 b4 [5 X/ K: ?: T2 d" t5 Gmu = 2 * (1 + lmd);

1 H/ Y+ t! ?3 V+ Efor k = 1:ITMAX
, ^2 o" V0 J& {# r  X    z = (-h^2 * f(x(1), y(m - 1)) + ga(a, y(m - 1)) + lmd * gd(x(1), d) + ...
8 M/ h# J5 D- ]) M; W/ p        lmd * u(1, m - 2) + u(2, m - 1)) / mu;
/ Q( J9 H: O  A" c1 c  T* n    u(1, m - 1) = z;
1 o5 [9 X% j  P4 N9 h; f4 h! @" @1 N
    for i = 2:n - 2
* A" s7 \2 A6 i" ~( [4 G        z = (-h^2 * f(x(i), y(m - 1)) + lmd * gd(x(i), d) + u(i - 1, m - 1) + ...
# t8 E3 K! y5 |$ m  A- q; \/ d2 L            u(i + 1, m - 1) + lmd * u(i, m - 2)) / mu;
( [/ F# _% A/ o4 s) ~, C        u(i, m - 1) = z;
    end
0 t7 {0 q3 g" Y7 g$ A5 _- Y$ w
    z = (-h^2 * f(x(n - 1), y(m - 1)) + gb(b, y(m - 1)) + ...
        lmd * gd(x(n - 1), d) + u(n - 2, m - 1) + lmd * u(n - 1, m - 2)) / mu;
    u(n - 1, m - 1) = z;

8 Q) c' T6 Q: ~6 D( p) \2 T# Y    for j = m - 2:-1:2
        z = (-h^2 * f(x(1), y(j)) + ga(a, y(j)) + lmd * u(1, j + 1) + ...
            lmd * u(1, j - 1) + u(2, j)) / mu;
! p. f# {9 V% d        u(1, j) = z;

        for i = 2:n - 2
            z = (-h^2 * f(x(i), y(j)) + u(i - 1, j) + lmd * u(i, j + 1) + ...
4 K$ W6 C6 M. x4 B+ A; M0 m                u(i + 1, j) + lmd * u(i, j - 1)) / mu;
            u(i, j) = z;
        end
4 H! N+ P* b# S$ d0 S0 }
, Z' k1 @, }4 ?( o. W3 a0 K        z = (-h^2 * f(x(n - 1), y(j)) + gb(b, y(j)) + u(n - 2, j) + ...
            lmd * u(n - 1, j + 1) + lmd * u(n - 1, j - 1)) / mu;
        u(n - 1, j) = z;
( R, v! t) v$ G  ^    end

! M2 ?% |4 W/ c0 \+ v    z = (-h^2 * f(x(1), y(1)) + ga(a, y(1)) + lmd * gc(x(1), c) + ...
' g4 t( P* Q' P( l        lmd * u(1, 2) + u(2, 1)) / mu;
    u(1, 1) = z;

+ _; j! V) u9 d( Y2 n    for i = 2:n - 2
  l0 s2 r1 |% t5 U7 P        z = (-h^2 * f(x(i), y(1)) + lmd * gc(x(i), c) + ...
1 x- Y% M) v1 S/ ^% U  n. }. k* {            u(i - 1, 1) + lmd * u(i, 2) + u(i + 1, 1)) / mu;
        u(i, 1) = z;
    end

0 q" s% [9 o9 l& O7 t    z = (-h^2 * f(x(n - 1), y(1)) + gb(b, y(1)) + lmd * gc(x(n - 1), c) + ...
        u(n - 2, 1) + lmd * u(n - 1, 2)) / mu;
. u, S' u3 [/ X5 ^    u(n - 1, 1) = z;
5 f' @# S5 a* f7 ^: t
$ G* G: s, ^; ?    x';
    y';
3 V1 x# t3 u4 y; c3 @5 ^; T( R# s    u';
- k; x& v6 R5 tend

+ _: T$ w8 U. G1 n& X0 ]该代码通过显式差分方法逐步更新二维波动方程的数值解，直到达到最大迭代次数或误差小于指定的阈值。在每次迭代中，通过更新矩阵 u 中的元素来逼近方程的解。

% `+ V  d5 _8 N( Q' A0 i+ a4 ]